《全國各地2015年中考數學試卷解析分類匯編（第1期）專題23 直角三角形與勾股定理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《全國各地2015年中考數學試卷解析分類匯編（第1期）專題23 直角三角形與勾股定理（20頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、直角三角形與勾股定理 一.選擇題 1. （2015遼寧大連，8，3分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，點D在BC上，∠ADC=2∠B,AD=,則BC的長為（ ） A.－1 B.+1 C.－1 D.+1 【答案】D 【解析】解：在△ADC中，∠C=90°，AC=2，所以CD=, 因為∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠B=∠BAD,所以BD=AD=,所以BC=+1，故選D. 2.（2015?四川南充,第9題3分）如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為cm，則對角線AC長和BD長之比為（ ） （A）1:2

2、 （B）1:3 （C）1: （D）1: 【答案】D 【解析】 試題分析：設AC與BD的交點為O，根據周長可得AB=BC=2，根據AE=可得BE=1，則△ABC為等邊三角形，則AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：. 考點：菱形的性質、直角三角形. 圖5 3．（2015?四川資陽,第9題3分）如圖5，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3 cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3 cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是 A．13cm B．cm C．cm

3、D．cm 考點：平面展開－最短路徑問題．. 分析：將容器側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求． 解答：解：如圖： ∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒， 此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離， A′B= = =13（Cm）． 故選：A． 點評：本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計

4、算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力． 4. （2015?浙江濱州,第10題3分）如圖，在直角的內部有一滑動桿.當端點沿直線向下滑動時，端點會隨之自動地沿直線向左滑動.如果滑動桿從圖中處滑動到處，那么滑動桿的中點所經過的路徑是( ) A.直線的一部分 B.圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 【答案】B 【解析】 試題分析：根據題意和圖形可知△AOB始終是直角三角形，點C為斜邊上的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知OC始終等于AB的一半，O點為定點，OC為定長，所以它始終是圓的一部分. 故選B 考點：直角三角

5、形斜邊上的中線等于斜邊的一半 5. （2015?浙江湖州，第9題3分）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F，G分別在AD，BC上，連結OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半徑長為1，則下列結論不成立的是( ) A. CD+DF=4 B. CD?DF=2?3 C. BC+AB=2+4 D. BC?AB=2 【答案】A. 【解析】 試題分析：如圖，設⊙O與BC的切點為M,連接MO并延長MO交AD于點N,利用“AAS”易證△OMG≌△GCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BC－BM－G

6、C=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC?AB=2.設AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r=（a+b－c），所以c=a+b－2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab－4a－4b+4=0，又因BC?AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再設DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD?DF=，CD+DF=.綜上只有選項A錯誤，故答案選A. 考點：矩形的性質；直角三角形內切圓的半徑與三邊的關系；折疊的性質；勾股定理；

7、 6. （2015?浙江嘉興，第7題4分）如圖，中，AB=5，BC=3，AC=4，以點C為圓心的圓與AB相切，則☉C的半徑為（▲） （A）2.3 （B）2.4 （C）2.5 （D）2.6 考點：切線的性質；勾股定理的逆定理．. 分析：首先根據題意作圖，由AB是⊙C的切線，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根據勾股定理求得AB的長，然后由S△ABC=AC?BC=AB?CD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長． 解答：解：在△ABC中， ∵AB=5，BC=3，AC=4， ∴AC2+BC2=32+42

8、=52=AB2， ∴∠C=90°， 如圖：設切點為D，連接CD， ∵AB是⊙C的切線， ∴CD⊥AB， ∵S△ABC=AC?BC=AB?CD， ∴AC?BC=AB?CD， 即CD===， ∴⊙C的半徑為， 故選B． 點評：此題考查了圓的切線的性質，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法．此題難度不大，解題的關鍵是注意輔助線的作法與數形結合思想的應用． 8. （2015?四川樂山,第7題3分）如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 考點：1．銳角三角函

9、數的定義；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．格型． 9, （2015?四川眉山，第10題3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD．若BD=1，則AC的長是（　　） 　 A． 2 B． 2 C． 4 D． 4 考點： 含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質；勾股定理．. 分析： 求出∠ACB，根據線段垂直平分線的性質求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根據含30°角的直角三角形性質求出AC即可． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠

10、B=90°，∠A=30°， ∴∠ACB=60°， ∵DE垂直平分斜邊AC， ∴AD=CD， ∴∠ACD=∠A=30°， ∴∠DCB=60°﹣30°=30°， 在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1， ∴CD=2BD=2， 由勾股定理得：BC==， 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=， ∴AC=2BC=2， 故選A． 點評： 本題考查了三角形內角和定理，等腰三角形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質的應用，解此題的關鍵是求出BC的長，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 10.

11、（2015?浙江省臺州市，第8題）如果將長為6cm，寬為5cm的長方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長不可能是（ ） A.8cm B.cm C.5.5cm D.1cm 二.填空題 1、（2015?四川自貢,第13題4分）已知，是⊙O的一條直徑 ，延長至點，使,與⊙O相切于點，若,則劣弧的長為 . 考點：圓的基本性質、切線的性質、直角三角形的性質、勾股 定理、弧長公式等. 分析：本題劣弧的長關鍵是求出圓的半徑和劣弧所對的 圓心角的度數.在連接OD后，根據切線的性質易知,圓的半徑和圓心角的度數可

12、以通過Rt△獲得解決. 略解：連接半徑OD.又∵與⊙O相切于點 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴在Rt△ ∴ ∴ ∴在Rt△根據勾股定理可知： ∵ ∴ 解得： 則劣弧的長為. 故應填 2. （2015?浙江濱州,第17題4分）如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處.若點D的坐標為(10,8），則點E的坐標為 . 【答案】（10,3） 考點：折疊的性質，勾股定理 3. （2015?四川省內江市，第22題，6分）在△ABC中，∠B=30°，AB=1

13、2，AC=6，則BC=　6　． 考點： 含30度角的直角三角形；勾股定理．. 分析： 由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的長． 解答： 解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6， ∴△ABC是直角三角形， ∴BC===6， 故答案為：6．° 點評： 此題考查了含30°直角三角形的性質，以及勾股定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵． 4.（2015?江蘇泰州,第16題3分）如圖， 矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點， 將△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE與CD相

14、交于點O，且OE=OD，則AP的長為__________. 【答案】4.8. 【解析】 試題分析：由折疊的性質得出EP=AP, ∠E=∠A=90°,BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x，求出CG、BG，根據勾股定理得出方程，解方程即可. 試題解析：如圖所示： ∵四邊形ABCD是矩形 ∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8 根據題意得：△ABP≌△EBP， ∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8， 在△ODP和△OEG中 ∴△ODP≌△OEG

15、 ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP 設AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x， ∴CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x 根據勾股定理得：BC2+CG2=BG2 即：62+（8－x）2=（x+2）2 解得：x=4.8 ∴AP=4.8. 考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理；3.矩形的性質. 5.（2015?江蘇徐州,第17題3分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為　（）n﹣1?。? 考點： 正方形的性質．. 專題： 規(guī)律型． 分析： 首先求

16、出AC、AE、HE的長度，然后猜測命題中隱含的數學規(guī)律，即可解決問題． 解答： 解：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC2=12+12，AC=； 同理可求：AE=（）2，HE=（）3…， ∴第n個正方形的邊長an=（）n﹣1． 故答案為（）n﹣1． 點評： 該題主要考查了正方形的性質、勾股定理及其應用問題；應牢固掌握正方形有關定理并能靈活運用． 6.（2015?山東東營,第17題4分）如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為 ． 【答案】.

17、考點：1.正方體的側面展開圖；2.最值問題；3.勾股定理. 7．（2015?廣東廣州,第16題3分）如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為 3 ． 考點： 三角形中位線定理；勾股定理． 專題： 動點型． 分析： 根據三角形的中位線定理得出EF=DN，從而可知DN最大時，EF最大，因為N與B重合時DN最大，此時根據勾股定理求得DN=DB=6，從而求得EF的最大值為3． 解答： 解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN， ∴DN最大時

18、，EF最大， ∵N與B重合時DN最大， 此時DN=DB==6， ∴EF的最大值為3． 故答案為3． 點評： 本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應用，熟練掌握定理是解題的關鍵． 8.（2015?泉州第11題4分）如圖，在正三角形ABC中，AD⊥BC于點D，則∠BAD=　30°　°． 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°， 故答案為：30°． 9．(2015?湖南株洲,第15題3分)如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方

19、形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于　　　　 【試題分析】 本題考點為：全等三角形的對應邊相等，直角三角形的勾股定理，正方形的邊長相等； 由全等可知：AH＝DE，AE＝AH＋HE 　　　　　　由直角三角形可得：，代入可得 答案為：6 10．(2015?江蘇無錫,第17題2分)已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的線和角平分線，AD⊥BE，AD=BE=6，則AC的長等于　_________　． 考點： 三角形位線定理；勾股定理． 專題： 計算題． 分析： 延長AD至F，使DF=AD，過點F作平行BE與AC延長線交于點G，過點C作CH∥BE，交AF于點H，連接BF，如圖

20、所示，在直角三角形AGF，利用勾股定理求AG的長，利用SAS證得△BDF≌△CDA，利用全等三角形對應角相等得到∠ACD=∠BFD，證得AG∥BF，從而證得四邊形EBFG是平行四邊形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD與三角形CHD全等，利用全等三角形對應邊相等得到OD=DH=3，得AH=9，然后根據△AHC∽△AFG，對應邊成比例即可求得AC． 解答： 解：延長AD至F，使DF=AD，過點F作FG∥BE與AC延長線交于點G，過點C作CH∥BE，交AF于點H，連接BF，如圖所示， 在Rt△AFG，AF=2AD=12，FG=BE=6， 根據勾股定理得：AG==6， 在△BDF

21、和△CDA， ∴△BDF≌△CDA（SAS）， ∴∠ACD=∠BFD， ∴AG∥BF， ∴四邊形EBFG是平行四邊形， ∴FG=BE=6， 在△BOD和△CHD， ， ∴△BOD≌△CHD（AAS）， ∴OD=DH=3， ∵CH∥FG， ∴△AHC∽△AFG， ∴=，即=， 解得：AC=， 故答案為： 點評： 本題考查了三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質，平行四邊形的判定和性質以及勾股定理的應用，作輔助線構建直角三角形和平行四邊形是解題的關鍵． 　11．（2015·湖北省武漢市，第16題3分）如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB

22、上，且OM＝1，ON＝3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是_________ 【解析】作M關于ON對稱點M1，點N關于OA的對稱點N1，連接M1N1分別交OA、ON于Q，P，此時MP+PQ+NQ的值最小.由對稱性質知，M1P=MP，N1Q=NQ，所以MP+PQ+NQ= M1N1.連接ON1、OM1，則∠M1OP=∠POM=∠N1OM=30°，所以∠N1OM1=90°.又ON1=ON=3，OM1 =OM=1,所以M1N1==. 【指點迷津】線段和的最小值問題，一般都是將幾條線段轉化為同一條線段長度，根據兩點之間線段最短來說明.一般是通

23、過做對稱點轉化到同一條線段上，根據勾股定理計算最小值. 三.解答題 1. （2015遼寧大連，24，11分）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，且CD>DA,DA=2.點P、Q同時從D點出發(fā)，以相同的速度分別沿射線DC、射線DA運動。過點Q作AC的垂線段QR,使QR=PQ,聯接PR.當點Q到達A時，點P、Q同時停止運動。設PQ=x.△PQR和△ABC重合部分的面積為S.S關于x的函數圖像如圖2所示（其中0

24、 圖1 圖2 （第24題） 【答案】(1)（2）當0

25、 因為△AQE∽△AQ1R1,，所以QE= 設FG=PG=m 因為△AGF∽△AQ1R1,，所以AG=2+－m， 所以m= 所以S= = = 所以S= 故答案為：當0

26、的長． 【答案】略；45°； 【解析】 試題分析：根據旋轉得到AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP，從而得出∠PAP′=90°，得到等腰直角三角形；根據Rt△APP′得出PP′的大小，然后結合BP′和BP的長度得到，從而得出△BPP′是直角三角形，然后計算∠BPQ的大小；過點B作BM⊥AQ于M，根據∠BPQ=45°得到△PMB為等腰直角三角形，根據已知得出BM和AM的長度，根據Rt△ABM的勾股定理求出AB，根據△ABM∽△AQB得出AQ的長度，最后根據Rt△ABO的勾股定理得出BQ的長度，根據QC=BC－BQ得出答案. 試題解析：(1)、證明：由旋轉可得：AP=AP′ ∠BAP

27、′=∠DAP ∴∠PAP′=∠PAB+∠BAP′=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90° ∴△APP′是等腰直角三角形 (3)、過點B作BM⊥AQ于M ∵∠BPQ=45° ∴△PMB為等腰直角三角形 由已知，BP=2 ∴BM=PM=2 ∴AM=AP+PM=3 在Rt△ABM中，AB= ∵△ABM∽△AQB ∴ ∴AQ= 在Rt△ABO中，BQ= ∴QC=BC－BQ=－= 考點：旋轉圖形的性質、勾股定理、三角形相似. 3. （2015?浙江杭州,第19題8分） 如圖1，⊙O的半徑為r(r>0)，若點P′在射線OP上，滿足OP′?O

28、P=r2，則稱點P′是點P關于⊙O的“反演點”，如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點A′、B′分別是點A，B關于⊙O的反演點，求A′B′的長. 【答案】解：∵⊙O的半徑為4，點A′、B′分別是點A，B關于⊙O的反演點，點B在⊙O上， OA=8， ∴，即. ∴.∴點B的反演點B′與點B重合. 如答圖，設OA交⊙O于點M，連接B′M， ∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等邊三角形. ∵，∴B′M⊥OM. ∴在中，由勾股定理得. 【考點】新定義；等邊三角形的判定和性質；勾股定理. 【分析】先根據定義求出，再作輔助線：連接點B′與

29、OA和⊙O的交點M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等邊三角形，從而在中，由勾股定理求得A′B′的長. 4. （2015?浙江麗水，第19題6分）如圖，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC

30、的性質；直角三角形兩銳角的關系；等腰三角形的性質. 【分析】（1）因為到A，B兩點的距離相等在線段AB的垂直平分線上，因此，點D是線段AB的垂直平分線與BC的交點，據此作圖即可. （2）根據直角三角形兩銳角互余，求出∠BAC，根據等腰三角形等邊對等角的性質，求出∠BAD，從而作差求得∠CAD的度數. 5.（2015?江蘇徐州,第25題8分）如圖，平面直角坐標系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限．其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm （1）若OB=6cm． ①求點C的坐標； ②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離； （2）點

31、C與點O的距離的最大值=　12　 cm． 考點： 相似形綜合題．. 分析： （1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，利用含30°角的直角三角形的性質解答即可； ②設點A向右滑動的距離為x，得點B向上滑動的距離也為x，利用三角函數和勾股定理進行解答； （2）過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，證明△ACE與△BCD相似，再利用相似三角形的性質解答． 解答： 解：（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1： 在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則BC=6， ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°， 又∵∠CBA=60°， ∴∠CBD=60°，∠BCD=30°

32、， ∴BD=3，CD=3， 所以點C的坐標為（﹣3，9）； ②設點A向右滑動的距離為x，根據題意得點B向上滑動的距離也為x，如圖2： AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6． ∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12 在△A'O B'中，由勾股定理得， （6﹣x）2+（6+x）2=122， 解得：x=6（﹣1）， ∴滑動的距離為6（﹣1）； （2）設點C的坐標為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3： 則OE=﹣x，OD=y， ∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠DCB， 又∵∠AEC=∠BDC=90°， ∴△ACE∽△BCD， ∴，即， ∴y=﹣x， OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2， ∴當|x|取最大值時，即C到y(tǒng)軸距離最大時，OC2有最大值，即OC取最大值，如圖，即當C'B'旋轉到與y軸垂直時 ．此時OC=12， 故答案為：12． 點評： 此題考查相似三角形的綜合題，關鍵是根據相似三角形的性質和勾股定理以及三角函數進行分析解答．