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1、 1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用第2課時(shí).教案 1.1 回歸分析的基本思想及其初步（二） 【學(xué)情分析】： 教學(xué)對(duì)象是高二文科學(xué)生，學(xué)生已掌握建立線性回歸模型的知識(shí)，并能用所學(xué)知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題。在教學(xué)中，要結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生了解評(píng)價(jià)回歸效果的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和。初步了解可以通過求回歸模型的相關(guān)指數(shù)或利用殘差分析不同的回歸模型的擬合精確度。在起點(diǎn)低的班級(jí)中注重讓學(xué)生參與實(shí)踐，鼓勵(lì)學(xué)生通過收集數(shù)據(jù)，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，從而進(jìn)一步體會(huì)回歸分析中的數(shù)理計(jì)算，初步形成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的基本思想，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用。讓學(xué)生直觀的觀察、思考，

2、借助于線性回歸模型研究呈非線性關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系。 【教學(xué)目標(biāo)】： （1）知識(shí)與技能： 了解評(píng)價(jià)回歸效果的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和；了解偏差平方和分解的思想；了解判斷刻畫模型擬合效果的方法——相關(guān)指數(shù)和殘差分析；了解非線性模型通過變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。 （2）過程與方法： 本節(jié)內(nèi)容先從大學(xué)中女大學(xué)生的甚高和體重之間的關(guān)系入手，求出相應(yīng)的回歸直線方程，從中也找出存在的不足，從而有進(jìn)行回歸分析的必要性，進(jìn)而學(xué)習(xí)相關(guān)指數(shù)，用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果。 （3）情感態(tài)度與價(jià)值觀： 從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)自己已有知識(shí)的不足之處，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生不滿

3、足于已有知識(shí)，勇于求知的良好個(gè)性品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)取。 【教學(xué)重點(diǎn)】： 1、了解判斷刻畫模型擬合效果的方法——相關(guān)指數(shù)和殘差分析； 2、通過探究使學(xué)生體會(huì)有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。 【教學(xué)難點(diǎn)】： 1、 解釋殘差變量的含義； 2、了解偏差平方和分解的思想。 【課前準(zhǔn)備】： 課件 【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】： 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 一、創(chuàng)設(shè)情境 1．由例1知，預(yù)報(bào)變量（體重）的值受解釋變量（身高）或隨機(jī)誤差的影響。 2．問題一：為了刻畫預(yù)報(bào)變量（體重）的變化在多大程度上與解釋變量（身高）有關(guān)？在多大程度上與隨機(jī)誤差有關(guān)？ 我們引入了評(píng)價(jià)回

4、歸效果的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和。 引入回歸分析的效果評(píng)價(jià)的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量 二、探究新知 ⑴總偏差平方和：每個(gè)效應(yīng)（觀測(cè)值減去總的平均值）的平方加起來，即用表示總的效應(yīng)； 學(xué)生動(dòng)手計(jì)算出例1中的總偏差平方和。 ⑵殘差平方和：數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)的位置的差異是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱為殘差，為殘差平方和； 學(xué)生動(dòng)手計(jì)算出例1中的殘差（如下表）與殘差平方和。 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重/kg 48 57 50 54 64 61

5、 43 59 yi 54.373 54.373 47.581 58.618 62.863 54.373 45.883 58.618 ei -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 ⑶回歸平方和：解釋變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和），即總的偏差平方和＝回歸平方和＋殘差平方和，所以 回歸平方和=總的偏差平方和－殘差平方和 學(xué)生動(dòng)手計(jì)算出例1中的回歸平方和。 學(xué)習(xí)要領(lǐng)：①注意、、的區(qū)別； ②預(yù)報(bào)變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化程度與殘差變量的變化程度之和； ③

6、當(dāng)總偏差平方和相對(duì)固定時(shí)，殘差平方和越小，則回歸平方和越大，此時(shí)模型的擬合效果越好； ④對(duì)于多個(gè)不同的模型，我們還可以引入相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，它表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率. 的值越接近于1，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合的效果越好，即解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線相關(guān)性越強(qiáng). 代入例1中的數(shù)據(jù)知例1中的，即解釋變量對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%，所以身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。 問題二：觀察圖1．1-5中的殘差圖，樣本點(diǎn)是如何分布？有無異常情況（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等）？ 師：提出問題，指導(dǎo)學(xué)生畫出殘差圖（以

7、殘差為縱坐標(biāo)，樣本編號(hào)或身高或體重為橫坐標(biāo)作出圖形），引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行殘差分析，從而做到檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。 生：分析、討論。 從殘差圖中可以看到第1個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差較大，需要確認(rèn)是否出現(xiàn)采集的錯(cuò)誤，指導(dǎo)學(xué)生去掉這兩個(gè)數(shù)據(jù)后重新再計(jì)算回歸方程與相關(guān)指數(shù)，了解到擬合的效果會(huì)更好。 引導(dǎo)學(xué)生歸納殘差所能說明的情況： ① 樣本點(diǎn)的殘差比較大，確認(rèn)采集數(shù)據(jù)時(shí)是否出現(xiàn)人為的錯(cuò)誤或其他原因； ② 殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。 結(jié)合實(shí)例由結(jié)果分析殘差圖是否異常，養(yǎng)成從實(shí)際問

8、題出發(fā)，抽象為數(shù)學(xué)問題中的線性回歸問題，從而指導(dǎo)實(shí)際問題的解決。 引導(dǎo)學(xué)生利用殘差也可以分析所求出的模型的擬合效果 通過學(xué)生動(dòng)手計(jì)算感受相關(guān)指數(shù)與殘差分析說明回歸方程的預(yù)報(bào)情況。 三、例題選講 例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表中，試建立y與x之間的回歸方程。 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 溫度x/C 21

9、 23 25 27 29 32 35 產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè) 7 11 21 24 66 115 325 問題三：例2中如何選擇解釋變量與預(yù)報(bào)變量？ 師：讀例2的要求，引導(dǎo)學(xué)生理解例題含義。 生：思考、討論、敘述自己的理解。 形成把溫度x作自變量，紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y作因變量的共識(shí) 問題四：觀察圖1．1-6中的散點(diǎn)圖，紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x具有線性關(guān)系嗎？除線性關(guān)系外，還學(xué)過哪些常見的函數(shù)關(guān)系？ 師：繪制散點(diǎn)圖1．1-6，引導(dǎo)學(xué)生觀察散點(diǎn)圖的特點(diǎn)：隨著自變量的增加，因變量也隨之增加。 引導(dǎo)學(xué)生探究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x更可能是什么關(guān)系，選擇幾個(gè)模型，比如線性回

10、歸模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型。而二次與指數(shù)函數(shù)模型是屬于非線性回歸模型。 生：討論、回憶一些常見函數(shù)圖象的特點(diǎn)，判斷紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的可能關(guān)系 從散點(diǎn)圖中可以看到樣本點(diǎn)分布在指數(shù)函數(shù)曲線的周圍。 問題五：請(qǐng)學(xué)生思考能否把模型經(jīng)過變換后轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)變量的線性關(guān)系？ 師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生尋找變換的方法，在學(xué)生討論后給出具體的方法。 生：思考、討論、解釋。 解答過程如下： 對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù) 令，建立與之間的線性回歸方程 問題六：經(jīng)過變換后指數(shù)函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，你如何得到這個(gè)線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)？ 師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，啟發(fā)學(xué)

11、生把原變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為新變量的數(shù)據(jù)，然后讓學(xué)生給出每種線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)。 生：以組為單位進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，求參數(shù)的最小二乘估計(jì)（可以用計(jì)算器） 解答過程如下： 令，，即 分析與之間的關(guān)系，通過畫散點(diǎn)圖（如下圖），可知與之間是存在著線性回歸關(guān)系，可以用最小二乘法求出線性回歸方程 列表計(jì)算出各個(gè)量 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 合計(jì) 溫度x/C 21 23 25 27 29 32 35 192 產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè) 7 11 21 24 66 115 325 569 z=ln y 1.946 2.398 3.04

12、5 3.178 4.190 4.745 5.784 25.285 xi2 441 529 625 729 841 1024 1225 5414 xizi 40.9 55.2 76.1 85.8 121.5 151.8 202.4 733.7 　 27.429 3.612　 　 5414 733.71 問題七：我們的目標(biāo)是建立紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的模型，如何使得到的線性回歸模型再變回紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)

13、y與溫度x的模型？ 師：提出問題。 生：進(jìn)行變換，每組得到紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的模型。 因?yàn)?，所以，即? 引導(dǎo)學(xué)生分析哪個(gè)變量作自變量，哪個(gè)變量作因變量 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的關(guān)系，使學(xué)生了解不是任何兩個(gè)變量都一定是線性關(guān)系。 使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)把因變量與自變量的非線性關(guān)系經(jīng)過變換后轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)變量的線性關(guān)系的方法。 使學(xué)生熟悉線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)的方法

14、 得出紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的模型 四、練習(xí) 1． 試對(duì)下列非線性模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危怪€性化 ⑴； ⑵ 解：⑴對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，即 令，則有 ⑵令，則有 鞏固知識(shí) 五、小結(jié) 1． 分清總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和，初步了解如何評(píng)價(jià)模型擬合效果的好壞； 2． 注意回歸方程適用的范圍、時(shí)間。 3． 歸納非線性回歸模型的求解步驟： ⑴畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖； ⑵判斷是否線性相關(guān)； ⑶非線性相關(guān)模型要進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)為線性回歸模型； ⑷求出回歸模型的方程（利用最小二乘法）。

15、練習(xí)與測(cè)試 1． 下面4 個(gè)散點(diǎn)圖中，不適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是（ A ） A． B． C． D． 2． 將非線性模型進(jìn)行適當(dāng)變形使之線性化。 答案： 3． 已知回歸方程，則樣本點(diǎn)P（4，2．71）的殘差為________________。 答案： 4． 已知線性相關(guān)的兩變量，的三個(gè)樣本點(diǎn)A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直線AB作為其預(yù)測(cè)模型，則點(diǎn)C 的殘差是________。 答案：，，。 5． 若一組觀測(cè)值（x1，y

16、1）、（x2，y2）、…、（xn，yn）之間滿足yi=bxi+a+ei (i=1、2. …n)若ei恒為0，則R2為 答案：1 6． 已知線性相關(guān)的兩變量，的三個(gè)樣本點(diǎn)A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直線AB作為其預(yù)測(cè)模型，則其相關(guān)指數(shù)________。 答案：，，，， ，， ，， 7． 現(xiàn)有一個(gè)由身高預(yù)測(cè)體重的回歸方程：體重預(yù)測(cè)值＝4（磅/英寸）身高－130（磅）。其中體重和身高分別以磅和英寸為單位，已知1英寸≈2．5 cm，1磅≈0．45 kg，則該回歸方程應(yīng)該是______________。 答案：體重預(yù)測(cè)值＝0．72（kg/ cm）身高－58．5（kg）