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1、畫法幾何,洛陽理工學院土木工程學院,Luoyang Institute of Science and Technology School of Civil Engineering,Descriptive Geometry,洛陽理工學院網(wǎng)絡課程,第5章 直線與平面、平面與平面 的相對位置,目 錄,概述 5.1 直線與平面、平面與平面平行 5.2 直線與平面、平面與平面相交 5.3 直線與平面、平面與平面垂直,第5章 直線與平面、平面與平面的相對位置,本章講述的是直線與平面、平面與平面的相對幾何關(guān)系。,直線與平面、平面與平面的相對幾何關(guān)系有： 平行：直線與平面平行 平面與平面平行

2、相交：直線與平面相交 平面與平面相交 垂直：直線與平面垂直 平面與平面垂直,5.1 直線與平面、平面與平面平行,幾何條件 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。,一、直線 與平面平行,,,有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,c,b,m,a,b,c,m,例5-1：過M點作直線MN平行于平面ABC。,有無數(shù)解,,,,,正平線,例5-2：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。,,c,,,,,,,,,,,,,b

3、,a,m,a,b,c,m,唯一解,,,例題5-3 試判斷直線AB是否平行于定平面,,結(jié)論：直線AB不平行于定平面, 若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。, 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,,二、平面與平面平行,兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。,,,,,,,,,【例5-4】判斷ABC和平面DEFG是否平行。,X,O,,,,c,b,a,a,b,c,,,,,,,,,,,,d,g,f,f,e,d,e,,,,,,,,,,,m,n,n,m,g,

4、,,例題5-5 試判斷兩平面是否平行,,,,,結(jié)論：兩平面平行,例題5-6 已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面 。,,,,,,5.2 直線與平面、平面與平面相交,直線與平面不平行，則一定相交于一點。,平面與平面不平行，則一定交于一直線。,點擊2次,,,,,A,B,K,A,B,C,M,N,,,,,,,,5.2 直線與平面、平面與平面相交,直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。,,兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。,另外，在畫法幾何中平面圖形通常被當作是不透明的，所以在投影圖中還要表明直線被平面遮擋以及平面與平

5、面互相遮擋的情況，即判斷其投影的可見性。,4-2 直線與平面、平面與平面相交,,一、直線與平面相交,利用直線或平面的某些投影有積聚性，求交點。,1.直線或平面中至少有一個處于特殊位置的情況。,5.2 直線與平面、平面與平面相交,（1）平面投影具有積聚性交點“一眼可見”,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,,,,例5-7：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。,空間及投影分析,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。, 求交點, 判別可見性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。,,還可通過重影點判別可見性。,1(2),作

6、 圖,,,（1）平面投影具有積聚性交點“一眼可見”,,,,,,,,,,,,,,,,a,b,p,a,b,p,k,k,,,【例5-8】一般位置直線AB與鉛垂面P相交，求作交點K。,可見性判別,O,X,,k,m(n),,,b,,,,,,,,,,,,,,,,m,n,c,b,a,a,c,,,（2）直線投影有積聚性轉(zhuǎn)化成“面上定點”,空間及投影分析,直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。, 求交點, 判別可見性,點位于平面上，在前；點位于MN上，在后。故k 2為不可見。,1(2),,,作圖,用面上取點法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m(n),b,a,

7、c,d,m,a,b,c,n,d,,k,k,,,,,1,2,1 2,( ),e,e,【例5-8】鉛垂線MN與平面ABCD相交，求作交點K。,可見性判別,X,O,,,,,M,N,K,A,B,,,輔助平面,2. 直線與平面都處于一般位置“包線作面”,輔助平面 投影面的垂直面,,,,,,,,H,,,,,,,,,,,A,B,D,F,E,M,N,K,,輔助平面法作圖步驟 包含已知直線作輔助平面 求輔助平面與已知平面的交線 求此交線與已知直線的交點,,,,,,,,,,,,,,,1,2,m,n,n,m,b,a,用鉛垂面作輔助面,,,,,,,,,A,B,D,F,E,M,N,K,,,,,,,,,,,d,e,a,

8、b,d,e,f,f,,,,PH,,,,,,,,,,,k,k,1 2,( ),,,利用交錯直線的重影點判斷直線各段的可見性:,,,,,,,,,,d,,,k,,,,,m,n,n,m,b,a,用正垂面作輔助面,,,,,,,d,e,a,b,e,f,f,,QV,,,,,,,,,,k,3,,,,,3 4,( ),4,二、兩平面相交交線為兩平面共有線,1.一般位置平面與特殊位置平面相交,利用積聚性求交線,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,,,,,1(2),空間及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點m 、 b c與f h的交點n即為兩個共有點的正面投影，故mn

9、即MN的正面投影。, 求交線, 判別可見性,點在FH上，點在BC上，點在上，點在下，故fh可見，n2不可見。,作 圖,,例5-10：求兩平面的交線MN并判別可見性。,可通過正面投影直觀地進行判別。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m(n),,空間及投影分析,平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。, 求交線, 判別可見性,作 圖,從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。,,能!,如何判別？,例5-11：求兩平面的

10、交線MN并判別可見性。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,c,d,e,f,a,b,,a,b,c,d,e,f,,,,,,投影分析,N點的水平投影n位于def的外面，說明點N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個圖形內(nèi)。 所以ABC和DEF的交線應為MK。,,,,,,互交,例5-12：求兩平面的交線并判別可見性。,,,,,,,,,,,【例5-13】求一般位置平面ABC與鉛垂面Q的交線KL。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,b,q,a,b,q,c,c,k,l,k,l,,,,,,,,,,O,X,例5-14如圖a所示，作三角形ABC與鉛垂的矩形DEFG的交線，

11、并表明可見性。,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,解,作三角形與鉛垂矩形的交線KL。,判斷并表明可見性：在交線之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合處應是三角形可見，矩形不可見；在交線之左則相反。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,方法1直線與平面求交點方法“包線作面”,2.兩個一般位置平面相交,求兩平面交線的問

12、題可以看作是求兩個共有點的問題, 因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。,m,m,,,,b,c,c,例 求平面ABC與平面DEF的交線。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,d,a,d,e,a,b,e,f,,f,,PH,,,,,,,,,,,,,b,c,c,例 求平面ABC與平面DEF的交線。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,d,a,d,e,a,b,e,f,f,QV,m,m,,,,,,,,,,,n,n,,2,1,( ),n,m,m,n,b

13、,c,c,例 求平面ABC與平面DEF的交線。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,d,a,d,e,a,b,e,f,f,1 2,,,,,,,,,,,,,,,,,,n,m,m,n,b,c,c,例 求平面ABC與平面DEF的交線。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,d,a,d,e,a,b,e,f,f,,,,,,,,3,4,3 4,( ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,X,O,PV,,,,,m,,m,,QV,,,,,,l,,,,l,,,,,,

14、,,,,,,例 求平面ABC與平面DEF的交線。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,r,r,s,s,,,,,,,,,PV,QV,l,k,k,l,b,c,c,d,a,d,e,a,b,e,f,f,g,h,g,h,,,,,輔助平面P、Q為特殊位置平面,方法2 三面共點法求兩平面交線,例 求作平面 ABC與一對平行直線DE、F所確定平面的交線。,,V,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5.3 直線與平面、平面與平面垂直,直線與平面垂直、平面與平面垂直，是相交的特殊情況。,一、直線與平面垂直,一直線如果同時垂直（含相交垂直和交錯垂直）于平面上的相交兩直線，則該直線與平面垂直。,

15、,反之，若直線垂直于平面，則該直線垂直于平面上的所有直線，當然也包括于平面上的投影面平行線。 圖中直線AK 垂直于平 面P，垂足是點K 。過垂足 K在平面P上作水平線BC和 正平線DE。則，直線AK垂 直于BC和DE。,但根據(jù)直角投影法則，在水平投影中ak應垂直于bc或PH；在正面投影中ak應垂直于de或PV。 結(jié)論：垂直于一平面的直線，其投影垂直于該平面上投影面平行線的相應投影，因而也垂直于該平面的同面跡線。,,例4-18 過ABC 外一點M，作直線MN 垂直于該平面。 解：作平面內(nèi)的水平線AD和正平線CE，則mn應垂直于ad，mn應垂直于ce。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

16、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例 過M點作直線MN垂直于平面ABCD。,,,,,,,,,,b,c,c,a,a,b,m,m,n,n,d,d,,,,,,,e,e,,,,例 過點K作平面垂直于直線AB。,,,,,,,,,,,,,,b,a,a,b,k,k,1,1,2,2,例4-19 給定平面ABC，試過定點M 作平面的法線,,,,,,,,,,,,a,b,c,a,b,c,m,,,,,,,,,,,,n,n,例4-20 平行直線AB、CD確定一平面，直線MN是否垂直于該平面？,,,,,,,,,,,,,,c,d,a,b,c,d

17、,m,n,m,n,,,,,f,e,f,不垂直！,e,b,a,例4-21 已知直線MN 及直線外一點A，試過點A作一平面，使該平面與已知直線MN 相垂直，并求出垂足K。 解：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,如果已知平面是特殊位置平面，則過已知點所作的垂線也必定是特殊位置直線。例如：,鉛垂面的垂線是水平線,正垂面的垂線是正平線,正平面的垂線是正垂線,,,,例4-23如圖a所示，過點A作正垂面三角形CDE的垂線AB和垂足B，并確定點A與三角形CDE平面的真實距離。,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

18、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,如果某平面包含一條垂直于另一平面的直線，則該兩平面互相垂直。,直線KL平面Q，則包含KL直線的所有平面如P1、P2、P3等，都垂直于平面Q。反之，與平面Q垂直的任何平面，如P1，一定包含有與平面Q垂直的直線，如KL。,,二、平面與平面垂直,例4-24 試過點M 作平面垂直于ABC 平面。,2.包含此直線任作一平面，則所作平面必與已知平面垂直。 包含直線MN的平面MND、MNE、MNF都垂直于已知平面ABC。,解： 1.過點M作一直線垂直于已知平面（MNABC

19、）。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例4-26如圖a所示，過點A作一平面，平行于直線BC，垂直于三角形DEF。,(a)已知條件,解,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分析：按直線與平面平行和兩平面垂直的幾何條件，只要所作的平面既包含過點A的BC的平行線，又包含過點A的三角形DEF的垂線，就能滿足題目的要求。,過點A作AGBC：作agbc，agbc，就作出了AG的兩面投影。,過點

20、A作AHDEF：作DEF平面上的一條水平線D和一條正平線D。過a作ahd1，過a作ahd2，便作出了AH的兩面投影。,兩相交直線AG和AH所確定的平面AGH即為所求。,例4-27如圖a所示，檢驗兩三角形ABC與DEF是否垂直。,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分別在三角形DEF平面上作水平線D和正平線D。,過b作bg垂直于d2，與ac交得g；由g引投影連線，與ac交得g，連b與g。檢驗bg是否與d1垂直：如bg與d1垂直，則在三角形ABC上能作出一條直線BG與三角形DEF相垂直，兩

21、三角形互相垂直；否則，兩三角形不垂直。,結(jié)論：bg垂直于d1，所以檢定了三角形ABC與DEF是互相垂直的。,,,,例 過點K作一平面垂直平面ABCD。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,k,k,,,,,,,,,,,,,,b,a,a,b,d,c,c,d,1,2,1,2,e,e,,,例 判斷下圖中兩平面是否垂直。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,a,a,b,d,c,c,d,e,e,f,f,g,g,,,例 判斷下圖中兩平面是否垂直。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,a,a,b,d,c,c,d,e,e,f,f,,,,,,,,,,,,,,

22、,,,例 完成矩形ABCD的投影。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,a,a,b,1,1,2,2,c,d,d,c,,,m,m,,,,,,,,,,2,例 求點K到平面ABC的距離。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,c,b,a,a,b,k,c,k,2,1,1,,,,,,,,,,l,l,求實長,,,距離實長,l,l,c,,例 求點C到直線AB的距離。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,a,a,b,k,c,k,2,2,1,1,距離實長,,,,-------THE END ------- Thanks for watching,