《小學數(shù)學中的基本思想(史寧中)ppt.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《小學數(shù)學中的基本思想(史寧中)ppt.ppt（30頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、小學數(shù)學中的基本思想,東北師范大學 史寧中 2014. 9,報告目錄,一、數(shù)學的基本思想 二、小學數(shù)學中的抽象 三、小學數(shù)學中的推理 四、小學數(shù)學中的模型,一、數(shù)學的基本思想,1、課程目標：由雙基到四基、從兩能到四能 實現(xiàn)教育理念的轉變 過去的教育理念：以知識為本 教學大綱 關心問題是： 應當教那些內容；應當教到什么程度 考核內容是： 規(guī)定的內容是否教了；學生的掌握是否達到要求 教學目標是： 基礎知識（概念記憶與命題理解）扎實（記憶） 基本技能（證明技能與運算技能）熟練（訓練） 教學形式是： 課堂、教材、教師（凱洛夫的三中心論）,現(xiàn)代的教育理念：以

2、人為本 教育方針：育人為本（綱要）、立德樹人（十八大） 課程標準 以學生的發(fā)展為本 人的成功依賴：知識技能、把握機遇、思維方法 不僅要記住一些數(shù)學的知識、掌握一些數(shù)學的技能 還要培養(yǎng)學生數(shù)學的基本素養(yǎng)（素質教育） 感悟數(shù)學的基本思想，積累基本活動經驗 課程目標：基礎知識、基本技能 + 基本思想、基本活動經驗 分析問題、解決問題 + 發(fā)現(xiàn)問題、提出問題 基本活動經驗：思維經驗、會想問題；實踐經驗、會做事情,,2. 什么是數(shù)學的基本思想 數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學 研究對象：數(shù)量、圖形 研究內容：數(shù)量性質與關系、圖形性質與關系 數(shù)學的基本思想：數(shù)學

3、的產生與發(fā)展必須依賴的思想 學習過數(shù)學與沒有學習數(shù)學的思維差異 抽象、推理、模型 數(shù)學教學的責任：會抽象、會推理 、會一般性地思考,,通過抽象：現(xiàn)實 數(shù)學 把研究對象、以及對象之間的關系形成概念 從現(xiàn)實世界到數(shù)學內部，數(shù)學具有一般性 通過推理：數(shù)學 數(shù)學 從假設前提出發(fā)，通過推理得到數(shù)學的結果 數(shù)學內部的發(fā)展，數(shù)學具有邏輯性 通過模型：數(shù)學 現(xiàn)實 解決現(xiàn)實世界中的與數(shù)量和圖形有關的問題 從數(shù)學內部到現(xiàn)實世界，數(shù)學具有應用性 得到數(shù)學的基本特征： 一般性（抽象）、嚴謹性（邏輯）、應用的廣泛性（模型）,,,數(shù)學思想：抽象、推理、模型（不是知識，不靠講

4、解靠感悟） 教學要點：創(chuàng)設情境，讓學生感悟。 感悟什么？如何感悟？ 數(shù)是數(shù)量的抽象，數(shù)量是對現(xiàn)實生活中量的表達。 同時抽象出關系：數(shù)量關系的本質是多與少 數(shù)關系的本質是大與小。 抽象有兩種方法：對應起名（外延）、述說定義（內涵） 對應：三個蘋果、三只雞 3 （去掉物理屬性） 述說：一個一個多起來（后繼數(shù)）： 1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，,二、小學數(shù)學中的抽象,,小學階段的數(shù)學教育： 開始用對應的方法，以后用述說方法 比如數(shù)的認識 對應：負數(shù) 量相等、意義相反 不能用數(shù)軸解釋、最好不用減法或相反數(shù)解釋 述說：如

5、何認識 10000、比 9999 多 1 比如幾何概念 對應：稱這樣的圖形為直線段、角 述說：角是由兩條端點重合的射線所形成的圖形,,數(shù)的符號表達：簡潔、關鍵是把握問題的本質 （基本概念與運算法則：小學數(shù)學教學中的核心問題 高等教育出版社，2013年） 讀數(shù)的關鍵：十個符號 + 數(shù)位 如何讀 2002 符號 0 很重要： 1 10 1 9 0 和 10 相反數(shù)： a + b = 0，b 為相反數(shù)，表示為 -a 數(shù)位與數(shù)不同 數(shù)位：個(ones)、十(tens)，“十”是十個“個” “萬”是十個“千” 數(shù)：10 = 9 + 1 10

6、000 = 9999 + 1,,數(shù)的運算 與數(shù)的抽象一樣，有兩種方法表示加法：對應、定義。 定義： 3 + 1 = 4 ？ 4 = 3 + 1 3 + 1 = 4 對應： 哪邊多 哪邊多？ 3 + 1 = 4 理解等號的意義：等號兩邊講兩個故事， 這兩個故事量相等 （方程：含有未知數(shù)的等式？）,,點、線、面的抽象 0 維是點、1 維是線、2 維是面、3 維是體。 日常生活看到的幾何圖形都是三維的，點線面是抽象的。,,角的抽象 角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形。 稱下面的圖形為角。角由兩條線段所夾部分組成，這兩條線段

7、的一個端點重合。稱這兩條線段為角的邊，角的大小與邊長無關。 幾何作圖（畫角平分線）的教育價值：培養(yǎng)想象力,,抽象的小結 抽象出數(shù)學研究的對象： 把外部世界的數(shù)量和數(shù)量關系、 圖形與圖形關系引導數(shù)學內部。 概念：自然數(shù)、負數(shù)、點、線、面、體、角 關系：（代數(shù)）數(shù)的大小關系，（幾何）兩點決定一條直線 法則：加法 減法、乘法、除法 抽象的東西不存在：現(xiàn)實中沒有 2，只有具體的兩匹馬、兩頭牛 抽象的東西是理念的存在 鄭板橋：我畫的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。,,三、小學數(shù)學中的推理,推理：數(shù)學內部的發(fā)展依賴的是邏輯推理 數(shù)學的結論都是命題 數(shù)學命題：可供正確或者錯誤

8、判斷的陳述 可供判斷，下面陳述不是數(shù)學命題 這個三角形是美的 僅供判斷，下面兩個陳述都是數(shù)學命題 三角形內角和180度 三角形內角和120度 直接推理：對命題的直接判斷 一般推理：一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程,,邏輯推理：命題的內涵之間存在一條主線、具有傳遞性。 A P，x A， x P。 x P，x A， A P。 前者：凡人都有死。蘇格拉底是人。/ 蘇格拉底有死。 后者：蘇格拉底是人，蘇格拉底有死。 柏拉圖是人，柏拉圖有死。/ 凡人都有死。 非邏輯推理：命題的內涵之間不存在一條主線、無傳遞性。 蘋果是

9、酸的，酸是一種味道，蘋果是一種味道。 兩種邏輯推理 演繹推理：命題內涵由大到小。從一般到特殊。 歸納推理：命題內涵由小到大。從特殊到一般。,演繹推理,演繹推理需要前提：公理或者假設。 “數(shù)與代數(shù)”演繹推理的前提 命題1 等式（不等式）關系具有傳遞性。 a = b (a b），b = c (a b） a = c (a c） 命題2 等式（不等式）兩邊加減相同的量，等式（不等式）不變。 a = b (a b） a + c = b + c (a + c b + c） a - c = b - c (a - c b - c）,演繹推理,加上一個正數(shù)比原來的數(shù)大。

10、 符號表示：對于任意的數(shù) a 和正數(shù) b，有 a + b a。 因為 b 為正數(shù)，所以 b 0 在上面不等式兩邊分別加上 a，由命題 2 得到 a + b a 結論成立。 利用類似的方法可以證明對稱命題： 加上一個負數(shù)比原來的數(shù)小。,演繹推理,減去一個正數(shù)等于加上這個正數(shù)的相反數(shù) 減去一個正數(shù)比原來的數(shù)小 用數(shù)學符號表示這個命題： a - b = a + (-b) 其中b 0。因為“減法是加法逆運算”： a - b = x a = b + x 由命題2，在右邊等式的兩邊分別加上（-b）等式不變： a + (-b) = b + (-b) + x。 根據(jù)相反數(shù)的定義：

11、a + (-b) = x。由命題 1： a - b = x = a + (-b),演繹推理,減去一個負數(shù)等于加上這個負數(shù)的相反數(shù)。 減去一個負數(shù)等于加上一個正數(shù)。 減去一個負數(shù)比原來的數(shù)大。 用數(shù)學符號表示這個命題 a - (-b) = a + b 令 x = a + b。等式分別兩邊加上b的相反數(shù)（-b），由命題2 x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的兩邊同時減去(-b)，再由命題2： x + (-b) (-b) = a (-b) 因為同樣的數(shù)相減為 0：x = a (-b)。由命題1： a - (-b) = a + b,演繹推理,演

12、繹推理只能用來驗證知識，不能用來發(fā)現(xiàn)知識。 論證問題的形式是： 已知 A 求證 B 其中 A 和 B 都是確定性命題，沒有新的知識 發(fā)現(xiàn)知識需要下面兩個能力： 從條件預測結果的能力，從結果探究成因的能力 因此，需要歸納推理：從經驗過的東西推斷未曾經驗的東西,歸納推理,歸納推理需要前提：經驗或者想象 經驗：從個別到一般，從具體到符號 加法交換律 3 + 5 = 8，5 + 3 = 8 3 + 5 = 5 + 3 6 + 9 = 15，9 + 6 = 15 6 + 9 = 9 + 6 3 + (-2) = 1，(-2) + 3 = 1 3 + (-2) = (-2) +

13、3 a + b = b + a 結論的正確與否需要演繹證明,歸納推理,探究成因 混合運算：先算括號、先乘除后加減 為什么？舉例說明 (3 + 2)6 = 56 = 30 3 + 26 = 3 + 12 = 18 上： 一隊同學，每排3名女生2名男生，共6排，問有多少同學。 下：操場上有3名同學，又來了一隊同學，2人一排共6排，問現(xiàn) 在操場上有多少同學。 現(xiàn)在同學數(shù) = 原來同學數(shù) + 后來同學數(shù) = 3 + 26 混合運算講兩個以上的故事。 除分數(shù)等于乘這個分數(shù)的倒數(shù),歸納推理,類比的方法：幾何 一個點把直線分為兩個部分。如何表達？ 一條直線把

14、平面分為兩個部分。如何表達？兩條直線呢？ 一個平面把空間分為兩個部分。如何表達？兩個平面呢？ 數(shù)學推理：通過歸納推理得到結論，通過演繹推理證明結論。 因為歸納推理和演繹推理都是是邏輯推理， 因此數(shù)學的結果具有一般性和嚴謹性，進而具有應用的廣泛性。,,四、小學數(shù)學中的模型,抽象：把現(xiàn)實世界的數(shù)量與關系、圖形與關系引到數(shù)學 推理：基于概念得到命題，數(shù)學自身得到發(fā)展 模型：把數(shù)學的結果一般性地應用于現(xiàn)實世界，回歸現(xiàn)實 模型：是溝通數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁 用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界的故事 力是什么？ F = ma 重力是什么？ s = gt2/2,,課標中主要要求兩個模型 總量模型（加法模型）：總量

15、 = 部分 + 部分 部分 = 總量部分 順序模型：現(xiàn)在 = 過去 + 變化 路程模型（乘法模型）：路程 = 速度 時間 速度 = 路程 / 時間 植樹模型、工程模型,,如果在我國的中小學數(shù)學教育中 一方面保持“數(shù)學雙基教學”合理的內核，一方面又添加了“基本思想”和“基本活動經驗”，必將會出現(xiàn)既有“演繹能力”又有“歸納能力”的培養(yǎng)模式。 就必將會出現(xiàn)“外國沒有的我們有，外國有的我們也有”的局 面，到了那一天，我們就能自豪地說，中國的基礎教育領先于 世界。,,謝謝！,,改造于九章算術方程篇第八題。 在漢朝的時候，有一個人做了三次

16、牲畜買賣，收支情況如下： 第一次 賣牛收入24錢，賣羊收入25錢，買豬支出39錢，合計收入10錢； 第二次 賣牛收入36錢，買羊支出45錢，賣豬收入90錢，合計收支相當； 第三次 買牛支出60錢，賣羊收入30錢，賣豬收入24錢，合計支出6錢。 如何用數(shù)學的方法表達？,,文字形式 牛 羊 豬 合計 第一次 收入24 收入25 支出39 收入10 第二次 收入36 支出45 收入90 0 第三次 支出60 收入30 收入24 支出6 數(shù)字形式 牛 羊 豬 合計 第一次 24 25 -39 10 第二次 36 -45 90 0 第三次 -60 30 24 -6 負數(shù)與自然數(shù)：數(shù)量相等（絕對值）、意義相反。,,,除以一個分數(shù)等于乘這個分數(shù)的倒數(shù)。為什么？ 有鵝4只，是鴨子的三分之一，問有幾只鴨子？ 教學目的：4 1/3 = 4 3 = 12 為什么用除法：有鵝4只，是鴨子的2倍，問有幾只鴨子？ 為什么乘倒數(shù)：破題，解釋什么是1/3 1只鵝對應3只鴨子，2只鵝對應6只鴨子，3只鵝對應9只鴨子， 所以：4只鵝對應12只鴨子。,,