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1、第四章 操作臂逆運動學,4.1 概述 4.2 可解性 4.3 當n<6時操作臂子空間的描述 4.4 代數(shù)解法與幾何解法 4.5 通過化簡為多項式的解法 4.6 三軸相交的PIEPER解法（閱讀） 4.7 PUMA560機器人的逆運動學問題（閱讀） 4.8 標準坐標系 4.9 重復精度和定位精度 4.10 計算問題,2,4.1 概述,操作臂的逆運動學：已知操作臂末端笛卡爾空間的位置和姿態(tài)，如何計算一系列滿足期望要求的關(guān)節(jié)角。,即已知齊次矩陣：H,求出滿足要求的關(guān)節(jié)變量：,3,4.2 可解性,求解操作臂的逆運動學是一個非線性方程。,對于PUMA560 中，旋轉(zhuǎn)矩陣生成9個方程，只有3個是獨立的

2、（因為正交矩陣只有三個獨立參數(shù)）。再加上位置生成3個方程，共6個方程，6個未知數(shù)，是一個非線性超越方程。,對于PUMA560 中，有意義的方程一共12個。因為齊次矩陣最后一行為0 0 0 1。,4,解的存在性,工作空間：操作臂末端執(zhí)行器所能達到的范圍。,靈巧工作空間：操作臂末端執(zhí)行器能夠從各個方向達到的空間區(qū)域。,可達工作空間：操作臂末端執(zhí)行器至少從一個方向有一個方位可以達到的空間區(qū)域。,靈巧工作空間是可達工作空間的一個子集。,5,如果 可達工作空間為半徑為 的圓。而靈巧工作空間僅為單獨的一點（圓心）。,如果 則不存在靈巧工作空間，而可達空間為半徑為 的圓環(huán)。,如

3、果 ，而 ，則工作空間同上（圓環(huán)）而此時僅有一個方位可以達到工作空間的每一點。,當一個操作臂少于6個自由度時，它在3維空間內(nèi)不可能達到全部位姿（因為至少需要6個自由度）。上圖中操作臂不能伸出平面，因此凡是Z坐標不為0的點均不可達。,6,一個值得研究的問題是：對于少于6個自由度的操作臂，它的工作空間是什么？給定一個確定的一般坐標系，什么是最近的可達目標坐標系。,用戶關(guān)心的是工具坐標系T的工作空間，而一般常去研究腕部坐標系W的工作空間。我們研究的工作空間和用戶關(guān)心的工作空間是有區(qū)別的。但問題的實質(zhì)是一樣的，即操作臂的逆運動學問題（Inverse Kinematics）。,如果

4、腕部坐標系的期望位姿在這個工作空間內(nèi)，那么至少存在一個解。,7,對于三連桿平面操作臂，虛線表示第二個解。此問題存在兩個解。,多重解問題（解的唯一性問題）,8,對于多解問題，應選擇最小行程解。例如處于A點想要達到B點，就選擇上部虛線。這樣相當于對逆運動學程序中輸入一個小的位移即可。,最小行程解可能有幾種確定方式。例如，有3個大的連桿，附帶有3個小的連桿。選擇側(cè)重于小的連桿，而不是大的連桿。但有障礙物的情況下，只能選擇較長行程解。,9,解的個數(shù)取決于操作臂的關(guān)節(jié)數(shù)量，它是連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)運動范圍的函數(shù)。,PUMA560機器人到達一個確定目標有8個不同的解，下圖列出4個解，另外4個是：,10,連桿的非

5、零參數(shù)越多，達到某一特定目標的方式越多；對于一個全部為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的6自由度操作臂來說，可能多大16種解。,11,解法,如果關(guān)節(jié)變量能夠通過一種算法確定，這種算法可以求出與已知位姿相關(guān)的全部關(guān)節(jié)變量，稱操作臂是可解的。,解法分為兩大類： （1）封閉解：有限次初等運算得到的解； （2）數(shù)值解：經(jīng)過迭代得到的解。,12,封閉解又稱解析解，可以分為： （1）代數(shù)法 （2）幾何法,所有包含旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和移動關(guān)節(jié)串連型6自由度機構(gòu)是可解的。但一般為數(shù)值解。只有在極少情況下存在解析解。存在解析解的操作臂具有如下特性：存在幾個正交軸或平行軸。 數(shù)值解一般比解析解耗時，因此在操作臂虛擬設計應該考慮這個問題。,具有6個

6、旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的操作臂存在封閉解的充分條件是相鄰的三個關(guān)節(jié)軸相交于一點。,13,4.3 當n<6時操作臂子空間的描述,對于一個n自由度操作臂（n<6）,可達工作空間可看成是n自由度子空間的一部分。下圖為3R操作臂的子空間,式中x,y給出了腕關(guān)節(jié)的位置， 給出了末端連桿的姿態(tài)。當x,y和 可以取任意值時，就得到了子空間。,14,例：如下圖給出兩自由度極坐標操作臂 的子空間,解：一旦給定了x,y， 的方向也就確定了， 的方向向下，從而根據(jù)右手規(guī)則：,已知：,15,現(xiàn)在：,根據(jù)第二章旋轉(zhuǎn)矩陣的寫法：,則齊次矩陣為：,16,得到：,對于具有n個自由度操作臂的目標點進行定義，通常采用n個參數(shù)來確定這個目標點

7、。也就是說，確定的目標點有6個自由度，一般自由度n<6的操作臂是無法達到這個目標點的，在這種情況下，可尋找一個位于操作臂子空間內(nèi)的可達目標點代替原目標點，并且和原目標點盡可能接近。,17,4.4 代數(shù)解法和幾何解法,代數(shù)解法 以3R操作臂為例,18,19,由于是平面操作臂，其變換形式只能是這種形式：,現(xiàn)在的問題是：已知上述矩陣，并令和上述矩陣相等，如何求：,20,首先寫出矩陣元素對應方程：,最后兩行平方相加：,利用下述公式：,21,得到,這要求上式右端的值在-1和1之間（利用這個約束可以檢查解是否存在）。便可求得正弦值：,這樣就得到,下面求,22,首先展開最后兩個等式：,其中：,作如下的變換,

8、則有：,4.1,23,代入,再根據(jù)余弦、正弦倍角公式：,再根據(jù)帶象限的反正切公式：,24,這樣就得到,利用前兩個等式，得到,由于 已經(jīng)求出，這樣就得到,這相當于操作臂的逆運動學逆問題就解決了。,25,幾何解法,求解方法是：將操作臂的空間 幾何參數(shù)分解成平面幾何參數(shù)。 然后應用平面幾何方法進行求解。,本例為3R操作臂，連桿在同一 平面內(nèi)，可以直接進行求解。,本例連桿 、連桿 以及坐標系0和坐標系3的連線構(gòu)成一三角形，虛線表示另外一種情況。根據(jù)余弦定理：,注意，夾角的計算。,26,利用,得到,為了要求構(gòu)成三角形，即要求：,必須滿足條件：,取值范圍為：,上述方程的另外一個解為：,這樣就求得了,27

9、,下面求,根據(jù)圖，利用反正切公式和余弦公式可知,因為是三角形的內(nèi)角，規(guī)定,就得到：,其中正負號的取值和 的取值相對應 ：,上式取+,上式取-,28,平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角度是可以相加的，因此,而,這樣就求得 。,29,4.5 通過化簡為多項式的解法,把超越方程變換為代數(shù)方程,利用萬能公式：,就可以化為多項式方程。,30,例：求解下述方程：,按照上述公式展開：,化簡,解得,得到：,31,如果,對于4次（或低于4次）的多項式一定存在封閉解，可以用4次（或低于4次）的多項式方程求解的操作臂，稱為封閉操作臂。,32,4.6 三軸相交的PIEPER解法,Pieper研究了3軸（最后三個軸）相交于一點的6R

10、操作臂。,最后三個軸456相交于一點.,利用D-H參數(shù) 上述只利用了平移，沒有旋轉(zhuǎn)，所以沒有出現(xiàn)角度,33,進一步計算得到：,利用D-H參數(shù)展開得：,式中：,34,現(xiàn)在寫出： 平方的表達式： 可以看出：,再一次利用D-H參數(shù)展開得：,式中：,35,得到：,寫出r和z方向的方程：,式中：,36,現(xiàn)在求解,（1） 僅為 的函數(shù)，可 以用萬能公式求解。,（2） ，再次利用 萬能公式進行求解。,（3）否則，消除 得到：,利用萬能公式，得到一個四次方程。進而可以求解。,37,現(xiàn)在已經(jīng)求解出：,再根據(jù)：,求出：,再根據(jù)：,求出：,這

11、樣就求出：,38,現(xiàn)在求解：,因為 已經(jīng)求出，所以 可以求出。,從而,求出。 這是一個3個Euler角 的旋轉(zhuǎn)矩陣,根據(jù)第二章,便可求出：,39,4.7 PUMA560機器人的逆運動學問題,當PUMA560 已知，通過下列方程,求解：,40,將含有 的部分移到方程的左邊：,將 轉(zhuǎn)置，得到：,令上述等式的元素（2，4）相等，在（313）中為： ，這樣得到：,41,利用三角恒等變換：,式中,因此,即,42,從而得到,因此,因此 的解為：,43,平方相加并且和課本（457）平方相加，得到,現(xiàn)在 已知。令課本式（456）中元素（1，4）和（3，4）元素

12、相等（注意課本（313）中的表達式）,其中,44,采用同樣的方法，得到 的解：,重新整理（454），使公式左邊只含有 為變量,即,45,式中 由第3章的式（311）確定。令上式兩邊的元素（1，4）和元素（2，4）相等，得到,聯(lián)立方程得：,46,上式分母相等，且均為正數(shù)，則：,根據(jù) 和 解的4種可能，根據(jù)上式計算 4個值：,令課本（457）中兩邊的元素（1，3）和（3，3）分別相等，得,47,只要 ，便可得出,當 時，操作臂處于奇異位形，此時關(guān)節(jié)軸4和關(guān)節(jié)軸6成一條直線，機器人末端連桿的運動只有一種。在這種情況下，所有結(jié)果（所有可能的解）都是 和 的和或

13、差.,注意上式要求 ，即要求：,改寫式（454），使公式左邊均為已知的函數(shù)：,由下式給出,48,令（477）兩邊的元素（1，3）和元素（3，3）分別相等，得到，,由此可以得出,49,令（481）兩邊的元素（1，1）和元素（3，1）分別相等，得到：,再次利用上述方法，可以計算出 ，并將（454）寫成如下的形式：,式中：,50,由于在式（464）和式（468）中出現(xiàn)了 號 ，因此這些方程可能有4種解。另外由于操作臂的翻轉(zhuǎn)可得到另外4種解，由腕關(guān)節(jié)的翻轉(zhuǎn)可得到,當計算出所有8種答案以后，由于關(guān)節(jié)運動范圍的限制要將其中的一些解（甚至全部）舍去。在余下的有效解中，通常選取一個最接近

14、于當前操作臂的解。,51,52,4.8 標準坐標系,基坐標系B 工作臺坐標系S 腕坐標系W 工具坐標系T 目標坐標系G,53,1 由用戶確定工作臺坐標系的位置，這個坐標系可能在工作臺的角點上。工作臺坐標系S是相對于基坐標系B定義的。,54,2 由用戶確定工具坐標系T。以不同的方式抓持相同的工具，工具坐標系T的定義是不同的。工具坐標系T是相對于腕坐標系W定義的。,3 由用戶確定目標坐標系G。在許多系統(tǒng)中，工具坐標系定義 是一個常量。,4 機器人運動需要計算一系列關(guān)節(jié)角，工具坐標系從初始位置運動到T=G時結(jié)束。,55,4.9 操作臂求解,SOLVE可以作為逆運動學函數(shù)， SOLVE利用工具坐標系

15、和工作臺坐標系的定義來計算W相對于B的位置,然后，逆運動學將 作為輸入，計算 。,56,4.10 重復精度和定位精度,定位精度是指：操作臂實際達到的位置與目標位置之差。,重復定位精度是指：操作臂重復定位于目標位置的能力。,示教點：操作臂運動實際達到的點。,計算點：從未示教的點。,受D-H參數(shù)的影響。,57,4.11 計算問題,求解關(guān)節(jié)角度的能力實際上是機器人控制系統(tǒng)的核心問題。,在許多路徑控制方法中，需要以相當高的速率計算操作臂的逆運動學問題。比如30Hz，有的甚至更快。,（1）Atan2用查表法進行計算； （2）用并行計算算出所有解； （3）多于多解問題，計算第一個解相當費時，但通過計算角度的和或差以及加減pi等方法可以很快得到其余的解。,58,第四章習題,課本pp104105：Matlab習題,