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1、【課標(biāo)要求】,第3課時(shí) 空間向量與空間角,【核心掃描】,理解直線與平面所成角的概念 能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題 體會(huì)用空間向量解決立體幾何問題的三步曲,向量法求解線線、線面、面面的夾角(重點(diǎn)) 線線、線面、面面的夾角與向量的應(yīng)用(難點(diǎn)),1,2,3,1,2,想一想：當(dāng)一條直線l與一個(gè)平面的夾角為0時(shí)，這條直線一定在平面內(nèi)嗎？ 提示不一定，這條直線還可能與平面平行,自學(xué)導(dǎo)引,投影,夾角,0,空間中的角,|cosa，b|,2,|cosa，n|,|cosn1，n2|,試一試：若二面角 l 的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1，n2，試判斷二面角的平面角與兩法向量夾角n1，n2的關(guān)系 提

2、示相等或互補(bǔ),兩異面直線所成角的求法 (1)平移法：即通過平移其中一條(也可兩條同時(shí)平移)，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線，然后通過解三角形獲解,名師點(diǎn)睛,1,直線與平面所成角的求法 (1)幾何法：找出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成角就是線面角，可通過解由斜線段、垂線段和射影線段構(gòu)成的直角三角形獲解,2,二面角的求法 (1)幾何法：作出二面角的平面角，然后通過解三角形獲解 (2)向量法：設(shè)二面角 l的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1，n2. 當(dāng)平面、的法向量與、的關(guān)系如圖所示時(shí)，二面角 l 的平面角即為兩法向量n1，n2的夾角n1，n2,3,當(dāng)平面、的法向量與、的關(guān)系如圖所示時(shí)，二面角 l 的平面

3、角與兩法向量n1，n2的夾角n1，n2互補(bǔ),題型一求異面直線的夾角,正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點(diǎn)，求異面直線AE與CF所成角的余弦值,【例1】,解不妨設(shè)正方體棱長為2，分別取DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,規(guī)律方法 在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時(shí)，若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解但應(yīng)用向量法時(shí)一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別,四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60，在四邊形ABCD中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2. (

4、1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B、P的坐標(biāo)； (2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值,【變式1】,解(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 ADCDAB90， AB4，CD1，AD2. A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0) 由PD平面ABCD，得,思路探索 利用正三棱柱的性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線面角，取A1B1的中點(diǎn)M，連結(jié)C1M，證明C1AM是AC1與平面A1ABB1所成的角；另一種是利用平面A1ABB1的法向量n(，x，y)求解,題型二求線面角,【例2】,規(guī)律方法 用向量法求線面角的一般步驟是：先利用圖形的幾何特征建立適

5、當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，再用向量有關(guān)知識(shí)求解線面角法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線夾角，再進(jìn)行換算,【變式2】,(12分)如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)，求二面角AA1DB的余弦值,題型三二面角的求法,【例3】,規(guī)范解答如圖所示，取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO.因?yàn)锳BC是正三角形，所以AOBC，因?yàn)樵谡庵鵄BC A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.,【題后反思】 幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該方法的一大難點(diǎn)而用向量法求解二面角，無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為兩直線

6、(或兩向量)所成的角，通過向量的數(shù)量積運(yùn)算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性,【變式3】,空間向量的具體應(yīng)用主要體現(xiàn)為兩種方法向量法和坐標(biāo)法這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點(diǎn)、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，最后把運(yùn)算結(jié)果回歸到幾何結(jié)論這樣就把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量來研究，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想,方法技巧化歸與轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何問題,(1)證明：直線MN平面OCD； (2)求異面直線AB與MD所成角的大小 思路分析建系求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)求相關(guān)向量坐標(biāo)向量運(yùn)算結(jié)論 解作APCD于點(diǎn)P，分別以AB，AP，AO所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示，,【示例】,單擊此處進(jìn)入 活頁規(guī)范訓(xùn)練,