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1、第三章 恒定磁場,下 頁,4.電感、能量的計算,重點：,2.恒定磁場的基本方程和分界面銜接條件,1.磁感應強度、磁通、磁化、磁場強度的概念,3.磁位問題,客觀意義,下 頁,上 頁,1. 研究磁場的意義,磁現(xiàn)象是客觀存在，是我們了解和認識自然不可缺少的一部分。,理論意義,導體中有電流，在導體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中就不僅有電場還有磁場，磁的本質(zhì)是動電現(xiàn)象，僅研究電場是不全面的。,工程意義,許多工程問題與電流的磁效應有關(guān)，需要知道磁場分布、磁力、電感的大小。,當導體中通有恒定電流時，在空間產(chǎn)生不隨時間變化的磁場，稱為恒定磁場。,分析恒定電流產(chǎn)生的恒定磁場與分析靜止電荷產(chǎn)生的靜電場在思路和方法上有許多共

2、同之處，可以采用類比的方法。但由于磁是動電現(xiàn)象，因此與靜電場又有本質(zhì)的不同，有其本身的特點，在學習中必須掌握這些特點。,下 頁,上 頁,恒定磁場,研究恒定磁場的方法,1. 安培力定律,安培經(jīng)過大量的實驗確定了磁場對一個恒定電流元作用力的大小及方向：,3.1 安培力定律 磁感應強度,下 頁,上 頁,磁感應強度或磁通密度,定義,T（Wb/m2）,安培力,1T=104（GS）,洛侖茲力,電流是電荷以某一速度運動形成的，所以磁場對電流的作用可以看作是對運動電荷的作用。,下 頁,上 頁,洛侖茲力,洛倫茲力與庫侖力比較,洛侖茲力只作用于運動電荷，而庫侖力作用于運動和靜止電荷。,洛侖茲力垂直于磁感應強度，而

3、庫侖力平行于電場強度,洛侖茲力垂直于電荷運動方向，只改變電荷運動方向，對電荷不做功，而庫侖力改變電荷運動速度做功。,安培力定律,描述兩個電流回路之間相互作用力的規(guī)律。,,下 頁,上 頁,,,,,,,,真空中,,,,,,,,,受到I1的作用力為,受到I1的作用力為,真空中,,下 頁,上 頁,注意,安培定律說明兩載流元之間的作用力與兩電流的乘積成正比，與它們之間的距離成反比，方向為：,電流回路之間的作用力滿足牛頓第三定律：F12=F21,式中0為真空中的磁導率，它與真空電容率和真空中光速滿足關(guān)系：,,得任一電流I在空間任意點產(chǎn)生的磁感應強度,2. 畢奧沙伐定律 磁感應強度,下 頁,上 頁,從場的觀

4、點出發(fā)，認為電流之間的相互作用力是通過磁場傳遞的。,畢奧沙伐定律,注意,畢奧沙伐定律只適用于恒定磁場中無限大均勻媒質(zhì)。,下 頁,上 頁,畢奧沙伐定律是重要的實驗定律，它的重要性在于定量的描述了電流和它產(chǎn)生的磁場之間的關(guān)系，進而可以導出磁場的基本性質(zhì)。,對于面分布和體分布電流，畢奧沙伐定律表述為：,面電流的磁場,體電流的磁場,磁感應強度,,,,,,當,B的大小為長度為1個單位,電流強度為1個單位的 電流受到最大的力,B的方向為受力最大時,B的大小為電量為1個單位,速度為1個單位的運動電荷受到最大的力,B的方向為受力最大時,磁感應強度,單位 特斯拉Ts,,,,,,,,,,,,線電流環(huán)產(chǎn)生的磁場,一

5、段線電流的磁場,,,,電流元的磁場,,,,,,例1求真空中長為L電流為I的載流直導線的磁場。,,,,,解:,建立坐標系,線電流元的磁場,,,,,,,,,,,例2求半徑為a電流為I的電流圓環(huán)在軸線上的磁感應強度。,,,,,,,,解:,線電流元的磁場,,,,,,,,0,,3.2 真空中的靜磁場基本方程,若S面為閉合曲面,,1. 磁通連續(xù)性定理,下 頁,上 頁,定義穿過磁場中給定曲面S 的磁感應強度B 的通量為磁通：,磁通連續(xù)性定理,單位 韋伯Wb,下 頁,上 頁,注意,磁通連續(xù)性原理也稱磁場的高斯定理，表明磁力線是無頭無尾的閉合曲線，這一性質(zhì)建立在自然界不存在磁荷的基礎(chǔ)上，原理適用于恒定磁場也適用

6、于時變場。,由,,表明恒定磁場是無源場可作為判斷一個矢量場是否為恒定磁場的必要條件。,磁通連續(xù)性原理可以從畢奧沙伐定律中導出,2. 磁力線,下 頁,上 頁,磁場分布可以用表示磁感應強度的磁力線來形象的描述。規(guī)定：,磁力線是一些有方向的曲線，曲線上任一點的切線方向與該點磁感應強度 B 的方向。,磁力線的疏密程度與磁感應強度的大小成正比。,磁力線的性質(zhì)：,B線是閉合曲線；,B線與電流方向成右螺旋關(guān)系；,B線不能相交,磁場強處，磁力線密集，否則稀疏。,下 頁,上 頁,導線位于鐵板上方,長直螺線管的磁場,下 頁,上 頁,下 頁,上 頁,3. 真空中的安培環(huán)路定律,以無限長直載流導線的磁場為例,若積分回

7、路沒有和電流交鏈,下 頁,上 頁,由于積分路徑是任意的，所以有一般規(guī)律,真空中的安培環(huán)路定律,注意,定律中電流I 的正負取決于電流的方向與積分回路的繞行方向是否符合右螺旋關(guān)系，符合時為正，否則為負。,表明在真空的磁場中，沿任意回路磁感應強度B的線積分等于真空磁導率乘以穿過回路限定面積上電流的代數(shù)和。,定律中的B是整個場域中所有電流的貢獻。,下 頁,上 頁,由,,恒定磁場是有旋場,試求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應強度。,安培定律示意圖,安培環(huán)路定律,下 頁,上 頁,解,例,故,下 頁,上 頁,同軸電纜的磁場分布,得到,得到,4.真空中的磁場方程,比奧薩伐(Biot-savert)定律,,,,,

8、真空中磁場方程,磁通連續(xù) 磁力線是無頭無尾的,安培環(huán)路定律 磁場是渦旋場 電流是渦旋分布的磁場的源,磁場是有旋無散場 旋度源是電流密度,3.3 磁位,1 矢量磁位 A,定義：由,,磁矢位,注意,1 A是從矢量恒等式得出，是引入的輔助計算量，無明確的物理意義；,2 A適用于整個磁場區(qū)域；,磁矢位 A 也可直接從 Biot - Savart Law 導出,A的單位 Wb/m（韋伯/米）,2 . 磁矢位 A 的求解,應用磁矢位A求解恒定磁場問題也可以分為場源問題和邊值問題。,1）磁矢位A的邊值問題,因,恒定磁場中A滿足庫侖規(guī)范,從基本方程出發(fā),矢量運算,矢量泊松方程,,在直角坐標系下， 可展開

9、為,類比靜電場方程,也可得磁矢位方程特解（以為磁矢位參考點）,,以為磁矢位參考點,2）磁矢位A的場源問題,面電流與線電流引起的磁矢位為,注意,上式應用的條件為媒質(zhì)均勻且各向同性；,從上式可以證明,從上式可以看出磁矢位的方向與電流方向一致。,應用磁矢位 A，求空氣中長直載流細導線產(chǎn)生的磁場。,解,例,在xy平面,,定性分析場分布，,磁感應強度,3 標量磁位,1. 磁位 m 的定義,無電流區(qū),,,,磁位 僅適合于無電流區(qū)域;,下 頁,上 頁,2. 磁位 m 的性質(zhì),磁位 沒有物理意義,等磁位面（線)方程為 常數(shù)，等磁位面（線） 與磁場強度 H 線垂直;,磁位 A（安培）,規(guī)定: 積分路徑不得穿過磁

10、屏障面。,下 頁,上 頁,是多值函數(shù)。,下 頁,上 頁,注意,磁位的多值性不影響B(tài)和H值。,鐵磁物體表面是等磁位面。,,在磁場中可以引入等磁位線。,等磁位線與等電位線的類比,線電流 I 位于兩鐵板之間的磁場,線電荷 位于兩導板之間的電場,下 頁,上 頁,4. 磁位 m 的求解,1） 磁位 m 的邊值問題,分界面上的銜接條件,（僅適用于無電流區(qū)域）,,下 頁,上 頁,磁場中有不同磁介質(zhì)時，要分區(qū)域建立方程。,單根載流導線，取柱坐標,求長直載流導線的磁位。,下 頁,上 頁,解,例,,,下 頁,上 頁,2） 用類比法求磁位 m,在電流等于零的區(qū)域磁位滿足的關(guān)系式與電荷等于零的區(qū)域靜電場電位滿足的關(guān)系

11、式相似，所以兩者的解答可以類比。,對應關(guān)系,引入磁位的意義,恒定磁場的問題可以歸為求解磁位滿足的邊值問題；,使靜電場、恒定電場和恒定磁場互相聯(lián)系；,下述兩個場能進行磁電比擬嗎？,由于兩種場均滿足拉普拉斯方程，且邊界條 件相同，所以可以磁電比擬。,討論,下 頁,上 頁,恒定磁場與恒定電流場的比擬,3.4 磁偶極子 媒質(zhì)的磁化,下 頁,上 頁,幾乎所有的氣體、液體和固體，不論其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如何，放入磁場中都會對磁場產(chǎn)生影響，表明所有的物質(zhì)都有磁性，但大部分媒質(zhì)的磁性較弱，只有鐵磁物體才有較強的磁性。,,引入磁場中感受輕微推斥力的物質(zhì)。所有的有機化合物和大部分無機化合物是抗磁體。,抗磁體,,引入磁場中

12、感受輕微吸引力拉向強磁場的物質(zhì)。鋁和銅等金屬是順磁體。,順磁體,鐵磁體,,引入磁場中感受到強吸引力的物質(zhì)（所受磁力是順磁物質(zhì)的5000倍）。鐵和磁鐵礦等是鐵磁體。,注意,抗磁體和順磁體在磁場中所受的力很弱，統(tǒng)稱為非磁性物質(zhì)，其磁導率近似為0。,1）磁偶極子 (magnetic dipole),( magnetic dipole moment ),下 頁,上 頁,可以用原子模型來解釋物質(zhì)的磁性,,面積為dS的很小的載流回路，場中任意點到回路中心的距離都遠大于回路的線性尺度。,2）媒質(zhì)的磁化,,電子自旋磁矩,原子的凈磁矩為所有電子的軌道磁矩和自旋磁矩所組成。,無外磁場作用時，媒質(zhì)對外不顯磁性，,在

13、外磁場作用下，磁偶極子發(fā)生旋轉(zhuǎn)，,下 頁,上 頁,媒質(zhì)中原子的凈磁矩對外的效應相當于一個磁偶極子。,轉(zhuǎn)矩為 Ti=miB ，旋轉(zhuǎn)方向 使磁偶極矩方向與外磁場方向一 致，對外呈現(xiàn)磁性，稱為磁化現(xiàn)象。,磁化強度（magnetization Intensity）,（A/m）,圖磁偶極子受磁 場力而轉(zhuǎn)動,下 頁,上 頁,單位體積內(nèi)的凈偶極距,3） 磁化電流,媒質(zhì)磁化的結(jié)果是在表面形成磁化電流。,下 頁,上 頁,體磁化電流,可以證明面磁化電流,有磁介質(zhì)存在時，場中的 B 是傳導電流和磁化電流共同 作用在真空中產(chǎn)生的磁場。,磁化電流是一種等效電流，是大量分子電流磁效應的表示。,下 頁,上 頁,,斯托克斯

14、定理,,,注意,,4） 磁偶極子與電偶極子對比,下 頁,上 頁,媒質(zhì)中的磁場 磁場強度,則有,下 頁,上 頁,安培環(huán)路定律,若考慮磁化電流的作用,移項后,下 頁,上 頁,,對于線性均勻各向同性的磁介質(zhì),磁化率,,相對磁導率,H 的旋度,表明恒定磁場是有旋場，電流是恒定磁場的漩渦源。,B 與 H 的關(guān)系,平行平面磁場，且軸對稱，故,有一磁導率為 ，半徑為 a 的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流 I，圓柱外是空氣 0 ，試求 B，H 與 M 的分布，并求磁化電流。,下 頁,上 頁,解,例,,,下 頁,上 頁,,導磁圓柱 = 0 及 =a 處有面磁化電流,下 頁,上 頁,方向,,例2 同軸電

15、纜內(nèi)導體直徑為R1,外導體內(nèi)外壁半徑分別為R2和R3,導體的磁導率 為0,內(nèi)外導體之間的介質(zhì)磁導率為.當同軸電纜內(nèi)外導體回路的電流為 I時,求同軸電纜內(nèi)的磁感應強度.,解:,設同軸電纜內(nèi)外導體中的電流均勻分布,內(nèi)導體電流密度,外導體電流密度,取閉合回路為半徑為R的圓,1. 基本方程,積分方程,（磁通連續(xù)原理）,（安培環(huán)路定律）,恒定磁場的性質(zhì)是有旋無源,電流是激發(fā)磁場的渦旋源。,3.5 基本方程 分界面銜接條件,下 頁,上 頁,微分方程,構(gòu)成方程,F2不能表示恒定磁場。,F1可以表示恒定磁場。,試判斷下列矢量能否表示為一個恒定磁場？,下 頁,上 頁,解,例,2 . 分界面上的銜接條件,1

16、. B 的銜接條件,表明B 的法向分量在分界面連續(xù),下 頁,上 頁,分界面上 B 的銜接條件,,,表明H 的法向分量在分界面不連續(xù),根據(jù),,2. H 的銜接條件,表明H 的切向分量與分界面上的線電流密度滿足右螺旋關(guān)系。,下 頁,上 頁,分界面上 H 的銜接條件,根據(jù),,,分析鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面情況。,3. 折射定律,設媒質(zhì)均勻、各向同性，分界面 Js=0,折射定律,下 頁,上 頁,,,解,例,表明只要 ，空氣側(cè)的B 與分界面近似垂直。,解,例,T,例1. 已知導磁率為、帶氣隙的環(huán)形磁芯，氣隙寬度為d，比圓形磁芯材料截面半徑小的多，磁芯上密繞了N匝線圈。當線圈中的電流為I時，求氣隙中的磁感應

17、強度。,,,解：,忽略磁芯外的漏磁通，磁芯中的磁力線也是與磁芯表面同軸的圓環(huán),對磁芯中半徑為r的磁力線圓環(huán)，,,在磁芯的氣隙表面,,,,,電磁感應定律,,,當穿過一個閉合回路所圍成的曲面的磁通隨時間變化時，沿閉合回路就有感應電動勢， 感應電動勢與磁通隨時間的變化率成正比， 其方向符合楞次定律:,感應電動勢企圖阻止磁通的變化，或者說， 感應電動勢引起的感應電流產(chǎn)生的磁場企圖阻止磁通的變化。,,磁通的變化有兩種基本情況:,a)回路不動,磁場變化 b)磁場不變化,回路變化,3.6 自感、互感以及磁場能量,a)回路不動,磁場變化,由斯托克斯定理,變化的磁場產(chǎn)生渦旋的電場 變化的磁場是電場的旋度源,,,

18、,電感,1) 磁通與磁鏈,,,回路的磁通與回路的電流強度成正比。,,,,,,,如果將穿過一曲面的磁通用磁力線的條數(shù)表示,,一回路的磁鏈m是指 和該電流回路相交鏈的磁力線的總條次數(shù),,磁力線與電流回路有 單次交鏈， 多次交鏈， 部分交鏈等多種交鏈形式,一個多匝導線回路放在變化的磁場中 該回路的感應電動勢 與該回路的磁鏈隨時間的變化率成正比.,2) 導線回路的電感,,,,,,,在線性媒質(zhì)中，電流回路的磁鏈與電流I成正比,,導線回路的電感，單位為H,電感與導線回路的形狀以及周圍媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，與導線中的電流無關(guān).,3) 自感與互感,對于線性媒質(zhì)中的兩個載流導線回路,,,,,,,,

19、,,,,,,,,電感表示導線回路之間 通過磁場的耦合程度,3) 聶以曼公式,計算兩個單導線回路的互感,,,,,,如果不限定電流的方向，互感可正可負,規(guī)定兩線圈電流的相對方向， 規(guī)定兩線圈的同名端，使兩線圈電流產(chǎn)生的磁場同向 互感為正,例1：計算位于真空中的一無限長的直導線與一位于同一平面，相距為d的矩形導線回路之間的互感。,,,,,,解:,由于無限長的直導線電流產(chǎn)生的磁場容易計算，因此利用直線電流在矩形回路中的磁通計算互感。,,設長直導線的電流為I,在矩形導線回路面上的磁場為,,,,,,,, 媒質(zhì)為線性、均勻、各向同性，自感和互感系數(shù)為常數(shù)；, 磁場建立無限緩慢（不考慮渦流及輻射）；, 系統(tǒng)能

20、量僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)，與能量的建立過程無關(guān)。,討論的前提條件,1. 恒定磁場中的能量,磁場能量,磁場能量是在建立磁場過程中從與各導體相連接的電源中取得的，恒定磁場的能量與電場能量一樣只與場的強度和分布有關(guān)，而與場的建立過程無關(guān)。,,設,電源必須克服回路中的感應電動勢做功,t時刻，k回路中的感應電動勢為,,即,用電感系數(shù)表示能量,K=1 單個回路,K=2 兩個回路,K個回路,=自有能量+互有能量,,2 磁場能量密度,可以從N個單匝電流回路推導磁場能量密度與磁場強度的關(guān)系,,,例1計算內(nèi)外導體半徑分別為a、b的同軸電纜單位長度的電感。,,,解:,有兩種解法,(忽略外導體壁的厚度),1),2),用第2種方法,設同軸電纜內(nèi)外導體回路的電流為I,且電流均勻分布, 用安培環(huán)路定律計算磁場.,,,,,本章總結(jié),磁感應強度 真空中的磁場方程 磁場中的媒質(zhì) 媒質(zhì)中的磁場方程 邊界條件 電磁感應定理 電感 磁場能量,