《8.8 差分方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《8.8 差分方程（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1．計算下列各題的差分： ⑴； 【解】。 ⑵。 【解】 。 2．求下列差分方程的通解： ⑴； 【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程， ①先求其對應齊次差分方程的通解： 由得，可知通解為， ②再求非齊次線性差分方程的一個特解： 由于方程右邊為一次多項式，可知可以為多項式，而一階差分的結(jié)果比高一次，因此可設(shè)方程有特解， 將該特解代入方程， 得， 即為，對比應有，解之得， 故有， 從而所求方程的通解為。 ⑵； 【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程， ①先求其對應齊次差分方程的通解： 由得，，，可知通解為， ②再求非齊次線性差分方程的一個特解： 由

2、于方程右邊為二次多項式，可知可以為多項式， 再因的結(jié)果與同次，因此可設(shè)為方程的一個特解，代入方程， 得， 即為， 對比應有，解之得， 故方程有特解， 從而所求方程的通解為。 ⑶； 【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程， ①先求其對應齊次差分方程的通解： 由得，，，可知通解為， ②再求非齊次線性差分方程的一個特解： 由于方程右邊含指數(shù)函數(shù)，可知應含， 又因，可知應含多項式，易見所含的多項式與所含的多項式同次，而方程右邊所含多項式為0次的，故可設(shè)所含的多項式為0次的，因此可設(shè)為方程的一個特解，代入方程， 得，整理得，解得， 故有， 從而所求方程的通解為。 ⑷。

3、 【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程， ①先求其對應齊次差分方程的通解： 由得，，，可知通解為， ②再求非齊次線性差分方程的一個特解： 由于方程右邊為0次多項式1，可知可以為多項式， 再因的結(jié)果與同次，因此可設(shè)方程特解為，代入方程，得，亦即，解得即得， 故有， 從而所求方程的通解為。 3．求下列二階差分方程的通解： ⑴； 【解】這是二階常系數(shù)線性齊次差分方程， 其特征方程有兩個相異實根，， 根據(jù)相異特征根，對應方程有兩個特解，， 可知方程有兩個特解為，， 由于常數(shù)，知與線性無關(guān)， 從而得差分方程的通解為。 ⑵； 【解】這是二階常系數(shù)線性齊次差分方程，

4、 其特征方程，方程有兩個共軛復根， 根據(jù)共軛復根對應方程兩個特解，，其中，可得： 由于，，而得， 于是方程有兩個特解為，， 由于常數(shù)，知與線性無關(guān)， 從而得差分方程的通解為 。 ⑶； 【解】這是二階常系數(shù)線性非齊次差分方程， ①先求齊次差分方程的通解： 由于特征方程有兩個實重根， 于是方程有一個特解為， 可以驗證，方程有另一特解為， 由于常數(shù)，知與線性無關(guān)， 從而得差分方程的通解為。 ②再求非齊次差分方程的一個特解： 由于方程右邊為0次多項式3，可知可以為多項式， 再因的運算結(jié)果與同次，因此可設(shè)方程有特解為，代入方程，得， 整理得，即知方程有特解為。 綜上得，方程的通解為。 ⑷。 【解】這是二階常系數(shù)線性非齊次差分方程， ①先求齊次差分方程的通解： 由于特征方程有兩個實重根， 于是方程有一個特解為， 可以驗證，方程有另一特解為， 由于常數(shù)，知與線性無關(guān)， 從而得差分方程的通解為。 ②再求非齊次差分方程的一個特解： 由于方程右邊含因子，可知必含因子, 去掉因子后，還可以含多項式， 因此可設(shè)方程有特解, 代入方程，得， 整理得， 再因的運算結(jié)果比低2次，因此可設(shè)為，代入方程，得， 可取，，即知方程有特解為。 綜上得，方程的通解為。