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1、5 三重積分,一、三重積分的概念,設(shè)空間立體V的密度函數(shù)為,則,其中,積分和,,,把任意分成n,小塊i，任取(iii)i,,定義1,的函數(shù), J是一個確定的數(shù)，,在上可積,,在上的三重積分,記作,積分和,,,,,是定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上,三重積分的可積性條件和性質(zhì)與二重積分相似。,性質(zhì):,例如，,3) 中值定理.,在有界閉域 上連續(xù),,則存在,使得,V 為 的,體積,,二、利用直角坐標系計算三重積分,方法1 .截面法 (“先二后一”),方法2 .投影法 (“先一后二”),方法3 . 三次積分法,先假設(shè)連續(xù)函數(shù),并將它看作某物體,通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算,可用于一般可積函

2、數(shù)的積分計算.,的密度函數(shù) ,,方法:,三種計算方法,方法1. 截面法 (“先二后一”),,,,因此,為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,面密度,,方法2. 投影法 (“先一后二” ),如圖，,注意,因此,該物體的質(zhì)量為,細長柱體微元的質(zhì)量為,,微元線密度,,方法3. 三次積分法,設(shè)區(qū)域,利用投影法結(jié)果 ,,,,,把二重積分化成二次積分即得:,方法1. 截面法 “先二后一”,方法2. 投影法 “先一后二”,方法3. “三次積分”,,,,,,,解,解,如圖，,將,用三次積分表示,,其中由,所,提示:,,練習1,六個平面,圍成 ,,其中V 為三個坐標,計算三重積分,所圍成的閉區(qū)域

3、 .,解:,面及平面,,,,練習2,例6. 計算三重積分,解:,用“先二后一 ”,,練習3,作業(yè)：P251, 1(1)(3), 2(1).,三、三重積分換元法,,1. 利用柱坐標計算三重積分,就稱為點M 的柱坐標.,,直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:,坐標面分別為,,圓柱面,,半平面,,平面,,,,,,,其中為由,練習4. 計算三重積分,所圍成,解: 在柱面坐標系下,及平面,柱面,,半圓柱體.,2. 利用球坐標計算三重積分,直角坐標與球面坐標的關(guān)系,,,,,,,,坐標面分別為,例8. 計算三重積分,解: 在球面坐標系下,所圍立體.,其中,與球面,,,例9.,解.,例10.計算三重積分,解.,練習5.

4、 設(shè)由錐面,和球面,所圍成 , 計算,提示:,,利用對稱性,,,用球坐標,,內(nèi)容小結(jié),三重積分也有類似二重積分的換元積分公式.,被積函數(shù)形式簡潔.,投影,切片,三次積分.,積分區(qū)域多由坐標面圍成;,作業(yè)：P251, 3, 4(1), 7(1).,6 重積分的應(yīng)用,一、立體體積,二、曲面的面積,三、物體的質(zhì)心,四、物體的轉(zhuǎn)動慣量,五、物體的引力,,,,,1. 問題的特點:,所求量是,對區(qū)域具有可加性,,分布在有界閉域上的整體量,2. 解決問題的方法: 用微元法 (元素法)，化為重積分,3. 解題要點: 畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便,一、立體體積,曲頂柱

5、體的頂為連續(xù)曲面,則其體積為,占有空間有界域 的立體的體積為,例1. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的,內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.,解: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為,則立體體積為,,,,,二、曲面的面積,,,,,,,,故有曲面面積公式,若光滑曲面方程為,則有,即,若光滑曲面方程為,則有,例2. 計算雙曲拋物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影為,則,出的面積 S .,練習. 計算半徑為 a 的球的表面積.,三、物體的質(zhì)心,設(shè)物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù),則采用“分割,,近似代替, 求和, 取極限” 可導出其質(zhì)心公式。,將 分成 n 小塊,在第 k 塊上任取一點,例如,,令各

6、小區(qū)域的最大直徑,即得,此質(zhì)點系的質(zhì)心坐標就近似該物體的質(zhì)心坐標.,同理,則得形心坐標：,若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,其面密度,(A 為 D 的面積),得D 的形心坐標:,則它的質(zhì)心坐標為,, 對 x 軸的 靜矩, 對 y 軸的 靜矩,,例3. 求位于兩圓,和,的質(zhì)心.,,解: 利用對稱性可知,而,之間均勻薄片,,練習. 計算密度均勻的上半橢球體的重心.(教材256例3),四、物體的轉(zhuǎn)動慣量,設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù),該物體位于(x , y , z) 處的微元,因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量:,對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為,因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)

7、動慣量之和,,故,連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.,類似可得:,對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量,對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量,對原點的轉(zhuǎn)動慣量,如果物體是平面薄片,,面密度為,則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分.,例4. 求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑,解: 建立坐標系如圖,,半圓薄片的質(zhì)量,,的轉(zhuǎn)動慣量.,解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,,則,球體的質(zhì)量,,例5.求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量.,設(shè)球,所占域為,,(用球坐標),,G 為引力常數(shù),五、物體的引力,設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,,物體對位于,，利用元素法,,在上積分即得各引力分量:,其密度函數(shù),引力元素在三坐標軸上的投影分別為,,原點

8、的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力,對 xoy 面上的平面薄片D ,,它對原點處的單位質(zhì)量質(zhì)點,的引力分量為,例6.,設(shè)面密度為 ,半徑為R的圓形薄片,求它對位于點,解: 由對稱性知引力,,處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.,,,。,,作業(yè)：P259, 1,3(1), 5(1), 6(1)*.,例7*. 求半徑 R 的均勻球,對位于,的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.,解: 利用對稱性知引力分量,點,,“第21章 重積分”的習題課（2）,一、內(nèi)容要求,1、了解二重積分的概念和性質(zhì),2、掌握利用直角坐標系、極坐標系計算二重積分的方法，會利用坐標變換計算二重積分,3、掌握格林公式及應(yīng)用，會曲線積分與路線無關(guān)的條件及應(yīng)用,4、了解三重

9、積分的概念和性質(zhì),5、掌握利用直角坐標系、柱面坐標系和球坐標系計算三重積分的方法，會利用坐標變換計算三重積分,6、會重積分在幾何、物理上的簡單應(yīng)用,二、練習,. 把積分,化為三次積分,,,其中由曲面,答: 積分域為,及平面,所圍成的閉區(qū)域 .,原式,. 試計算橢球體,的體積 V.,利用“先二后一”計算.,,解法1,,,解法2,利用三重積分換元法. 令,則,,注意：只計算上半橢球體體積呢？,計算積分,其中是兩個球,( R 0 )的公共部分.,解: 可以用柱坐標。但由于被積函數(shù)缺 x , y ,利用“先二后一” 計算方便 .,原式 =,. P251 3(1).,. 計算三重積分,解: 在柱面坐標系

10、下,所圍成 .,與平面,其中由拋物面,,原式 =,另：原式,5. 計算,其中,解:,利用對稱性,,,,6. 計算三重積分,其中是由,xoy平面上曲線,x=5所圍成的閉區(qū)域 .,解: 利用柱坐標,原式,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面,,,7.求曲面,所圍立體體積.,解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,,利用對稱性, 所求立體體積為,yoz面對稱, 并與xoy面相切,,故在球坐標系下所圍立體為,且關(guān)于 xoz,8. 在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一,個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,,使整個,的另一邊長度應(yīng)為多少?,提示: 建立坐標系如圖.,由對稱性知,由此解得,

11、問接上去的均勻矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圓心上 ,,( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其,側(cè)面滿足方程,設(shè)長度單位為厘米,,時間單位為小時,,設(shè)有一高度為,已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比,(比例系數(shù) 0.9 ),,問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小時? (2001考研),提高題1,,提示:,,,記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為 S ,則,,,,,,,,,(用極坐標),由題意知,,,,令,得,(小時),因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時間為100,小時.,提高題2.,解: 在球坐標系下,利用洛必達法則與導數(shù)定義,得,其中,,提高題3.,設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零,,其中,(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性;,(2) 證明 t 0 時,,(03考研),解: (1) 因為,兩邊對 t 求導, 得,(2) 問題轉(zhuǎn)化為證,,即證,故有,因此 t 0 時,,因,