《叢文龍版排列組合題型總結(jié) 站在巨人的肩膀上,稍作整理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《叢文龍版排列組合題型總結(jié) 站在巨人的肩膀上,稍作整理（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、叢文龍 排列組合題型總結(jié) 排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復(fù)遺漏外，還應(yīng)注意積累排列組合問題得以快速準(zhǔn)確求解。站在巨人的肩膀上，稍作整理。 一． 直接法、 1． 特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個 （1）數(shù)字1不排在個位和千位 （2）數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。 分析：（1）個位和千位有5個數(shù)字可供選擇，其余2位有四個可供選擇，由乘法原理：=240 2．特殊位置法 （2）當(dāng)1在千位

2、時余下三位有=60，1不在千位時，千位有種選法，個位有種，余下的有，共有=192所以總共有192+60=252 練習(xí)9．由0，1，2，3這四個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字且不能被5整除的四位數(shù)的個數(shù)是（ ） A．24個 B．12個 C．6個 D．4個 16．（本題滿分12分）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字 （1） 可組成多少個不同的自然數(shù)？ （2）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ （3） 組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？ （4） 可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的能被5整除的五位數(shù)？ （5） 可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且大于312

3、50的五位數(shù)？ （6） 可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的能被3整除的五位數(shù)？ 解析：16．（1）解：可組成6+5=46656個不同的自然數(shù) （2）可組成個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) （3）可組成個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù) （4）可組成個無重復(fù)數(shù)字的能被5整除的五位數(shù) （5）可組成個無重復(fù)數(shù)字的且大于31250的五位數(shù)？ （6）可組成個無重復(fù)數(shù)字的能被3整除的五位數(shù)？ 間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法=252 例2 有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三維

4、書？ 分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1，類別較復(fù)雜，因而可使用間接計算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)個，其中0在百位的有個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)-=432（個） 二． 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。 例3 在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有=100中插入方法。 1．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場音樂會，出場順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場方案的種數(shù)

5、是 （ ）A．6A B．3A C．2A D．AAA 5．（北京理科第5題）記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（　B?。? Ａ．1440種 Ｂ．960種 Ｃ．720種 Ｄ．480種 練習(xí)10、兩男兩女4個同學(xué)排成一列照相，如果要求男女相間而立，則滿足條件的方法數(shù)共有（▲▲▲） A．4種 B．8種 C．12種 D．6種 答案：B （注意） 三． 捆綁法 當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。 例4 4名男生和

6、3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？ 分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有種排法，而男生之間又有種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：×=576 練習(xí)1．四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有 種（） 2． 某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（） （注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有其余的就是19所學(xué)校選28天進行排列） 20．（12分）7名身高互不相

7、等的學(xué)生，分別按下列要求排列，各有多少種不同的排法？ (1)7人站成一排，要求較高的3個學(xué)生站在一起； (2)7人站成一排，要求最高的站在中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減； (3)任取6名學(xué)生，排成二排三列，使每一列的前排學(xué)生比后排學(xué)生矮． 20解：（1） （2） （3）=140． 21．（12分）4位學(xué)生與2位教師并坐合影留念，針對下列各種坐法，試問：各有多少種不同的坐法？(1)教師必須坐在中間；（48）(2)教師不能坐在兩端，但要坐在一起；144 (3)教師不能坐在兩端，且不能相鄰． 四． 閘板法 名額分配或相同物品的分配問題，

8、適宜采用閘辦法 例5 某校準(zhǔn)備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種 。 分析：此例的實質(zhì)是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對應(yīng)一種名額的分配方式，故有種 練習(xí)1.(a+b+c+d)15有多少項？ 當(dāng)項中只有一個字母時，有種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15故。 當(dāng)項中有2個字母時，有而指數(shù)和為15，即將15分配給2個字母時，如何分，閘板法一分為2，即 當(dāng)項中有3個字母時指數(shù)15分給3個字母分三組即可 當(dāng)項種4個字母都在時 四者都相加即可． 3．不定方程X

9、1+X2+X3+…+X50=100中不同的正整數(shù)解有（） 4．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的自然數(shù)解有（ ） 練習(xí)2．有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子里，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種不同的方法？（） 15、將7個不同的小球全部放入編號為2和3的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不少于該盒子的編號，則不同的放球方法共有________種（用數(shù)字作答）. 答案：91 五． 平均分堆問題 例6 6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？ 分析：分出三堆書（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不

10、同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種 例24. 6本不同的書 (1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法? (2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？ (3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？ (4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法? (5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法? 5．12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配 方案共有（ ）A． B． C． D． 練習(xí)

11、：1．6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？ 2．某年級6個班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個班，則分派方法的種數(shù)。 六． 合并單元格解決染色問題 1 3 4 5 圖1 例7 （全國卷（文、理））如圖1，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不 得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5． 下面分情況討論: (ⅰ)當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當(dāng)于4個元素 ①③⑤的全排列數(shù) （ⅱ

12、）當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形(ⅰ)類似同理可得 種著色法． （ⅲ）當(dāng)2、4與3、5分別同色時，將2、4；3、5分別合并，這樣僅有三個單元格 ① 從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有種方法． 由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72（種） 練習(xí)1（天津卷（文））將3種作物種植 1 2 3 4 5

13、 在如圖的5塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物 ， 不同的種植方法共 種（以數(shù)字作答） （72） 2．（江蘇、遼寧、天津卷（理））某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種 同一樣顏色的話，不同的栽種方法有 種（以數(shù)字作答）．（120） 圖3 圖4 3．如圖4，用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，

14、則符合這種要求的不同著色種數(shù)．（540） 4．如圖5：四個區(qū)域坐定4個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是 種（84） 圖5 圖6 圖7 5．將一四棱錐(圖6)的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共 種（420） 19．（12分）用紅、黃、藍、綠、黑5種顏色給如圖的a、b、c、

15、d四個區(qū)域染色，若相鄰的區(qū)域不能用相同的顏色，試問：不同的染色方法的種數(shù)是多少？ 七． 遞推法 1.一個樓梯共18個臺階12步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法． 解 根據(jù)題意要想12步登完只能6個一步登一個臺階，6個一步登兩個臺階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個相同的黑球與6個相同的白球的排列問題．=924（種）． 例八 一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？ 分析：設(shè)上n級樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當(dāng)n≥2時，上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級，有an-1種走法，第二類

16、是最后一步跨兩級，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,據(jù)此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10級樓梯共有89種不同的方法。 例2：五個人排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上，那么不同的站隊方式共有( ) （A）60種 （B）44種 （C）36種 （D）24種 解：首先我們把人數(shù)推廣到個人，即個人排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上。設(shè)滿足這樣的站隊方式有種，現(xiàn)在我們來通過合理分步，恰當(dāng)分類找出遞推關(guān)系： 第一步：第一個人不

17、站在原來的第一個位置，有種站法。 第二步：假設(shè)第一個人站在第2個位置，則第二個人的站法又可以分為兩類：第一類，第二個人恰好站在第一個位置，則余下的個人有種站隊方式；第二類，第二個人不站在第一個位置，則就是第二個人不站在第一個位置，第三個人不站在第三個位置，第四個人不站在第四個位置，……，第個人不站在第個位置，所以有種站隊方式。 由分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，我們便得到了數(shù)列的遞推關(guān)系式： ，顯然，，再由遞推關(guān)系有，，故應(yīng)選(B) 九.幾何問題 1．四面體的一個頂點位A,從其它頂點與各棱中點取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有 種（3+3=33） 2.四面體的棱

18、中點和頂點共10個點（1）從中任取3個點確定一個平面，共能確定多少個平面？ (-4+4-3+3-6C+6+2×6=29) (2)以這10個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐？ 三棱錐 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱錐 6×4×4=96 3×6=18 共有114 例15．正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體? 【 ∴ 共-12=70-12=58個】 （2）可以組成多少個四棱錐？（48個） 十．先選后排法 例9 有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選派方法有（ ） A.1260種

19、B.2025種 C.2520種 D.5054種 分析：先從10人中選出2人 33、（浙江省09年高考省教研室第一次抽樣測試數(shù)學(xué)試題（理））現(xiàn)安排5人去三個地區(qū)做志愿者，每個地區(qū)至少去1人，其中甲、乙不能去同一個地區(qū)，那么這樣的安排方法共有 種【答案：114 9、(陜西省西安鐵一中2009屆高三12月月考)某校高三級有三位數(shù)學(xué)老師，為便于學(xué)生詢問，從星期一到星期五每天都安排數(shù)學(xué)教師值班，并且星期一安排兩位老師值班，若每位老師每周值班兩天，則一周內(nèi)安排值班的方案有 種. 答案：36 例8. 將4名教師分派到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師

20、，則不同的分派方案共有多少種？ 答案：36 1.安排三名老師去6所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有（210）種。 2.將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1人，至多2人，則不同的分配方案（90種）。 9.（湖北卷6）將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為D A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 3.將9個學(xué)生分配到甲乙丙三個宿舍，每個宿舍至多4人（床鋪不分次序），則不同的分配方案（1130種）。 例6．在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4

21、人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法? 185 6．甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值兩天班，若甲不值周一、乙不值周六，則可排出不同的值班表數(shù)為 。42 8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，則符合這些條件的直線有 43 條。 十一．用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題（包括構(gòu)造插空，捆綁；構(gòu)造隔板；） 例10．某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中

22、”與“不中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種． 解 把問題轉(zhuǎn)化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題．=20種 例13. 馬路上有編號為l，2，3，……，10 十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種? 20種 例12 從1，2，3，…，1000個自然數(shù)中任取10個不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去法． 解 把穩(wěn)體轉(zhuǎn)化為10個相同的黑球與990個相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。 1.有3個相同的白球，4個相同的黑球，則能組成多少種不同的排法？

23、（35） 2.今有2個紅球，3個黃球，4個白球，同色球不加區(qū)分，將9個球排成一列有（1260）種 4. 某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種． 解 無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3個相同的白球與四個相同的黑球的排列問題．=35（種） 1. 一個樓梯共18個臺階12步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法． 解 根據(jù)題意要想12步登完只能6個一步登一個臺階，6個一步登兩個臺階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個相同的黑球與6個相同的白球的排列問題．=924（種）． 2.（理）甲、乙

24、、丙三人傳球，第一次球從甲手中傳出，到第六次球又回到甲手中的傳遞 方式有_____22____種 例7：甲、乙、丙、丁四人相互傳球，第一次甲傳給乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再傳給其他人中任一人，這樣共傳了四次，則第四次球仍傳回到甲的方法共有( A ) （A）21種 （B）42 （C）24 （D）27 3.6個人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法． 解 把問題轉(zhuǎn)化為5個相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的10個相同的黑球之間的9個空隙種的排列問題．=126種 例13 求（a+b+c）10的展開式的項數(shù)． 解 展開使的項為aαbβcγ,且α

25、+β+γ=10，因此，把問題轉(zhuǎn)化為2個相同的黑球與10個相同的白球的排列問題．=66（種） 例14 亞、歐乒乓球?qū)官?，各隊均?名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？ 解 設(shè)亞洲隊隊員為a1,a2，…,a5,歐洲隊隊員為b1，b2，…，b5，下標(biāo)表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為順序．比賽過程轉(zhuǎn)化為這10個字母互相穿插的一個排列，最后師勝隊種步被淘汰的隊員和可能未參加參賽的隊員，所以比賽過程可表示為5個相同的白球和5個相同黑球排

26、列問題，比賽過程的總數(shù)為=252（種） 十二．轉(zhuǎn)化命題法 例15 圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少各？ 分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點，則該交點對應(yīng)于一個以兩弦的四端點為頂點的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的15個不同的點能構(gòu)成多少個圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點最多有=1365（個） 例16 圓周上共有n（n大于等于4）個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少各？ 十三．概率法 例17 一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種

27、排法？ 分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的，即A=360種 十四．除序法 例：7個節(jié)目，甲、乙、丙三個節(jié)目按給定順序出現(xiàn)，有多少種排法？ 分析：7個節(jié)目的全排列為A77,甲、乙、丙之間的順序已定。所以有A77∕A33=840種。 答案：840種。 例19 用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中， （1）若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個？ （2）若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個？ 解（1）（2） 十五．錯位排列

28、例20 同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的卡片，則不同的分配方法有 種（9） 公式 1） n=4時a4=3(a3+a2)=9種 即三個人有兩種錯排，兩個人有一種錯排． 2）=n!(1-+-+…+ 例2：五個人排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上，那么不同的站隊方式共有( ) （A）60種 （B）44種 （C）36種 （D）24種 練習(xí) 有五位客人參加宴會，他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi)，宴會結(jié)束后每人戴了一頂帽子回家，回家后，他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子，問5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？（44） 十六。圓桌問題 20.8個人做圓桌共有多少組合？ 21.5個男孩，三個女孩圍成一圈，其中三個女孩不相鄰，則有多少種站法？ 21、(重慶市萬州區(qū)2009級高三第一次診斷性試題)一圓形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共6個座位.現(xiàn)讓3個大人和3個小孩入座進餐，要求任何兩個小孩都不能坐在一起，則不同的入座方法總數(shù)為（ ） （A）24種 （B）48種 （C）72種 （D）144種 答案：C - 9 -