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1、,第1章 單自由度系統(tǒng)的自由振動,,,主講 賈啟芬,,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,,,引 言,振動是一種運(yùn)動形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動。 振動屬于動力學(xué)第二類問題已知主動力求運(yùn)動。,Mechanical and Structural Vibration,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,,,振動問題的研究方法與分析其他動力學(xué)問題相類似：,選擇合適的廣義坐標(biāo)； 分析運(yùn)動； 分析受力； 選擇合適的動力學(xué)定理； 建立運(yùn)動微分方程； 求解運(yùn)動微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。,引 言,Mechanical and Structural Vibr

2、ation,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,,,振動問題的研究方法與分析其他動力學(xué)問題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點。,研究振動問題所用的動力學(xué)定理：,矢量動力學(xué)基礎(chǔ)中的動量定理； 動量矩定理； 動能定理； 達(dá)朗貝爾原理。 分析動力學(xué)基礎(chǔ)中的拉格朗日方程。,引 言,Mechanical and Structural Vibration,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,,,振動概述,所考察的系統(tǒng)既有慣性又有彈性。 運(yùn)動微分方程中，既有等效質(zhì)量，又有等效剛度。,振動問題的共同特點,Mechanical and Structural Vibration,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,,,按系

3、統(tǒng)的自由度劃分：,振動問題的分類,單自由度振動一個自由度系統(tǒng)的振動。 多自由度振動兩個或兩個以上自由度系統(tǒng)的 振動。 連續(xù)系統(tǒng)振動連續(xù)彈性體的振動。這種系統(tǒng) 具有無窮多個自由度。,振動概述,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,,,按系統(tǒng)特性或運(yùn)動微分方程類型劃分：,振動問題的分類,線性振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為線性方程的振動。,非線性振動系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時，將得到非線性運(yùn)動微分方程，這種系統(tǒng)的振動稱為非線性振動。,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,,,線性振動：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。

4、 線性振動的一個重要特性是線性疊加原理成立。 非線性振動：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。 非線性振動的疊加原理不成立。,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,,,按激勵特性劃分：,振動問題的分類,自由振動沒有外部激勵，或者外部激勵除去后，系統(tǒng)自身的振動。 受迫振動系統(tǒng)在作為時間函數(shù)的外部激勵下發(fā)生的振動，這種外部激勵不受系統(tǒng)運(yùn)動的影響。 自激振動系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運(yùn)動所誘發(fā)和控制的激勵下發(fā)生的振動。 參激振動激勵源為系統(tǒng)本身含隨時間變化的參數(shù)，這種激勵所引起的振動。,振動概述,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibr

5、ation,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,,目錄,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 1.2 計算固有頻率的能量法 1.3 瑞利法 1.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動,,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,,,天津大學(xué),關(guān)于單自由度系統(tǒng)振動的概念,典型的單自由度系統(tǒng):彈簧-質(zhì)量系統(tǒng),,梁上固定一臺電動機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直方向振動時，可視為集中質(zhì)量。如不計梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無重彈簧，系統(tǒng)簡化成彈簧-質(zhì)量系統(tǒng),,Mechanical and S

6、tructural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,,,天津大學(xué),1.1.1 自由振動方程 1.1.2 振幅、初相位和頻率 1.1.3 等效剛度系數(shù) 1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,,,1.1.1 自由振動方程,當(dāng)物塊偏離平衡位置為x距離時，物塊的運(yùn)動微分方程為,其中,,取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點O，x軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當(dāng)物塊在靜平衡位置時，由平衡條件，得到,無阻尼自由振動微分方程,固有圓頻率,Mechanical and Structural Vibration,1.1

7、 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,,,其通解為：,其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動的起始條件確定。設(shè)t=0時， 可解,1.1.1 自由振動方程,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,,,兩種形式描述的物塊振動，稱為無阻尼自由振動，簡稱自由振動。,另一種形式,無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動,1.1.1 自由振動方程,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,,,1.1.2 振幅、初相位和頻率,系統(tǒng)振動的周期,系統(tǒng)振動的頻率,系統(tǒng)振動的圓頻率為

8、,圓頻率pn 是物塊在自由振動中每2 秒內(nèi)振動的次數(shù)。f、 pn只與振動系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量 m 有關(guān)，而與運(yùn)動的初始條件無關(guān)。因此，通常將頻率f 稱為固有頻率，圓頻率pn稱為固有圓頻率。,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,,,用彈簧靜變形量dst表示固有圓頻率的計算公式,物塊靜平衡位置時,固有圓頻率,,1.1.2 振幅、初相位和頻率,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,,,1.1.3 等效剛度系數(shù),單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程,等效的概念,這

9、一方程，可以等效為廣義坐標(biāo)的形式,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,,,,,等效的概念,1.1.3 等效剛度系數(shù),Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,,串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度,例 在圖中，已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動系統(tǒng)的固有頻率。,解：（1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：二彈簧變形相等。,振動過程中，物塊始終作平行移動。處于平衡位置時，兩根彈簧的靜變形都是dst，而彈性力分別是,系統(tǒng)平衡方程是,,

10、1.1.3 等效剛度系數(shù),Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,,,如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則,k稱為并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。,并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術(shù)和。,系統(tǒng)的固有頻率,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,,（2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：二彈簧受力相等。,當(dāng)物塊在靜平衡位置時，它的靜位移dst等于每根彈簧的靜變形之和，即 ds

11、t = d1st + d2st,由于每根彈簧所受的拉力都等于重力mg，故它們的靜變形分別為,如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,,如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于,k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù),串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,

12、,組合彈簧的等效剛度,例 質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和k2,又AC=a，AB=b，求物塊的自由振動頻率。,解：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。 先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k。,C,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,,先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k。,C,設(shè)在C處作用一力F，按靜力平衡的關(guān)系，作用在B處的力為,此力使B 彈簧 k2 產(chǎn)生 變形，,而此變形使C點發(fā)生的變形為,得到作用

13、在C處而與k2彈簧等效的剛度系數(shù),1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,C,,,物塊的自由振動頻率為,與彈簧k1串聯(lián),得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù),1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,,彈性梁的等效剛度,,例 一個質(zhì)量為m的物塊從 h 的高處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率、振幅和最大撓度。,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,解：當(dāng)梁的質(zhì)量

14、可以略去不計時，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個系統(tǒng)簡化成彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形 則求出系統(tǒng)的固有頻率,Mechanical and Structural Vibration,,,由材料力學(xué)可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點靜撓度為,求出系統(tǒng)的固有頻率為,中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為,,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,,,以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標(biāo)原點O，建立坐標(biāo)系，并以撞擊時刻為零瞬時，則t=0時，有,自由振動的振幅為,梁的最大撓度,1.1.3 等效剛度系數(shù),1

15、.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,Theoretical Mechanics,返回首頁,己知圖中所示的三根彈簧的剛性系數(shù)分別為K1，K2，K3，振體的質(zhì)量為m，則此系統(tǒng)沿鉛垂方向振動的固有圓頻率為。,（A） （B） （C） （D）,答案：A,習(xí) 題,,Theoretical Mechanics,答案：A 點評： 由圖知三根彈簧為并聯(lián)關(guān)系。因此，可計算出三根并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)為K = K1+K2+K3。由彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)計算固有圓頻率的公式，計算出系統(tǒng)沿鉛垂方向振動的固有圓頻率為,要點：串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)計算和等效彈

16、簧-質(zhì)量系統(tǒng)。,習(xí) 題,,Theoretical Mechanics,返回首頁,習(xí) 題,小車M重P在斜面h自高度h處滑下與緩沖器相撞，斜面傾角為，緩沖彈簧剛性系數(shù)為k。如緩沖器質(zhì)量不計，斜面摩擦不計，小車碰撞后，系統(tǒng)的自由振動周期為：,（A）,（B）,（C）,（D）,（D）,,,天津大學(xué),1.3 練 習(xí),Mechanical and Structural Vibration,將一剛度系數(shù)為k，長為l的彈簧截成等長（均為l/2）的兩段，則截斷后每根彈簧的剛度系數(shù)均為 （A）k （B）2k （C）k/2 （D）1/(2k) 答（B）。質(zhì)點的直線振動；固有頻率 彈簧截成等長（均為l/2）的兩段后，剛

17、度增大為2k。,,,1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,等效系統(tǒng),內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，簡稱扭振。,,扭振系統(tǒng)稱為扭擺。 OA 為一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動慣量為IO。 在研究扭擺的運(yùn)動規(guī)律時，假定OA的質(zhì)量略去不計，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑線和該線的靜止位置之間的夾角 來決定，稱扭角。圓軸的抗扭剛度系數(shù)為kn，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,,根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程,扭振的運(yùn)動規(guī)律,對于單自由度振動系統(tǒng)來說，盡管前述直線振動和當(dāng)前扭振的結(jié)構(gòu)

18、形式和振動形式均不一樣，但其振動規(guī)律、特征是完全相同的。,,1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,,圖 (a)所示為扭振系統(tǒng)兩個軸并聯(lián)的情況；圖(b)為兩軸串聯(lián)的情況；圖(c)則為進(jìn)一步簡化的等效系統(tǒng)。,并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù),串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù),,1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,1.2 計算固有頻率的能量法,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,

19、,,,天津大學(xué),計算固有頻率的能量法的理論基礎(chǔ)是機(jī)械能守恒定律。,無阻尼單自由振動系統(tǒng)中，勢能與動能之和保持不變。,常量,式中T是動能，V是勢能。如果取平衡位置O為勢能的零點，系統(tǒng)在任一位置,1.2 計算固有頻率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時，x=0,速度為最大，勢能為零，動能具有最大值Tmax； 當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時，速度為零，動能為零，而勢能具有最大值Vmax。 由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,用能量法計算固有頻率的公式,1.2 計算固有頻率的能量法,Mechanical and Structural Vibrat

20、ion,,,天津大學(xué),例 船舶振動記錄儀的原理圖如圖所示。重物P連同桿BD對于支點B的轉(zhuǎn)動慣量為IE ,求重物P在鉛直方向的振動頻率。已知彈簧AC的彈簧剛度系數(shù)是k。,,解： 這是單自由度的振動系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿BD自水平的平衡位置量起的 角來決定。,系統(tǒng)的動能,設(shè)系統(tǒng)作簡諧振動，則其運(yùn)動方程,角速度為,系統(tǒng)的最大動能為,1.2 計算固有頻率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),如取平衡位置為系統(tǒng)的勢能零點。設(shè)在平衡位置時，彈簧的伸長量為dst 。此時，彈性力Fst=k dst ,方向向上。,,該系統(tǒng)的勢能,1.2 計算固有頻率的

21、能量法,Mechanical and Structural Vibration,,Theoretical Mechanics,在圖示之振動系統(tǒng)中，已知重為P的AB桿對O軸的回轉(zhuǎn)半徑為o，物塊M重為Q，兩彈簧的剛性系數(shù)均為k，當(dāng)系統(tǒng)靜止時，桿位于水平。則此系統(tǒng)微振動時的圓頻率為：,（A）,（B）,（C）,（D）,（D）,習(xí) 題,,Theoretical Mechanics,返回首頁,小球重P，剛接于桿的一端，桿的另一端鉸接于O點。桿長l，在其中點A的兩邊各連接一剛性系數(shù)為k的彈簧如圖示。如桿及彈簧的質(zhì)量不計，小球可視為一質(zhì)點，則系統(tǒng)作微擺動時的運(yùn)動微分方程為（ ）。,（A） （B） （C） （D

22、）,答案：D,習(xí) 題,答案：D 點評：以小球為研究對象，畫受力圖；以剛桿偏離鉛直位置的轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。利用動量矩定理，建立小球繞O點作微擺動時的運(yùn)動微分方程為,,Theoretical Mechanics,返回首頁,要點：利用普遍定理建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。,習(xí) 題,,1.3 瑞利法,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),利用能量法，將彈簧的分布質(zhì)量的動能計入系統(tǒng)的總動能，仍按單自由度系統(tǒng)求固有頻率的近似方法，稱為瑞利法。 應(yīng)用瑞利法，首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動位形。,等效質(zhì)量,,對于圖示系統(tǒng)，假設(shè)彈簧上各點在振動過程

23、中任一瞬時的位 移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截 面的靜變形一樣。,根據(jù)胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。 依據(jù)此假設(shè)計算彈簧的動能，并表示為集中質(zhì)量的動能為,1.3 瑞利法,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),例 在圖示系統(tǒng)中，彈簧長l，其質(zhì)量ms。求彈簧的等效質(zhì)量及系統(tǒng)的固有頻率。,左端距離為 的截面的位移為 ，則d 彈簧的動能為,假設(shè)彈簧各點在振動中任一瞬時的位移和一根直桿在一端固定另一端受軸向載荷作用時各截面的靜變形一樣，,解：令x表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)量m的位移。,1.3 瑞利法,Mechani

24、cal and Structural Vibration,,,天津大學(xué),彈簧的總動能,系統(tǒng)的總動能為,,系統(tǒng)的勢能為,固有頻率為,設(shè),1.3 瑞利法,Mechanical and Structural Vibration,,1.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),阻尼系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤滑 表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的 阻力。,物體運(yùn)動沿潤滑表面的阻力與速度的關(guān)系,c粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù)。它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓米/秒(Ns/m)。,

25、1.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動,Mechanical and Structural Vibration,,,運(yùn)動微分方程,圖示為一有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的簡化模型。以靜平衡位置O為坐標(biāo)原點，選x軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動微分方程,,,特征方程,特征根,1.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動,,Mechanical and Structural Vibration,,,1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,特征根與運(yùn)動微分方程的通解的形式與阻尼有關(guān),強(qiáng)阻尼（npn）情形,臨界阻尼(n = pn )情形,阻尼對自由振動的影響,特征根,運(yùn)動微分方程,Mechanical and Structural Vibra

26、tion,,,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運(yùn)動的臨界狀態(tài)。這時系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。 設(shè)cc為臨界阻尼系數(shù)，由于z =n/pn =1，即,z 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是z 稱為阻尼比的原因。,cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系 統(tǒng)。因此質(zhì)量m將以最短的時間回到靜平衡位置，并不作 振動運(yùn)動，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實際意義，例如大炮發(fā) 射炮

27、彈時要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時間回到原 來的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動，這樣才能既快又準(zhǔn)確 地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種 要求。,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,強(qiáng)阻尼(1)情形,臨界阻尼(1)情形,這兩種情形下，運(yùn)動不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減,引入阻尼比,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,特征根,其中,其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動的起始條件確定。設(shè)t = 0時， 可解

28、,C1=x0,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,另一種形式,這種情形下，自由振動不是等幅簡諧振動，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動。衰減運(yùn)動的頻率為 p d，衰減速度取決于 p n，二者分別為本征值的虛部和實部。,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,衰減振動:物塊在平衡位置附近作具有振動性質(zhì)的往復(fù)運(yùn)動，但它的振幅不是常數(shù)，隨時間的推延而衰減。 有阻尼的自由振動視為準(zhǔn)周期振動。,,Mechanical and Structural Vibr

29、ation,,,T=2p/pn為無阻尼自由振動的周期。,欠阻尼自由振動的周期Td ：物體由最大偏離位置起經(jīng)過一次振動循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過的時間。,由于阻尼的存在，使衰減振動的周期加大。通常z 很小，阻尼對周期的影響不大。例如，當(dāng)z=0.05時，Td=1.00125T，周期 Td 僅增加了 0.125%。當(dāng)材料的阻尼比 z<<1時，可近似認(rèn)為有阻尼自由振動的周期與無阻尼自由振動的周期相等。,1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,阻尼對周期的影響,Mechanical and Structural Vibration,,,設(shè)衰減振動經(jīng)過一周期Td，在同方向的相鄰兩個振幅分別為Ai和Ai+1，

30、即,兩振幅之比為,稱為振幅減縮率或減幅系數(shù)。如仍以z =0.05為例，算得 ,物體每振動一次，振幅就減少27%。由此可見 ，在欠阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著 ，它是按幾何級數(shù)衰減的。,1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,阻尼對振幅的影響,Mechanical and Structural Vibration,,,,振幅減縮率的自然對數(shù)稱為對數(shù)減縮率或?qū)?shù)減幅系數(shù)，以d 表示,例 在欠阻尼（z <1）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測得相隔N個周期的兩點P、R的幅值之比xP/xR=r，如圖所示，試確定此振動系統(tǒng)的阻尼比z。,1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,阻尼對

31、振幅的影響,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,,解：振動衰減曲線的包絡(luò)線方程為,設(shè)P、R兩點在包絡(luò)線上的幅值為xP、xR ，則有,當(dāng)z 2<<1時,此式對估算小阻尼系統(tǒng)的z值是很方便的。例如，經(jīng)過10個周期測得P、R兩點的幅值比r=2，將N=10、r=2代入上式，得到該系統(tǒng)的阻尼比,,Mechanical and Structural Vibration,,,天津大學(xué),1.3 練 習(xí),Mechanical and Structural Vibration,質(zhì)量為500 kg的機(jī)器安裝在一根彈簧上，使彈簧產(chǎn)生1.

32、5 mm的靜變形。為了使系統(tǒng)達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，求加在系統(tǒng)上并與彈簧并聯(lián)的粘性阻尼器的阻尼系數(shù)是多少？,解：靜變形與固有頻率的關(guān)系為,由附加的粘性阻尼器的阻尼系數(shù)c導(dǎo)出的阻尼比為,當(dāng)阻尼比為1時，系統(tǒng)處于臨界衰減，則此時的阻尼系數(shù)為臨界阻尼系數(shù)，即,,,天津大學(xué),練 習(xí),Mechanical and Structural Vibration,質(zhì)量為m = 2450kg的汽車，壓在4個車輪彈簧上，可使每個彈簧壓縮st = 150mm，當(dāng)每個彈簧都并聯(lián)上一個粘性阻尼器后，振幅衰減為A1/A3 = 10；求1）振幅減縮率 和對數(shù)減縮率 ；2）衰減系數(shù)n = c/2m和衰減振動的周期Td；3）臨界阻尼系

33、數(shù)cc。,解：畫車身鉛垂振動的受力圖， 坐標(biāo)x的原點為車身的靜平衡位置，車身的運(yùn)動微分方程為,,,天津大學(xué),練 習(xí),Mechanical and Structural Vibration,由已知條件和定義，得：,取對數(shù)得，,2,,,例 題,2.1 簡諧激勵作用下的受迫振動,Mechanical and Structural Vibration,一個有阻尼的彈簧--質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)量為10 kg，彈簧靜伸長是1cm，自由振動20個循環(huán)后，振幅從0.64 cm減至0.16cm，求阻尼系數(shù)c。,,振動20個循環(huán)后，振幅比為：,,代入,得：,又,,c = 6.9 N s /m,解：振動衰減曲線得包絡(luò)方程為：,,,例 題,2.1 簡諧激勵作用下的受迫振動,Mechanical and Structural Vibration,,一長度為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)剛性桿鉸接于O點并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖所示。寫出運(yùn)動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和阻尼固有頻率的表達(dá)式。,當(dāng)npn時，ccC,,解：圖為系統(tǒng)的靜平衡位置，畫受力圖。由動量矩定理，列系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：,謝謝,