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1、普通高中課程標準實驗教科書—數(shù)學 [人教版] 高三新數(shù)學第一輪復(fù)習教案（講座10）—空間中的平行關(guān)系 一．課標要求： 1．平面的基本性質(zhì)與推論 借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理： ◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)； ◆公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面； ◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線； ◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行； ◆定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行

2、，那么這兩個角相等或互補。 2．空間中的平行關(guān)系 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理： ◆平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行； ◆一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； 通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明： ◆一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行； ◆兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行； ◆垂直于同一個平面的兩條直線平

3、行 能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。 二．命題走向 立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，通過近幾年的高考情況分析，考察的重點及難點穩(wěn)定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考察重點。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重。 預(yù)測2007年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關(guān)系： （1）考題將會出現(xiàn)一個選擇題、一個填空題和一個解答題； （2）在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質(zhì)，考察線線、線

4、面和面面關(guān)系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主。 三．要點精講 1．平面概述 （1）平面的兩個特征：①無限延展 ②平的（沒有厚度） （2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面 （3）平面的表示：用一個小寫的希臘字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC。 2．三公理三推論: 公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi)： A,B,A,B 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。 公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個

5、平面。 推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面。 推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面。 推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面。 3．空間直線: （1）空間兩條直線的位置關(guān)系： 相交直線——有且僅有一個公共點； 平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點； 異面直線——不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線。 異面直線的畫法常用的有下列三種： （2）平行直線： 在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的。即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 （3）異面直

6、線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線。推理模式：與a是異面直線。 4．直線和平面的位置關(guān)系 （1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）； （2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）； （3）直線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分類。 它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，，。 線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。推理模式：． 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。推理

7、模式：． 5．兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點） （1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。 定理的模式： 推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。 推論模式： （2）兩個平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 四．典例解析 題型1：共線、共點和共面問題 例1．（1）如圖所示，平面ABD

8、平面BCD ＝直線BD ，M 、N 、P 、Q 分別為線段AB 、BC 、CD 、DA 上的點，四邊形MNPQ 是以PN 、QM 為腰的梯形。 試證明三直線BD 、MQ 、NP 共點。 證明：∵　四邊形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰， ∴直線MQ 、NP 必相交于某一點O 。 ∵　O 直線MQ ；直線MQ 平面ABD ， ∴　O 平面ABD。 同理，O 平面BCD ，又兩平面ABD 、BCD 的交線為BD ， 故由公理二知，O 直線BD ，從而三直線BD 、MQ 、NP 共點。 點評：由已知條件，直線MQ 、NP 必相交于一點O ，因此，問題轉(zhuǎn)化為求證點O 在直線B

9、D 上，由公理二，就是要尋找兩個平面，使直線BD 是這兩個平面的交線，同時點O 是這兩個平面的公共點即可．“三點共線”及“三線共點”的問題都可以轉(zhuǎn)化為證明“點在直線上”的問題。 α D C B A E F H G （2）如圖所示，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線。 證明：∵AB∥CD， ∴AB，CD確定一個平面β． 又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β， 即E為平面α與β的一個公共點。 同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點． ∵兩個平面有公共點，它們有且

10、只有一條通過公共點的公共直線， ∴E，F(xiàn)，G，H四點必定共線。 點評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，常運用公理2，即先證明這些點都是某二平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論。 例2．已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面。 α b a d c G F E A a b c d α H K 圖1 圖2 證明：1o若當四條直線中有三條相交于一點，不妨設(shè)a，b，c相交于一點A， 但A?d，如圖1所示： ∴直線d和A確定一個平面α。 又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G， 則A，E，F(xiàn)，

11、G∈α。 ∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα。 同理可證bα，cα。 ∴a，b，c，d在同一平面α內(nèi)。 2o當四條直線中任何三條都不共點時， 如圖2所示： ∵這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確定一個平面α。 設(shè)直線c與a，b分別交于點H，K，則H，K∈α。 又 H，K∈c，∴c,則cα。 同理可證dα。 ∴a，b，c，d四條直線在同一平面α內(nèi)． 點評：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理3或推論，由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再根據(jù)公理1證明其余的線(或點)均在這個平面內(nèi)。本題最容易忽視“三線共點”這一種情況。因此，在分析題意時，應(yīng)

12、仔細推敲問題中每一句話的含義。 題型2：異面直線的判定與應(yīng)用 例3．已知：如圖所示，a b ＝a ，b b ，a b ＝A ，c a ，c ∥a 。求證直線b 、c 為異面直線。 證法一：假設(shè)b 、c 共面于g ．由A a ，a ∥c 知，A c ，而a b ＝A，a b ＝a ， ∴ A g ，A a。 又c a ，∴ g 、a 都經(jīng)過直線c 及其外的一點A， ∴ g 與a 重合，于是a g ，又b b。 又g 、b 都經(jīng)過兩相交直線a 、b ，從而g 、b 重合。 ∴ a 、b 、g 為同一平面，這與a b ＝a 矛盾。 ∴ b 、c 為異面直線． 證法二

13、：假設(shè)b 、c 共面，則b ，c 相交或平行。 （1）若b ∥c ，又a ∥c ，則由公理4知a ∥b ，這與a b ＝A 矛盾。 （2）若b c ＝P ，已知b b ，c a ，則P 是a 、b 的公共點，由公理2，P a ，又b c ＝P ，即P c ，故a c ＝P ，這與a ∥c 矛盾。 綜合（1）、（2）可知，b 、c 為異面直線。 證法三：∵ a b ＝a ，a b ＝A ，∴ A a 。 ∵ a ∥c ，∴ A c ， 在直線b 上任取一點P（P 異于A），則P a（否則b a ，又a a ，則a 、b 都經(jīng)過兩相交直線a 、b ，則a 、b 重合，與a b

14、＝a 矛盾）。 又c a ，于是根據(jù)“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”知，b 、c 為異面直線。 點評：證明兩直線為異面直線的思路主要有兩條：一是利用反證法；二是利用結(jié)論“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．。異面直線又有兩條途徑：其一是直接假設(shè)b 、c 共面而產(chǎn)生矛盾；其二是假設(shè)b 、c 平行與相交；分別產(chǎn)生矛盾。判定直線異面，若為解答題，則用得最多的是證法一、二的思路；若為選擇或填空題，則往往都是用證法三的思路。用反證法證題，一般可歸納為四個步驟：（1）否定結(jié)論；（2）進行推理；（3）導(dǎo)出矛盾；（4）肯定結(jié)論． 宜用

15、反證法證明的命題往往是（1）基本定理或某一知識系統(tǒng)的初始階段的命題（如立體幾何中的線面、面面平行的判定定量的證明等）；（2）肯定或否定型的命題（如結(jié)論中出現(xiàn)“必有”、“必不存在”等一類命題）；（3）唯一型的命題（如“圖形唯一”、“方程解唯一”等一類命題）；（4）正面情況較為繁多，而結(jié)論的反面卻只有一兩種情況的一類命題；（5）結(jié)論中出現(xiàn)“至多”、“不多于”等一類命題。 例4．（1）已知異面直線a,b所成的角為70，則過空間一定點O，與兩條異面直線a,b都成60角的直線有( )條 A．1 B．2 C．3

16、D．4 （2）異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點O，過點O有3條直線與a,b所成角都是60，則的取值可能是（ ） A．30 B．50 C．60 D．90 解析：（1）過空間一點O分別作∥a,∥b。 將兩對對頂角的平分線繞O點分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，總能得到與 都成60角的直線。故過點 O與a,b都成60角的直線有4條，從而選D。 （2）過點O分別作∥a、∥b，則過點O有三條直線與a,b所成角都為60，等價于過點O有三條直線與所成角都為60，其中一條正是角的平分線。從而可得選項為C。 點評：該題以學生對

17、異面直線所成的角會適當轉(zhuǎn)化，較好的考察了空間想象能力。 題型3：線線平行的判定與性質(zhì) 例5．（2003上海春，13）關(guān)于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（ ） A．若a∥M，b∥M，則a∥b B．若a∥M，b⊥a，則b⊥M C．若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M D．若a⊥M，a∥N，則M⊥N 解析：解析：A選項中，若a∥M，b∥M，則有a∥b或a與b相交或a與b異面。B選項中，b可能在M內(nèi)，b可能與M平行，b可能與M相交.C選項中須增加a與b相交，則l⊥M。D選項證明如下：∵a∥N，過a作平面α與N交于c，則c∥a，∴c⊥M.故M⊥N。答案D。 點評

18、：本題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的基本性質(zhì)。 例6．兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE。 證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB。 ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE。 證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC， ∴ 連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM

19、，得 ∴ NH//AF//BE 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE。 題型4：線面平行的判定與性質(zhì) 例7．（2006四川理19 ）如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，，求證：面。 證明：取的中點，連結(jié)； ∵分別為的中點 ∵ ∴面，面 ∴面面 ∴面 點評：主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，主要考察線面平行的判定定理。 例8．（1999全國文22，理21）如圖所示，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，點E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB＝

20、a. （Ⅰ）求截面EAC的面積； （Ⅱ）求異面直線A1B1與AC之間的距離； 圖 解：（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO。 ∵底面ABCD是正方形， ∴DO⊥AC 又∵ED⊥底面AC， ∴EO⊥AC ∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角， ∴∠EOD＝45° DO＝a，AC＝a，EO＝a·sec45°＝a， 故S△EAC=EO·AC＝a2． （Ⅱ）由題設(shè)ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC． 又A1A⊥A1B1， ∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線. ∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EA

21、C交線為EO， ∴D1B∥EO， 又O是DB的中點 ∴E是D1D的中點，D1B＝2EO＝2a. ∴D1D＝a 異面直線A1B1與AC間的距離為a. 題型5：面面平行的判定與性質(zhì) 例9．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1 的棱長為a。證明：平面ACD1 ∥平面A1C1B 。 證明：如圖，∵ A1BCD1 是矩形，A1B ∥D1C 。 又D1C 平面D1CA ，A1B 平面D1CA ， ∴ A1B ∥平面D1CA。 同理A1C1 ∥平面D1CA ，又A1C1 A1B ＝A1 ，∴ 平面D1CA ∥平面BA1C1 ． 點評：證明面面平行，關(guān)鍵在于證明A1C1 與A1

22、B 兩相交直線分別與平面ACD1 平行。 例10．P是△ABC所在平面外一點，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心。 （1）求證：平面A′B′C′∥平面ABC； （2）S△A′B′C′∶S△ABC的值。 解析：(1)取AB、BC的中點M、N， 則 ∴A′C′∥MNA′C′∥平面ABC。 同理A′B′∥面ABC， ∴△A′B′C′∥面ABC. (2)A′C′=MN=·AC=AC ， 同理 ∴ 五．思維總結(jié) 在掌握直線與平面的位置關(guān)系(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系)的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平行的判定依據(jù)(定義、公理和定理)、判定

23、方法及有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用；在有關(guān)問題的解決過程中，進一步了解和掌握相關(guān)公理、定理的內(nèi)容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；在有關(guān)問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想的應(yīng)用． 1．用類比的思想去認識面的垂直與平行關(guān)系，注意垂直與平行間的聯(lián)系。 2．注意立體幾何問題向平面幾何問題的轉(zhuǎn)化，即立幾問題平面化。 3．注意下面的轉(zhuǎn)化關(guān)系： 4．直線和平面相互平行 證明方法：證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。 5．證明兩平面平行的方法： （1）利

24、用定義證明。利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導(dǎo)出矛盾。 （2）判定定理：一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行，這個定理可簡記為線面平行則面面平行。用符號表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，則α∥β。 （3）垂直于同一直線的兩個平面平行。用符號表示是：a⊥α，a⊥β則α∥β。 （4）平行于同一個平面的兩個平面平行。 兩個平面平行的性質(zhì)有五條： （1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面，這個定理可簡記為：“面面平行，則線面平行”。用符號表示是：α∥β，a α，則a∥β。 （2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”。用符號表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b。 （3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面。這個定理可用于證線面垂直。用符號表示是：α∥β，a⊥α，則a⊥β。 （4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。 （5）過平面外一點只有一個平面與已知平面平行。 第 11 頁 共 11 頁