《2014-2015學年高二數學教案：322《復數代數形式的乘除運算》（新人教A版選修1-2）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2014-2015學年高二數學教案：322《復數代數形式的乘除運算》（新人教A版選修1-2）（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、3.2.2　復數代數形式的乘除運算 (教師用書獨具) ●三維目標 1．知識與技能 理解并掌握復數的代數形式的乘法與除法運算法那么，了解共軛復數的概念． 2．過程與方法 理解并掌握復數的除法運算實質是分母實數化問題，通過運算過程體會這一變形本質意圖． 3．情感、態(tài)度與價值觀 利用多項式除法和復數除法類比，知道事物之間是普遍聯(lián)系的．通過復數除法運算，培養(yǎng)學生探索問題、分析問題、解決問題的能力． ●重點難點 重點：復數代數形式的乘除法運算． 難點：復數除法法那么的運用． (教師用書獨具) ●教學建議 建議本節(jié)教學采用自學指

2、導法，在學生自主學習的根底上可利用一下教學方法及手段完本錢節(jié)教學：(1)類比分析法，通過比照多項式的乘法法那么推出復數乘法法那么．(2)歸納推理法，運用已有的多項式乘法法那么和分母有理化及復數加減法的知識，通過歸納類比，推導復數除法法那么．(3)合理、恰當地運用多媒體教學手段，將靜態(tài)事物動態(tài)化，將抽象事物直觀化，以突破教學難點． ●教學流程 創(chuàng)設問題情境，引出問題，引導學生思考兩個復數如何進行代數形式的乘法與除法運算．讓學生自主完成填一填，使學生進一步熟悉復數代數形式的乘法、除法運算的法那么，及其滿足的運算律．引導學生分析例題1的運算方法并求解，教師只需指導完善，解答疑惑并要求學生獨立

3、完成變式訓練．由學生分組探究例題2解法，引導學生去發(fā)現(xiàn)in運算的周期性，及其應用方法．完成互動探究．  完成當堂雙基達標，穩(wěn)固所學知識及應用方法．并進行反應矯正．歸納整理，進行課堂小結，整體認識本節(jié)所學知識，強調重點內容和規(guī)律方法．學生自主完成例題3變式訓練，老師抽查完成情況，對出現(xiàn)問題及時指導．通過易錯辨析糾正運算中出現(xiàn)的錯誤．讓學生自主分析例題3，老師適當點撥解題思路，學生分組討論給出解法．老師組織解法展示，引導學生總結解題規(guī)律． 課標解讀 1.掌握復數代數形式的乘、除運算．(重點) 2．理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律．(難點) 3．理解共軛

4、復數的概念．(易錯點) 復數的乘法 【問題導思】　 1．如何規(guī)定兩個復數相乘？ 【提示】　兩個復數相乘類似于多項式相乘，只要在所得結果中把i2換成－1，并且把實部與虛局部別合并即可． 2．復數乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律嗎？ 【提示】　滿足． 　(1)設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么 z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)對于任意z1，z2，z3∈C，有 交換律 z1·z2＝z2·z1 結合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法對加法的分配律 z1(z

5、2＋z3)＝z1z2＋z1z3 復數的除法與共軛復數 【問題導思】　 　如何規(guī)定兩個復數z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？ 【提示】?。剑剑? 　(1)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d為實數，c＋di≠0)，z1，z2進行除法運算時，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成的形式再把分子與分母都乘以c－di化簡后可得結果：＋i. (2)共軛復數 如果兩個復數滿足實部相等，虛部互為相反數時，稱這兩個復數為共軛復數，z的共軛復數用表示．即z＝a＋bi，那么＝a－bi.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數. 復數代數

6、形式的乘除法運算 　(1)(2021·課標全國卷Ⅱ)設復數z滿足(1－i)·z＝2i，那么z＝(　　) A．－1＋i　　B．－1－i　　C．1＋i　　D．1－i (2)(2021·大綱全國卷)(1＋i)3＝(　　) A．－8 B．8 C．－8i D．8i (3)計算()6＋＝________. 【思路探究】　(1)先設出復數z＝a＋bi，然后運用復數相等的充要條件求出a，b的值． (2)直接利用復數的乘法運算法那么計算． (3)先計算再乘方，且將的分母實數化后再合并． 【自主解答】　(1)設z＝a＋bi，那么(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i

7、. 根據復數相等的充要條件得解得 ∴z＝－1＋i.應選A. (2)原式＝(1＋i)(1＋i)2＝(1＋i)(－2＋2i)＝－2＋6i2＝－8. (3)法一　原式＝6＋ ＝i6＋＝－1＋i. 法二　原式＝6＋ ＝i6＋ ＝－1＋i. 【答案】　(1)A　(2)A　(3)－1＋i 1．復數的乘法類比多項式相乘進行運算，復數除法要先寫成分式形式后，再將分母實數化，注意最后結果要寫成a＋bi(a，b∈R)的形式． 2．記住以下結論可以提高運算速度 (1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i； (2)＝－i，＝i； (3)＝－i. 計算： (1)(1－i)

8、2； (2)(－＋i)(＋i)(1＋i)； (3). 【解】　(1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i. (2)(－＋i)(＋i)(1＋i) ＝(－－i＋i＋i2)(1＋i) ＝(－＋i－)(1＋i) ＝(－＋i)(1＋i) ＝－－i＋i－ ＝－＋i. (3)＝＝＝＋i. 虛數單位i的冪的周期性及其應用 　(1)計算：＋()2 013； (2)假設復數z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值． 【思路探究】　將式子進行適當的化簡、變形，使之出現(xiàn)in的形式，然后再根據in的值的特點計算求解． 【自主解答】　(1)原式＝＋[()2]1 006·() ＝i

9、＋()1 006·＝i＋i1 006· ＝－＋i (2)1＋z＋z2＋…＋z2 013＝， 而z＝＝＝＝i， 所以1＋z＋z2＋…＋z2 013＝＝＝1＋i. 1．要熟記in的取值的周期性，要注意根據式子的特點創(chuàng)造條件使之與in聯(lián)系起來以便計算求值． 2．如果涉及數列求和問題，應先利用數列方法求和后再求解． 在本例(2)中假設z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值． 【解】　由題意知 1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013 ＝＝＝＝1＋i. ∴原式＝1＋i. 共軛復數的應用 　設z1，z2∈C，A＝z1·＋z2·，B＝

10、z1·＋z2·，問A與B是否可以比擬大?。繛槭裁?？ 【思路探究】　設出z1，z2的代數形式→化簡A，B→判斷A，B是否同為實數→結論 【自主解答】　設z1＝a＋bi， z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 那么＝a－bi，＝c－di， ∴A＝z1·＋z2· ＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi) ＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2 ＝2ac＋2bd∈R， B＝z1·＋z2· ＝|z1|2＋|z2|2 ＝a2＋b2＋c2＋d2∈R， ∴A與B可以比擬大?。? 1．z·＝|z|2＝||2是共軛復數的常用性質． 2．實數

11、的共軛復數是它本身，即z∈R?z＝，利用此性質可以證明一個復數是實數． 3．假設z≠0且z＋＝0，那么z為純虛數，利用此性質可證明一個復數是純虛數． z∈C，為z的共軛復數，假設z·－3i＝1＋3i，求z. 【解】　設z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi(a，b∈R)， 由題意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 那么有， 解得或， 所以z＝－1或z＝－1＋3i. 記錯i2值而致誤 　設復數z滿足＝i，那么z＝(　　) A．－2＋i　　　　　　　B．－2－i C．2－i D．2＋i 【錯解】　設復

12、數z＝a＋bi(a，b∈R)滿足＝i， 所以1＋2i＝ai＋b. 解得 所以z＝2＋i，應選D項． 【答案】　D 【錯因分析】　將i2＝－1當成i2＝1來運算漏掉負號． 【防范措施】　在進行乘除法運算時，靈活運用i的性質，并注意一些重要結論的靈活應用． 【正解】　設復數z＝a＋bi(a，b∈R)滿足＝i， 所以1＋2i＝ai－b. 解得 所以z＝2－i，應選C項． 【答案】　C 1．復數代數形式的乘除運算 (1)復數代數形式的乘法類似于多項式乘以多項式，復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律． (2)在進行復數代數形式的除法運算時，通常先將除

13、法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軛復數，化簡后可得，類似于以前學習的分母有理化． 2．共軛復數的性質可以用來解決一些復數問題． 3．復數問題實數化思想． 復數問題實數化是解決復數問題的根本思想方法，其橋梁是設復數z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復數相等的充要條件轉化. 1．(2021·北京高考)在復平面內，復數對應的點的坐標為(　　) A．(1,3)　　　　　　　B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 【解析】　＝＝＝1＋3i， ∴其對應點的坐標為(1,3)，選A. 【答案】　A 2．(2021·安徽高考)設i是虛數單位，假設復數a－(a∈R)是

14、純虛數，那么a的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 【解析】　因為a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由純虛數的定義，知a－3＝0，所以a＝3. 【答案】　D 3．假設x－2＋yi和3x－i互為共軛復數，那么實數x＝________，y＝________. 【解析】　由題意得： ∴ 【答案】?。?　1 4．計算： (1)(1－i)(－＋i)(1＋i)； (2)； (3)(2－i)2. 【解】　(1)法一　(1－i)(－＋i)(1＋i) ＝(－＋i＋i－i2)(1＋i) ＝(＋i)(1＋i) ＝＋i＋i＋i2 ＝－1＋i. 法二　原式＝(1－i

15、)(1＋i)(－＋i) ＝(1－i2)(－＋i) ＝2(－＋i) ＝－1＋i. (2)＝ ＝ ＝ ＝＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i＋i2 ＝3－4i. 一、選擇題 1．復數(2＋i)2等于(　　) A．3＋4i　　　　　　　B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i 【解析】　(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.應選A. 【答案】　A 2．i是虛數單位，復數＝(　　) A．1－i B．－1＋i C．1＋i D．－1－i 【解析】?。剑剑?＋i. 【答案】　C 3．(2021·課標全國卷Ⅰ)假設復數z

16、滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虛部為(　　) A．－4 B．－ C．4 D． 【解析】　∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虛部為. 【答案】　D 4．假設z＋＝6，z·＝10，那么z＝(　　) A．1±3i B．3±i C．3＋i D．3－i 【解析】　設z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi， ∴，解得a＝3，b＝±1，那么z＝3±i. 【答案】　B 5．(2021·湖北高考)在復平面內，復數z＝(i為虛數單位)的共軛復數對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】　z＝＝

17、＝1＋i，所以＝1－i，故復數z的共軛復數對應的點位于第四象限． 【答案】　D 二、填空題 6．(2021·江蘇高考)設z＝(2－i)2(i為虛數單位)，那么復數z的模為________． 【解析】　z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5. 【答案】　5 7．假設＝a＋bi(a，b為實數，i為虛數單位)，那么a＋b＝________. 【解析】?。? ＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i. ∴解得∴a＋b＝3. 【答案】　3 8．當z＝－時，z2 012＋z2 014＝________. 【解析】　z＝－，∴z2＝＝－i， ∴z2 012＝(－i)2

18、 012＝1， z2 014＝(－i)2 014＝－1， ∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0. 【答案】　0 三、解答題 9．計算以下各題： (1)＋－； (2)(＋i)5＋()4＋()7； (3)(－－i)12＋()8. 【解】　(1)原式＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3·－ ＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－ ＝8＋8－16－16i＝－16i. (2)(＋i)5＋()4＋()7 ＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[]2＋i7 ＝16(－1＋i)－－i ＝－(16＋)＋(16－1)i. (3)(－－i)12＋()8 ＝(－

19、i)12·(－－i)12＋()8 ＝(－＋i)12＋ ＝[(－＋i)3]4＋(－8＋8i) ＝1－8＋8i＝－7＋8i. 10．復數z＝，假設z2＋<0，求純虛數a. 【解】　z＝＝1－i， ∵a為純虛數，設a＝mi(m∈R，m≠0)， 那么z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋ ＝－＋(－2)i<0， ，∴m＝4，∴a＝4i. 11．定義運算＝ad－bc，那么滿足＝0的復數z所對應的點在第幾象限？ 【解】　結合＝ad－bc可知 ＝z(1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0， ∴z＝＝＝2－i， ∴復數z所對應的點在第四象限. (教師用書獨具)

20、　z1、z2∈C，z1＋2z2∈R，且＋＝1，求證：z2－3z1為純虛數． 【思路探究】　由題目條件推出(z2－3z1)2，再證明其小于0即可． 【自主解答】　∵＋＝1， ∴10z＋5z＝2z1·z2， 即z＋4z＋4z1·z2＝－9z－z＋6z1·z2， 也即－(z1＋2z2)2＝(3z1－z2)2. ∵z1＋2z2∈R，z1≠0，z2≠0， ∴－(z1＋2z2)2<0， ∴(3z1－z2)2<0， ∴(3z1－z2)2為負實數， ∴z2－3z1為純虛數． 1．證明z為純虛數的方法： (1)設z＝a＋bi(a，b∈R)，證明a＝0且b≠0； (2)z2<0?

21、z為純虛數； (3)z≠0，且z＋＝0?為純虛數． 2．證明z∈R的方法： (1)設z＝a＋bi(a、b∈R)，證明b＝0； (2)z∈R?z＝； (3)z∈R?z2≥0； (4)z∈R?|z|2＝z2. 　設z＝a＋bi(a、b∈R)，假設∈R，那么a、b應滿足什么條件？并說明理由． 【解】　＝ ＝ ＝∈R， ∴b(a2＋b2－1)＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1. 復 數復數的 概念復數相等的充要條件復數與復數分類共軛復數復數的模復數的 運算復數的 減法法 那么(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i復數減法的幾何意義復平面上兩點間的距離d＝|z1－z2|復數的 加法法 那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i復數加法的幾何意義復數的 乘法法 那么(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i復數的 除法法 那么＝＋i(c＋di≠0)