《(新課標)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專題 數(shù)列系列之數(shù)列的周期性(含解析) 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《(新課標)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專題 數(shù)列系列之數(shù)列的周期性(含解析) 新人教A版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 五、周期（循環(huán)）數(shù)列（擴展）的運用 對于數(shù)列{An}，如果存在一個常數(shù)T,對于任意整數(shù)n>N，使得對任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立，則稱數(shù)列{An}是從第n項起的周期為T的周期數(shù)列。 典型例題： 例1.數(shù)列滿足，則的前60項和為【 】 （A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830 【答案】D。 【考點】分類歸納（數(shù)字的變化類），數(shù)列。 【解析】求出的通項：由得， 當時，；當時，；當時，； 當時，；當時，；當時，； 當時，；當時，；······ 當時，；當時，；當時，

2、； 當時，（）。 ∵， ∴的四項之和為（）。 設(shè)（）。 則的前項和等于的前15項和，而是首項為10，公差為16的等差數(shù)列， ∴的前項和=的前15項和=。故選D。 例2.對于，將n表示為,當時，當時為0或1，定義如下：在的上述表示中，當，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0. （1）b2+b4+b6+b8=　　▲　　.； （2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是　　▲　　.. 【答案】（1）3；（2）2。 【考點】數(shù)列問題。 【解析】（1）觀察知；； 依次類推；； ；，；； ∴b2+b4+b6

3、+b8=３。 （2）由（1）知cm的最大值為２。 例3.對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，記（），即為中的最大值，并稱數(shù)列是的控制數(shù)列，如1，3，2，5，5的控制數(shù)列是1，3，3，5，5 （1）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，寫出所有的（4分） （2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，），求證：（）（6分） （3）設(shè)，常數(shù)，若，是的控制數(shù)列，求（8分） 【答案】解：（1）數(shù)列為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5。 （2）證明：∵，，∴。 ∵，，∴

4、，即。 ∴。 （3）對，；； ；。 比較大小，可得。 ∵， ∴，即； ，即。 又∵，∴，，，。 ∴ = = ===。 【考點】數(shù)列的應(yīng)用。 【解析】（1）根據(jù)題意，可得數(shù)列。 （2

5、）依題意可得，又，，從而可得，整理即證得結(jié)論。 （3）根據(jù)，可發(fā)現(xiàn)，；； ；。通過比較大小，可得，，而，從而可求得的值。 六、數(shù)列特征方程的應(yīng)用：所謂數(shù)列的特征方程，實際上就是為研究相應(yīng)的數(shù)列而引入的一些等式，常用的有以下幾種形式： 1. 形如的數(shù)列，一般是令，解出，則是公比為的等比數(shù)列 。 2. 形如的數(shù)列，一般是令，解出，則 ①當時, ，其中為待定系數(shù)，可根據(jù)初始值求出； ②當時，，其中為待定系數(shù)，可根據(jù)初始值求出。 3. 形如的數(shù)列，一般是令，解出，則 ①當時，為等比數(shù)列；②當時，為等差數(shù)列。 典型例題： 例1.函數(shù)。定義數(shù)列如下：是過兩點的直線與軸交點的橫坐標

6、。 （1）證明：； （2）求數(shù)列的通項公式。 【答案】解：（1）∵，∴點在函數(shù)的圖像上。 ∴由所給出的兩點，可知，直線斜率一定存在。 ∴直線的直線方程為。 令，可求得，解得。 ∴。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當時，，滿足， 假設(shè)時，成立，則當時，， 由得，，即，∴。 ∴也成立。 綜上可知對任意正整數(shù)恒成立。 下面證明： ∵， ∴由得，?！?。 ∴即。 綜上可知恒成立。 （2）由得到該數(shù)列的一個特征方程即， 解得或。 ∴① ，②。 兩式相除可得。 而 ∴數(shù)列是以為首項以為公比的等比數(shù)列。 ∴。 【考點】數(shù)列的通項公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運用，不等式的證明，數(shù)學(xué)歸納法。 【解析】（1）先從函數(shù)入手，表示直線方程，從而得到交點坐標，再運用數(shù)學(xué)歸納法證明，運用差值法證明，從而得證。 （2）根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進而求得數(shù)列的通項。 5