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1、第七章 線性變換,1 線性變換的定義 2 線性變換的矩陣 3 線性變換的運(yùn)算 4 線性變換的值域與核 5 特征值與特征向量 6 不變子空間,表示符號(hào),A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z,1 線性變換的定義,定義 例題 性質(zhì),上一章我們看到，數(shù)域F上任意一個(gè)n維線性空間都與 同構(gòu)，因之，有限維線性空間的結(jié)構(gòu)可以認(rèn)

2、為是完全清楚了. 線性空間V到自身的映射通常稱為V的一個(gè)變換. 這一章中要討論的線性變換就是最簡(jiǎn)單的，同時(shí)也可以認(rèn)為是最基本的一種變換. 線性變換是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象. 下面如果不特別聲明，所考慮的都是某一固定的數(shù)域F上的線性空間.,定義,定義1 線性空間V的一個(gè)變換A 稱為線性變換，如果對(duì)于V中任意的元素 和數(shù)域F中任意數(shù)k,都有 以后我們一般用黑體大寫拉丁字母 代表V的變換， 或 代表元素 在變換A下的象。 定義中等式所表示的性質(zhì)，有時(shí)也說成線性變換保持向量的加法與數(shù)量乘法.,例1 線性空間V中的恒等變換或稱單位變換E,即 是線性變換.,例2 線性空間V中的零

3、變換 ,即 是線性變換.,例3 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，k是F中某個(gè)數(shù),定義V的變換如下：這是一個(gè)線性變換， 稱為由數(shù)k決定的數(shù)乘變換，可用 K 表示。 顯然，當(dāng)k=1時(shí)，我們便得恒等變換， 當(dāng)k=0時(shí)，便得零變換。,例4 在線性空間 或者 中，求微商是一個(gè)線性變換. 這個(gè)變換通常用D 代表，即,例5,取定,定義,的變換 A, 對(duì)于,A (X)=AX,判斷 A 是否是一個(gè)線性變換,例6,判斷 A 是否是一個(gè)線性變換,在,中, 對(duì)于任意向量,, 定義,A,例7 定義在閉區(qū)間a,b上的全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域上一線性空間，以C(a,b)代表. 在這個(gè)空間中，變換,是一線性變換.,1.

4、設(shè)A 是V的線性變換,則 這是因?yàn)?簡(jiǎn)單性質(zhì)：,2.線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變。換句話說，如果 是 的線性組合： 那么經(jīng)過線性變換A 之后， 是 同樣的線性組合：,又如果 之間有一線性關(guān)系式那么它們的象之間也有同樣的關(guān)系,3. 線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性 相關(guān)的向量組. 但應(yīng)該注意，3的逆是不對(duì)的，線性變換可能把線性無關(guān)的向量組也變成線性相關(guān)的向量組.例如零變換就是這樣.,BACK,2 線性變換的矩陣,線性變換的相等,線性變換在不同基下的矩陣,線性變換在某組基下的矩陣,像與原像之間的坐標(biāo)關(guān)系,設(shè)V是數(shù)域F上n維線性空間， 是V

5、的一組基. 空間V中任一向量 可以被基 線性表出，即 其中系數(shù)是唯一確定的，它們就是 在這組基下的坐標(biāo).,,由于線性變換保持線性關(guān)系不變， 因而在 的象 與基的象 之間有關(guān)系：,1.設(shè) 是線性空間 V 的一組基， 如果線性變換A 與B 在這組基上的作用相同，即那么A=B . 證明 A 與B 相等的意義是它們對(duì)每個(gè)向量 的作用相同. 因此，我們就是要證明 對(duì)任一向量 ，等式 成立. 而由(2)及假設(shè)，即得,結(jié)論1的意義就是，一個(gè)線性變換完全被它在一組基上的作用所決定。 2.設(shè) 是線性空間V的一組基。對(duì)于任意一組向量 一定有一個(gè)線性變換A使

6、 證明 我們來作出所要的線性變換。設(shè),是線性空間V的任意一個(gè)向量，我們定義V的變換A 為 下面來證明變換A 是線性的。 在V中任取兩個(gè)向量， 于是,按所定義的A 的表達(dá)式(4)，有 因此, A 是線性變換, 再來證A 滿足(3)式. 因?yàn)?所以,綜合以上兩點(diǎn)，得 結(jié)論 設(shè) 是線性空間V的一組基， 是V中任意n個(gè)向量. 存在唯一的線性變換A 使,我們就可以來建立線性變換與矩陣的聯(lián)系 定義2 設(shè) 是數(shù)域F上n維線性空間V的一組基，A 是V中的一個(gè)線性變換. 基向量的象可以被基線性表出：,用矩陣來表示就是 其中,矩陣A稱為A 在基 下的矩

7、陣.,例1 設(shè) 是n(nm)維線性空間V的子空間W的一組基,把它擴(kuò)充為V的一組基。 指定線性變換A 如下： 如此確定的線性變換A 稱為對(duì)子空間W的一個(gè)投影。不難證明投影A在基 下的矩陣是,m行 m列,,,例2 數(shù)乘變換 K 在任意一組基,下的矩陣,例3 在,中定義線性變換 A,, 求它在基,下的矩陣,例4 在,中，求 D 在基,下的矩陣,利用線性變換的矩陣計(jì)算一個(gè)向量的象 定理3 設(shè)線性變換 在基 下的矩陣是 A，向量 在基 下的坐標(biāo) 則 在基 下的坐標(biāo) 可以按公式,計(jì)算,證明 由假設(shè) 于是,,另一方面，

8、由假設(shè),由于 線性無關(guān)，所以,定理4 設(shè)線性空間V中線性變換 在兩組基,下的矩陣分別為A和B， 從基(6)到(7)的過渡矩陣是X, 于是 .,線性變換在不同基下的矩陣,證明 已知 于是,由此即得 定理4告訴我們，同一個(gè)線性變換 A 在不同基下的矩陣之間的關(guān)系. 這個(gè)基本關(guān)系在以后的討論中是重要的.,定理5 線性變換在不同基下所對(duì)應(yīng)的矩陣 是相似的；反過來，如果兩個(gè)矩陣相似， 那么它們可以看作同一個(gè)線性變換在兩組基下 所對(duì)應(yīng)的矩陣。 證明 前一部分已經(jīng)為定理4證明?，F(xiàn)在證明,后一部分。設(shè)n級(jí)矩陣A和B相似。 A可以看做是n維線性空間V中一個(gè)線性變換A 在基

9、 下的矩陣。,因?yàn)锽=X-1AX ，令顯然， 也是一組基，A 在這組基下的矩陣就是B.,利用矩陣相似的這個(gè)性質(zhì)可以簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算 例 設(shè)V是數(shù)域P上一個(gè)二維線性空間， 是一組基，線性變換 A 在 下的矩陣是 現(xiàn)在來計(jì)算 A 在V的另一組基 下的矩陣,這里 由定理4，A 在 下的矩陣為,顯然 再利用上面得到的關(guān)系,我們可以得到,BACK,3 線性變換的運(yùn)算,乘法 加 減 數(shù)乘 逆變換 變換的多項(xiàng)式,首先，線性空間的線性變換作為映射的特殊情形當(dāng)然可以定義乘法。設(shè)A，B 是線性空間V的兩個(gè)線性變換，定義它們的乘積AB為容易證明，線性變換的乘積也是線性變換。事實(shí)上，,線性變換的乘法,這

10、說明AB是線性的。 既然一般映射的乘法適合結(jié)合律，線性變換的乘法當(dāng)然也適合結(jié)合律，即但線性變換的乘法一般是不可交換的。例如,在實(shí)數(shù)域R上的線性空間Rx中，線性變換,的乘積 ，但一般 。 對(duì)于乘法，單位變換E有特殊的地位。對(duì)于任意線性變換A 都有,線性變換加法 設(shè)A，B是線性空間V的兩個(gè)線性變換， 定義它們的和A+B為 容易證明，線性變換的和還是線性變換. 事實(shí)上，,這就說明A+B是線性變換。不難證明，線性變換的加法適合結(jié)合律與交換律，即 證明留給讀者完成。,對(duì)于加法，零變換0有著特殊的地位。它與所有線性變換A 的和仍等于A， 對(duì)于每個(gè)線性變換A，我們可以定義它的負(fù)變換(-A)

11、：容易看出，負(fù)變換(-A)也是線性的，且 線性變換的乘法對(duì)加法有左右分配律，即事實(shí)上，,這就證明了左分配律，右分配律可以類似地證明。 在上一節(jié)例4中我們看到，數(shù)域P中每個(gè)數(shù)k都決定一個(gè)數(shù)乘變換K。利用線性變換的乘法，可以定義數(shù)域P中的數(shù)與線性變換的數(shù)量乘法為 kA=KA.即當(dāng)然K A 還是線性變換。容易看出，線性變換,我們看到，數(shù)域 F 中每個(gè)數(shù)k都 決定一個(gè)數(shù)乘變換K. 利用線性變換的乘法， 可以定義數(shù)域 F 中的數(shù)與線性變換的數(shù)量乘法為 kA=KA.即 當(dāng)然K A 還是線性變換。容易看出，線性變換,數(shù)量乘法,的數(shù)量乘法適合以下的規(guī)律： 對(duì)于線性變換，我們已經(jīng)定

12、義了乘法、加法與數(shù)量乘法三種運(yùn)算. 由加法與數(shù)量乘法的性質(zhì)可知，線性空間V上全體線性變換，對(duì)于如上定義的加法與數(shù)量乘法，也構(gòu)成數(shù)域F上一個(gè)線性空間.,V的變換A 稱為可逆的，如果有V的變換B存在，使 這時(shí)，變換B稱為A的逆變換，記為A -1。現(xiàn)在來證明，如果線性變換A 是可逆的，那么它的逆變換A -1也是線性變換。事實(shí)上，,可逆線性變換,這就說明 是線性變換。,引進(jìn)線性變換的多項(xiàng)式的概念 當(dāng)n個(gè)(n是正整數(shù))線性變換A 相乘時(shí)，我們就可以用 n個(gè) 來表示，稱為A 的n次冪，簡(jiǎn)單地記作A n . 此外，作為定義，令 根據(jù)線

13、性變換冪的定義，可以推出指數(shù)法則：,,當(dāng)線性變換A 可逆時(shí)，定義A 的負(fù)整數(shù)冪為這時(shí)，指數(shù)法則可以推廣到負(fù)整數(shù)冪的情形。 線性變換乘積的指數(shù)法則不成立，即一般說來設(shè)是Px中一多項(xiàng)式，A 是V的一線性變換，我們定義,顯然，f(A)是一線性變換，它稱為線性變換A 的多項(xiàng)式。 不難驗(yàn)證，如果在Fx中那么特別地，即同一個(gè)線性變換的多項(xiàng)式的乘法是可交換的.,例2 在線性空間 中，求微商是一個(gè)線性變換，用D表示(1例5)。顯然有其次，變數(shù)的平移也是一個(gè)線性變換，用 表示。根據(jù)泰勒展開式,因之 實(shí)質(zhì)上是D的多項(xiàng)式：,定理6 設(shè) 是數(shù)域F上n維線性空間V的一組基，在這組基下，每個(gè)線性變換按

14、公式(5)對(duì)應(yīng)一個(gè)nn矩陣。這個(gè)對(duì)應(yīng)具有以下的性質(zhì)： 1)線性變換的和對(duì)應(yīng)于矩陣的和； 2)線性變換的乘積對(duì)應(yīng)與矩陣的乘積； 3) 線性變換的數(shù)量乘積對(duì)應(yīng)與矩陣的數(shù)量乘積； 4)可逆的線性變換與可逆矩陣對(duì)應(yīng)，且逆變換對(duì)應(yīng)于逆矩陣。,證明 設(shè) 是兩個(gè)線性變換，它們?cè)诨? 下的矩陣分別是 ,即,1) 由 可知，在基 下，線性變換 的矩陣是,相仿地，因此，在基 下， 線性變換 的矩陣是AB.,3) 因?yàn)樗詳?shù)乘變換K 在任何一組基下都對(duì)應(yīng)與數(shù)量矩陣kE。由此可知，數(shù)量乘積 kA 對(duì)應(yīng)與矩陣的數(shù)量乘積kA.,4) 單位變換 對(duì)應(yīng)于單位矩陣，因

15、之等式,與等式相對(duì)應(yīng)，從而可逆線性變換與可逆矩陣對(duì)應(yīng)， 而且逆變換與逆矩陣對(duì)應(yīng)。,4 線性變換的值域與核,定義7 設(shè)A 是線性空間V的一個(gè)線性變換，A的全體象組成的集合稱為A 的值域，用AV表示.所有被A變成零向量的向量組成的集合稱為A的核，用 表示. 若用集合的記號(hào)，則不難證明，線性變換的值域與核都是V的子空間。,事實(shí)上， AV是非空的，因此AV是V的子空間.,由 與 可知 這就是說， 對(duì)加法與數(shù)量乘法是封閉的。 又因?yàn)? 所以 ，即 是非空的。 因此， 是V的子空間.,例 1 在線性空間 中，令 則D的值域就是 ，D的核就是子空間F.,AV的

16、維數(shù)稱為A 的秩， 的維數(shù)稱為A 的零度.,設(shè)A 是線性空間 V 的線性變換， 是V 的一組基，在這組基下A 的矩陣是A，則,1)A 的值域AV是由基象組生成的子空間，即2)A 的秩=A的秩.,如何求A 的值域,證明 1) 設(shè) 是V中任一向量，可用基的線性組合表示為又這個(gè)式子說明， .因此AV包含在 內(nèi). 這個(gè)式子還表明 所以,2) 根據(jù)1)，A 的秩等于基象組的秩. 另一方面， 所以， A 的秩=A的秩,如何求線性變換的核,對(duì)于,A,是,的一組基，在這組基下 A 的矩陣是,則,A,，,我們得到,A,A,從而,即,的坐標(biāo)滿足這個(gè)齊次線性方程

17、組；,反之亦然,,A,當(dāng)且僅當(dāng),的坐標(biāo)滿足,例4 設(shè),是4維線性空間,,是,的一組基, 線性變換,其中,求它的值域與核,A,定理7 設(shè)A 是n維線性空間V的線性變換，則 A 的秩+A 的零度=n. 證明 設(shè)A 的零度等于r. 在核 中取一組基 ，并且把它擴(kuò)充成V的一組基 AV是由基象組生成的.,但是 ，所以AV是由 生成的. 現(xiàn)在來證明它就是AV的一組基。為此，只需證明它們線性無關(guān). 設(shè) 成立，則這說明向量 屬于 。因此可被核的基所線性表示：,從 線性無關(guān)性推出 。因此線性無關(guān)，A 的秩=n-r, 于是A的

18、秩+A 的零度=n. 應(yīng)該指出，雖然子空間AV與 的維數(shù)之和為n，但是 并不一定是整個(gè)空間.,推論 對(duì)于有限維線性空間的線性變換， 它是1-1的充分必要條件為它是映上的。證明 若A 是1-1的,則 ， 所以AV=V, A 是映上的; 反之，若A 是映上的，則A V=V, 所以 ， A 是1-1的.,例 設(shè)A是一個(gè) 矩陣， 。證明A相似與一對(duì)角矩陣,證明 取一n維線性空間V以及V的一組基 。定義線性變換A 如下：我們來證明，A 在一組適當(dāng)?shù)幕碌木仃囀?1)。這樣，由定理4，也就證明了所要的結(jié)論。 由 ，可知 。如果 ，即有某個(gè)

19、 ，那么因此我們有,由定理11即得 在AV中取一組基 ，在 中取一組基 , 則 就是V的一組基。顯然 也就是說，,BACK,4 特征值與特征向量,我們知道，在有限維線性空間中，取了一組基之后，線性變換就可以用矩陣來表示。為了利用矩陣來研究線性變換。對(duì)于每個(gè)給定的線性變換，我們希望能找到一組基使得它的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式對(duì)角矩陣。為了這個(gè)目的，先介紹特征值和特征向量的概念，它們對(duì)于線性變換的研究具有基本的重要性。,定義8 設(shè)A 是數(shù)域F上線性空間V的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域F中一數(shù) ，存在一個(gè)非零向量 ，使得那么 稱為A 的一個(gè)特征值. 而 稱為

20、A 的屬于特征值 的一個(gè)特征向量.,,從幾何上來看，特征向量的方向 經(jīng)過線性變換后，保持在同一條直線上， 這時(shí)或者方向不變( ), 或者方向相反( )， 至于 時(shí)，特征向量就被線性變換變成0. 如果 是線性變換 A 的屬于特征值 的特征 向量，那么 的任何一個(gè)非零倍數(shù) 也是A 的 屬于 的特征向量. 因?yàn)閺?1)式可以推出,這說明特征向量不是被特征值所唯一決定的。相反，特征值卻是被特征向量所唯一決定的，因?yàn)?，一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值。 現(xiàn)在來給出求特征值和特征向量的方法。 設(shè)V是數(shù)域F上n維線性空間， 是它的一組基，線性變換 A 在這組基下的矩陣是A，設(shè) 是特征值，

21、它的一個(gè)特征向量 在 下的坐標(biāo)是 ，則 的坐標(biāo)是,的坐標(biāo)是 因此(1)式相當(dāng)與坐標(biāo)之間的等式,或,這說明特征向量 的坐標(biāo) 滿足齊次方程組,即 由于 ，所以它的坐標(biāo) 不全為零，即齊次方程組有非零解。我們知道，齊次線性方,程組(3)有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零，即,,設(shè)A是數(shù)域P上一n級(jí)矩陣， 是一個(gè)文字，矩陣 的行列式,稱為A的特征多項(xiàng)式， 這是數(shù)域P上的一個(gè)n次多項(xiàng)式。,上面的分析表明，如果 是線性變換 A 的特征值，那么 一定是矩陣A的特征多項(xiàng)式的一個(gè)根；反過來，如果 是矩陣A的特征多項(xiàng)式在數(shù)域P中的一個(gè)根，即 ，那么齊

22、次線性方程組(3)就有非零解. 這時(shí)，如果 是方程組(3)的一個(gè)非零解，那么非零向量,滿足(1),即 是線性變換 A 的一個(gè)特征值， 就是屬于特征值 的一個(gè)特征向量.,因此，確定一個(gè)線性變換A 的特征值與特征向量的方法可以分成以下幾步： 1.在線性空間V中取一組基 ，寫出A 在這組基下的矩陣A； 2.求出A的特征多項(xiàng)式 在數(shù)域P中全部的根，它們也就是線性變換A 的全部特征值； 3.把所求得的特征值逐個(gè)地代入方程組(3)，對(duì)于每一個(gè)特征值，解方程組(3)，求出一組基礎(chǔ)解系，它們就是屬于這個(gè)特征值的幾個(gè)線性無關(guān),的特征向量在基 下的坐標(biāo)。這樣，我們也就求出了屬于每個(gè)特

23、征值的全部線性無關(guān)的特征向量.,例1 在n維線性空間中， 數(shù)乘變換K在任意一組基下的矩陣都是kE， 它的特征多項(xiàng)式是因此，K 的特征值只有k. 由定義可知，每個(gè)非零向量都是屬于K 的 特征向量。,例2 設(shè)線性變換 A 在基 下的矩陣是 求A 的特征值與特征向量。 因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為 所以特征值是-1( 二重)和5。,把特征值-1代入齊次方程組,得到 它的基礎(chǔ)解系是,因此，屬于-1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是而屬于-1的全部特征向量就是 取遍數(shù)域F中不全為零的全部數(shù)對(duì).,再用特征值5代入，得到 它的基礎(chǔ)解系是,因此，屬于5的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是而屬于5的全部特征向量就是 ，

24、k是數(shù)域F中任意不等于零的數(shù).,例3 在空間FXn中，線性變換 在基 下的矩陣是,D的特征多項(xiàng)式是 因此，D 的特征值只有0. 通過解相應(yīng)的齊次線性方程組知道，屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量組只能是任一非零常數(shù). 這表明微商為零的多項(xiàng)式只能是零或非零的常數(shù).,例4 平面上全體向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)二維 線性空間，1例1中旋轉(zhuǎn) 在直角坐標(biāo)系下的矩陣為它的特征多項(xiàng)式為 當(dāng) 時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根。因之，當(dāng) 時(shí)， 沒有特征值。從幾何上看，這個(gè)結(jié)論是明顯的。,對(duì)于線性變換 A 的任一個(gè)特征值 ，全部適合條件 的向量 所成的集合，也就是A 的屬于 的全部特征向量再添上零向量

25、所成的集合，是V的一個(gè)子空間,稱為 A 的一個(gè)特征子空間,記為 . 顯然 的維數(shù)就是屬于 的線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)。用集合記號(hào)可寫為,矩陣的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，在,的展開式中， 有一項(xiàng)是主對(duì)角線上元素的連乘積,特征多項(xiàng)式中含 的n次與n-1次的項(xiàng) 只能在主對(duì)角線上元素的連乘積中出現(xiàn)， 它們是,在特征多項(xiàng)式中令 ,即得常數(shù)項(xiàng),,,因此，如果只寫出特征多項(xiàng)式的前兩項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，就有 由根與系數(shù)的關(guān)系可知， A的全體特征值的和為 (稱為A的跡)。而A的全體特征值的積為|A|.,隨著基的不同，線性變換的矩陣一般是不同的。但是這些矩陣是相似的，對(duì)于相似矩陣我們有,相似的矩陣

26、有相同的特征多項(xiàng)式,證明 設(shè)AB，即有可逆矩陣X，使B=X-1AX。 于是 定理6正好說明，線性變換的矩陣的特征多項(xiàng)式與基的選擇無關(guān)，它是直接被線性變換決定的。因此，以后就可以說線性變換的特征多項(xiàng)式了。 相似矩陣有相同的行列式。因此，以后就可以說線性變換的行列式了。,應(yīng)該指出，上述結(jié)論的逆是不對(duì)的，特征多項(xiàng)式相同的矩陣不一定是相似的。例如 它們的特征多項(xiàng)式都是 ，但A和B不相似，因?yàn)楹虯相似的矩陣只能是A本身。 最后，我們指出特征多項(xiàng)式的一個(gè)重要性質(zhì)。,哈密爾頓-凱萊(Hamilton-Caylay)定理 設(shè)A是數(shù)域F上一個(gè)nn矩陣， 是A的特征多項(xiàng)式，

27、則,證明 設(shè) 是 的伴隨矩陣，由行列式的性質(zhì)，有 因?yàn)榫仃? 的元素是 的各個(gè)代數(shù)余子式，都是 的多項(xiàng)式，其次數(shù)不超過n-1。因此由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)， 可以寫成 其中 都是nn數(shù)字矩陣。,再設(shè) 則而,比較(6)和(7)，得 以 依次從右邊乘(8) 的第一式，第二式， ，第n式，第n+1式，得,把(9)的n+1 個(gè)式子一起加起來，左邊變成零，右邊即為f(A).故 f(A)=0.定理得證。 因?yàn)榫€性變換和矩陣的對(duì)應(yīng)是保持運(yùn)算的，所以由這定理得,推論 設(shè)A 是有限維空間V的線性變換， 是 A 的特征多項(xiàng)式，那么,BACK,線性變

28、換可對(duì)角化,對(duì)角矩陣可以認(rèn)為是矩陣中最簡(jiǎn)單的一種?，F(xiàn)在我們來考察，究竟哪一些線性變換的矩陣在一組適當(dāng)?shù)幕驴梢允菍?duì)角矩陣。 定理11 設(shè) A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換， A 的矩陣可以在某一組基下為對(duì)角矩陣的充分必要條件是，A 有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 證明 設(shè)A 在基 下具有對(duì)角矩陣,這就是說，因此， 就是 A 的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 反過來，如果A 有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 那么就取 為基，顯然，在這組基下A 的矩陣是對(duì)角矩陣。,結(jié)論1 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的 證明 對(duì)特征值的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。由于特征向量是不為零的. 所以單個(gè)的特征

29、向量必然線性無關(guān). 現(xiàn)在設(shè)屬于k個(gè)不同特征值的特征向量線性無關(guān)，我們證明屬于k+1個(gè)不同特征值 的特征向量 也線性無關(guān). 假設(shè)有關(guān)系式成立. 等式兩端乘以 ，得,(1)式兩端同時(shí)施行變換A，即有,(3)減去(2)得到,根據(jù)歸納法假設(shè)， 線性無關(guān)，于是 但 所以 這時(shí)(1)式 變成 . 又因?yàn)? , 所以只有 這就證明了 線性無關(guān).根據(jù)歸納法原理，定理得證.,從上面這兩個(gè)定理就得到 結(jié)論2 如果在n維線性空間V中， 線性變換A 的特征多項(xiàng)式在數(shù)域F中 有n個(gè)不同的根，即A 有n個(gè)不同的特征值， 那么A 在某組基下的矩陣是對(duì)角形的.

30、,因?yàn)樵趶?fù)數(shù)域上的線性空間中， 如果線性變換A 的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根， 那么A 在某組基下的矩陣是對(duì)角形的. 在一個(gè)線性變換沒有n個(gè)不同的特征值 的情形，要判別這個(gè)線性變換的矩陣能不能 成為對(duì)角形，問題就要復(fù)雜些，為了利用定理 7，我們把定理8推廣為,結(jié)論3 如果 是線性變換A 的不同的特 征值，而 是屬于特征值 的線性無關(guān)的 特征向量， ，那么向量組 也線性無關(guān).,根據(jù)這個(gè)定理，對(duì)于一個(gè)線性變換， 求出屬于每個(gè)特征值的線性無關(guān)的特征向量， 把它們合在一起還是線性無關(guān)的. 如果它們的個(gè)數(shù)等于空間的維數(shù)， 那么這個(gè)線性變換在一組合適的基下的 矩陣是對(duì)角矩陣

31、； 如果它們的個(gè)數(shù)少于空間的維數(shù)， 那么這個(gè)線性變換在任何一組基下的矩陣 都不能是對(duì)角形的.,換句話說， 設(shè)A 全部不同的特征值是 ，于是A在某一組基下的矩陣成對(duì)角形的充分必要條件是A的特征子空間 的維數(shù)之和等于空間的維數(shù)。 應(yīng)該看到，當(dāng)線性變換A 在一組基下的矩陣A是對(duì)角形時(shí)：,A的特征多項(xiàng)式就是因此，如果線性變換A 在一組基下的矩陣是對(duì)角形，那么主對(duì)角線上的元素除排列次序外是確定的，它們正是A 的特征多項(xiàng)式全部的根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).,從而一個(gè)線性變換的矩陣 能不能在某一組基下是對(duì)角形的問題 就相當(dāng)于一個(gè)矩陣是不是相似于一個(gè) 對(duì)角矩陣的問題.,例 1 我們已經(jīng)算出線性變換A

32、的特征值是-1(二重)與5，而對(duì)應(yīng)的特征向量是 由此可見，A 在基 下的矩陣為對(duì)角矩陣,而由 到 的過渡矩陣是 于是，,BACK,6 不變子空間,這一節(jié)我們?cè)賮斫榻B一個(gè)關(guān)于線性變換的重要概念不變子空間. 同時(shí)利用不變子空間的概念，來說明線性變換的矩陣的化簡(jiǎn)與線性變換的內(nèi)在聯(lián)系. 定義10 設(shè)A 是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，W是V的子空間。如果對(duì)于W中任一向量 有 ，我們就稱W是A 的不變子空間，簡(jiǎn)稱A-子空間。,例1 整個(gè)空間V和零子空間0，對(duì)于每個(gè)線性變換A來說都是A-子空間。例2 A的值域與核都是A-子空間。 例3 若線性變換A與B是可交換的，則B的核與值域

33、都是A-子空間。 在B 的核 中任取一向量 ，則 即 這就證明了 是A-子空間。,在B的值域BV中任取一 向量 ， 則因此BV也是A-子空間。 例4 任何一個(gè)子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間。 這是由于，按定義子空間對(duì)于數(shù)量乘法是封閉的。,特征向量與一維不變子空間之間有著緊密的關(guān)系。A 的屬于特征值 的特征子空間 也是A的不變子空間。 我們指出，A-子空間的和與交還是A-子空間。,設(shè)A 是線性空間V的線性變換，W是A 的不變子空間。由于W中向量在A 下的象仍在W中，把A 看成是W的一個(gè)線性變換，稱為A 在不變子空間W上引起的變換。為了區(qū)別起見，我們用符號(hào)A |W來表示它；但是

34、在很多情況下，仍然可用A 來表示而不致引起混淆.,不難看出，如果線性空間V的子空間W是由向量組 生成的，即 ，則W是A-子空間的充分必要條件為 全屬于W。 必要性是顯然的. 現(xiàn)在來證充分性: 如果 全屬于W，由于W中每個(gè)向量 都可以被 線性表示,即有,所以 下面討論不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)系。 1) 設(shè)A是n維線性空間V的線性變換，W是V的A-子空間。在W中取一組基 ，并且把它擴(kuò)充成V的一組基那么，A在這組基下的矩陣就具有下列形狀,并且左上角的k 級(jí)矩陣 就是A|W在W的基 的矩陣. 這是因?yàn)閃

35、是A-子空間,所以 象 仍在W中，它們可以通過W的基 線性表示,從而A在基(1)下的矩陣具有形狀(2)，A|W在W的基 下的矩陣是 。,設(shè)V分解成若干個(gè)A-子空間的直和： 在每一個(gè)A-子空間 中取基,反之，如果A 在基(1)下的矩陣是(2)， 那么不難證明， 由 生成的子空間W是A 的不變子空間。,并把它們合并起來成為V的一組基。則在這組基下，A 的矩陣具有準(zhǔn)對(duì)角形狀其中 就是 在基(3)下的矩陣。,為不變子空間的直和是相當(dāng)?shù)摹?反之，如果線性變換A 在基(3)下的矩陣是 準(zhǔn)對(duì)角形(4)， 則由 (3)生成的子空間 是A-子空間。 由此可知，

36、矩陣分解為準(zhǔn)對(duì)角形與空間分解,下面我們應(yīng)用哈密爾頻-凱萊定理將空間V按特征值分解成不變子空間的直和。定理 設(shè)線性變換A 的特征多項(xiàng)式為 ，它可分解成一次因式的乘積則V可分解成不變子空間的直和 其中,證明 ：令,則 是 的值域。由本節(jié)的例3知道 是A 的 不變子空間。顯然 滿足下面來證明,為此要證明兩點(diǎn)，第一，要證V中每個(gè)向量 都可表成其次，向量的這種表示法是唯一的。,顯然 ，因此有多項(xiàng)式 使于是這樣對(duì)V中每個(gè)向量 都有其中這就證明了第一點(diǎn)。,為證明第二點(diǎn)，設(shè)有其中 滿足,現(xiàn)在證明任一個(gè),因 ,所以 用 作用于(5)的兩邊，即得又所以有多項(xiàng)式使于是現(xiàn)在設(shè),其中 當(dāng)然 滿足所以 由此可得到第一點(diǎn)中的表示法是唯一的。,再設(shè)有一向量 的核。把 表示成即令 ，則 是滿足(5)和(6)的向量。 所以 ， 于是 ，這就證明了 是 的核，即,返回,