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1、時間序列分析方法講義 第2章 滯后算子及其性質(zhì) 第二章 滯后算子及其性質(zhì) 滯后算子是對時間序列進行動態(tài)線性運算的主要工具，利用滯后算子可以使得一些非線性運算非常簡潔。 §2.1 基本概念 時間序列是以觀測值發(fā)生的時期作為標記的數(shù)據(jù)集合。一般情況下，我們是從某個特定的時間開始采集數(shù)據(jù)，直到另一個固定的時間為止，我們可以將獲得的數(shù)據(jù)表示為： 如果能夠從更早的時間開始觀測，或者觀測到更晚的時期，那么上面的數(shù)據(jù)區(qū)間可以進一步擴充。相對而言，上述數(shù)據(jù)只是一個數(shù)據(jù)的片段，整個數(shù)據(jù)序列可以表示為：

2、 例2.1 幾種代表性的時間序列 (1) 時間趨勢本身也可以構(gòu)成一個時間序列，此時：； (2) 另一種特殊的時間序列是常數(shù)時間序列，即：，是常數(shù)，這種時間的取值不受時間的影響； (3) 在隨機分析中常用的一種時間序列是高斯白噪聲過程，表示為：，是一個獨立隨機變量序列，每個隨機變量都服從分布。 時間序列之間也可以進行轉(zhuǎn)換，類似于使用函數(shù)關系進行轉(zhuǎn)換。它是將輸入時間序列轉(zhuǎn)換為輸出時間序列。 例2.2 幾種代表性的時間序列轉(zhuǎn)換 (1) 假設是一個時間序列，假設轉(zhuǎn)換關系為：，這種算子是將一個時間序列的每一個時期的值乘以常數(shù)轉(zhuǎn)換為一個新的時間序列。 (2) 假設和是兩個時間序列，算子

3、轉(zhuǎn)換方式為：，此算子是將兩個時間序列求和。 定義2.1 如果算子運算是將一個時間序列的前一期值轉(zhuǎn)化為當期值，則稱此算子為滯后算子，記做。即對任意時間序列，滯后算子滿足： (1) 類似地，可以定義高階滯后算子，例如二階滯后算子記為，對任意時間序列，二階滯后算子滿足： (2) 一般地，對于任意正整數(shù)，有：

4、 (3) 命題2.1 滯后算子運算滿足線性性質(zhì)： (1) (2) 證明：(1) 利用滯后算子性質(zhì)，可以得到： (2) End 由于滯后算子具有上述運算性質(zhì)和乘法的交換性質(zhì)，因此可以定義滯后算子多項式，它的作用是通過它對時間序列的作用獲得一個新的時間序列，并且揭示這兩個時間序列之間的關系。 顯然，滯后算子作用到常數(shù)時間序列上，時間序列仍然保持常數(shù)，即：。 §2.2 一階差分方程 利用滯后算子，可以將前面的一階差分方程表示成為滯后算子形式

5、： (4) 也可以表示為： (5) 在上述等式兩邊同時作用算子：，可以得到： 計算得到： 利用滯后算子性質(zhì)得到： (6) 上述差分方程的解同利用疊代算法得到的解是一致的。 注意到算子作用后的等式： 如果時間序列是有界的，即存在有限的常數(shù)，使得任意時間均有：，并且，則上式當中的尾項隨

6、著時間增加趨于零。從而有： (7) 如果利用“1”表示恒等算子，則有： (8) 記(需要注意的是，這里只是表示一個運算符號)： (9) 因此得到了“逆算子”的表達式，這類似于以滯后算子為變量的函數(shù)展開式。 定義2.2 當時，定義算子的逆算子為，它滿足： (1) (10) 其中表

7、示單位算子，即對任意時間序列，有： (2) 在形式上逆算子可以表示為： (11) 這表示逆算子作為算子運算規(guī)則是：對于任意時間序列，有： 當時，逆算子的定義以后討論。 如果時間序列是有界的，則一階差分方程的解可以表示為： 可以驗算上述表達式確實滿足一階線性差分方程。但是解并惟一，例如對于任意實數(shù)，下述形式的表達式均是方程的解。 上述差分方程的解中含有待定系數(shù)，這為判斷解的性質(zhì)留出一定的余地。 §2.3 二階差分方程 我們考察二階差分方程的滯后算子表達式：

8、 將其利用滯后算子表示為： (12) 對二階滯后算子多項式進行因式分解，即尋求和使得： 顯然和是差分方程對應的特征方程的根： (13) 當特征根和落在單位圓內(nèi)的時候(這也是差分方程的穩(wěn)定性條件)，滯后算子多項式分解為： ， 這時二階差分方程解可以表示為： 注意到算子分式也可以進行分項分式分解(如此分解需要證明，參見Sargent，1987，p. 184)：

9、 將上述表達式帶入到二階差分方程解中： 其中：， 利用上述公式，可以得到外生擾動的動態(tài)反應乘子為： ， (14) 上述利用滯后算子運算得到的乘數(shù)與以前所得完全一致。 例2.3 對于二階差分方程而言，其特征方程是： 得到特征根為： ， 上述方程的穩(wěn)定性與滯后算子多項式的根落在單位圓內(nèi)是一致的。 §2.4 p階差分方程 上述算子多項式的分解方法可以直接推廣到p階差分方程情形。將p階差分方程表示成為滯后算子形式：

10、 (15) 將上式左端的算子多項式分解為： (16) 這相當于尋求使得下述代數(shù)多項式恒等： (17) 定義，則可以將上述多項式表示成為： (18) 這意味著算子多項式的分解，就相當于求出差分方程特征方程的根。 如果差分方程的根相異，且全部落在單位圓內(nèi)，則可以進行下述分式分解： (19) 通過待定系數(shù)法，可以得到上述分式中的參數(shù)為： ， (20)

11、顯然有： (21) 利用上述算子多項式分解，可以得到差分方程的解為： (22) 通過上述方程通解，可以得到動態(tài)反應乘子為： ， (23) 命題2.2 外生變量對現(xiàn)值的影響和外生變量持續(xù)擾動對的動態(tài)影響乘子是： 證明：將差分方程的解表示為： ， 其中： ， 設： 利用算子多項式表示： 對現(xiàn)值的影響可以表示為： 注意到： 因此有： 長期乘數(shù)

12、相當于的情形，從而得到公式所示的公式。 End 上述命題結(jié)論是利用滯后算子多項式推導的，其結(jié)論同利用差分方程矩陣表示所得到的結(jié)論是一致的。 §2.5 初始條件和無界序列 假設給定下述線性差分方程： (24) 一般情況下，求解p階差分方程的特解，需要p個初值：，也需要外生變量的一個輸入序列：，這樣一來根據(jù)差分方程結(jié)構(gòu)，便可以確定的時間路徑。但是，在一些常見的經(jīng)濟或者金融時間序列當中，無法給定具體的初值或者完整的外生輸入變量，那么這時差分方程解的性質(zhì)如何？ 例2.4 假

13、設變量表示股票價格，表示股票派發(fā)的紅利。如果一個投資者在時刻買入股票，然后在時刻賣出股票，則他將獲得實際紅利收入和價格收益，因此投資者的收益率為： (25) 在簡單的股票市場模型當中，假設收益率是常數(shù)，則上述方程可以轉(zhuǎn)化為股票價格的差分方程模型： (26) 如果知道紅利序列和股票價格的初值，則可以得到股票價格路徑為： (27) 但是如果

14、僅僅知道紅利序列，而不知道股票價格初值，則可能有很多價格軌跡滿足價格的差分方程。為了說明這個問題，進一步假設紅利為常數(shù)，則有： (28) (1) 如果初始時期股票價格等于紅利貼現(xiàn)，即，則有： ， 此時股票價格保持常數(shù)，股價等于紅利除以收益率。這種股票價格被稱為在收益率是常數(shù)情形的股價基礎成分。 (2) 假設初始股價超過了，即，這時股票價格出現(xiàn)了擴散現(xiàn)象，這與資產(chǎn)定價理論相符。因為為了保持資產(chǎn)收益率不變，股票的價格就會出現(xiàn)持續(xù)上升，同時假設紅利是固定的，紅利帶來的實際收益減少將被股價的加速增長所彌補，這樣就出現(xiàn)了股票價格膨脹的現(xiàn)

15、象，即出現(xiàn)股票價格泡沫。 (3) 為了消除股價中的投資泡沫，一種方法是對股票價格路徑給予有界性限制。例如，假設對于所有時期的股票價格滿足： ， 這樣一來，滿足上述約束的股票價格路徑便是常數(shù)的市場基礎價格。 上面假設了常數(shù)紅利，現(xiàn)在假設紅利序列是有界的。將股價表示為： 進行向前疊代運算有： 如果價格序列滿足約束條件： 在假設和均是有界序列，則得到股票價格水平滿足： 這是紅利隨時間變化時股票價格的市場基礎成分。 需要注意的是，對于上述情形的市場基礎成分，需要投資者對于未來紅利具有完全預期。當引入預期紅利時，上述表達式仍然適用，這時可以修改為： 利用紅利預期的

16、股價公式，可以確定價格初值： 如此初值是否滿足一般的股價模型，我們可以代入到具有初值的確定解中驗證： 將代入上式后得到： 這正是在邊界條件下所推導的向前預期解，由此可見該解與初值選擇是吻合的。 例2.5 我們繼續(xù)利用滯后算子方法討論股票價格路徑的性質(zhì)。利用算子表示為： 在上述表達式中，滯后算子多項式的特征根小于1，無法采用逆算子的一般表達式，為此我們需要采取新的定義。 定義滯后算子的逆算子為，具有性質(zhì)： (1) (2) 這樣一來，滯后算子乘積就具有冪乘的性質(zhì)： 對于任意正整數(shù)和，有： 對方程(2.12)兩端乘以算子多項式： 整理得到： 當

17、，且紅利序列是有界的，則上述極限為： 根據(jù)上述運算，可以定義下述算子的逆算子： §2.6 差分方程的求解方法 上面我們主要論述了差分方程的表示和外生擾動的動態(tài)乘子，下面我們給出差分方程的一般求解過程。 第一步：構(gòu)造p階齊次差分方程，并且尋求齊次方程的p個解：， 第二步：構(gòu)造p階非齊次差分方程的特解。 第三步：齊次方程p個解的線性組合加上非齊次方程的一個特解，得到非齊次方程的通解。 第四步：根據(jù)給定的邊界條件，確實通解當中的未知參數(shù)，得到非齊次方程的確定解。 2.6.1 齊次差分方程的通解和穩(wěn)定性 p階齊次差分方程的形式是： 命題2.3 對于差分方程

18、而言，下述推斷成立： (1) 如果是方程的解，則對任意常數(shù)，也是解。 (2) 如果和是方程的解，則對任意實數(shù)和，也是方程的解。 證明：留做練習。 對于p階齊次差分方程，我們嘗試地檢驗解的形式是：，代入差分方程為： 由此可見，應該是上述特征方程的根。因此，如果差分方程具有相異實數(shù)根的時候，可以得到p個解為：，，此時解的穩(wěn)定性要求所有根落在單位圓內(nèi)。 命題2.4 對于齊次差分方程而言： (1) 齊次方程所有特征根落在單位圓內(nèi)的必要條件是：； (2) 齊次方程所有特征根落在單位圓內(nèi)的充分條件是：； (3) 齊次方程至少具有一個單位根的充要條件是： 如果齊次方程的特征根出

19、現(xiàn)重根，則應該尋求多項式與指數(shù)函數(shù)乘機形式的解。例如，如果二階齊次差分方程具有重根，則兩個解應該分別是，。 2.6.2 非齊次差分方程的特解 如何尋求非齊次線性差分方程的特解，需要根據(jù)非齊次項的具體性質(zhì)判斷。 (1) 指數(shù)形式的非齊次項 此時方程形式是： 可以嘗試特解形式為：，可以求解出特解為： 如果，嘗試解的形式為： 如果，可以選取其他形式的嘗試解。 (2) 確定性時間趨勢 此時方程形式是： 此時嘗試解的形式選為： 2.6.3 非齊次差分方程的通解 獲得齊次方程的p個解以后，它們的線性組合構(gòu)成了齊次方程的通解；如果再獲得一個非齊次方程的一個特解，則可以得到非齊次方程的通解，它是齊次方程p個解的線性組合加上非齊次方程的特解。 這里需要注意的是，上述通解中的線性組合中有p個未知系數(shù)，這是需要p個條件來確定這些系數(shù)，這些系數(shù)確定以后，就可以得到具有邊界或者初值條件的差分方程的具體解，或者唯一解。這個唯一解的系數(shù)則具有相應的經(jīng)濟含義。 8