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1、第5章 振動和波動,振動是指某一物理量（如位移、電壓、電場強度、氣壓等）在一個定值附近隨時間反復變化的現(xiàn)象。,位移隨時間反復變化是機械振動,電量隨時間變化反復變化是電磁振動,任何周期振動都可以看作是不同頻率的簡諧振動的合成。簡諧振動是一種最簡單、最基本的振動。,物體振動時，決定其位置的坐標按余弦（或正弦）函數(shù)規(guī)律隨時間變化，這樣的振動稱為簡諧振動。簡諧振動是理想化模型，許多實際的小振幅振動都可以看成簡諧振動。,5.1 簡諧振動,,,以彈簧振子為例（彈簧質量不計，不計摩擦）,o點選在彈簧平衡位置，物體受力：,由牛二定律，上式寫為：,令,有：,上式微分方程的解為：,,,5.1.1 簡諧運動的描述,

2、1. 簡諧振動的運動學判據(jù),判據(jù)1：物體所受回復力與位移成正比且反向,判據(jù)2：物理量對時間的二階導數(shù)與本身成正比且反向,判據(jù)3：物理量是時間的余弦（正弦）函數(shù),簡諧振動的三個判據(jù),彈簧振子的速度與加速度是否作諧振動？,2 諧振動的特征量,（1）圓頻率 ,彈簧振子的圓頻率,（2）振幅 A、初相位,圓頻率由振子的本身特性決定,(設t=0 時，x=x0，v=v0 ),由,,有,,得到,由,可知：當振動的角頻率和振幅已知時，由相位可唯一地確定質點的運動狀態(tài)。,（3）相位= t+,用位相來描述質點的運動狀態(tài)有兩個顯著的優(yōu)點,頻率：1秒內物體完成全振動的次數(shù),（1）可以直觀地體現(xiàn)簡諧振動具有周期的特點,由

3、,周期,（2）可以方便地比較兩個同頻率振動的步調,有兩個同頻率振動,,二者同相,二者反相,x2 振動較 x1 振動超前,x2 振動較 x1 振動落后,【例1】 求單擺振動方程（質量集中于小球上）。,【解】取逆時針為 張角正向，以懸點為軸，只有重力產(chǎn)生力矩。,則有,由轉動定律：,令,單擺作諧振動,當 <5o 時,得到,有,,,例2 底面積 S 的長方形木塊，浮于水面，水下部分高度為 a，用手按下 x 后釋放，證明木塊運動為諧振動。,證明 平衡時,任意位置x處，合力,為回復力，作諧振動。,,,例3 假設沿地球直徑打一孔，物體從孔中落下。證明：物體作諧振動。,證明 物體受萬有引力與內層質量有關。,,

4、,為回復力，作諧振動。,,,將物理模型轉變成數(shù)學模型,初始角坐標為 的矢量 A 以角速度 逆時針作勻速圓周運動，端點 M 在 x 軸上投影點的運動描述為：,,,,,M點運動在 x 軸上的投影點的運動，可用諧振動的運動方程來描述。,5.1.2 簡諧振動的旋轉矢量法,例4已知質點的振動方程為,求質點從 t=0 開始到 x=-2cm 且沿 x 方向運動所需要的最短時間。,,,,,解 旋轉矢量在由0 t 時間內轉過的角度為,所需最短時間為：,例5 根據(jù)下圖寫出振動方程,,,,例6 根據(jù)下圖寫出振動方程,,,,簡諧振動過程中諧振子只受保守力的作用，振子系統(tǒng)能量守恒。這種振動系統(tǒng)為孤立諧振動系統(tǒng)。,以彈簧

5、振子為例，其動能和勢能為,總能量守恒,5.1.3 簡諧振動的能量,例7 豎直懸掛的彈簧振子如圖所示，設平衡時彈簧伸長為 x0, 振幅為A，計算其機械能：（1）以平衡位置為坐標原點，以彈簧原長處為重力勢能和彈性勢能零點；（2）以平衡位置為坐標原點及勢能零點。,解：（1）,由,得,（2）以平衡位置為勢能零點,設,在題給勢能零點條件下,平衡位置為勢能零點，Ep=kx2/2 即包括彈性勢能又包括重力勢能，稱之為準彈性勢能。,例8一質點的諧振方程為x =6.010-2cos(t /3 -/4)(SI) （1）周期、頻率各為多少？ （2）當 x 值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？ （3）質點從平衡位置

6、移到此位置所需最短時間為多少？,解,如果,,,,,,,,,,例9 一輕彈簧的勁度系數(shù)為k，其下懸有質量為m的盤子，現(xiàn)有一個質量為M的物體從離盤h處下落到盤中并和盤粘在一起，于是盤開始振動求其振幅多大。,,,解 以輕彈簧和（m+M）系統(tǒng)的平衡位置為坐標原點，取向下為正。初始位置為,由,再由,解得,利用旋轉矢量法求合振動,,,,,,,,,,1. 同方向、同頻率的簡諧振動的合成,合振動,5.2. 振動的合成,5.2.1 同方向的簡諧振動的合成,,,,,,,,,例10同一直線上有n 個頻率相同的諧振動，它們振幅相等且初相依次相差一個恒量，求合振動。,解 設這 n 個諧振動的頻率為 ，初相依次相差，由旋

7、轉矢量法，得到,,,,,,,得到,這種振動的合成一般比較復雜，這里只討論,兩諧振動的頻率1、2比較大；,兩諧振動的頻率相差比較小： 12,設,合成,合振動是一個振幅被調制的振動，是非周期性的,2. 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成,振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫做拍,單位時間內合振動加強或減弱的次數(shù)稱為拍頻,所以拍頻：,,設分振動,1 互相垂直的頻率相同的兩個諧振動的合成,消去時間 t ，得到合振動的軌道方程：,合振動軌道方程是個橢圓方程,5.2.2 相互垂直簡諧振動的合成,上式變?yōu)椋?質點作直線運動,(1),方程為：,(2),質點作直線運動,(3),質點軌跡為橢圓,方程為：,(4),方程仍為,

8、質點軌跡為橢圓,(5),軌道形狀與分振動的振幅、頻率比和相位差有關,2.相互垂直的頻率成整數(shù)比的兩個諧振動的合成,這種軌道圖形稱為李薩如圖形。,軌道形狀與分振動的振幅、頻率比和相位差有關。,1. 振動在空間的傳播過程叫做波動。,2. 常見的波有兩大類:,(3) 在微觀領域中還有物質波。,3. 各種波的本質不同, 但其基本傳播規(guī)律有許多相同之處。,5.4 平面簡諧波,波動是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質點本身的傳播。,1. 產(chǎn)生機械波的條件,產(chǎn)生波的條件存在彈性介質和波源,波源處質點的振動通過彈性介質中的彈性力， 將振動傳播開去，從而形成機械波。,5.4.1 機械波的產(chǎn)生與描述,1）橫波

9、,各質點振動方向與波的傳播方向垂直的波。,根據(jù)介質質元的振動方向與波的傳播方向間的關系，可以將機械波分為兩類：橫波和縱波。,2. 波的分類,各質點振動方向與波的傳播方向平行的波。,縱波是靠介質疏密部變化傳播的。,任一波,如水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進行研究。,2）縱波,橫軸 x 表示波的傳播方向,坐標 x 表示質點的平衡位置,縱軸 y 表示質點的振動方向,坐標 y 表示質點偏離平衡位置的位移,表示某一時刻波中各質點位移的圖,橫波的波形圖與實際的波形是相同的，但是對于縱波，波形圖表示的是各質點位移的分布情況。,3. 波形圖,4. 描述波特性的幾個物理量,周期T : 傳播一個完整的波形所

10、用的時間，或一個完整的波通過波線上某一點所需要的時間。,頻率 ：單位時間內傳播完整波形的個數(shù)。,波長 ：兩相鄰波峰或波谷或相位相同點間的距離，或振動在一個周期中傳播的距離。,周期、頻率與介質無關，波在不同介質中頻率不變。,波速u: 單位時間某種振動狀態(tài)（或振動相位）所傳播的距離稱為波速u ，也稱之相速 。,,,機械波的波速決定于介質的慣性和彈性，因此，不同頻率的同一類波在同一介質中波速相同。,在各向同性均勻固體中,橫波,縱波,,G 切變彈性模量， E 楊氏模量， 密度。,T、 、 、u 的關系,若波源作簡諧振動, 在波傳到的區(qū)域, 媒質中的質元 均作簡諧振動，這種波稱為簡諧波。,5.4.2 平

11、面簡諧波的波函數(shù),人們用波函數(shù)描述波，波函數(shù)應能描述質點在空間任一點、 任一時刻的位移。,這個函數(shù)表達式也叫做波動方程,【例1】設原點（非振源，是參考點）處的簡諧振動為 。假設u為波速, 媒質無吸收即質元振幅均為A，沿 x 正方向傳播的簡諧波的波函數(shù)是什么？,【答】,波從原點傳到任一點P (坐標為 x ）所需的時間是 x / u , 所以任一時刻 t ,任一點 P 的位移（即波函數(shù)）為,或：沿波的傳播方向, 各質元的相位依次落后。, 抓住概念：某時刻某質元的相位（振動狀態(tài)） 將在較晚時刻于“下游”某處出現(xiàn)。,如何寫出平面（一維）簡諧波的波函數(shù)？, 須知三個條件：,1. 某參考點的振

12、動方程( A, , ) 2. 波長 (或 k,或 u),3. 波的傳播方向,另外常用的幾種寫法：,對于,思考：波形曲線和振動曲線有什么不同？,任意 P點的振動表達式為,P點的振動比 a 點落后,【例2】設媒質無吸收，參考點 a 的振動表達式為,已知波長為 ，寫出沿+x方向傳播的簡諧波？,【解】,問：沿 - x方向傳播的簡諧波表達式如何?,對于某一給定的相位,兩邊求導得,說明波的相位的傳播速度就是波速 u ， 所以，波速 u也稱為相速度。它可以超過光速。,相速度,------這就是某一給定的相位的 位置 x 與時間 t 的關系。,稱為x 處t 時刻的相位或相， 它是最活躍的因素， 通常說

13、：它決定了振動的狀態(tài)。,,【例3】下圖是一平面簡諧波在t=2秒時的波形圖，由圖中所給的數(shù)據(jù)求：（1）該波的周期；（2）傳播介質O點處的振動方程；（3）該波的波動方程。,,O點振動方程為,波動方程,【解】利用旋轉矢量法求出,隨著波的行進,能量在傳播。,波的能量 = 振動動能 + 形變勢能,考慮細長棒上一段 小質元 x，如圖：, 動能密度,以沿 x 軸傳播的平面簡諧縱波為例：,波在彈性媒質中傳播時,各質元都在振動，,5.4.3 波的能量,1. 波動的能量,小質元動能,當有平面波傳播時， x 處，縱向位移,動能密度為:, 勢能密度,考慮細棒上小質元的彈性形變y,彈性拉力：,彈性勢能 =彈性拉力作的功

14、 （變力的功）,F= k y,因,勢能密度又寫為:,勢能密度為:,對沿 x 軸傳播的平面簡諧波,y(x,t)=Acos(t-kx),wk、wp 均隨 t 周期性變化,兩者同相同大 。,怎么動能和勢能之和不等于常數(shù),也不相互轉化 ？,E=u2,由于,w = wk+wp = 2A2sin2 (t-x/u), 能量密度,2. 波的強度,單位時間內通過垂直于波的傳播方向的 單位面積的平均能量,稱為平均能流密度, 又稱為 波的強度 I 。,平均能流密度(波的強度)即,【解】,【例4】 一平面簡諧波，波速為 340ms-1，頻率為 300Hz在橫截面積為 3.00 10-2m2的管內的空氣中傳播，若在10

15、秒內通過截面的能量為 2.70 10-2J，求：（1）通過截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度。,5.6.1 惠更斯原理,“媒質中波傳到的各點,都可看作開始發(fā)射 子波(次級波)的子波源(點波源)，,在以后的任一時刻,這些子波面的包絡面 就是新的波前 ”。,研究波的傳播方向：知道某時刻波前的位置， 能否知道下一時刻的波前位置？,若媒質均勻、各向同性 ,各子波都是 以波速 u 向外擴展的球面波。,5.6 波的疊加,例：已知 t 時刻的波面，得出 t + t 時刻的波面, 就可得出波的傳播方向 .,實驗說明了惠更斯原理的正確性。,5.6.2 波的疊加原理,媒質中同時

16、有幾列波時,每列波都將保持 自己原有的特性,不受其它波的影響 -----波傳播的獨立性。,“在幾列波相遇而互相交疊的區(qū)域中,某點的振動是各列波單獨傳播時在該點引起的振動的合成”----波的疊加原理.,當波的振幅、強度過大時，媒質形變與彈力的關系不再呈線性，疊加原理就不再成立。,,考慮頻率相同、振動方向相同、有恒定的相位差的兩列波相遇時情況,,設波源 S1 、 S2的振動方程為：,,,兩列波在P點的振動方程為：,P點合振動振幅：,5.6.3 波的干涉,,相遇點振動加強,當,相遇點振動減弱,當,頻率相同、振動方向相同、有恒定的相位差的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，某些地方振

17、動始終減弱的現(xiàn)象叫做波的干涉。,S1 、 S2在P點引起振動的相位差為：,波程差為波長的整數(shù)倍時干涉加強。,當,時,加強條件,寫為,減弱條件,寫為,波程差為半波長的奇數(shù)倍時干涉減弱。,【例5】相干波源 A、B 位置如圖所示，頻率 =100Hz，波速 u =10 m/s，A-B=，求：P 點振動情況。,【解】,P點干涉減弱,【例6】兩相干波源分別在 PQ 兩點處，初相相同，它們相距 3 / 2，由 P、Q 發(fā)出頻率為 ，波長為的兩列相干波，R 為 PQ 連線上的一點。求：自P、Q 發(fā)出的兩列波在 R 處的相位差。兩波源在 R 處干涉時的合振幅。,【解】,合振幅最小,5.6.4 駐波,駐波是兩列振

18、幅、頻率和傳播速率都相同的相干波在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而形成的。,設有向左傳播的波和向右傳播的波在原點處相位相同，它們的波動方程分別寫作：,它們的合振動,駐波方程,1. 駐波,,,,,波節(jié)振幅始終為 0 的位置,波腹振幅始終最大的位置,振幅與位置 x 有關,波節(jié)兩側的振動相位相反，兩波節(jié)間同步振動,駐波的波形、能量都不能傳播,波節(jié)位置決定于,相鄰波節(jié)距離,相鄰波腹距離,波腹位置決定于,波節(jié)與波腹之間的距離為/4,繩上向某方向傳播的波 與在固定點反射的波合成的結果形成駐波。在反射點處的繩固定不動，是波節(jié)。,反射波與入射波的相位在此正好相反，有“半波損失”。,2. 半波損失,當反射點處的

19、繩是自由端時，反射波沒有 “半波損失”，形成的駐波在此是波腹。,【例7】入圖所示，為一向右傳播的簡諧波在 t 時刻的波形圖，當波從波疏介質入射到波密介質表面 BC，在 P 點反射時，反射波在 t 時刻波形圖為,（D）,多普勒效應：當波源S和觀察者R有相對運動時，接收器所測得的頻率R不等于波源振動頻率S的現(xiàn)象。, 介質中波速u。, 設 S 和 R的運動沿二者連線。, S 和 R 的速率分別為vS、vR。, 三個頻率 :,S 波源振動頻率, 波在介質中的頻率,R 接收頻率,5.7 多普勒效應,分幾種情況討論,S = ，但 R = ?,1 波源靜止，接收器運動 (vS= 0，vR 0),設R 向著

20、靜止的S運動，,單位時間內 R 所接收的 波的個數(shù)為,因為S = ,,,R 靠近S時， 上式中u+vR ，RS , 聲音變尖。,R 遠離S時， 上式中u-vR ， R

21、超過波速(vSu),產(chǎn)生以S 為頂點的圓錐形的波,例： 超音速飛機會在空氣中 激起沖擊波。,例： 船速超過水波波速時 可以看到這種V形波。,上式失去意義，這時,多普勒效應的實際例子與應用,1.測速,測定汽車,飛機等的速度,光波也有多普勒效應。,相互接近時 R S 接收頻率變高； 相互遠離時 R< S 接收頻率變低（紅移）。,光波的傳播不依靠媒質， 要從相對論來討論其 多普勒效應的原理（略）。,但是，定性的結論是一樣的：,2. 星體光譜的紅移,星體光譜都有紅移現(xiàn)象---- 宇宙在膨脹。,【解】（1）,【例8】一聲源振動的頻率為2040Hz，以速度 Vs向一反射面接近，觀察者在A處測得拍音的頻率 =3 Hz，如果聲速為340m/s，求波源移動的速度？如果波源不動，反射面以速度V=0.20m/s向觀察者接近，測得拍頻 =4 Hz，求波源的頻率？,觀測者直接接收的頻率：,觀察者接收到的反射面反射的頻率（也就是反射面接收到的頻率）：,則：,得出：,（2）,觀察者接收到的運動的反射面反射的頻率：,反射面接收到的頻率：,觀測者直接接收的頻率：,則：,得出：,