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1、工 程 斷 裂 力 學(xué)Engineering Fracture Mechanics,（ 40 學(xué) 時 ）,主 要 章 節(jié),第一章：與斷裂力學(xué)有關(guān)的工程力學(xué)基礎(chǔ)（復(fù)習(xí)） （7） 第二章：線彈性斷裂力學(xué)初步 （15） 第三章：彈塑性斷裂力學(xué)簡要 （8） 第四章：斷裂力學(xué)在疲勞裂紋擴(kuò)展中的應(yīng)用 （6） 復(fù)習(xí) （2） 考試 （2） 主要參考書：工程斷裂力學(xué)李洪升等編 工程斷裂力學(xué)基礎(chǔ)王克仁等譯 （“Elementary Engineering Fracture Mechanics” D. Broek）,緒論, 斷裂力學(xué)產(chǎn)生的背景

2、斷裂現(xiàn)象古老而普遍的問題 人工具斷裂 （石器，木棒、陶器損壞、折斷、更換） 工業(yè)發(fā)展事故 （火車、橋梁、房屋軸斷、橋壞、房塌） 戰(zhàn)爭災(zāi)難尤甚 （飛機(jī)、戰(zhàn)船、火炮機(jī)毀、船折、人亡） 斷裂發(fā)生的根本原因 設(shè)計問題 理論不完善 使用問題 使用不正確 材料問題 材料不完整 其中材料問題最復(fù)雜、認(rèn)識有限！材料為什么會斷裂？斷裂原因和規(guī)律 是什么？幾百年來的研究課題。,考慮一個問題： 下圖是4塊等厚度的板， A的寬度為 W ，B、C、D 3塊的寬度為 W+a 。但在這增加的寬度a上分別為無缺陷，有直徑為d 的孔缺陷和裂紋缺陷，在兩端分別施加均勻拉力 F1、F2、F3、F4

3、后破壞，請問：所施加力的大小應(yīng)怎樣排列？,答案：,Why?,緒論, 材料不是完美無瑕的 工程材料都有缺陷（先天 夾雜、夾渣、瑕疵、空洞、裂縫 后天 冶煉、加工、制造、安裝、使用） 材料中的宏觀尺寸缺陷這里通稱為裂紋（尖裂紋或鈍裂紋）。 由于材料有缺陷，材料的自身強(qiáng)度是理論強(qiáng)度的1/10-1/100； 由于材料有缺陷，材料在受力后會在缺陷處產(chǎn)生嚴(yán)重的應(yīng)力集中； 由于材料有缺陷，材料會在某種應(yīng)力作用下產(chǎn)生亞臨界裂紋擴(kuò)展，材料對 外界的抗力不僅與外力有關(guān)還與裂紋的長度有關(guān)。 斷裂研究的重大意義 社會和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需求是科學(xué)發(fā)展的動力。結(jié)構(gòu)件的失效帶來巨大的社會和經(jīng)濟(jì)問題。

4、斷裂是所有失效中最嚴(yán)重、最危險的失效。飛機(jī)失事80%以上是疲勞或應(yīng)力腐蝕斷裂引起。發(fā)達(dá)國家每年因斷裂失效造成的損失為GDP的4%（美國因此每年損失1000 多億美元）,同時斷裂給人身生命安全造成極大威脅（地球板塊斷裂研究是地震研究的重要方向）。因此斷裂研究有重大的經(jīng)濟(jì)和社會意義 。,緒論,, 盡管社會不斷發(fā)展，斷裂問題仍層出不窮 多少世紀(jì)來，人們積累了大量有關(guān)斷裂的現(xiàn)象和經(jīng)驗(yàn)，但一般的解決方法就是替換，換新的或找更強(qiáng)的材料代替，對斷裂的認(rèn)識停留在現(xiàn)象上。18世紀(jì)以來隨著工業(yè)的發(fā)展，對構(gòu)件需求和要求更高，開始探索斷裂理論，以材料力學(xué)為代表的理論、 模型等隨后提出幾十個。但隨著新材料（如高強(qiáng)度

5、鋼）新工藝（如焊接）的發(fā)展，斷裂問題仍層出不窮。Why ? 這一方面說明斷裂問題的復(fù)雜性，另一方面說明，已有的斷裂理論還解決不了全部問題。 上世紀(jì)中，在現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展和戰(zhàn)爭的的推動下，人們對斷裂現(xiàn)象認(rèn)識的進(jìn)一步深化，對材料強(qiáng)度、缺陷、位錯、應(yīng)力集中等理論研究不斷深入，斷裂力學(xué)終于在1957年應(yīng)運(yùn)而生，成為學(xué)科，且已經(jīng)在生產(chǎn)和設(shè)計中發(fā)揮重大作用，并繼續(xù)承受檢驗(yàn)。 什么是斷裂力學(xué)？ 斷裂力學(xué)是一門研究含裂紋物體，裂紋的啟裂、擴(kuò)展到斷裂的宏觀過程及斷裂條件的科學(xué)。,緒論, 代表人物 談到斷裂力學(xué)發(fā)展，它歸功很多人，有三個人值得我們特別提出，他們是：Inglis, Griffith, Irwin.

6、Inglis 把缺陷看成材料內(nèi)部的小孔, 1913年理論計算了無限大板中心橢圓孔受力的應(yīng)力分布, 具體計算了孔邊應(yīng)力集中問題。Griffith 1920 年在 Inglis 的基礎(chǔ)上，用能量法分析了脆性材料的破壞準(zhǔn)則，成為斷裂力學(xué)最早的奠基者。Irwin 則在前人的基礎(chǔ)上，1957年成功地分析了裂紋尖端的應(yīng)力場和位移場，提出了應(yīng)力強(qiáng)度因子的概念,使斷裂力學(xué)成為一門學(xué)科。 此后許多科學(xué)家在這方面做出了貢獻(xiàn)。我國60年代初就開始了斷裂力學(xué)的研究工作。雖然因文革延誤，但陳篪等科技工作者還是做出了相當(dāng)突出的工作。 近來的發(fā)展： 斷裂力學(xué)在上世紀(jì)6080年代得到長足發(fā)展，經(jīng)歷發(fā)燒期，建立了許多理論

7、。,緒論,1989 Irwin指出： “線彈性斷裂力學(xué)已基本成熟，關(guān)鍵是在應(yīng)用中 不斷完善；彈塑性斷裂力學(xué)及動態(tài)斷裂力學(xué)還有很長的路要走”。 1989 ICF大會主席之一Leibowite指出： “盡管多年來斷裂力學(xué)在解決重大問題上取得很大進(jìn)展，但必須明了斷裂力學(xué)遠(yuǎn)非一門成熟的學(xué)科。今后最迫切的是需要付出極大的努力發(fā)展能預(yù)測穩(wěn)定裂紋啟裂或擴(kuò)展的更完善的斷裂理論。其中一個主要方向就是要深入研究斷裂力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的區(qū)別，并找出能統(tǒng)一裂紋與非裂紋體的統(tǒng)一理論” 目前斷裂力學(xué)研究已經(jīng)過了發(fā)燒期，處于向動態(tài)斷裂力學(xué)等方向深度發(fā)展階段。 主要學(xué)習(xí)內(nèi)容 線彈性斷裂力學(xué)為主, 注重應(yīng)用 材料科

8、學(xué)與工程和該課程的關(guān)系 結(jié)構(gòu)材料包括功能材料工程應(yīng)用必須正視或解決的問題。 要求：重視概念、學(xué)以致用、適當(dāng)記筆記。,第一章：與斷裂力學(xué)有關(guān)的工程力學(xué)基礎(chǔ), 1-1 一點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng)變 1-1-1 一點(diǎn)的應(yīng)力 1-1-2 斜截面上的應(yīng)力 1-1-3主應(yīng)力和主平面 1-1-4 一點(diǎn)的應(yīng)變 1-2 平衡微分方程 1-2-1 微單元的平衡方程 1-2-2 邊界條件 1-2-3 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（各項(xiàng)同性、小變形、彈性連續(xù)體） 1-3 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變 1-3-1 平面應(yīng)力 1-3-2 平面應(yīng)變, 1-4 相容方程和應(yīng)力函數(shù) 1-4-1 相容方程 1-4-2 求解平面問題的基本

9、方程 1-4-3 應(yīng)力函數(shù) 1-4-4 極坐標(biāo)求解平面問題方程 1-5 應(yīng)變能密度 1-6 應(yīng)力函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示 1-6-1 復(fù)變量復(fù)習(xí)： 1-6-2 用復(fù)變函數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù) 1-7 材料的變形模型 1-7-1 簡單拉伸的試驗(yàn)結(jié)果 1-7-2 材料單向受力的簡化模型 1-8 材料的屈服條件,第一章：與斷裂力學(xué)有關(guān)的工程力學(xué)基礎(chǔ), 1-1-1 一點(diǎn)的應(yīng)力 正應(yīng)力 切應(yīng)力 應(yīng)力張量 1-1-2 斜截面上的應(yīng)力 斜截面上的應(yīng)力分量 Einstein 求和約定 斜截面公式 1-1-3 主應(yīng)力和主平面 主應(yīng)力與主平面的定義 求解主應(yīng)力 應(yīng)力不變量

10、 1-1-4 一點(diǎn)的應(yīng)變 線應(yīng)變 剪應(yīng)變 應(yīng)變張量 應(yīng)變與位移的關(guān)系, 1-1 一點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng)變, 1-1 一點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng)變, 1-1-1 一點(diǎn)的應(yīng)力 應(yīng)力的定義 物體（各向同性的彈性體）在一個微面上受的力dF與該微面面積dA的比（即 單位面積上的力）定義為該微面上應(yīng)力： AdF/dA 由于dF可以分解為垂直于dA和平行于dA 的分力， 因此可以產(chǎn)生 垂直于該面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力 和 平行于該面的應(yīng)力稱為剪應(yīng)力,,,,,,,,,,,dF,dA,,,,,Fi, 一點(diǎn)的應(yīng)力,應(yīng)力是定義在一個面上的，過一點(diǎn)有無數(shù)多個 面，這些面上都有應(yīng)力，但

11、不是互相獨(dú)立的。通常 物體內(nèi)部的一點(diǎn)用一個小正六面體來表示，只要知 道這六個面上的應(yīng)力，其它各面上的應(yīng)力就可以確 定了。當(dāng)六面體的各面趨近于零就代表一個點(diǎn)了。 在（x,y,z）坐標(biāo)系下，對于各向同性的彈性 體，六面體各個面上的應(yīng)力可以表示為： 或表示為 一點(diǎn)的應(yīng)力可以用上述應(yīng)力分量表示，它是一 個張量 ，通常簡略表示為ij 。,x,x,x,及, 一點(diǎn)的應(yīng)力,各向同性材料過一點(diǎn)的其它各面上的應(yīng)力都可以通過平衡關(guān)系用這9個量來表示。 這9個量表示了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。張量是一組表示某種性質(zhì)的量的組合。它不是一個值。 因此，不可以說一點(diǎn)的應(yīng)力多大，只能說某個面上的應(yīng)力有多大，或一點(diǎn)某個方向 上應(yīng)力

12、多大（實(shí)際還是指與這個方向垂直的面上的應(yīng)力）。而面上的應(yīng)力可以分解為 正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 實(shí)際上，過一點(diǎn)可以做無數(shù)多個平面，但相對于這個正六面體的任意一個斜面上的 應(yīng)力，對各向同性材料，在三維空間里都可以用這9個獨(dú)立分量表示出來。 ij ；i=1,2,3 ; j=1,2,3 ; 可以證明剪應(yīng)力互等，即： ijji （ij）; 從而ij 是一個二階對稱張量，可用6個獨(dú)立分量表示。,,單元體上的應(yīng)力,,,,x,y,z,(21),(11),(31),(12),(13),(x1),(x2),(x3),(32),二維應(yīng)力（ ）狀態(tài),假設(shè)任意斜截面與正六面體坐標(biāo)軸的夾角的余弦,也就是斜

13、截面法線的方向數(shù) 為 n1，n2，n3，這個斜截面（ABC)上的應(yīng)力T 在三個坐標(biāo)軸上的投影為 T1,T2,T3 ， T 還可以分解為垂直于斜截面（ABC)上的應(yīng)力 和平行于該平面的應(yīng)力,, 1-1-2 斜截面上的應(yīng)力,設(shè)截面ABC的面積為1，則AOB,BOC, COA的面積為: n1, n2, n3; 由力在三個坐標(biāo)軸 x1, x2, x3 方向上的平衡條件： ； 是坐標(biāo)軸 x1, x2, x3 的基矢。, 1-1-2 斜截面上的應(yīng)力,這里使用了Einstein 求和約定，即：如果在一個表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，則表示要在該指標(biāo)取值范圍內(nèi)，遍歷求和。 例如：

14、 (i=1,3); (i=1,n;j=1,n)表示一個線性方程組。 斜截面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力：,從而有：,,可簡化為：,二維平面斜截面上的應(yīng)力,上式平方和相加，得：,在 坐標(biāo)系中，與 落在一個圓上, 1-1-3 主應(yīng)力和主平面,若斜截面上只有正應(yīng)力，而沒有剪應(yīng)力時，我們把這個平面叫做主 應(yīng)力面或主平面。在主應(yīng)力面上， = 0; = T = 為主應(yīng)力。從而，,代入方程,即：,有：,即：,這是一個關(guān)于 n1, n2, n3 的線性齊次方程組，其有非零解的充分必要條件是： 系數(shù)行列式的值等于零。,,或, 主應(yīng)力和主平面,得出：3I12+I2-I3=0 由此方程解出的三

15、個根，即為三個主應(yīng)力1 ，2 ，3 ；主應(yīng)力所在的面稱為主平面。 他們對應(yīng)三組 n1，n2 ，n3 ，分別是它們法線的方向數(shù)。這里，I1，I2，I3 稱為應(yīng)力不變量。,,,即：,應(yīng)力不變量亦可寫成：,,,如果選擇主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸 ，則應(yīng)力張量不變量可化簡為：,,,一點(diǎn)的三個方向存在主應(yīng)力,若一點(diǎn)的三個主應(yīng)力中 ，則 一定是過該點(diǎn) 所有截面中正應(yīng)力最大的，而 是所有截面中正應(yīng)力最小的， 且三個主應(yīng)力是互相垂直的。, 1-1-4 一點(diǎn)的應(yīng)變,一點(diǎn)的應(yīng)變是指過一點(diǎn)任意方向微小線段的單位長度的伸長（收縮）和過 該點(diǎn)成直角的任何兩線段角度的減少（增加）。前者叫做線應(yīng)變，后者叫做剪應(yīng)

16、變。因?yàn)檫^一點(diǎn)可引無數(shù)條直線，一點(diǎn)的應(yīng)變也是一個張量。在三維空間，各向 同性材料小變形的應(yīng)變張量由9個獨(dú)立分量組成，可寫成： , i=1,2,3; j=1,2,3 可以證明剪應(yīng)變互等，從而 也是可用6個分量表示的二階對稱張量。 應(yīng)變本質(zhì)上是由線段上點(diǎn)的位移產(chǎn)生的。位移與應(yīng)變可通過幾何關(guān)系聯(lián)系起來。 這里不推導(dǎo)了。設(shè)一點(diǎn)的位移分量為 , 則該點(diǎn)位移和應(yīng)變的關(guān)為： 若在二維情況下： ; ; 則： 應(yīng)變與位移的關(guān)系是分析物體內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)的重要關(guān)系式。,應(yīng)力張量和應(yīng)變張量,應(yīng)力

17、張量：任意點(diǎn)的應(yīng)力有6個獨(dú)立分量，形成二階張量 應(yīng)變張量：任質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變有6個獨(dú)立分量，形成二階張量, 1-2 平衡微分方程, 1-2-1 微單元的平衡方程 三個軸向力的平衡 平衡微分方程 關(guān)于中心軸的力矩平衡 剪應(yīng)力互等定理 1-2-2 邊界條件 應(yīng)力的邊界條件 位移的邊界條件 混合邊界條件 圣維南原理 1-2-3 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系，物理方程） 胡克定律 Hookes Law 各項(xiàng)同性、小變形、彈性連續(xù)體, 1-2-1 微單元的平衡微分方程,,,如果我們要考慮受力物體內(nèi)部的應(yīng)力從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的變化，我們必須建立微單元的平衡微分方程。, 微單元的平衡微分方

18、程, 三個軸向力的平衡： 如果我們把代表一點(diǎn)的微小六面體上面的 各個應(yīng)力和增量全部表示出來，然后在x,y,z 方 向上列出平衡方程，我們就可以得出一點(diǎn)的平衡 微分方程： （1） 該式看起來很簡單，其實(shí)不簡單（i=1,2,3） 代表三個方程；“，” 代表偏微分；j 重復(fù)出現(xiàn)兩 次，表示在它的取值范圍內(nèi)（j=1,2,3）遍歷求 和。若不寫成簡式；應(yīng)寫為(1) 式；如果考慮微 單元的體力,則上三式還應(yīng)分別加上體力分量 B1,B2,B3 即可寫成公式（2）。簡寫為： （2） 關(guān)于中心軸的力矩平衡 求得剪應(yīng)力互等：,（2）,（1）, 1-2-2

19、 邊界條件, 應(yīng)力的邊界條件 如果我們把斜截面看成外表面；斜截面上的應(yīng)力式視為外力，那么斜截 面公式就是聯(lián)系內(nèi)力與外力的邊界條件。因此，力的邊界條件可寫為： 位移的邊界條件 在邊界上， U=US; V=VS; W=WS 混合邊界條件 在邊界是上既有力的邊界條件，也有位移的邊界條件。,,,,,,,,, 圣維南原理（saint-venant principle, 1855） 描述1：作用在物體局部表面上的自相平衡力系（即合力與合力矩為零）所引起的應(yīng) 變，在遠(yuǎn)離作用區(qū)（即距離遠(yuǎn)大于該局部作用區(qū)的線性尺寸）的地方可以忽略不計。 描述2：若把作用于物體局部表面上的外力用一組與它靜力等效

20、（即合力與合力矩 保持不變）的力系來代替，則這種等效處理對物體內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的影響都將隨遠(yuǎn)離 該局部作用區(qū)的距離的增加而迅速衰減。 適用范圍：不僅適用于彈性小變形，也適用于大變形和非彈性情況。圣維南原理適 用于實(shí)心體，嚴(yán)格的證明還在進(jìn)行中。Goodier,J,N 通過對應(yīng)變能量分析指出，當(dāng)三維 實(shí)心物體受局部自相平衡力系作用時，影響區(qū)的尺寸與載荷作用區(qū)的尺寸同量級。 利用圣維南原理可以解決夾持邊界的影響問題 圣維南原理還可以將位移的邊界轉(zhuǎn)化為等效的力的邊界。, 1-2-3 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（constitutive relations）,Hookes law： 各項(xiàng)同性、小變形、彈性連

21、續(xù)體的實(shí)驗(yàn)定律,,,對于鋼鐵材料，E 2.1x105 (Mpa); 0.3, 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,引入 Lame系數(shù) ，并令 （體膨脹系數(shù)）， 可將上式化簡為： 對于二維平面情況可以進(jìn)一步化簡： 平面應(yīng)力下： 平面應(yīng)變下 E 用 E1， 用 代替上述關(guān)系仍然成立：,,,,,,,Values for E, , , 1-3 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變, 1-3-1 平面應(yīng)力 幾何特征 受力狀態(tài) 1-3-2 平面應(yīng)變 幾何特征 受力狀態(tài),,在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到這樣一類物體，其形狀扁平，如薄板梁，平面鏈環(huán)，砂輪， 水泵和氣輪機(jī)的葉輪等，這類物體具有下列

22、特點(diǎn)： 1、在幾何形狀上，它們都是一塊等厚度的薄板； 2、在受力狀態(tài)上，它們都只在板的周邊上受有平行于板面并且沿厚度不變的面力。 不難想象，由于板很薄，外力沿厚度不變，我們可以近似地認(rèn)為應(yīng)力與板厚有關(guān)的 分量處處為零，則 未知應(yīng)力局限在一個平面內(nèi)，即平面上可以只考慮三個應(yīng)力分量 x， y ，xy ，且與 z 無關(guān)。此時，應(yīng)變分量 x ，y ， xy 及位移分量u 、v 也與z無關(guān)。 注意，此時，z0，但z 0；（厚度方向位移w0; xz=yz=0）。 平面應(yīng)力下的平衡微分方程為： 當(dāng)體力為0 時變?yōu)椋?,, 1-3-1 平面應(yīng)力, 1-3-2 平面應(yīng)變,

23、工程上還遇到另一類物體，像水壩，擋土墻，涵洞，軋輥，炮筒， 滾柱軸承 的滾柱等受垂直于縱軸并不沿長度變化的載荷的作用，這些物體具有下列特點(diǎn)： 1、幾何形狀上，它們都是一個等截面的長柱體； 2、受力都只受到平行于橫截面并沿長度不變的面力或體力； 這時候，縱向位移w=0；z0，yzxz0；，橫截面上只有 x ，y ，xy 未知應(yīng)變局限在橫截面的平面里。 但要注意： z 0；z (x+y)0；其橫截面滿足平面應(yīng)變的平衡方程。 平面應(yīng)變下的平衡微分方程和平面應(yīng)力完全相同：,,,（1） 當(dāng)體力為0變?yōu)?（2）, 1-4 相容方程和應(yīng)力函數(shù), 1-4-1 相容方程 1-4-2 求解平

24、面問題的基本方程 1-4-3 應(yīng)力函數(shù) 1-4-4 極坐標(biāo)求解平面問題方程, 1-4-1 相容方程,相容方程又稱協(xié)調(diào)方程，它表示位移與應(yīng)變不能隨便選擇。必須相互協(xié)調(diào)， 才能保證變形的一致。 以二維的情況為例： 3個應(yīng)變分量用兩個位移函數(shù)U和V表示，它們不能隨便選取，因?yàn)橄嗷ラg有 一定的關(guān)系?，F(xiàn)將第一個方程對y 微分兩次，第二個方程對x 微分兩次，第三個 對 x 微分一次再對y 微分一次，就可以得到： 這說明 三者不是相互獨(dú)立的。 三維問題有這樣六個方程，這個關(guān)系稱為相容條件或相容方程。 利用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可以將（1）式變?yōu)閼?yīng)力分量之間的關(guān)系。 將（1）式代入胡克定律有:

25、,（1）,（2）, 相容方程,注意利用體力為常量平面問題的平衡微分方程： 上一個對 x 微分，下面一個對 y 微分有： （3）式代入（2）式得到： 即 ： 若體力不是常量，則需增加體力的微分量。 方程（4）就是二維情況下，體力為常量時用應(yīng)力表示的相容方程。從應(yīng)力 求解時要用上式 。如果從應(yīng)變?nèi)胧智蠼?，則可直接用（1）式。,（3）,（4）, 1-4-2 求解平面問題的基本方程(小結(jié) ),(一) 基本方程 (8個） （1）平衡微分方程2個 （2）幾何方程 3個 ， ， （3）物理方程 3個 ， ， (二）邊界條件 2個

26、 （三）未知數(shù) 8個,線彈性平面問題的一般解法變?yōu)椋阂阎?個基本方程和兩個邊界條件，求解8個未知數(shù)的微分方程邊值問題。或者說：求解滿足平衡方程、相容方程的積分，并滿足邊界條件。, 1-4-3 應(yīng)力函數(shù) (Airy function),從應(yīng)力著手求解平面問題，在體力為常量的情況下， 三個應(yīng)力分量應(yīng) 滿足平衡微分方程 及相容方程 ，還應(yīng)當(dāng)滿足邊界條件。 先考慮一下平衡微分方程，它是一個非齊次的微分方程。它的解包括兩部分，即 任意一個特解加上齊次方程的通解。對于平面問題的微分方程，特解是容易得到的。 例如,我們?nèi)? 就可以滿足平衡微分方程。

27、 求齊次方程 即 的通解，我們可以把上面的方程 （1）改為 根據(jù)微分方程理論， 一定存在某個函數(shù) A（x ,y),使得 同樣，對于方程（2）一定存在某個函數(shù) B（x ,y),使得 從（3）和（4）可見，必須要求,（1）,（2）,（3）,（4）, 應(yīng)力函數(shù) (Airy function),同樣，又應(yīng)存在一個函數(shù) 使得 這樣，將 代入方程（3）， 代入方程（4）有: 就能滿足齊次方程，即為通解。從而，平衡方程的一般解為： 不考慮體力時，（6）式就是一般解。函數(shù) 表示的應(yīng)力（6）或（7）稱為 平面問題的應(yīng)力

28、函數(shù)。上述推導(dǎo)過程首先是由Airy 得出的，故又稱為Airy應(yīng)力函數(shù)。 為了使應(yīng)力函數(shù)能同時滿足相容方程，我們將(7)式表示的應(yīng)力代入用應(yīng)力表示的 相容方程 得到： 因?yàn)? 都是常量，二次微分后 都變成零，從而（8）式為,（5）,(6),（7）,（8）,（9）, 應(yīng)力函數(shù) (Airy function),因此，從應(yīng)力入手求解平面問題變?yōu)椋? 尋求滿足方程（9） 的應(yīng)力函數(shù) ，并滿足邊界條件就可以了。 事實(shí)上，尋求應(yīng)力函數(shù) 并不是一件容易的事情。 許多力學(xué)工作者專門找適合各種邊界條件的應(yīng)力函數(shù)，找著一個就是一個創(chuàng)新，就 可以寫一篇好論文。 還需說明

29、的是，應(yīng)力函數(shù)不是唯一的。, 1-4-4 極坐標(biāo)求解平面問題方程,1、平衡方程 2、幾何方程 3、本構(gòu)方程（胡克定律） 4、相容方程 Laplace 算子 5、 應(yīng)力函數(shù), 1-5 應(yīng)變能密度, 應(yīng)變能密度概念 應(yīng)變能密度用應(yīng)力表示 應(yīng)變能密度用應(yīng)變表示 應(yīng)變能的分解,應(yīng)變能密度的概念 一個物體受到外力的作用后，不考慮熱量損失，外力所做的功變成應(yīng)變能， 儲存于物體內(nèi)部。對于理想的彈性體，當(dāng)外力卸載后，這種應(yīng)變能能釋放出來。一 般外力做功，我們表示為：W= F.ds 矢量積的積分；在一個方向，例如x方向所作 的功： 就變成該方向的應(yīng)變能： 單位體積的應(yīng)

30、變能稱為應(yīng)變能密度： 能量可把各個方向疊加；總應(yīng)變能密度： 在線彈性情況下，單向應(yīng)變能密度 ： 總應(yīng)變能密度 ：,,,,（ 注意對 和 求和， ）,利用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)變能密度可以完全用應(yīng)力或應(yīng)變表示。,,, 應(yīng)變能密度用應(yīng)變表示：, 應(yīng)變能密度用應(yīng)力表示：,此外： 還可以分解為兩部分體積應(yīng)變能密度和畸變能密度之和： 這里 是主應(yīng)力。,這里：, 1-6 應(yīng)力函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示, 1-6-1 復(fù)變量復(fù)習(xí) 復(fù)變量的定義 復(fù)變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解析函數(shù) Cauchy-Rie

31、mann relations。 諧函數(shù)與解析函數(shù) 1-6-2 用復(fù)變函數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù), 1-6-1 復(fù)變量復(fù)習(xí), 復(fù)變量的定義： 復(fù)變函數(shù)： 是實(shí)函數(shù) 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 解析函數(shù)： 導(dǎo)數(shù)存在的復(fù)變函數(shù)稱為解析函數(shù)。 解析函數(shù)f(z) 可看成對x和y 都具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，于是： (1) (2) 若把f(z) 寫成： ， 則： (3) (4),,,,,,,,,,,,1-6-1 復(fù)變量復(fù)習(xí),由（1），（2）式可見（3）式乘以i 與（4）式相等。從而有：

32、 , 即： ..(5) Cauchy-Riemann relations 由復(fù)變函數(shù)相等需實(shí)部和虛部分別相等而得到： ； ..(6) 或?qū)懗桑? 這就是著名的 Cauchy-Riemann relations。 諧函數(shù)與解析函數(shù) 從（6）式中消去 得： ；從（6）式中消去 得： 即 和 這說明復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部都滿足Laplace方程，即都是諧函數(shù)。這是復(fù)變函數(shù)一個非常有用的性質(zhì)。,,,,,,,,,,,, 1-6-2 用復(fù)變函數(shù)表示

33、的應(yīng)力函數(shù),前面講過，對于平面問題若體力為常量，求解應(yīng)力場歸結(jié)為尋求應(yīng)力函數(shù) ， 滿足 。 為實(shí)函數(shù)。由于： 因此 仍然是實(shí)函數(shù)。在復(fù)變函數(shù)里 可以看成獨(dú)立變量。,,,,,,,,,,,,,,,Then，,（1）,（2）,（3）,,,由：, 1-6-2 用復(fù)變函數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù),從而：,,,,,,,,,（4）,（5）,（6）,（7）,,可表示為：,,,將上式對 各積分兩次，有：,（9）,（8）,因此，隱去 ， 復(fù)變函數(shù)有算子形式：, 1-6-2 用復(fù)變函數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù),其中 為任意函數(shù)，注意應(yīng)力函數(shù)為實(shí)函數(shù)， 因而 （9）式右邊一

34、定是兩兩共軛，即： 于是（9）式可用兩個函數(shù) 表示。 那么： 若將函數(shù) 分別用 表示，就得出著名的古薩公式 Goursat formula： 或： 從而，體力為常量的彈性力學(xué)平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法，用復(fù)變函數(shù)求解歸結(jié) 為：尋求兩個合適的解析函數(shù) ，滿足邊界條件。 應(yīng)力和位移亦可用復(fù)變函數(shù)表示，以不考慮體力的情況為例：,,,,（10）,,,,,（11）,（12）,,,,,（13）,, 1-6-2 用復(fù)變函數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù),將（11）式代入對 求偏導(dǎo)數(shù)得： 將（11）式代入對 z 求兩次偏導(dǎo)數(shù)得： 以后， 本身用不

35、到， 有用的是它的導(dǎo)數(shù) , 因此我們用另一個函數(shù) 代替 ， 則（16）式變?yōu)椋? 其共軛函數(shù)為：,,（14）,（15）,,,（16）,,,,,,（17）,,（18）, 1-6-2 用復(fù)變函數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù),(14)式與（17）式一起就可以確定各應(yīng)力分量。只要知道 將（14） 和（18）式相加，又可得： 這個式子對于表達(dá)裂紋面的邊界條件很有用。 （14）和（17） 相加得： 位移分量也可以用 表示：由,,,,（20）,（19）,,,,這里，,同理，,,（22）,（21）, 1-6-2 用復(fù)變函數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù),利用（14）式 和

36、有關(guān) 表達(dá)式： 不計剛體位移, (23) 和 (24) 相加有:,,,,,,兩式分別對 x , y 積分有：,,（25）,,,（23）,（24）,1-6-2 用復(fù)變函數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù),或?qū)懗桑? 這就是復(fù)變函數(shù)表示的位移分量。這里： 這說明只要找到 , 應(yīng)力和位移都可以求得。,,（26）,,, 1-7 材料的變形模型, 1-7-1 簡單拉伸的試驗(yàn)結(jié)果 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 包辛格效應(yīng) 1-7-2 材料單向受力的簡化模型 （1）完全脆性模型 （2）理想彈塑性模型 （3）線性強(qiáng)化彈塑性模型 （4）冪指數(shù)硬化模型 （5）剛塑性模型 （6）Ramberg-osgood 模型,,

37、 應(yīng)力應(yīng)變曲線 金屬材料拉伸變形的應(yīng)力應(yīng)變曲線有兩種情況一種 是有明顯的屈服極限；另外大多數(shù)材料沒有明顯的屈 服點(diǎn)。應(yīng)力應(yīng)變曲線一般可表示為 這里 ；卸載后基本按照與彈性部分同 樣的斜率原返回。 Bauchinger effect: 一般拉伸屈服強(qiáng)度大于壓縮屈服強(qiáng)度，即： s+ s- ; 壓縮有相反的過程，s- s+ 。不等 號效應(yīng)稱為包辛格效應(yīng)。 材料單向受力后的應(yīng)力應(yīng)變行為對不同材料是不同 的，同一種材料不同狀態(tài)的行為也是不同的，在分析 應(yīng)力應(yīng)變行為時，目前已經(jīng)提出了許多模型，比較典 型的有下列幾種：,,,,, 1-7-1 簡單拉伸的試驗(yàn)結(jié)果,, 1-7-2 材料單向

38、受力的簡化模型,1、完全脆性模型： E 2、理想彈塑性模型： E 當(dāng)： s s= E s 當(dāng)： s 3、線性強(qiáng)化彈塑性模型： E1 當(dāng)： s = s+ E2 (- s) 當(dāng)： , 1-7-2 材料單向受力的簡化模型,4、冪指數(shù)硬化模型： A和m 均為材料常數(shù)， m在0與1 之間。 5、剛塑性模型： =const.,,, 1-7-2 材料單向受力的簡化模型,6、Ramberg- Osgood 模型 上式 中 和 為 屈服應(yīng)力和應(yīng)變；右 半部分為兩部份；第一部分為彈性部分，第二 部分為塑性

39、部分。,表示應(yīng)變硬化指數(shù)；,為材料常數(shù)。,,上述材料的變形模型對于材料力學(xué)性能的計算機(jī)模擬例如 有限元的計算非常有用。, 1-8 材料的屈服條件, H. Tresca Criterion 最大剪應(yīng)力理論 Von Mises Criterion 畸變能理論, 1-8 材料的屈服條件,H.Tresca Criterion 最大剪應(yīng)力理論 這個理論假設(shè)，材料某點(diǎn)屈服發(fā)生的條件是材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大剪 應(yīng)力值達(dá)到了該材料簡單拉伸時的最大剪應(yīng)力值。,,,在1，2，3 的應(yīng)力空間里代表一個六棱柱面（屈服面）。 若知，1 2 3 ；屈服條件變?yōu)?13 0 在純剪的情況下，13k0，20 ；

40、則 k00.5 0,或, 1-8 材料的屈服條件,Von. Mises Criterion 畸變能理論 這個理論假設(shè)，材料某點(diǎn)屈服發(fā)生的條件是材料中一點(diǎn)的畸變能達(dá)到簡拉伸屈 服時的畸變能。一般畸變能的表達(dá)式為： 一般情況： 單向拉伸： 10； 230,,,,從而有：,在1，2，3 的應(yīng)力空間里上式代表一個圓柱面（屈服面）。 在純剪的情況下，13k0，20 ；則 k0 當(dāng) 20；在雙軸應(yīng)力1，3平面， Mises Criterion 為一橢圓； 而 Tresca Criterion 是該橢圓的內(nèi)接六邊形。 在垂直于八面體平面 1230 （平面）； Mises

41、Criterion 為一個圓， 而 Tresca Criterion 是該橢圓的內(nèi)接正六邊形。 軸線為：123；,, 1-8 材料的屈服條件,,第一章 結(jié) 束,調(diào)和函數(shù)與雙調(diào)和函數(shù),解析函數(shù) 的實(shí)部和虛部都滿足Laplace方程： 稱為調(diào)和方程。 稱為調(diào)和函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)滿足 稱為雙調(diào)和方程。 稱為雙調(diào)和函數(shù)。 事實(shí)上，對于解析函數(shù)有如下性質(zhì)： 1、解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分仍為解析函數(shù)。 2、若 都是調(diào)和函數(shù)，則它們的線性組合也是調(diào)和函數(shù)。 3、一個調(diào)和函數(shù) 必然是雙調(diào)和函數(shù)。即若,Question During water quenching o

42、f steel components with a section thickness of 30 mm, heat transfer calculations indicate that a peak stress of 130 MPa is generated in the section. Prior to heat treatment, the components were ultrasonically inspected to detect defects. The inspection technique has a minimum detection size of 0.5 m

43、m. a) What type of defect will be most critical? b) Calculate the size of defect which would cause fracture of the component during the quenching operation, given that the aspect ratio of the crack is 2c/a = 10. c) Would this inspection procedure guarantee integrity of the component if the quenching

44、 stresses approached the proof stress of the steel? Note that the value of the plane strain fracture toughness K1C = 30 MPa m1/2 and the proof stress = 620 MPa. The stress intensity calibration for this component and crack geometry is given in the figure below.,for surface flaws:,for embedded flaws:,,