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1、關(guān)注學(xué)生主動建構(gòu),南京外國語學(xué)校 陳光立 210008 ,例說新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計,實行新課程標準，提高教學(xué)質(zhì)量，教育理念是靈魂，教材建設(shè)是關(guān)鍵，教師素質(zhì)是根本，課堂教學(xué)是核心，教學(xué)評價是導(dǎo)向，現(xiàn)代化技術(shù)是推進器.,點,祝愿我們數(shù)學(xué)教育工作者做出無愧于時代的貢獻，給我們所有的學(xué)生 一雙能用數(shù)學(xué)視角觀察世界的眼睛， 一個能用數(shù)學(xué)思維思考世界的頭腦， 一副為謀國家富強人民幸福的心腸 張孝達,數(shù)學(xué)知識是人類認識的一種成果，包括人對周圍事物“數(shù)”與“形”方面的經(jīng)驗和“有秩序的論理體系”兩個方面。當前，人們把數(shù)學(xué)知識分為明確知識（如數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)原

2、理等）和默會知識（如數(shù)學(xué)思想方法、解決問題的策略等），這是比較科學(xué)的；數(shù)學(xué)知識、技能類化（系統(tǒng)化、概括化）的結(jié)果就成為數(shù)學(xué)能力；一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低，主要體現(xiàn)在是否能“數(shù)學(xué)地看問題”和“數(shù)學(xué)地思維”。,M. Kline 在西方文化中的數(shù)學(xué)中指出，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神，正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅(qū)使人類的物質(zhì)、道德和社會生活，試圖回答人類自身存在提出的問題，努力去理解和控制自然，盡力去探索和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻和最完善的內(nèi)涵,數(shù)學(xué)的理性精神被看成西方文明的核心,,數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造. 教師不應(yīng)該把數(shù)學(xué)當作一個已經(jīng)完成了的形式理論來教，不應(yīng)該將各種定義、規(guī)則、算法灌

3、輸給學(xué)生，而是應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，讓學(xué)生在學(xué)習數(shù)學(xué)的過程中，用自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識. Freudenthal,應(yīng)用,對數(shù)學(xué)價值的認識,數(shù)學(xué)思想對于人類進步和社會發(fā)展的重要影響,數(shù)學(xué)是探索自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)象基本規(guī)律的工 具和語言,純粹數(shù)學(xué)的重要作用,傳統(tǒng)觀念：上課就是不折不扣執(zhí)行教案或者事先設(shè)定的教學(xué)思路的過程，教學(xué)活動是教師主導(dǎo)的獨角戲，而且主要是完成知識傳授而不需顧及學(xué)生情感的獨角戲.,新的教育理念：教學(xué)過程是展示學(xué)生的過程，是讓學(xué)生展示的過程.煥發(fā)出生命活力的課堂才是理想的課堂.,一、關(guān)注學(xué)生主動建構(gòu),改進學(xué)生學(xué)習方式是數(shù)學(xué)教育改革的核

4、心 我國的數(shù)學(xué)教育比較強調(diào)教師的傳授，強調(diào)經(jīng)過學(xué)生艱苦努力，反復(fù)的練習而達到對知識的理解，而對學(xué)生的自主探究、合作交流等重視不夠，學(xué)生學(xué)得比較被動所以，把發(fā)揮學(xué)生主動性，變被動學(xué)習為主動學(xué)習，重視學(xué)生親身實踐，給學(xué)生提供探索的空間，使學(xué)習過程成為學(xué)生在自己已有經(jīng)驗基礎(chǔ)上的主動建構(gòu)過程等作為改革的重點，有現(xiàn)實意義,學(xué)生的學(xué)習活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習，新課程倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習方式這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習的主動性，使學(xué)生的學(xué)習過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程. 這有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣， 體驗知

5、識的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.,積,比,當前，強調(diào)學(xué)生對研究過程的參與以及對科學(xué)概念、科學(xué)方法、科學(xué)態(tài)度的全面掌握為目標的探究教學(xué)已成為一種基本教學(xué)模式然而，改進學(xué)生學(xué)習方式并不等于排斥接受學(xué)習實際上，接受學(xué)習并不一定就是被動的“舉一反三”“融會貫通”“觸類旁通”等都是能動的接受學(xué)習的寫照學(xué)習方式的被動或主動，關(guān)鍵并不在于它是“接受的”還是“發(fā)現(xiàn)的”，而在于教學(xué)活動中學(xué)生主體的思維參與程度，能否為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多的主動建構(gòu)的機會,現(xiàn)代教育理論研究認為: 教育現(xiàn)代化等于“情感化”加上“技術(shù)化”.,改革課堂教學(xué)、提高課堂教學(xué)質(zhì)量,讓學(xué)生積極參與教學(xué)過程的關(guān)鍵是教師教育觀念的轉(zhuǎn)變,是教學(xué)方法的

6、情感化.,師生之間的情感交流,師生間心理距離的接近,師生之間、學(xué)生之間的相互激勵作用,無疑會大大提高課堂教學(xué)的效率.從某種意義上講,良好的師生關(guān)系與和諧的學(xué)習氛圍已成為比講課本身更重要的學(xué)習因素.,相互尊重 平等對話 選擇微笑 學(xué)會傾聽 善待挫折 寬容失敗 鼓勵探索 因勢利導(dǎo),二、發(fā)展以學(xué)生為主體的教學(xué),所有教學(xué)都歸結(jié)為兩個字：主動. 學(xué)生主動學(xué)習是最終的目標. 學(xué)生是自己活動中的主體，他們必須通過自主活動來認識事物、掌握知識，使自己的身心獲得發(fā)展教師必須為學(xué)生主動學(xué)習提供空間，教師就是為學(xué)生設(shè)計一個主動思維的舞臺，創(chuàng)設(shè)主動建構(gòu)的情境，而不只是提供主動獲取知識的機會. 知識不是目標，而是通過知

7、識的獲得過程，使學(xué)生形成科學(xué)的思維方式，使學(xué)生獲得研究方法.,現(xiàn)代教育正在從“知識中心”向“人本中心”轉(zhuǎn)化，它使教育更關(guān)心學(xué)生個性充分、自由、自主、全面的發(fā)展. 教師要給學(xué)生提供的是學(xué)習資源、學(xué)習方法和學(xué)習氛圍，幫學(xué)生搭建知識的“腳手架” ，讓學(xué)生主動、積極地攀向知識的高峰，真正成為學(xué)習的主人！,教師應(yīng)該具備真正的學(xué)生意識 (是否按照學(xué)生思維來思考教學(xué) )、童年意識( 是否把學(xué)生提出的稚嫩問題和“天真”想法當作寶貴的教學(xué)資源 ),教師應(yīng)該知道敬畏生命，并以“給知識注入生命，知識因此而鮮活，給生命融入知識，生命因此而厚重” 這樣的座右銘來激勵自己。,教師也是教學(xué)過程中的主體，因為教師是教學(xué)過程的

8、認識者、組織者，他對教學(xué)過程所涉及的各種因素(如教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生)進行認識，這是一個科學(xué)探索的過程，是體現(xiàn)教師創(chuàng)造性的過程課堂教學(xué)對教師而言，“不只是為學(xué)生成長所作的付出，不只是別人交付任務(wù)的完成，它同時也是自己生命價值和自身發(fā)展的體現(xiàn)” 教學(xué)過程中教師的主導(dǎo)是他發(fā)揮主體作用的一種具體表現(xiàn)形式,課堂教學(xué)過程中，“雙主體”觀更能客觀地反映師生關(guān)系：學(xué)生是學(xué)的主體，主要表現(xiàn)在思維的自主；教師是教的主體，是整個教學(xué)活動的設(shè)計者、組織者和引導(dǎo)者,主導(dǎo) 主體 主線,理想教師應(yīng)該是 一個胸懷理想、充滿激情和詩意的教師 一個自信、自強，不斷挑戰(zhàn)自我的教師 一個善于合作、具有人格魅力的教師 一個充滿

9、愛心、受學(xué)生尊敬的教師 一個追求卓越、富有創(chuàng)新精神的教師 一個關(guān)注人類命運、具有社會責任感的教師 一個堅韌、剛強、不向挫折彎腰的教師,一名理想的教師，應(yīng)該不斷地追求成功，設(shè)計成功，更重要的是撞擊成功,,定位、設(shè)計、操作、反思,三、關(guān)于課堂教學(xué)的四個環(huán)節(jié),1定位：課標教材學(xué)情目標,2設(shè)計：目標過程方法手段,（教學(xué)情境、新授課、習題課、復(fù)習課）,良好的教學(xué)情境能促進學(xué)生主動學(xué)習教學(xué)情境是一堂課的起點，對課堂教學(xué)的成敗起著十分重要的作用,重視課堂教學(xué)情境設(shè)計,情境設(shè)計應(yīng)貼近學(xué)生生活，切忌舍近就遠生搬硬套,情境設(shè)計應(yīng)緊扣教學(xué)目標，切忌喧賓奪主隨意編造,情境設(shè)計應(yīng)講究教學(xué)效益，切忌故弄玄虛花里胡哨

10、,情境設(shè)計應(yīng)根據(jù)實際需要，切忌亂用媒體追求新潮,情境設(shè)計應(yīng)注重整體貫通，切忌有頭無尾穿鞋戴帽,新課程倡導(dǎo)教學(xué)設(shè)計的特點有效教學(xué)的保證,它不是對課堂情景進行面面俱到的預(yù)設(shè)，它只描述大體的輪廓，它只明確需要努力實現(xiàn)的三維目標，它給各種不確定性的出現(xiàn)留下足夠的空間并把這些不可預(yù)測的事件作為課堂進一步展開的契機,它是教師構(gòu)思教學(xué)的過程，它凝聚著教師對教學(xué)的理解、感悟和教育的理想、追求，閃爍著教師的教學(xué)智慧和創(chuàng)造精神一句話，它是教師教學(xué)過程中的創(chuàng)造性勞動,它是課前構(gòu)思與實際教學(xué)之間的反復(fù)對話，是一次次實踐之后的對比、反思和提升，它一直處于自我校正、自我完善的動態(tài)發(fā)展之中至少，它的重要意義并不體現(xiàn)在課前的

11、一紙空文，而是展現(xiàn)于具體的教學(xué)過程、情境和環(huán)節(jié)之中，完成于教學(xué)之后,它始終充滿懸念，因而可能不斷產(chǎn)生令人激動的亮點惟其如此，它才能與教學(xué)現(xiàn)實實現(xiàn)融合，并因此而豐富自己，獲得旺盛的生命力，才有可能凝煉為可供愉悅對話的文本,加強校本教研，重視集體備課下的再創(chuàng)造,設(shè)計好一個初始問題就從根本上設(shè)計好了一節(jié)課，因為學(xué)生解決初始問題的活動是按照一定的規(guī)律展開，可以說，在初始問題確定以后，課的大體發(fā)展方向和框架就已經(jīng)確定了它是會按照自身的邏輯展開的,教師在設(shè)計好初始問題(以及提出問題的方案)，準備好概略性解決方案(不止一個)和幾種適應(yīng)學(xué)生狀況的思維模式以后，再重點地弄清關(guān)鍵部分的細節(jié)，就可以去上課了當然，在

12、上課時你可能會遇到不少意外的情況,但是只要堅持過程性教學(xué)原則，不回避問題和矛盾，只要熟悉并應(yīng)用數(shù)學(xué)文化的規(guī)范，就一定會上好課而且會出乎意料的精彩、自然和富有創(chuàng)造性,3操作：二次創(chuàng)造 實踐檢驗 反饋評價 教學(xué)機智,(1) 教學(xué)情境,(2) 師生互動,(3) 因勢利導(dǎo),(4) 評價小結(jié),反思是教師職業(yè)成長的發(fā)動機,反思的作用： 一是通過強調(diào)教師對自己的教學(xué)實踐的考察，立足于對自己的行為表現(xiàn)及其行為之依據(jù)的回顧、診斷、自我監(jiān)控和自我調(diào)適達到對不良的行為、方法和策略的優(yōu)化和改善，提高教學(xué)能力和水平，并加深對教學(xué)活動規(guī)律的認識理解，從而適應(yīng)不斷發(fā)展變化著的教育要求 二是賦于教師新的角色定

13、位：教師成為研究者，使教師工作獲得尊嚴和生命力，表現(xiàn)出與其他專業(yè)如律師、醫(yī)師相當?shù)膶W(xué)術(shù)地位,4反思,成長經(jīng)驗反思,如果一個教師僅僅滿足于獲得經(jīng)驗而不對經(jīng)驗進行深入的思考，那么，他永遠只能停留在一個新手型教師的水準上,對課堂上遇到的問題進行調(diào)查研究； 每天記錄自己在教學(xué)工作中獲得的經(jīng)驗、心得， 并與指導(dǎo)老師共同分析； 與專家型教師相互觀摩彼此的課，然后與對方交 換看法,教學(xué)反思是青年教師成長的捷徑之一,教學(xué)案例,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),課堂教學(xué)總的要求：,提供知識背景,創(chuàng)設(shè)問題情境,展示思維過程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力,參數(shù)方程,點距,回顧反思,問題情境,學(xué)生活動,意義建構(gòu),數(shù)學(xué)理論,數(shù)學(xué)運用,提出問題,體驗數(shù)學(xué),

14、感知數(shù)學(xué),建立數(shù)學(xué),理解數(shù)學(xué),應(yīng)用數(shù)學(xué),內(nèi)容組織主要形式,問題情境：包括實例、情景、問題、敘述等 意圖：提出問題 學(xué)生活動：包括觀察、操作、歸納、猜想、驗證、 推理、建立模型、提出方法等個體活動，也包括討論、合作、交流、互動等小組活動； 意圖：體驗數(shù)學(xué) 意義建構(gòu)：包括經(jīng)歷過程、感受意義、形成表象、自我表征等. 意圖：感知數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)理論：包括概念定義、定理敘述、模型描述、算法程序等 意圖：建立數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)運用：包括辨別、解釋、解決簡單問題、解決復(fù)雜問題等 意圖：運用數(shù)學(xué) 回顧反思：包括回顧、總結(jié)、聯(lián)系、整合、拓廣、創(chuàng)新、凝縮（由過程到對象）等 意圖：理解數(shù)學(xué)

15、,,案例1 函數(shù)的概念,問題1： 在初中我們是如何認識函數(shù)這個概念的？,(一)問題情境 教師提出本節(jié)課的研究課題： 在初中，我們把函數(shù)看成是刻畫和描述兩個變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，今天我們將進一步學(xué)習有關(guān)函數(shù)的知識.,(二)學(xué)生活動 1讓學(xué)生就問題1略加討論，作為討論的一部分，教師出示教材中的三個例子，并提出問題2 2問題2：在上面的例子中，是否確定了函數(shù)關(guān)系？為什么？ 通過對問題2的討論，幫助學(xué)生回憶初中所學(xué)的函數(shù)概念，再引導(dǎo)學(xué)生回答問題1,函數(shù)的傳統(tǒng)定義：變量的觀點,f (t)， t0，24,(三)建構(gòu)數(shù)學(xué) 1建構(gòu) 問題3：如何用集合的觀點來理解函數(shù)的概念？ 問題4：如何用集

16、合的語言來闡述上面3個例子中的共同特點？ 結(jié)論：函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集之間的單值對應(yīng),2反思 （1）結(jié)論是否正確地概括了上面例子的共同特征? （2）比較上述認識和初中函數(shù)概念是否有本質(zhì)上的差異？ （3）一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等是否也具有上述特征？ （4）進一步，你能舉出一些“函數(shù)”的例子嗎？它們具有上述特征嗎？ （作為例子，可以討論課本P24練習）,一般地，設(shè) A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則 f，對于集合A中的每一個元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y 和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A 到 B的一個函數(shù)(function)，通常記為 yf (x)，x A 其中，所有的輸

17、入值 x 組成的集合A叫做函數(shù)yf (x)的定義域(domain),問題5：如何用集合的觀點來表述函數(shù)的概念？ 給出函數(shù)的定義指出對應(yīng)法則和定義域是構(gòu)成一個函數(shù)的要素,(四)數(shù)學(xué)理論,函數(shù)的近代定義：集合語言、對應(yīng)的觀點,(五)數(shù)學(xué)運用 1定義的直接應(yīng)用 例1（課本P23例1） 例2（課本P23例2） 2已知函數(shù)確定函數(shù)的值域 例3（課本P23例3） (注意把握難度),(六)總結(jié)反思 問題6：“初中的”函數(shù)定義和今天的定義有什么區(qū)別？ 問題7：你認為對一個函數(shù)來說，最重要的是什么？,(一)問題情境 1情境：第2.1.1開頭的第三個問題； 2問題：說出氣溫在哪些時間段內(nèi)是升高的或下降的

18、？,你在圖象中，讀到哪些信息？,怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫上述時段內(nèi)“隨著時間的增大氣溫逐步升高”這一特征？,案例2 函數(shù)的單調(diào)性,(二)學(xué)生活動 問題1：觀察下列函數(shù)的圖象（如圖1），指出 圖象變化的趨勢,問題2：你能明確說出“圖象呈逐漸上升趨勢” 的意思嗎？ 在某一區(qū)間內(nèi)， 當x的值增大時，函數(shù)值y也增大 圖象在該區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢 當x的值增大時，函數(shù)值y反而減小 圖象在該區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢,函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性,(三)建構(gòu)數(shù)學(xué) 問題3：如何用數(shù)學(xué)語言來準確地表述函數(shù)的單 調(diào)性呢？ 怎樣表述在區(qū)間（0，+）上當x的值增大時，函數(shù)y的值也增大？ 能不能說，由于

19、x1時，y3；x2時，y5就說隨著x的增大，函數(shù)值y也隨著增大?,能不能說，由于x1，2，3，4，5，時，相應(yīng)地 y3，5，7，9，就說隨著x的增大，函數(shù)值 y 也隨著增大？ 如果有n個正數(shù)x1< x2

20、區(qū)間的概念,(四)數(shù)學(xué)理論,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部性質(zhì)”，它與區(qū)間密切相關(guān),(五)數(shù)學(xué)運用 1例題 例1 作出下列函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 （1）yx 22； （2）,提問：能不能說，函數(shù) (x0)在整個定義域上是單調(diào)減函數(shù)？ 引導(dǎo)討論，從圖象上觀察或取特殊值代入驗證否定結(jié)論（如取x1=1，x2=2）,例2 觀察下列函數(shù)的圖象 并指出它們是否為定義域上的增函數(shù)： （1）y(x1)2 （2）y=|x1|1 2練習 練習第1、第2、第5題 (六）回顧小結(jié) 本節(jié)課主要學(xué)習了函數(shù)單調(diào)性的概念以及判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性的方法,教學(xué)目標：,教學(xué)重點：用二分法求方程的近似解,教學(xué)

21、難點：二分法求方程近似解的算法,掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助計算機或計算器求方程的近似解；理解二分法求方程近似解的算法原理，進一步理解函數(shù)與方程的關(guān)系； 培養(yǎng)學(xué)生利用現(xiàn)代信息技術(shù)和計算工具的能力；培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力與合作交流的精神，以及辯證思維的能力； 鼓勵學(xué)生大膽探索，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生探尋和欣賞數(shù)學(xué)美，形成正確的數(shù)學(xué)觀.,案例3 用二分法求方程的近似解,中學(xué)電視臺 “幸運52”錄制現(xiàn)場 有獎競猜,問題情境(提出問題),請同學(xué)們猜一猜某物品的價格,問題1能否求解以下幾個方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0 (3) x3+3x-1=0

22、,問題2不解方程,能否求出方程(2)的近似解？,指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能運用于解另外兩個方程.,學(xué)生活動 意義建構(gòu)(體驗數(shù)學(xué)、感知數(shù)學(xué)),由圖可知：方程x2-2x-1=0 的一個根x1在區(qū)間(2,3)內(nèi)，另一個根x2在區(qū)間(-1,0)內(nèi),畫出y=x2-2x-1的圖象(如圖),結(jié)論：借助函數(shù) f(x)= x2-2x-1的圖象，我們發(fā)現(xiàn) f(2)=-10，這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2, 3)上穿過x軸一次，可得出方程在區(qū)間(2,3)上有惟一解.,問題3不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一個正的近似解（精確到0.1）?,思考：如何進一步有效縮小根所在的區(qū)間？,由

23、于2.375與2.4375的近似值都為 2.4,停止操作,所求近似解為2.4。 數(shù)離形時少直觀，形離數(shù)時難入微！,由于2.375與2.4375的近似值都為2.4,停止操作,所求近似解為2.4。,,1簡述上述求方程近似解的過程,f(2.5)=0.250, f(2.25)= -0.4375<0, f(2.375)= -0.2351<0, f(2.4375)= 0.1050,通過自己的語言表達，有助于對概念、方法的理解!, 2.375與2.4375的近似值都是2.4, x12.4,,解：設(shè)f (x)=x2-2x-1，x1為其正的零點,對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x

24、)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點逐步逼近零點，進而得到零點(或?qū)?yīng)方程的根)近似解的方法叫做二分法,數(shù)學(xué)理論(建立數(shù)學(xué)),問題5：二分法實質(zhì)是什么？,用二分法求方程的近似解，實質(zhì)上就是通過“取中點”的方法，運用“逼近思想逐步縮小零點所在的區(qū)間。,問題4如何描述二分法？,例題：利用計算器，求方程2x=4-x的近似解 （精確到0.1）,怎樣找到它的解所在的區(qū)間呢？,在同一坐標系內(nèi)畫函數(shù) y=2x 與y=4-x的圖象（如圖）,能否不畫圖確定根所在的區(qū)間？,方程有一個解x0(0, 4),如果畫得很準確，可得x0(1, 2),數(shù)學(xué)運用(應(yīng)用數(shù)學(xué)),解：設(shè)函數(shù) f (x

25、)=2x+x-4,則f (x)在R上是增函數(shù)f (0)= -30, f (x)在(0,2)內(nèi)有惟一零點， 方程2x+x-4 =0在(0, 2)內(nèi)有惟一解x0.,由f (1)= -10 得：x0(1,2),由f (1.5)= 0.330, f (1)=-1<0 得：x0(1,1.5),由f (1.25)= -0.370 得：x0(1.25,1.5),由f (1.375)= -0.0310 得：x0(1.375,1.5),由 f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)<0 得： x0(1.375,1.4375), 1.375與1.4375的近似值都是1.4, x01.4,1. 利

26、用y=f(x)的圖象,或函數(shù)賦值法(即驗證f(a)f(b)0),判斷近似解所在的區(qū)間(a, b).,；,2“二分”解所在的區(qū)間, 即取區(qū)間(a, b)的中點,3計算f (x1)： (1)若f (x1)0，則x0 x1； (2)若f (a)f(x1)0，則令bx1 (此時x0(a, x1)); (3)若f (a)f(x1)0，則令ax1 (此時x0(x1,b)).,；,4判斷是否達到給定的精確度，若達到，則得出近似解；若未達到，則重復(fù)步驟24,問題6: 能否給出二分法求解方程f(x)=0 (或g(x)=h(x))近似解的基本步驟？,練習1： 求方程x3+3x-1=0的一個近似解(精確到

27、0.01),畫y=x3+3x-1的圖象比較困難，,變形為x3=1-3x，畫兩個函數(shù)的圖象如何？,知識拓展,介紹如何利用excel來幫助研究方程的近似解？,有惟一解x0(0,1),excel,練習2: 下列函數(shù)的圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求其零點的是 （ ）,C,問題7:根據(jù)練習2，請思考利用二分法求函數(shù) 零點的條件是什么？,1. 函數(shù)y=f (x)在a,b上連續(xù)不斷 2. y=f (x)滿足 f (a)f (b)<0，則在(a,b)內(nèi)必有零點.,思考題 從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至

28、少需要檢查幾個接點？,回顧反思(理解數(shù)學(xué)),課堂小結(jié),1.理解二分法是一種求方程近似解的常用 方法 2.能借助計算機(器)用二分法求方程的近 似解，體會程序化的思想即算法思想 3.進一步認識數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于 生活 4.感悟重要的數(shù)學(xué)思想：等價轉(zhuǎn)化、函數(shù) 與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論以及無限 逼近的思想.,另一案例,點到直線的距離,案例4 點到直線的距離,（課堂教學(xué)實錄）,點P(2,5)到直線 l 的距離 d =_____.,,3x 4y+14=0,4x+3y 11=0,得:,3(x-2) -4(y-5)=0,勾三股四弦五,導(dǎo)入,問題 已知：點P (x0 , y0) 和直線 l: Ax

29、+By+C=0 求點P到直線l 的距離.,分析1 過點P作l1l ，垂足為Q，則 |PQ| 就是點P 到 直線l 的距離. 依題意 l1: B x-Ay-Bx0+Ay0=0,,,結(jié)論 點P (x0 , y0)到直線 l: Ax+By+C=0的距離為:,換個角度思考 重新構(gòu)造方程,2+2： (A2+B2)(x-x0)2+( y-y0)2=(Ax0+By0+C)2,設(shè)而不求，整體代入,分析2 設(shè)M(x, y)是直線 l 上的一個動點, 則P到直線 l 的距離就是 |PM| 的最小值.,動畫,剛才你在計算時畫圖了嗎?,|PS|=3，|PR|=4，|RS|=5,充分挖掘 潛在的幾何條件,若直線 l

30、 經(jīng)過點R (2, 1) 和 S (-1, 5), 則直線 l 的方程為 4x+3y-11=0 . 過點P(2,5)垂直于l 的方程為3x4y+14=0， 點P(2,5)到直線 l 的距離 d = .,回憶前面的練習,,分析3當A.B0 時, 直線 l 與x 軸、y 軸都相交.過P分別作x 軸、y 軸的平行線,交直線l 于S 、R兩點, 則RtPRS中斜邊RS上的高PQ的長就是P到直線 l 的距離.,得:,當A=0或B=0時仍適用,1. 當P(x0 ,y0)在直線 l: Ax+By+C=0上時, d=0.,2. 當A=0或B=0時,公式也適用. 但可以直接求距離.,結(jié)論 點P (x0 , y

31、0)到直線 l: Ax+By+C=0的距離為:,另有分析4，有興趣的可課后探索（見后）,例1.求點 P ( -1, 2 ) 到下列直線的距離: 2 x + y 10 =0 3 x =2,解: , 因為直線3x=2平行于y軸, 所以,練習2 A(-2,3)到直線 3x+4y+3=0的距離為_____. B(-3,5)到直線 2y+8=0的距離為______.,9,0,練習1 求原點到下列直線的距離： (1) 3x+2y-26=0 (2) y=x,例2. 求平行線 2x -7y +8=0 和 2x -7y -6=0 的距離.,解: 在直線 2x -7y -6=0 上取 P( 3,

32、0), 則 P( 3, 0)到 直線 2x -7y +8 =0 的距離就是兩平行線間的距離.,例4. 邊長為4 的正方形中心為Q (1,-1), 一邊的斜率為 ,求正方形各邊所在直線的方程.,例3. 在拋物線 y=4x2 上求一點P, 使P到直線 l: y=4x-5 的距離最短,并求出這個最短距離.,解:依題意設(shè) P(x,4x2), 則P到直線l: 4x- y-5=0的距離為,作業(yè)：P54 / 13、14、15、16.,R,,課后探索,教師提供知識背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生從不同的角度分析比較, 尋求計算點到直線距離的方法, 從按常規(guī)思路“求交點算距離”、到觀察動畫從變化的角度構(gòu)造函數(shù)求“極

33、值”，再挖掘幾何條件“形數(shù)結(jié)合”，在直角三角形中求解。通過特殊到一般的運算, 由具體到抽象，探索得到點到直線的距離公式 。教師參與討論并適時點撥，師生互動，學(xué)生在獲取知識的同時，得到一次有益的思維訓(xùn)練，有利于能力的提高。,解斜三角形中，用向量方法推導(dǎo)正弦定理的思考,從三角形中最基本的向量關(guān)系式入手：,案例5 向量方法推導(dǎo)正弦定理,變化1,變化2,變化3,,參數(shù)方程的意義,普通高中課程標準實驗教科書 選修 4-4,（新課導(dǎo)入片斷）,案例6 參數(shù)方程的意義,坐標系的思想是17世紀著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒在以前的一些樸素的的思想和零星的問題中比較系統(tǒng)地提出來的笛卡兒的工作標志著數(shù)學(xué)的發(fā)展進入了一個新

34、的時代，為牛頓萊布尼茲創(chuàng)立微積分和近代數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)實際上，坐標系不僅僅是解析幾何的基礎(chǔ)，也是研究其他幾何問題、函數(shù)問題、方程問題等等的基礎(chǔ)坐標系的思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的基本思想之一，它是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁，充分地反映了數(shù)形結(jié)合的思想，它可以給出幾何問題的代數(shù)表示，也可以給出代數(shù)問題的幾何背景,T：現(xiàn)在我們這樣建立平面直角坐標系，每一個同學(xué)對應(yīng)著第一象限的一個格點，第一排同學(xué)的縱坐標是1, 第一列同學(xué)的橫坐標是1，相鄰兩個同學(xué)的間距是1個單位下面，我就按坐標來提問首先請 (1,2)同學(xué)回答你對應(yīng)的點到原點的距離是多少?,S(1,2):,T: 請(3,3)同學(xué)計算經(jīng)過你和第一位同學(xué)對應(yīng)的

35、點的直線斜率.,S(3,3):,T: (5,4)同學(xué), 你對應(yīng)的點在剛才兩點所確定的直線上嗎? 為什么?,S(5,4): 在! 因為剛才兩點確定的直線 l: 即 x -2y +3=0 經(jīng)過點 (5,4).,T: 完全正確! 下面大家猜猜我該提問誰了?,(學(xué)生先茫然，后議論紛紛),T: 回想一下,我第1 次喊的是(1,2), 第2 次喊的是(3,3), 第3 次喊的是(5,4), 那么第4 次該論到誰呢? 如果猜出來了, 大家都向她瞧!,(逐漸地,有人把目光投向(7,5)同學(xué), 接著她自己站起來了).,T: 為什么是你呢?,S(7,5): 因為點 (7,5) 在直線 x -2y +3

36、 =0 上.,T: 該直線上不止一個整點，為什么輪到(7,5)呢?,S(6,1): 橫坐標是連續(xù)的奇數(shù), 縱坐標是從2開始的自然數(shù).,T：很好！再想一想，為什么第4次輪到(7,5)? 照此規(guī)律，我第8次又該喊誰呢? 請考慮一下橫坐標和縱坐標分別與我喊的序號有什么關(guān)系?,S(4,3)：縱坐標是序號加1, 橫坐標是第“序號”個奇數(shù).,T: 能用數(shù)學(xué)語言來表示嗎?,S(2,4)：設(shè)序號為n, 則 x=2n-1, y=n+1. 也就是說 x，y分別是 n 的函數(shù).,S(2,6)：因為前幾個同學(xué)對應(yīng)的點的橫、縱坐標分別是公差為 2 和 1 的等差數(shù)列.,在剛才的討論中,我們發(fā)現(xiàn)x與y的關(guān)系不明顯, 但它

37、們都是變數(shù)n的函數(shù), 而變數(shù)n 既溝通了x與y 的聯(lián)系,又刻畫了動點的運動規(guī)律, 功不可沒! 我們還不難發(fā)現(xiàn), 當變數(shù)n在正整數(shù)集合中取值時, 點(x,y) 的軌跡是直線 x-2y +3 =0 上孤立的點列; 當 n 在實數(shù)集合中取值時, 點 (x,y) 的軌跡是直線 x -2y +3 = 0 .,也就是說，直線l : x -2y +3 = 0上任意一點的坐標都是某個變數(shù)t 的函數(shù): 并且對于每一個實數(shù)t, 由方程組(1)所確定的點M (x,y) 都在直線l 上.,T：直線的參數(shù)方程，你還能寫出別的曲線的參數(shù)方程嗎？,單位圓上的點能用一個變量來表示嗎？,你能寫出單位圓的參數(shù)方程

38、嗎？,你能寫出單位圓的方程嗎？,單位圓的參數(shù)方程,x2y21,拋,以C (a, b)為圓心，r 為半徑的圓呢？,例1求橢圓的參數(shù)方程 例2求炮彈運行軌跡的參數(shù)方程(略),參數(shù)的作用：溝通動點坐標的聯(lián)系, 刻畫動點運動的規(guī)律.,相對參數(shù)方程而言，原先的方程稱為普通方程,這個參數(shù)方程能化成普通方程嗎？,畫,參數(shù)方程是學(xué)生第一次接觸的新概念,如何從學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)出發(fā),創(chuàng)設(shè)情景,讓學(xué)生參與概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程, 從中領(lǐng)悟參數(shù)的作用以及建立參數(shù)方程的可能性和必要性,就顯得十分重要.本節(jié)課概念引入的設(shè)計貼近學(xué)生實際,從學(xué)生熟悉的知識出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生積極思維去探索未知問題的規(guī)律,認識概念的內(nèi)涵,留下

39、了較深刻的印象, 取得較好的效果.,世界充滿著變化，有些變化幾乎不被人們所感覺，而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼例如 蘇州市2004年4月20日最高氣溫為33.4，而此前的兩天，4月19日和4月18日最高氣溫分別為24.4和18.6，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！” 但是，如果我們將該市2004年3月18日最高氣溫3.5與4月18日最高氣溫18.6進行比較，我們發(fā)現(xiàn)兩者溫差為 15.1，甚至超過了14.8而人們卻不會發(fā)出上述感嘆 這是什么原因呢？ 原來前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢” 用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫變量變化的快與慢？ 這樣

40、的數(shù)學(xué)模型有哪些應(yīng)用？,只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，而且也表明過程：運動 恩格斯,案例7 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用, 如何量化陡峭程度呢？,容易看出B，C之間的曲線較A，B之間的曲線更加“陡峭”陡峭的程度反映了氣溫變化的快與慢,1.1.1平均變化率,在本章引言的案例中， “氣溫陡增”的數(shù)學(xué)意義是什么呢？為了弄清這個問題，我們先來觀察下面的氣溫曲線圖（以3月18日作為第一天）,例1 嬰兒從出生到第12個月的體重變化(如圖)，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率,例2 水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙(如圖)，t秒鐘后容器甲中水的體積為 V

41、 (t)=5e0.1t(單位cm3) ， 計算第一個10秒內(nèi)V 的平均變化率,例3 已知函數(shù)f (x) = x2，分別計算函數(shù)f (x)在區(qū)間1, 3, 1, 2, 1, 1.1, 1, 1.001上的平均變化率,例4 已知函數(shù)f(x) = 2x + 1，g(x) = 2x，分別計算在區(qū)間3，1， 0，5上函數(shù) f (x)及g (x)的平均變化率,思考 從例4的求解中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)ykxb在區(qū)間 m, n 上的平均變化率有什么特點嗎？,1.1.2 瞬時變化率導(dǎo)數(shù), 如何精確地刻畫曲線上一點處的變化趨勢呢？,如果將點 P 附近的曲線放大后進行觀察我們發(fā)現(xiàn)，曲線在點 P 附近看上去有點像是

42、直線,如果將點P附近的圖形放大再放大，我們發(fā)現(xiàn)，曲線在點P附近的曲線看上去幾乎成了直線事實上，如果繼續(xù)放大，可以發(fā)現(xiàn)點P附近的曲線將接近（逼近）一條確定的直線 l，該直線 l 是經(jīng)過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線,1曲線上一點處的切線,因此，在點P附近我們可以用這條直線l來代替曲線，也就是說：在點P附近，曲線可以看作直線，即在很小范圍內(nèi)以直代曲,既然點P附近的曲線被看作直線l，從而可用直線l的斜率刻畫曲線經(jīng)過點P時上升或下降的“變化趨勢”,怎樣找到經(jīng)過曲線上一點P處最逼近曲線的直線l 呢？,如圖，設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點，這時直線PQ稱為曲線的割線隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ

43、在點P附近越來越逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經(jīng)過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線 利用這種割線逼近切線的方法，我們來計算曲線上一點處切線的斜率,,例1 已知f(x) = x2，求f (x)在x = 2處的切線斜率,2瞬時速度與瞬時加速度 在物理學(xué)中，運動物體的位移與所用時間的比，稱為平均速度平均速度是物體運動快慢程度的量化，但它是針對某一時間段而言的在變速運動中，每一時刻的速度都是不同的，那么如何精確刻畫每一時刻的速度呢？,例2 10米高臺跳水，運動員從騰空到入水的過程中，不同時刻的速度是不同的假設(shè)t秒后運動員相對于水面的高度為 H(t)

44、 = 4.9t2 + 6.5t + 10， 試確定t = 2秒時運動員的速度為多少？,例3 設(shè)一輛轎車在高速公路上作勻加速直線運動，假設(shè)t秒時的 速度為v(t) = t2 + 3求t = t0秒時轎車的加速度,3導(dǎo)數(shù) 前面的實際問題都涉及了一個相同的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)數(shù)： 設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間(a, b)上有定義，x0(a, b)，當x無限趨近于0時，比值,則稱f (x)在點 x = x0 處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f (x)在點x = x0處的導(dǎo)數(shù)（derivative），記作 f (x0),若f (x)對于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點都可導(dǎo)，則f (x)在各點的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而變

45、化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為的導(dǎo)函數(shù)，記作f (x),二 項 式 定 理,（課 堂 教 學(xué) 實 錄）,案例8 二項式定理,有 n 個口袋，每個口袋都同樣裝有一紅一黑兩個小球，現(xiàn)依次從這些口袋中各取出一個小球，共有_____種不同的取法；,“無黑” (全紅) 的取法有_____種；,“恰有2個黑球”的取法有_____種；,“恰有r 個黑球”(rn) 的取法有____種；,“全是黑球”的取法有______種.,“取球”的不同結(jié)果共有_________個.,n + 1,“恰有1個黑球”的取法有_____種；,其中，,展開式中 a n 的系數(shù)是_______.,展開式中a n-1b 的系數(shù)

46、是_______.,展開式中a n-rbr 的系數(shù)是_______.,展開式中a n-2b2的系數(shù)是_______.,展開式中 b n 的系數(shù)是_______.,n+1,an , an-1 b , an-2 b2 , , an-r b r , , a b n-1 , b n,二項式 (a+b) 的正整數(shù)次冪 (a+b)n ( nN* ) 的展開式稱為(a+b)n 的二項展開式. 那么,二項展開式有什么規(guī)律嗎？,展開式中a b n-1 的系數(shù)是_______.,(a1+b1) (a2+b2) (a n+ b n)展開式共有________項.,展開式中 a n 的系數(shù)是_______,展開式中

47、a n-1b 的系數(shù)是_______,展開式中a n-rbr 的系數(shù)是_______,展開式中a n-2b2 的系數(shù)是_______,展開式中 b n 的系數(shù)是_______,an , an-1 b , an-2 b2 , , an-r b r , , a b n-1 , b n,展開式中a b n-1 的系數(shù)是_______,n+1, 這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多 項式叫做 (a +b)n 的二項展開式, 其中的系數(shù) 叫做 二項式系數(shù)， 展開式中的 叫做二項式的 通項，用 表示，即通項公式 (r=0,1,2,,n) 表示展開式的第

48、 r +1 項.,一. 二項式定理,注意:(1)公式中的a、b 可以是單項式，也可以是多項式 . (2)公式中a、b 的順序不能顛倒.,二 . 二項展開式的性質(zhì),(1)項數(shù)：,(3)指數(shù)：,a 的指數(shù)從n 起依次減 1 直到 0，b 的指數(shù)從0 起依次增 1 直到 n ，每項中 a、b 的指數(shù)和為n .,展開式共有 n +1項.,(2)系數(shù)：,注意：展開式中某一項的系數(shù)和該項的二項式系數(shù)是不同的概念.,如果用b 替換公式中的b ,則得到公式：,如果設(shè) a =1 b =x , 則得到公式：,如果令a =b =1 呢？,,,-160a3b3,20,-160,D,解：設(shè)展開式的第 r+1 項為常數(shù)

49、項，則,令 24 -3r=0, 解得 r=8 , 即第 9 項是常數(shù)項.,（課后選作題）,一. 二項式定理,依次為組合數(shù) (二項式系數(shù)),二 . 二項展開式的性質(zhì),（1）項數(shù)：,（3）指數(shù)：,注意:(1)公式中的a、b 可以是單項式，也可以是多項式 . (2)公式中a、b 的順序不能顛倒.,a 的指數(shù)從n 起依次減 1直到 0，b的指數(shù)從0 起依次增 1直到 n ，每項中 a、b 的指數(shù)和為n .,展開式共有 n +1項.,（2）系數(shù)：,這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做 (a+b)n 的二項展開式. 叫做二項式系數(shù).,展開式中某一項的系數(shù)和二項式系數(shù)是不同的概念.,,,作業(yè)：P111 / 3. 4 (1) (2),解答,教師是課程實施的關(guān)鍵，是課改成敗的關(guān)鍵,課堂教學(xué)是課程改革的主陣地,為什么要“改”？教育理念的轉(zhuǎn)變,改什么？新課程“新”在何處？,怎么改？教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變,教師角色的轉(zhuǎn)變組織者、引導(dǎo)者、合作者,教學(xué)要求的把握教之道在于“度”,教學(xué)過程的設(shè)計“教”教材還是“用”教材,教學(xué)手段的更新多種媒體的合理使用,結(jié)束語,謝謝!,南京外國語學(xué)校 陳光立 210008 ,