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1、第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.1 3.2 3.3 恒定磁場的基本方程 3.4 矢量磁位 3.5 磁偶極子 3.6 磁介質(zhì)中的場方程 3.7 恒定磁場的邊界條件 3.8 3.9 互感和自感 3.10 磁場能量 3.11 磁場力 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.1 恒定電流的電場 3.1.1 電流密度 圖 3-1 電流密度 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 設(shè)通過 S的電流為 I， 則該點處的電流密度 J為 nnJ dS dI S I S

2、 0 lim 電流密度的單位是 安培 /米 2(A/m2)。 導體內(nèi)每一點都有一 個電流密度 ， 因而構(gòu)成一個矢量場 。 我們稱這一矢量場為電流 場 。 電流場的矢量線叫做電流線 。 可以從電流密度 J求出流過任意面積 S的電流強度 。 一般情況下 ， 電流密度 J和面積元 dS的方向并不相同 。 此時 ， 通過面積 S的電 流就等于電流密度 J在 S上的通量 ， 即 SS dSJdI c o sSJ 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 圖 3-2 面電流密度 nJ lI SS 0 lim vJ 電流分類：傳導電流與運流電流（見書 P48） 對

3、于運流電流： 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 2. 電荷守恒定律 VS dVdtddtdqd SJ dVtd VS SJ 0dVt V J （補充圖再介紹） 應(yīng)用散度定理得： 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 要使這個積分對任意的體積 V均成立，必須使被積函數(shù)為零，即 0 t J 0 t 0 J此時有： S 0d SJ 定義 的電流為 恒定電流 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.1.3 歐姆定律 EJ 材 料 電導率 /(S/m) 鐵 (99.98% ) 107 黃銅

4、1.46 107 鋁 3.54 107 金 3.10 107 鉛 4.55 107 銅 5.80 107 銀 6.20 107 硅 1.56 10-3 表 3-1 常用材料的電導率 實驗結(jié)論： （ J為傳導電流！） （說明并推導與 I=U/R的關(guān)系） 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.1.4 焦耳定律 當導體兩端的電壓為 U， 流過的電流為 I時 ， 則在單位時間內(nèi)電場力對電荷所作 的功 ， 即功率是 UIP 在導電體中 ， 沿電流線方向取一長度為 l、 截面為 S的體 積元 ， 該體積元內(nèi)消耗的功率為 VEJSJl

5、EIlEIUP ))(()( (板書畫圖） 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 當 V 0， 取 P/V的極限 ， 就得出導體內(nèi)任一點的熱 功 率密度 ， 表示為 2 0 lim EEJ V Pp V 或 EJ p 此式就是 焦耳定律的微分形式 。 應(yīng)該指出 ， 焦耳定律不適應(yīng)于運流電流 。 因為對于運流電 流而言 ， 電場力對電荷所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭幽?， 而不是轉(zhuǎn) 變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能 。 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.1.5 恒定電場的基本方程 0 0 E J l S d d 0 0 lE

6、SJ 我們將電源外部導體中 恒定電場的基本方程 歸納如下： 與其相應(yīng)的積分形式為 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 電流密度 J與電場強度 E之間滿足歐姆定律 J=E。 由于恒定電場的旋度為零 ， 因而可以引入電位 , E=- 。 在均勻?qū)w內(nèi)部 (電導率 為常數(shù) )， 有 0)( 2 E 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.1.6 恒定電流場的邊界條件 圖 3-4 邊界條件 222 EJ 111 EJ 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 0)( 0)( 12 12 JJn EEn 或 tt nn E

7、E JJ 21 21 如前推導可得，恒定電流場的邊界條件為 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 例 3-1 設(shè)同軸線的內(nèi)導體半徑為 a, 外導體的內(nèi)半徑為 b， 內(nèi) 、 外導體間填充電導率為 的導電媒質(zhì) ， 如圖 3-5 所示 ， 求同軸線 單位長度的漏電電阻 。 圖 3-5 同軸線橫截面 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 解： 媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導體流向外導體， 設(shè) 流過半徑為 r的任一圓柱側(cè)面的漏電電流為 I，則媒質(zhì)內(nèi)任一 點的電流密度和電場為 r r r I r I e J E eJ 2 2 內(nèi)、外導體間的

8、電壓為 a bIE drU b a ln2 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 電導 a bU I G ln 2 于是， 電阻 a b I UR ln 2 1 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） *3.1.7 恒定電流場與靜電場的比擬 表 3-2 恒定電場與靜電場的比較 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.2 磁 感 應(yīng) 強 圖 3-8 安培定律 R 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 安培定律指出：在真空中載有電流 I1的回路 C1上任一電流元 dl1對 另一載有電流 I2的回路 C2上任

9、一電流元 dl2的作用力表示為 3 11220 12 R )dI(dI 4 d RllF 3 1122 C C 0 12 R )dI(dI 42 C1C 2 1 RllF 的合力對 3 11 C 0 C 2212 R dI 4 udI 12 RllF 2C 2212 dI BlF 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 令 (舉例說明 ) BlF Idd (安培力 ) 3 0 4 R Idd RlB 1C 3110 RdI4 RlB (畢 -薩定理 ) 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.3 恒定磁場的基本方程

10、 1. 磁通連續(xù)性原理 磁感應(yīng)強度在有向曲面上的通量簡稱為 磁通量 (或磁通 )， 單位是 Wb(韋伯 )， 用 表示： s d SB 如 S是一個閉曲面， 則 S d SB 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） SCCS S R dIddRIdd 3030 44 SRlSRlSB 上式中 故可將其改寫為 RR 1 3 R SS C dRIdd SlSB 140 由矢量恒定式 V S ddV SAA P287(A1.13) P287(A1.1) 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時

11、2節(jié)） 則有 dV R Id d VS C 1 4 0 l SB 而梯度場的旋度為零， 0 1 R 所以 S 0d SB 積分形式 P287(A1.9) 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 使用散度定理， 得到 S V dVd 0BSB 由于上式中積分區(qū)域 V是任意的， 所以對空間的各點， 有 0 B 上式是磁通連續(xù)性原理的 微分形式 ， 它表明磁感應(yīng)強度 B是 一個無源 (指散度源 )場 。 磁通連續(xù)性方程 P287(A1.12.) 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 2. 安培環(huán)路定律 I C

12、 0 dlB 當穿過積分回路 C的電流是幾個電流時， 可以將式 (3 - 36) 改寫為一般形式： IdC 0lB 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 根據(jù)斯托克斯定理，可以導出 安培回路定理 的微分形式： B l ( B ) S Cs dd 由于 S dI SJ P287(A1.13) 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） SS dd SJSB 0)( 因積分區(qū)域 S是任意的， 因而有 JB 0 上式是安培環(huán)路定律的 微分形式 ， 它說明磁場的渦旋源是 電流 。 我們可用此式從磁場求電流分布 。 對于對稱分布的電

13、流 ， 我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式 ， 從電流求出磁場 。 安培環(huán)路定理 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 例 : 半徑為 a的無限長直導線 ， 載有電流 I， 計算導體內(nèi) 、 外 的磁感應(yīng)強度 。 解 : SC drBd SJlB 02 在導線內(nèi)電流均勻分布， 導線外電流為零， 0 2a I z e J r a ra 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 當 ra時 ， 積分回路包圍的電流為 I； 當 ra時 ， 包圍電流為 Ir2/a2。 當 ra時： 2 0 2 2 0 2 2 a Ir B a

14、Ir rB 當 ra時： r I B IrB 2 2 0 0 *寫成矢量形式為 r I J a Ir z 2 22 0 02 0 e re e B r a ra 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.4 矢 量 磁 位 可以令 AB 稱式中的 A為 矢量磁位 (簡稱磁矢位 )， 其單位是 Tm(特斯 拉 米 )或 Wb/m(韋伯 /米 )。 矢量磁位是一個輔助量 。 式僅僅規(guī)定 了磁矢位 A的旋度 ， 而 A的散度可以任意假定 。 因為若 B= A， 另一矢量 A =A+ ， 其中 是一個任意標

15、量函數(shù) ， 則 BAAA 0 A 令 （庫侖規(guī)范） 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） JA 0 使用矢量恒等式 )(2 AAA JA 02 上式是磁矢位滿足的微分方程 ， 稱為 磁矢位的泊松方程 。 對無 源區(qū) (J=0)， 磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程 ， 即 02 A 2 2 2 2 x y z 0A e e e Jx y zA A A zyx AAA zyx eeeA zyx JJJ zyx eeeJ 且 * * 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） zz yy xx JA JA JA 0 2 0 2 0 2

16、 V z z V y y V x x dV R J A dV R J A dV R J A 4 4 4 0 0 0 類比靜電場公式，得 * * * * * * 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 合并上三個分量式， 將其寫成矢量形式： V dV R JA 4 0 若磁場由 面電流 JS產(chǎn)生，容易寫出其磁矢位為 S dSR SJA 4 0 同理， 線電流 產(chǎn)生的磁矢位為 l RI dlA 4 0 磁通的計算也可以通過磁矢位表示： S CS ddd lASASB )( （ 類 比 電 位 公 式 ） * 第三章 恒定電流的電場和磁

17、場 (周學時 2節(jié)） *例 求長度為 l 的載流直導線的磁矢位 。 圖 3-11 直導線磁矢位 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 解 : 2/122 2/122 0 2/ 2/ 2/122 0 )2/()2/( )2/()2/( 1 4 )( 4 rzlzl rzlzl n I zzr dzI A l l z 當 lz時，有 2/122 2/122 0 )2/(2/ )2/(2/1 4 rll rllnIA z 上式中，若再取 lr, 則有 r l n I r l n I A z 1 2 1 4 0 2 0

18、 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 當電流分布在無限區(qū)域時 ， 一般指定一個磁矢位的參考點 ， 就可以使磁矢位不為無窮大 。 當指定 r=r0處為磁矢位的零點時 ， 可以得出 r rnIA z 00 1 2 從上式， 用圓柱坐標的旋度公式，可求出 r I r AA r zzr 2 0 ee eAB 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） *例 用磁矢位重新計算載流直導線的磁場。 解： 0 2 a I z e J r a ra 從電流分布可以知道磁矢位僅僅有 z分量，而且它只是坐 標 r的函

19、數(shù)，即 )( rAzeA 設(shè)在導線內(nèi)磁位是 A1, 導線外磁位是 A2， ra時， 01 222 r Ar rr A 212 2 0 1 14 CnrCa IrA 432 1 CnrCA r A z eB 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 可以求出導線內(nèi)、 外的磁場分別為 r C eB a Ir eB 3 2 2 0 1 2 2 0 3 IC 導體外部的磁感應(yīng)強度為 r IreB 2 0 2 在 r=a處 B1=B2，有 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.5 磁 偶 極 子 概念

20、磁偶極子 ： 通電小圓環(huán)。 定義 磁偶極矩 ： Sp m I 3 0 4 r rpA m 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.6 磁介質(zhì)中的場方程 1. 磁化強度 M VV mpM 0 lim 式中 Pm是分子磁矩 ， 求和對體積元 V內(nèi)的所有分子進行 。 磁化強 度 M的單位是 A/m(安培 /米 )。 定義 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 2. 圖 3 -13 磁化介質(zhì)的場 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3 0 )( 4 R Vr RMA 全部磁介質(zhì)在 r處產(chǎn)生的磁矢位為 1 4 )

21、( 4 0 3 0 dV R dV R r V V M RM A 可以將上式改寫為 4 4 00 dS R dV R VV nMMA * * * * * 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） nMJ MJ mS m 等效 磁化體電流 ： 等效 磁化面電流： 1：如何理解“等效”？ 2：與極化電荷的區(qū)別？ 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 圖 3-14 磁化電流示意圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 例 半徑為 a、 高為 L的磁化介質(zhì)柱 (如圖 3 -15 所示 )， 磁化 強度為

22、M0(M0為常矢量 ， 且與圓柱的軸線平行 )， 求磁化電流 Jm 和磁化面電流 JmS。 圖 3 15 例 3 - 7用圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 解 ：取圓柱坐標系的 z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合 ， 磁介質(zhì) 的下底面位于 z=0處 ， 上底面位于 z=L處 。 此時 ， M=M0ez， 由式 (3 -52)得磁化電流為 0)( 0 zm M eMJ 在界面 z=0上， n=-ez, 0)(0 zzmS M eenMJ 在界面 z=L上， n=ez， 00 zzmS M eenMJ 在界面 r=a上， n=er, eeenMJ 00 M

23、M rzmS 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3. 磁場強度 在外磁場的作用下 ， 磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流 Jm。 磁化電流 Jm 和外加的電流 J都產(chǎn)生磁場 ， 這時應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正 為下面的形式： SJlB dIIId S mC m 000 )( lMSMB dIdIdl CC S 0000 C Id lMB 0 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 令 MBH 0 其中 H稱為 磁場強度 ，單位是 A/m(安培 /米 )。于是有 C Id lH 與上式相應(yīng)的微分形式是 JH 第三章 恒定電流的電場和磁

24、場 (周學時 2節(jié)） 4. 磁導率 )(0 MHB 實驗得知， M與 H間的關(guān)系為 HM m 式中 m是一個無量綱常數(shù) ， 稱為 磁化率 。 非線性磁介質(zhì)的磁化率 與磁場強度有關(guān) ， 非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù) ， 各向 異性介質(zhì)的 M和 H的方向不在同一方向上 。 順磁介質(zhì)的 m為正 ， 抗磁介質(zhì)的 m為負 。 這兩類介質(zhì)的 m約為 10-5量級 。 HHHMHB 000 )1()( rmx 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 式中 ， r=1+m， 是介質(zhì)的 相對磁導率 ， 是一個無量綱數(shù)； =0r， 是介質(zhì)的磁導率 ， 單位和真空磁導率相同 ，

25、 為 H/m(亨 /米 )。 鐵磁材料的 B和 H的關(guān)系是非線性的 ， 并且 B不是 H的單值 函數(shù) ， 會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象 ， 其磁化率 m的變化范圍很大 ， 可以 達到 106量級 。 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 5. JH 0B SC S dd SJlH dSB 0 JA 2 HB AB 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 例 同軸線的內(nèi)導體半徑為 a， 外導體的內(nèi)半徑為 b， 外半 徑為 c， 如圖 3 - 16 所示 。 設(shè)內(nèi) 、 外導體分別流過反向的電流 I， 兩導體之間介質(zhì)的磁導率為 ， 求各區(qū)域的

26、H、 B、 M。 同軸線示意圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 解： 以后如無特別聲明 ， 對良導體 (不包括鐵等磁性物質(zhì) )一 般取 其磁導率為 0。 因同軸線為無限長 ， 則其磁場沿軸線無變化 ， 該磁場只有 分量 ， 且其大小只是 r的函數(shù) 。 分別在各區(qū)域使用介 質(zhì)中的安培環(huán)路定律 C Hdl= S JdS， 求出各區(qū)的磁場強度 H， 然后由 H求出 B和 M。 當 r a時， 電流 I在導體內(nèi)均勻分布，且流向 +z方向。由安 培環(huán)路定律得 22 a Ir eH )( ar 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 考

27、慮這一區(qū)域的磁導率為 0，可得 0 2 2 0 M eB a Ir (r a) (r a) 當 a

28、。 將積分形式的磁通連續(xù)性 原理 (即 S BdS=0)應(yīng)用到此閉合面上 ， 假設(shè)圓柱體的高度 h趨 于零 ， 得 021 SS nBnB nn BB 12 寫成矢量形式為 0)( 12 BBn 即 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 圖 : Ht的邊界條件 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 將 介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律 C S dSJdlH 應(yīng)用在這一回路， 得 S dSJllHlH )( 12 若界面上的電流可以看成面電流， 則 lbJdSJS S lbJlHHl S )( 12 于是有 第三章 恒定電流的電場和磁場

29、 (周學時 2節(jié)） 考慮到 l =b n, 得 bJHHnb S )()( 12 使用矢量恒等式 ACBCBA )()( bJbHHn S )( 12 SJHHn )( 12 21t t SH H J 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 如果 無面電流 (JS=0)， 這一邊界條件變成為 0)( 12 HHn 用下標 t表示切向分量，上式可以寫成標量形式： tt HH 12 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 上式兩式相除 ， 并注意 B2=2H2, B1=1H1, 得 2 1 2 1 t a n t a n 這表明 ， 磁力

30、線在分界面上通常要改變方向 。 若介質(zhì) 1為鐵磁 材料 ， 介質(zhì) 2為空氣 ， 此時 2 1, 因而 2 1， 由式 (3 - 66)得 B2 B1。 假如 1=10000, 2=0， 在這種情況下 ， 當 =87 時 ， 2=1.09 ， B2/B1=0.052。 由此可見 ， 鐵磁材料內(nèi)部的磁感應(yīng) 強度遠大于外部的磁感應(yīng)強度 ， 同時外部的磁力線幾乎與鐵磁 材料表面垂直 。 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 3.9 互 感 和 自 感 在線性磁介質(zhì)中 ， 任一回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路電流 成正比 ， 因而穿過任意的固定回路的磁通量 也是與電流

31、成正比 。 如果回路由細導線繞成 N匝 ， 則總磁通量是各匝的磁通之和 。 稱 總磁通為磁鏈 ， 用 表示 。 對于密繞線圈 ， 可以近似認為各匝的 磁通相等 ， 從而有 =N。 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 一個回路的 自感定義 為回路的磁鏈和回路電流之比， 用 L 表示， 即 IL 自感的單位是 H(亨利 )。自感的大小決定于回路的尺寸、形狀以 及介質(zhì)的磁導率。 圖：互感 (黑板畫圖 ) 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 1 12 12 IM 2 21 21 IM 互感 的單位與自感相同 。 同樣 ， 我們可以 用載流回路 C2

32、的磁場 在回路 C1上產(chǎn)生的磁鏈 21與電流 I2的比來定義 互感 M21， 即 互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導率和回路 的匝數(shù)。 可以證明： M12=M21 例： P71 3-9 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 解： 設(shè)導線中電流為 I， 由無限長導線的磁場公式 ， 可得兩 導線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強度為 )(22 00 xd I x IB 磁場的方向與導線回路平面垂直。 單位長度 上的外磁鏈為 a adnIB dxad a 10 所以 單位長 外自感為 a adnL 10 第三章 恒定電流的電場和磁場

33、 (周學時 2節(jié)） 類似于靜電場的能量可以用電場矢量 D和 E表示 ， 磁場能量 也可用磁場矢量 B和 H表示 ， 并由此得出磁通密度的概念 。 Vm dVW BH21 磁場能量密度 為 2 2 1 H 2 1w m HB 3.10 磁場能量 )21.............21( 22 CUWLIW em 第三章 恒定電流的電場和磁場 (周學時 2節(jié)） 例 同 軸線單位長度自感和儲能 （ 黑板補充 ） * 例 求無限長圓柱導體單位長度的內(nèi)自感 。 解 ：設(shè)導體半徑為 a，通過的電流為 I，則距離軸心 r處的磁 感應(yīng)強度為 2 0 2 a IrB 單位長度的磁場能量為 16 2 2 1 2 1 2 1 2 0 1 00 2 0 2 0 I dzr drB dVBB H dVW a mi 單位長度的內(nèi)自感為 8 2 0 2 I WL mi i