《線性定常系統(tǒng)的線性變換.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性定常系統(tǒng)的線性變換.ppt（43頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 線性定常系統(tǒng)的線性變換 第三章 本章介紹常用的線性變換方法，以及非奇異線性變換的一些不變特性。 3.1 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換 在前面學(xué)習(xí)建立系統(tǒng)動態(tài)方程時已經(jīng)看到，選取不同的狀態(tài)變量，可以 得到不同形式的動態(tài)方程。若兩組狀態(tài)變量之間用一個非奇異矩陣聯(lián)系著， 則兩組動態(tài)方程的矩陣與該非奇異矩陣有確定關(guān)系。 設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為 )2053(, cxybuAxx 令 )2 0 63( xPx 式中， P為非奇異線性變換矩陣，變換后的動態(tài)方程為 )2073(, xcyubxAx 式中 )2083(,, 11 cPcbPbAPPA 并稱對系統(tǒng)進(jìn)行 P

2、變換。 線性變換的 目的 ：揭示系統(tǒng)特性及分析計(jì)算。 線性變換的 影響 ：不改變系統(tǒng)原有的性質(zhì)。 幾種常用的線性變換關(guān)系 1 化 A陣為對角陣 設(shè) A陣為任意方陣。且有 n個互異實(shí)特征值 1， 2， ， n，則可 由非奇異線性變換化為對角陣 。 )2093( 2 1 1 n APP P陣由 A陣的實(shí)數(shù)特征向量 pi(i=1,2,,n) 組成 npppP 21 特征向量滿足 nipAp iii ,,2,1; 212)-(3 1111 P , 1000 0100 0010 A 11 3 1 2 1-n 1 2 n 2

3、3 2 2 2 1 n321 1210 n n nn naaaa 設(shè) A陣具有 m重實(shí)數(shù)特征值 1， 其余為 (n - m)個互異實(shí)數(shù)特征值。 在求解 Api = 1pi (i=1,2,,m) 時仍有 m個獨(dú)立特征向量 p1, p2, , p m，仍然可 使 A陣化為對角陣 。 若 A為友矩陣，且有 n個互異實(shí)特征值 1， 2， ， n，則下列的范 德蒙特矩陣 P可使 A對角化： )2143( 213)-(3 0 0 121 1 1 1 1

4、 nmm n m pppppP APP 式中， pm+1, pm+2, , p n為互異實(shí)數(shù)特征值對應(yīng)的實(shí)特征向量。 設(shè) A陣具有 m重實(shí)特征值 1，其余為 n-m 個互異實(shí)特征值，但在求 解 Api = 1pi (i=1,2,,m) 時只有一個實(shí)特征向量 p1，則只能使 A化為約當(dāng)陣 J。 2 化 A陣為約當(dāng)型 )2163( )2153( 0 1 0 1 121 1 1 1 1 1 nmm n m pppppP APPJ J中虛線表示存在一個約當(dāng)塊。式中

5、p2, p3, , p m為廣義實(shí)特征向量，滿足 若 A陣為友矩陣 ，具有 m重實(shí)特征值 1，且只有一個實(shí)特征向量 p1， 則使 A約當(dāng)化的 P陣為 J中虛線表示存在一個約當(dāng)塊。式中 p2, p3, , p m為廣義實(shí)特征向量，滿足 )2173( 1 1 21 1 1 1 21 mm pppAppp pm+1, pm+2, , p n是互異特征值對應(yīng)的實(shí)特征向量。 )2193(1 )2183( 1 1 2 111 11 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 Tn nmm m p pp ppp p

6、P 式中 設(shè) A陣具有五重實(shí)特征值 1，且只有兩個獨(dú)立實(shí)特征向量 p1, p2, 其余 為 n-5個互異時特征值， A陣約當(dāng)化的可能形式如下，式中， J中虛線表示存 在兩個約當(dāng)塊。 )2213( )2203( 1 1 1 6 1 2 22 1 1 2 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 n n pp p p pp pP APPJ 3 化可控系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型 已知單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程的可控標(biāo)準(zhǔn)型為 )2223( 1 0 0

7、 0 1000 0100 0010 1 2 1 1210 1 2 1 u x x x x aaaax x x x n n nn n 與之相對應(yīng)的可控性矩陣 S為 S是一個右下三角形，主對角線元素均為 1，故 detS0， 系統(tǒng)一定可控 。 )2233( 1 10 100 1000 10000 21 1 1 1 nn n n n aa a a bAAbb

8、S 任何一個可控系統(tǒng)，當(dāng) A， b 不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型時，一定可通過適當(dāng)?shù)淖?換化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 已知可控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )2243( buAxx 進(jìn)行 P-1 變換，即令 )2253(1 zPx 變換為 )2263(1 P b uzPAPz 要求 )2273( 1 0 0 0 , 1000 0100 0010 1210 1 Pb aaaa PAP n ？ 如何確定變換矩陣 P 推導(dǎo)變換矩陣 P： )2283(21 TTnTT pppP P應(yīng)該滿足式（ 3-227

9、），有 展開得 )2293( 1000 0100 0010 1 2 1 1210 1 2 1 n n nn n p p p p aaaa A p p p p 假設(shè)變換矩陣 P為 nnn nn papapaAp pAp pAp pAp 12110 1 32 21 整理后得 由此可得變換矩陣 P n n nn pApAp pApAp pAp 1 11 3 2 12 21 )2303( 1 1 1 1 2 1

10、 n n Ap Ap p p p p P 又根據(jù) b陣變換要求， P應(yīng)該滿足式（ 3-227），有 )2313( 1 0 0 1 1 1 1 b Ap Ap p Pb n 即 計(jì)算可控性矩陣 S b Ab A n-1b ; 計(jì)算可控性矩陣的逆陣 S-1, 設(shè)一般形式為 故 )2323(10011 bAAbbp n 上式表明， p1是可控矩陣的逆陣的最后一行。因此可得出 變換矩陣 P-1的求法： )2333(100 111 bAAbbp n 取出 S-1的最后一行，構(gòu)成

11、 p1行向量 )2343( 21 22221 11211 1 nnnn n n SSS SSS SSS S 構(gòu)造 P陣 )2353(211 nnnn SSSp P-1便是講非標(biāo)準(zhǔn)型可控系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣 )2 3 63( 1 1 1 1 nAp Ap p P 3.2 對偶原理 對偶原理可使系統(tǒng)的研究更加方便。 設(shè)系統(tǒng)為 S1(A,B,C)，則系統(tǒng) S2(AT,CT,BT)為系統(tǒng) S1的對偶系統(tǒng)。特征方程 分別為： )2383(,: )2373(,: 2 1 zBwvCzAzS

12、 CxyBuAxxS TTT 系統(tǒng)與對偶系統(tǒng)之間，其輸入、輸出向量的維數(shù)是相交換的。 S1與 S2互 為對偶系統(tǒng)。 特點(diǎn)： S1的可控性矩陣與 S2的可觀測性矩陣完全相同。 S1的可觀測性矩陣與 S2的可控性矩陣完全相同。 TTnTTTTTTTTn BABABBAABB )())(()()()( 11 TnTTTTTnTTTT CACACCACAC 11 )()( 可 把可觀測的 SISO系統(tǒng)化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型的問題轉(zhuǎn)化為將其對偶系 統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的問題。 利用已知的化可控標(biāo)準(zhǔn)型的原理和步驟，獲得可觀測標(biāo)準(zhǔn)型的步

13、驟： )2433( )( 1 nTT n TT n T n Av Av v P 列出對偶系統(tǒng)的可控性矩陣（即原系統(tǒng)的可觀測性矩陣 V2） )2413()( 12 TnTTTT cAcAcV 求 V2的逆陣 V2-1，且記為行向量組 )2 4 23(2 1 1 2 T n T T v v v V 取 V2-1的第 n行 nT，并按下列規(guī)則構(gòu)造變換矩陣 P 求 P-1，引入 P-1變換 nnnnT vAAvvP 1 對對偶系統(tǒng)再利用對偶原理，便可獲得原系統(tǒng)的可觀測

14、標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)果 為 )2463()( )2453()()( 11 xcPxPcy buPxAPPuPbxPPAx TTT TTTTTTT 與原系統(tǒng)動態(tài)方程相比較，可知將原系統(tǒng)化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型需要進(jìn)行 PT變換， 即令 其中， )2443(,, 111 zPbwvPczPPAzzPz TTT )2473( xPx T n為原系統(tǒng)可觀測性矩陣的逆陣中第 n行的轉(zhuǎn)置。 3.3 非奇異線性變換的不變性 1 變換后系統(tǒng)特征值不變 變換后系統(tǒng)的特征值為 AIAII AIPPAIPP PAIPPAIP APPPPAPPPPAPPI 11 11 11111

15、)( 令線性變換 線性變換后的動態(tài)方程為 xPx 系統(tǒng)變換后與變換前的特征值完全相同。 ? 非奇異線性變換后，系統(tǒng)的固有特性是否會改變 ？系統(tǒng)特征值； ？系統(tǒng)傳遞矩陣； ？系統(tǒng)可控、可觀測性； 設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為 DuCxyBuAxx , DuxCPyyBuPxAPPx ,11 2 變換后系統(tǒng)傳遞矩陣不變 3 變換后系統(tǒng)可控性不變 變換后系統(tǒng)可控性矩陣的秩為 系統(tǒng)變換后，可控性矩陣的秩相同，系統(tǒng)的可控性不變。 變換后系統(tǒng)的傳遞矩陣為 變換前后系統(tǒng)的傳遞矩陣完全相同。 DBA

16、sIC DBPPAsIC P P DBPPAsIPCP DBPAPPs I PPCP DBPAPPsICPsG 1 111 111 1111 111 )( )( )( )( )()( r a n k S BABAABBr a n k BABAABBr a n k P BAPBAPABPBPr a n k BPAPPBPAPPBPAPPBPr a n kr a n k S n n n n 12 121 112111 111121111 )()()( 4 變換后系統(tǒng)可觀測性不變 變換前后系統(tǒng)的可觀測性矩陣的秩相等，故系統(tǒng)的可觀測性不變

17、。 變換后系統(tǒng)的可觀測性矩陣為 V，變換前系統(tǒng)的可觀測性矩陣為 V，則 r a n k V CACACACr a n k CACACACr a n k P CAPCAPCAPCPr a n k CPAPPCPAPPCPAPPCPr a n kr a n k V TTnTTTTT TTnTTTTTT TTnTTTTTTTTT TTnTTTTT )()( )()( )()( )())(()())(()()()( 12 12 12 11211 3.4 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 定義、意義、方法和過程 定義 ：從可控性、可觀測性出發(fā)，狀態(tài)可分解成

18、可控可觀測 cox 、 可 控不可觀測 ocx 、不可控可觀測 ocx 、不可控不可觀測 ocx 四類，由 對應(yīng)狀態(tài)變量作坐標(biāo)軸構(gòu)成的子空間也分為四類，把系統(tǒng)也隨應(yīng)分成四 類系統(tǒng)子系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。 意義 ：研究規(guī)范系統(tǒng)分解能更明顯地揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性、傳遞特性，并 與穩(wěn)定性分析、反饋校正等密切相關(guān)。 方法： 選取一種特殊的線性變換，使原來的狀態(tài)向量 x變換成 TT ocTocT ocTco xxxx ，相應(yīng)地使原動態(tài)方程中的 A、 B、 C矩陣變換 成某種標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的形式。 過程： 可以先從整個系統(tǒng)的可控性分解開始，將可控、不可控的狀態(tài)變 量分離開，繼而分別對

19、可控。不可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分解，便可以 分離出四類狀態(tài)變量及四類子系統(tǒng)。 1 系統(tǒng)按可控性分解 設(shè)不可控系統(tǒng)動態(tài)方程為 )2493(, CxyBuAxx 系統(tǒng)可控性矩陣的秩為 r（ r < n），從可控性矩陣中選出 r個線性無關(guān)的列向 量 s1,s2,,s r，另外再任意選取盡可能簡單的（ n r）個列向量 sr+1,sr+2,,s n， 使它們與 s1,s2,,s r 線性無關(guān)，這樣就可以構(gòu)成 （ n n）非奇異變換矩陣 nrr sssssP 1211 對式（ 3 249）進(jìn)行非奇異線性變換， )2513(, 11 c c c c c c

20、x xCPyPB u x xPAP x x 式中 cx 為 r維可控狀態(tài)子向量， cx 為（ n-r）維不可控狀態(tài)子向量，且 式（ 3 249）便變成下列的規(guī)范表達(dá)式 )2503(1 c c x xPx 展開式（ 3 251），有 列列 行 列列列 行 行 行 行 )( 21 1 )( )( 1 )( 22 12111 )2523( 0 , 0 rnr q prnr rn r rn r CCCP B PB A AA PAP cc cc ccc xCxCy xAx uBxAxAx 21 22 11211 將輸出量進(jìn)行分

21、解，可得可控子系統(tǒng)、不可控子系統(tǒng)的動態(tài)方程分別為： 可控子系統(tǒng)動態(tài)方程 不可控子系統(tǒng)動態(tài)方程 )2533(, 1111211 cccc xCyuBxAxAx )2543(, 2222 ccc xCyxAx 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的可控性規(guī)范分解具有下列特點(diǎn)： 由于 )2563()( 0)(0 )()()( 00 00 )())(()( )2553( r a n k 000 r a n k )()())((r a n k r a n k 1 1 111 1 1 22 1 2212 1 11 1 11 21 1 1 22 1211 21 1 1 22 1211 2

22、1 1111 1 1 111111 1 1 111111 111 1 BAsIC B AsI AsIAAsIAsI CC B AsI AAsI CC B A AA sICC PBPAPsICPBAsIC r BABAB BABAB PBPAPPBPAPPB BAABB n n n n 設(shè)一個可控性規(guī)范分解系統(tǒng)為 但是，不可控子系統(tǒng) 對整個系統(tǒng)的影響依然存在不可忽視，如要求 22A 僅含穩(wěn)定特征值，以保證 整個系統(tǒng)穩(wěn)定，并且應(yīng)考

23、慮可控子系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng) )(tx c 及系統(tǒng)輸出響應(yīng) y（ t）均與 cx 有關(guān)。 由于選取非奇異變換陣 P-1的列向量 s1,s2,,s r，及 sr+1,sr+2,,s n，的非唯 一性，雖然可控性規(guī)范分解的形式相同，但諸系數(shù)陣不相同，故可控性規(guī)范 分解不是惟一的。 )2573(,0,0 211 22 1211 CCCBB A AAA ),,( 1111 CBA因而 r維系統(tǒng) 是可控的，并且與 (A, B, C)具有相同的傳遞函數(shù)矩 陣。如果從傳遞函數(shù)的角度分析系統(tǒng) (A, B, C)時，可以等價地用分析子系 統(tǒng)

24、 來代替，由于后者維數(shù)已經(jīng)降低，可能會使分析變得簡單。 ),,( 1111 CBA 輸入 u只能通過可控子系統(tǒng)傳遞到輸出，而與不可控子系統(tǒng)無關(guān)，故 u至 y之間的傳遞函數(shù)矩陣描述不能反映不可控部分的特征。 設(shè)另一個可控性規(guī)范分解系統(tǒng)為 )2603()d e t ()d e t ()d e t ( 2211 AsIAsIAsI r BABAB BABAB BABAB BAABB BABAB BABAB BABAB rAA CCC B B A AA A r n n n n n r 1 1 1

25、11111 1 1 111111 1 1 1 1 1 111111 1 1 111111 1111 21 1 22 1211 r a n k r a n k r a n k r a n k r a n k r a n k r a n k )2583( , 0 , 0 ，這是因?yàn)榈碾A數(shù)均為與則 由于 故 振型。的不可控因子或不可控稱為系統(tǒng) ；的可控因子或可控振型稱為系統(tǒng) 又 決定。的特征值的穩(wěn)定性完全由 決定；的特征值的穩(wěn)定性完全由 ),,(,..., ),,(,...,, ,..., ,...,, 1 21 122 2111 CBA CBA Ax Ax

26、nr r nrc rc 線性定常系統(tǒng)完全可控的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換不能化 成（ 3-251）的形式。對于維數(shù)較大系統(tǒng)的可控性判別，這是一種好方法。 例 3 32 已知系統(tǒng)（ A， b， c）如下，試按可控性進(jìn)行分解。 111, 1 0 0 , 341 010 121 cbA 解 計(jì)算可控性矩陣的秩 32 831 000 410 2 nr a n kbAAbbr a n k 故不可控。從中選出兩個線性無關(guān)列，附加任意列向量 T010 構(gòu)成非奇異變換矩陣 1P 。并計(jì)算變換后

27、的各矩陣 010 001 103 , 031 100 010 1 PP 續(xù) 121, 0 0 1 , 100 241 240 11 cPPbPAP 可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 cccc xyuxxx 21,012241 40 1 不可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 ccc xyxx 2, 2 系統(tǒng)按可觀測性分解 觀測矩陣的秩為 l（ l

28、，構(gòu)成非奇異線性變換陣 設(shè)不可觀測系統(tǒng)動態(tài)方程如下，其可觀測矩陣的秩為 l（ l

29、 (n-l)列 p列 （ 3 265） 011 CCT q行 l列 (n-l)列 可得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按可觀測性分解的規(guī)范表達(dá)式 )2643(, 11 o o o o o o x xCTyT B u x xT A T x x 展開式（ 3 265），有 o ooo oo xCy uBxAxAx uBxAx 1 22221 111 可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為 yxCyuBxAx ooo 11111 , 不可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為 0, 222221 yuBxAxAx ooo 例 3-34 試將例 3 32所示系統(tǒng)按可觀測性進(jìn)行分解 解

30、 計(jì)算 可觀測性矩陣的秩 32r a n k 474 232 111 2 nV cA cA c V 故不可觀測，從中選出兩個線性無關(guān)的行，附加任意一行，構(gòu)成非奇異 變換矩陣 T并計(jì)算變換后各矩陣 100 232 111 T 235 032 010 , 100 012 113 11 T ATT 001,121 1 cTTb T 可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為 yxyuxx ooo 01,2 1 32 10 1 不可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為

31、 0,235 2 yuxxx ooo 3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解（按可控性、可觀測性分解） 先對系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解，即引入狀態(tài)變換 )2699(1 c c c x xTx 式中 1 cT 基于系統(tǒng)可控性矩陣來構(gòu)造 。 繼而對可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性 分解，即引入狀態(tài)變換 )2703(01111 oc oc oc co o oc co oc x x x x T x x Tx 其 To1基于可控子系統(tǒng)得可觀測性矩陣來構(gòu)造。最后對不可控子系統(tǒng)進(jìn)行 觀測性分解，即引入狀態(tài)變換 )2712(0 1212

32、 oc oc oc co o oc oc oc x x x x T x x Tx 設(shè)不可控、不可觀測系統(tǒng)動態(tài)方程如下， )2683(, CxyBuAxx 其 To2基于不可控子系統(tǒng)的可觀測性矩陣來構(gòu)造。 綜合上面三次狀態(tài)變換，有下列狀態(tài)變換關(guān)系 oc oc oc co oc oc oc co c x x x x T x x x x T T Tx 1 1 02 1 011 0 0 當(dāng)系統(tǒng)（ A、 B、 C）引入該 T-1 變換后，能將系統(tǒng)變換為下列規(guī)范構(gòu)造形式

33、 oc oc oc co oc oc oc co oc oc oc co x x x x CC y y y y u B B x x x x AA A AAAA AA x x x x 00, 0 0 00 000 00 31 4 3 2 1 2 1 4443 33 24232221 1311 展開上式可得可控、可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為 cooccoco xCyuBxAxAx 1111311 , 可控、不可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為 0, 2224232221 yuB

34、xAxAxAxAx ocococcooc 不可控、可觀測系統(tǒng)動態(tài)方程為 ocococ xCyxAx 333 , 不可控、不可觀測系統(tǒng)動態(tài)方程為 0, 44443 yxAxAx ocococ 系統(tǒng)的特征值由 44332211 ,,, AAAA 矩陣的特征值集合而成。系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣 )()( 0 0 )( 00 0 0 00 000 00)( 00 0 0 00 000 00 00)( 1 1 111 1 1 11 31 2 1 1 11 31 2 1 1 4443 33 24232221 1311 31 sGBAsIC BAsI CC B BAsI CC B B As

35、IA AsI AAAsIA AAsI CCsG co 傳遞函數(shù)矩陣僅描述可控、可觀測子系統(tǒng)的特性。是對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一種不完 全描述。 只有當(dāng)系統(tǒng)可控且可觀測時，輸入 -輸出描述才足以表征系統(tǒng)的結(jié) 構(gòu)，即描述是完全的。 例 3-35 設(shè)不可控且不可觀測定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為下式，試將系統(tǒng) 按可控性或可觀測性分解為規(guī)范型，然后再按可控性與可觀測性對系統(tǒng) 進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。 xyuxx 210, 0 1 1 310 301 10

36、0 210 311 101 2 bAAbbS 解 1）系統(tǒng)按可控性分解。首先確定系統(tǒng)可控狀態(tài)的維數(shù)。系統(tǒng)可 控性矩陣為 rankS = 2 ，系統(tǒng)不可控，起可控狀態(tài)維數(shù)為 2 選取系統(tǒng)變換為可控規(guī)范的變換陣 110 011 001 3321 pAbbpppP 111 011 001 P 1 211 0 0 1 , 100 221 110 11 cPc bPbAPPA 其中 p3是任選的，并與 b

37、,Ab線形無關(guān)的列向量，求得 由變換陣 P確定的可控規(guī)范型為 故有 xyuxx 211, 0 0 1 100 221 110 cccc xyuxxx 11,012121 10 1 ccc xyxx 2, 2 其中可控子系統(tǒng)為 不可控子系統(tǒng)為 2） 系統(tǒng)按可觀測性分解。確定系統(tǒng)可觀測狀態(tài)維數(shù)： 2, 432 321 210 2 r a n k V cA cA c V

38、100 321 210 33 2 1 t cA c t t t T 100 201 112 T 1 系統(tǒng)不可觀測，其可觀測狀態(tài)維數(shù)為 2。 選取可觀測規(guī)范型的變換陣， 求得 由變換陣 T確定的可觀測規(guī)范型為 001, 0 1 1 , 101 021 010 11 cTcTbbT ATA xyuxx 001, 0 1 1 101 021 010 ooo xyuxx 01,1121 10 1 0,01 2 yxxx ooo 其中可

39、觀測子系統(tǒng)為 故有 不可觀測子系統(tǒng)為 3） 系統(tǒng)按可控性、可觀測性分解 在上述系統(tǒng)按可控性分解的規(guī)范型中，可控子系統(tǒng)的可觀測性矩陣為 1,10 11 11 r a n k V Ac cV cc c 10 11, 10 11 1 1 2 1 Tt cT c 所以可控子系統(tǒng)是不完全可觀測的，按可觀測性分解，其變換陣為 而一維不可控子系統(tǒng)顯然是可觀測的，可令其變換陣 T2=1， T1和 T2構(gòu)成 分快對角陣 100 010 011 , 100 010 011 0 0 1 12 2 1 12 TT T T 201 0 0 1 , 100 211 101 1 12 12 1 1212 Tcc bTbTATA xcyubxAx , 故按可控性、可觀測性分解的結(jié)果為 引入變換，對按可控性分解后的系統(tǒng)再按可觀測性進(jìn)行分解，得