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1、 一、線性變換的矩陣表示式 階矩陣設(shè) n ),,,,( 21 21 22221 11211 n nnnn n n aaa aaa aaa A 為中的變換定義其中 )(, 2 1 xTyR a a a n ni i i i ),(,)( RxAxxT n .為線性變換則 T 那么為單位坐標(biāo)向量設(shè) ,,,, 21 eee n , 0 0 1 1 21 22221 11211 1 aaa aaa aaa eA nnnn n n , 1 0 0 21 22221 11

2、211 n nnnn n n n aaa aaa aaa eA , ),,2,1( )( nieTeA iii 即 .)( ,)(, 為列向量應(yīng)以那么矩陣 有關(guān)系式如果一個(gè)線性變換因此 eTA AxxTT i 那么 使如果一個(gè)線性變換反之 ),, ,2,1()(, n ieTT ii )(xT ),,,( 21 xeeeT n )( 2211 exexexT nn )()()( 2211 eTxeTxeTx nn xeTeTeT n ))(,),(),(( 21 xn ),,,( 2

3、1 .Ax 其中表示 都可用關(guān)系式中任何線性變換 , )()( , RxAxxT TR n n ))(,),(),(( 21 eTeTeTA n , 21 22221 11211 aaa aaa aaa nnnn n n .,,, 21 為單位坐標(biāo)向量eee n 可知綜上所述 , , , , 2211 22221122 12211111 nnnnnn nn nn aaaT aaaT aaaT 二、線性變換在給定基下的矩陣 定義 設(shè) 是線性空間 中的線性變換，在 中取定一個(gè)基 ，如果這個(gè)基在

4、變換 下的象為 nV nV n ,,, 21 T T 其中 , 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa A AT nn ,,,,,, 2121 上式 ,,,,,,, 2121 nn TTTT 記 可表示為 那末， 就稱為線性變換 在基 下的 矩陣 n,,, 21A T .)(,),(, 1 唯一確定由基的象矩陣顯然 nTTA ?, ),,,(),,,( ,,,, ,,,, 2121 21 21 需要滿足什么條件呢變換那么 下的象為在變換也就是

5、說(shuō)基的矩陣 下在基是線性變換假設(shè)現(xiàn)在 T AT T TA nn n n 有設(shè) ,, 1 in i in xV )(T )( 1 in i i xT n i ii Tx 1 )( x x x TTT n n 2 1 21 ))(,),(),(( ,),,,( 2 1 21 x x x A n n .),,,(),,,( 2 1 21 2 1 21 x x x A x x x T n n n n 即 . ,

6、 為矩陣的線性變換是以變換 并且所確定的變換上式唯一地確定了一個(gè) AT T .由上式唯一確定為矩陣的線性變換以 TA . , , T AA TV n 個(gè)線性變換 也可唯一地確定一由一個(gè)矩陣確定一個(gè)矩陣 可唯一地由線性變換中取定一個(gè)基后在 . , 一對(duì)應(yīng)的 線性變換與矩陣是一在給定一個(gè)基的條件下 結(jié)論 : ),,,(),,,( 2 1 21 2 1 21 可知 從關(guān)系式 x x x A x x x T n n n n ,,,, 21 下在基 n ; 2 1 x

7、 x x n 的坐標(biāo)為 .)( )( 2 1 x x x ATT n 的坐標(biāo)為 有因此按坐標(biāo)表示 , .)( AT . ,1,,, , 43 2 2 3 1 3 的矩陣求微分運(yùn)算 取基中在 D pxpxpxp xP 例1 解 ,00000 ,10001 ,02002 ,00303 43214 43213 43212 4321 2 1 pppppD pppppD ppppxpD ppppxpD 在這組基下的矩陣為所以 D . 0100 0020 0003 0000 A ., ,) ( ,,

8、 上的一個(gè)線性空間構(gòu)成數(shù)與多項(xiàng)式的乘法 它對(duì)于多項(xiàng)式的加法和組成的集合記作式 包括零多項(xiàng)的所有一元多項(xiàng)式中次數(shù)小于 記作合上所有一元多項(xiàng)式的集實(shí)數(shù)域 R xR nxR xRR n 例2 ., : )(),())(( , 微分變換這個(gè)變換也稱為變換 上的一個(gè)線性是則由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可以證明 定義變換中在線性空間 xR xRxfxf dx d xf xR n n n 則有的基為現(xiàn)取 ,,,,,1 12 xxxxR nn ,0)1( ,1)( x ,2)( 2 xx , 下的矩陣為在基因此 xxx n 12 ,,,,1, 0000

9、1000 0200 0010 n A xnx nn 21 )1()( 即變換 平面的線性表示將向量投影到中在 , , 3 xO yTR例3 ,)( jyixkzjyixT .,,,)2( ;,,,)1( 的矩陣求取基為 的矩陣求取基為 Tkjiji Tkji 解 ,0 , , )1( kT jjT iiT . 000 010 001 ),,(),,( kjikjiT 即 , , , )2( jiT jT iT . 000 110 101 )

10、,,(),,( T即 此例表明：同一個(gè)線性變換在不同的基下一般 有不同的矩陣 同一個(gè)線性變換在不同的基下有不同的矩陣 ， 那么這些矩陣之間有什么關(guān)系呢？ 三、線性變換在不同基下的矩陣 上面的例子表明 ,,,,;,,, 2121 nn 定理 設(shè)線性空間 中取定兩個(gè)基 nV 由基 到基 的過(guò)渡矩陣為 ， 中的線性變換 在這兩個(gè)基下的矩陣依次為 和 ，那末 n ,,, 21 n ,,, 21 nV .1 APPB P T A B 于是 nn TB ,,,,,, 2121

11、 ,,, 21 PT n PT n ,,, 21 證明 Pnn ,,,,,, 2121 ,,,,,,, 2121 AT nn BT nn ,,,,,, 2121 APn ,,, 21 APPn 121 ,,, 因?yàn)? 線性無(wú)關(guān)， n,,, 21 所以 .APPB 1 證畢 . 定理表明： 與 相似，且兩個(gè)基之間的過(guò)渡 矩陣 就是相似變換矩陣 B A P 例 ., , , 12 2221 1211 212 下的矩陣在基求 下的矩陣為在基中的線性變換設(shè) T aa

12、 aa A TV ,01 10),(),( 2112 解 ,01 10 P即 , 01 10 1 P求得 下的矩陣為在基于是 ),( 12 T 01 10 01 10 2221 1211 aa aaB . 1112 2122 aa aa 01 10 1211 2221 aa aa ).(, ARTTA 的秩就是則的矩陣是若 ., rnSTrT T 的維數(shù)為的核則的秩為若 . ,)( 的秩性變換 稱為線的維數(shù)的象空間線性變換定義2 T VTT n .,, 987 654 321

13、 ,,3 132 3 21 下的矩陣在基求 下的矩陣為 在基的線性變換維線性空間已知 A V例5 解 由條件知 987 654 321 ),,(),,( 321321 3213 3212 3211 963)( 852)( 74 )( 即 下的矩陣為在基因此 132 ,, 74)( 396)( 285)( 1321 1323 1322 從而有 . 174 396 285 B 給定了線性空間 的一組基以后， 中的線 性變換與

14、 中的矩陣形成一一對(duì)應(yīng)因此，在 線性代數(shù)中，可以用矩陣來(lái)研究變換，也可以用 變換來(lái)研究矩陣 nR nR nnR 同一變換在不同基下的矩陣是相似的 四、小結(jié) 的兩個(gè)線性變換已知 22 R 22,, RXMXXSXNXT 11 11, 02 01 NM .,,, 22211211 下的矩陣在基試求 EEEEST 思考題 思考題解答 ))(( 11EST 解 )()( 1111 ESET EMNE 1111 00 01 02 01 11 11 00 01 02 12 ,22 211211 EEE 同理可得 ,2 20 01 ))(( 2211 121212 EE EMNEEST , 11 00 ))(( 2221 212121 EE EMNEEST , 11 00 ))(( 2221 222222 EE EMNEEST 組基下的矩陣為 在這所以 ST . 1120 1102 0001 0012