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1、常微分方程習題 2.1 1. xy dx dy 2 = , 并求滿足初始條件：x=0,y=1 的特 解. 解： 對原式進行變量分離得 。 故它 的特 解為 代入得 把 即 兩邊同時積分得： e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 , 1 1 , 0 , ln , 2 1 2 = = = = = + = = , 0 ) 1 ( . 2 2 = + + dy x dx y 并求滿足初始條件：x=0,y=1 的特解. 解：對原式進行變量分離得： 。 故特解是 時，代入式子得 。當 時顯然也是原方程的解 當 即 時，兩邊同時積分得； 當 x y c y x y

2、 x c y c y x y dy dx x y + + = = = = = + + = + = + = + 1 ln 1 1 , 1 1 , 0 0 1 ln 1 , 1 1 ln 0 , 1 1 1 2 3 y xy dx dy x y 3 2 1 + + = 解：原式 可化為： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 ) 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( ), 0 ( ln 1 ln 2 1 ln 1 ln 2 1 1 1 , 0 1 1 1 = + + = +

3、 + + + = + + = + + + = + ） 故原方程的解為（ 即 兩邊積分得 故分離變量得 顯然 . 0 ; 0 ; ln , ln , ln ln 0 1 1 0 0 0 0 ) 1 ( ) 1 ( 4 = = = = = + = + + = = + = = = + + x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解為 即 兩邊積分 時，變量分離 是方程的解，當 或 解：由 ： 10 ln 1 ln ln 1 ln 1 , 0 ln 0 ) ln (ln : 9 3 1 : 8 .

4、cos ln sin ln 0 7 ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 1 1 , ) 1 ( , , , 6 ln ) 1 ln( 2 1 1 1 1 , 1 1 , , , 0 ) ( ) ( : 5 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du d

5、x du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x + = = = + = + = = = = + = = + = = = = + = + = = = + = = = + = + = + + = + + + + = + + = = = + = = + + + 兩邊積分 解：變量分離 ： 。

6、代回原變量得： 則有： 令 解：方程可變?yōu)椋?解：變量分離，得 兩邊積分得 ： 解：變量分離，得： ： 也是方程的解。 另外 ， 代回原來變量，得 兩邊積分得 ： 分離變量得： 則原方程化 為： 解：令 ： 。 兩邊積分得 ： 變量分離，得： 則 令 解： c x y x arctg c x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx dy c dx dy dx dy t t y x e e e e e x y x y y x + = + + = = + + = + = = + = + = = = + ) ( , 1 1 1 1 1 , . 11 2 2 2

7、 ) ( 代回變量得： 兩邊積分 變量分離得： 原方程可變?yōu)椋?則 解：令 兩邊積分得： 解：變量分離， 12 2 ) ( 1 y x dx dy + = 解 c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t dx dt dx dt dx dy t y x + = + + + = = + + = = = + ) ( 1 1 1 1 2 2 2 ，代回變量 ，兩邊積分 變量分離 ，原方程可變?yōu)?，則 令 變量分離 ，則方程可化為： 令 則有 令 的解為 解：方程組 U U dX dU X U X Y Y X Y X dX dY Y y X x y x y x

8、y x y x y x dx dy U 2 1 2 2 2 2 2 , 3 1 , 3 1 3 1 , 3 1 ; 0 1 2 , 0 1 2 1 2 1 2 . 13 2 + = = = + = = = = = + = + = . 7 ) 5 ( 7 2 1 7 7 2 1 7 ) 7 ( , 7 1 , 1 , 5 2 5 , 14 ) 5 ( 2 2 c x y x c x t dx dt t t t dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t + = + + = = = = = + = + 代回變量 兩邊積分 變量分離 原方程

9、化為： 則 解：令 15 1 8 ) 1 4 ( ) 1 ( 2 2 + + + + + = xy y x dx dy 原方程的解。 ，是 ，兩邊積分得 分離變量 ， ，所以 求導得 ，則關于 令 解：方程化為 c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx dy + = + + = + + = = + = + + + + + = + + + + + + + = 6 ) 3 8 3 2 3 2 ( 9 4 1 4 9 4 1 4 1 4 1 2 ) 1 4 ( 1 8 1 8 16 1 2 2 2 2 2

10、 2 16 2 2 5 2 6 2 2 y x xy x y dx dy + = 解： ，則原方程化為 ，，令 u y x xy x y dx dy x xy y x y dx dy = + = = + = 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 ) ( 3 2 ( 2 ) ( 1 2 6 3 2 6 3 2 2 2 2 2 + = + = x u x u x xu x u dx du ，這是齊次方程，令c x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d z z z z z x y x y z z z z z z z d

11、x dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15 3 3 7 3 3 3 5 3 3 7 3 5 3 7 2 2 3 3 2 2 2 ) 2 ( ) 3 ( 0 2 3 ) 2 ( ) 3 , ) 2 ( ) 3 1 1 2 0 6 2 3 1 2 3 0 6 ) 1 .( .......... 1 2 6 1 2 6 3 = + = = = = + = + = + = = = = = + = + = + + = = 的解為 時。故原方程 包含在通解中當 或 ，又因為 即（ ，兩邊積分的（ 時，變量分離 當 是方程的解。 或 ）方程的解。即

12、是（ 或 ，得 當 ， ，， ，所以 ，則 17. y y y x x xy x dx dy + + + = 3 2 3 2 3 3 2 解：原方程化為 1 2 3 1 3 2 ; ; ; ; ; ) 1 2 3 ( ) 1 3 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + = + + + = y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令 ) 1 .......( 1 2 3 1 3 2 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; , 2 2 + + + = = = u v u v dv du v x u y 則 方程組 ， ，， ）；令 ， 的解為（

13、1 1 1 1 0 1 2 3 0 1 3 2 + = = = + = + + u Y v Z u v u v 則有 + + = = + = + z y z y dz dy y z y z 2 3 3 2 1 0 2 3 0 3 2 ）化為 ，，，，從而方程（ 令 ) 2 .( .......... 2 3 2 2 2 3 3 2 2 ， ，， ，，所以 ，，則有 t t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t + = + + = + + = = 當 是原方程的解 或 的解。得 ，是方程 時，，即 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( 1

14、 0 2 2 x y x y t t = = = = 當 c x y x y dz z dt t t t 5 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( 1 2 2 2 3 0 2 2 + = + = + 兩邊積分的 時，，分離變量得 另外 c x y x y x y x y 5 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( 2 + = + = = 原方程的解為 ，包含在其通解中，故 ，或 ，這也就是方程的解 。 ，兩邊積分得 分離變量得 ，則 原方 程化為 令 解 ） （ 并由 此 求解下列方 程 可化 為 變量分離 方程 ， 經變換 證明方程 c y x x y dx x du u u u u x

15、 u u u u x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx dy y x + = = = + + = = = = + = = + = + = + + = = + = = = + = + = + = = = = + = + = = + = = = 4 ln 1 4 2 2 4 1 ) 2 2 ( 1 dx du u xy (2) 0. x , c 2 故原方程的解 為原 也包含在此通解中 。 0 y , c 2 即 , c 2 兩邊同時積分得 ： dx x 1 2u du 變量 分 離得 ： ), (2u x 1 dx du 則方 程 化為

16、u, xy 令 1 dx dy y x 時，方程 化 為 0s xy 是原方程的解 ，當 0 y 或 0 x 當 : (1) 解 程。 故此方程 為此方 程為變 u) (uf(u) x 1 1) (f(u) x u 1) y(f(u) dx du f(u), 1 dx du y 1 得： y dx du dx dy x 所以 , dx dy dx dy x y 求 導導 得 x 關于 u, xy 證明： 因為 2 2 ). 2 ( ) 1 ( . 1 ) ( 18. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x

17、y x y x u u u u y x 19. 已知 f(x) = x x f x dt x f 0 ) ( , 0 , 1 ) ( 的一般表達式 試求函數(shù) . 解：設 f(x)=y, 則原方程化為 = x y dt x f 0 1 ) ( 兩邊求導得 1 2 y y y = c x y y c x dy y dx dx dy y + = = + = = 2 1 ; ; ; ; ; 1 2 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 3 所以 兩邊積分得 代入 把 c x y + = 2 1 = x y dt x f 0 1 )

18、( x y c c x c c x c x dt c t x 2 1 , 0 2 ) 2 ( ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 2 1 0 = = + = + + = + 所以 得 20. 求具有性質 x(t+s)= ) ( ) ( 1 ) ( ) ( s x t x s x t x + 的函數(shù) x(t), 已知 x(0)存在。 解： 令t=s=0 x(0)= ) 0 ( 1 ) 0 ( ) 0 ( x x x + = ) 0 ( ) 0 ( 1 ) 0 ( 2 x x x 若 x(0) 0 得 x 2 =-1 矛盾。 所以 x(0)=0. x(t)= ) ( 1 )( 0 (

19、) ( ) ( 1 )) ( 1 )( ( lim ) ( ) ( lim 2 2 t x x t x t x t t x t x t t x t t x + = + = + ) )) ( 1 )( 0 ( ) ( 2 t x x dt t dx + = dt x t x t dx ) 0 ( ) ( 1 ) ( 2 = + 兩邊積分得 arctg x(t)=x(0)t+c 所以 x(t)=tgx(0)t+c 當 t=0 時 x(0)=0 故 c=0 所以 x(t)=tgx(0)t 02411 黃罕鱗 （41 ） 甘代祥 （42 ） 習題 2.2 求下列方程的解 1 dx dy = x

20、 y sin + 解： y=e dx ( x sin e dx c dx + ) =e x - 2 1 e x ( x x cos sin + )+c =c e x - 2 1 ( x x cos sin + )是原方程的解。 2 dt dx +3x=e t 2 為 解：原方程可化 ： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e dt 3 ( e t 2 e dt 3 c dt + ) =e t 3 ( 5 1 e t 5 +c) =c e t 3 + 5 1 e t 2 是原方程的解。 3 dt ds =-s t cos + 2 1 t 2 sin 解：s=e tdt

21、cos ( t 2 sin 2 1 e dt dt 3 c + ) =e t sin ( +c dt te t t sin cos sin ) = e t sin ( c e te t t + sin sin sin ) = 1 sin sin + t ce t 是原方程的解。 4 dx dy n x x e y n x = ， n為數(shù) 常. 為 解：原方程可化 ： dx dy n x x e y n x + = ) ( c dx e x e e y dx x n n x dx x n + = ) ( c e x x n + = 是原方程的解. 5 dx dy + 1 2

22、 1 2 y x x =0 為 解：原方程可化 ： dx dy =- 1 2 1 2 + y x x = dx x x e y 2 1 2 ( c dx e dx x x + 2 2 1 ) ) 2 1 (ln 2 + = x e ) ( 1 ln 2 + c dx e x x = ) 1 ( 1 2 x ce x + 是原方程的解. 6 dx dy 2 3 4 xy x x + = 解： dx dy 2 3 4 xy x x + = = 2 3 y x + x y 令 x y u = 則 ux y = dx dy =u dx du x + 因此： dx du x u +

23、= 2 u x 2 1 u dx du = dx du u = 2 c x u + = 3 3 1 c x x u + = 3 3 （*） 將 x y u = 帶入 （*）中 得： 3 4 3 3 cx x y = 是原方程的解. 3 3 3 2 () 2 1 () 2 2 7. ( 1) 1 2 (1 ) 1 2 () ,()( 1 ) 1 (1 ) (( )) 1 (1 ) dx Pxd x x Pxd x dy y x dx x dy y x dx x Px Qx x x eex eQ x d x c x + =+ + =++ + == + + == + + +

24、 P(x)dx 23 2 解： 方程的通解為： y=e =(x+1)( *(x+1)dx+c) =(x+1)( (x+ 2 3 2 2 1 (1 ) () 2 1 1 ,() (( )) dy y x c dy y dx x y dx xy d yyy Qy y y ey Qydyc + + + ==+ = == + 2 24 3 P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c) =(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)為方程的通解。 8. = x+y 解： 則P(y)= e 方程的通解為： x=e e 2 3 3 1 *) 2 2 y

25、dy c y y cy y + + =y( = 即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。 () () () 1 9. , 1 ),( ) (( )) 0 1 a dx Pxd x a x Pxd x Pxd x a a dy ay x a dx x x ax Px Qx xx eex eeQ x d x c a a + =+ + == == + = = 為常數(shù) 解：（ 方程的通解為： y= 1 x+1 =x ( dx+c) xx 當 時，方程的通解為 y=x+ln/x/+c 當 時，方程 01 a aa a 的通解為 y=cx+xln/

26、x/-1 當 ， 時，方程的通解為 x1 y=cx + - 1- 3 3 3 1 () () () 3 10. 1 1 () ,() 1 (( )) (* ) dx Pxd x x Pxd x Pxd x dy xyx dx dy yx dx x Px Qx x x ee x eeQ x d x c xxd xc c x c x += = + = = == + + + + 3 3 解： 方程的通解為： y= 1 = x x = 4 x 方程的通解為：y= 4 () () () 2 2 33 33 23 3 23 2 3 3 2 3 11. 2(

27、) 2( ) ()2,() 2 (( )) (( 2) px x dx x px px x dy xy x y dx xy x y dx xy x ydx xy x dx yz dz xz x dx Px xQx x ed xe e e dx e dxQ x dx c ex += = + = + = + = = + == == + 2 3 -2 x dy 解： 兩邊除以y dy dy 令 方程的通解為： z= =e 2 2 2 ) 1 1) 1, 0 x x dx c ce yc e y + ++ ++== 2 2 =x 故方程的通解為： (x 且 也是方程的解。 2

28、 2 2 1 2 11 1 () () 22 2 ln 1 12.( ln 2) 424 ln 2 ln 2 ln 2 2l n 2l n () ,() (( )) ln 1 (())( Pxd x Pxd x dx dx xx cx yxy d xx d yx dy x y y dx x x y dy x y ydx x x dy x y dx x x yz dz x z dx x x x Px Qx xx ze e Qxd xc x ze e d xcx x =++ = = = = = == =+ =+ = 解： 兩邊除以 令 方程的通解為： 2 2 2 ln ()) ln 1 4

29、24 ln 1 :( )1 , 424 x dx c xx cx x cx yx + =++ ++= 方程的通解為 且y=0也是解。 13 2 2 2( 2) 21 22 xydy y x dx dy y x y dx xy x y = == 這是 n=-1 時的伯努利方程。 兩邊同除以 1 y ， 2 1 2 dy y y dx x = 令 2 y z = 2 dz dy y dx dx = 2 22 11 dz y z dx x x = = P(x)= 2 x Q(x)=-1 階線 由一 性方程的求解公式 22 () dx dx xx ze ed xc =+ = 2 x xc +

30、22 y xxc =+ 14 2 3 y dy e x dx x + = 兩邊同乘以 y e 2 2 ()3 yy y dy e xe e dx x + = 令 y ez = y dz dy e dx dx = 22 22 33 dz z xz z z dx x x x + == + 這是n=2時的伯努利方程。 兩邊同除以 2 z 22 131 dz zd xx zx =+ 令 1 T z = 2 1 dT dz dx z dx = 2 31 dT T dx x x =+ P（x）= 3 x Q(x)= 2 1 x 階線 由一 性方程的求解公式 33 2 1 () dx dx xx

31、Te ed xc x =+ = 32 1 () 2 x xc + = 13 1 2 x cx + 13 1 () 1 2 zxc x += 13 1 () 1 2 y exc x += 23 1 2 yy xec ex += 23 1 2 y x xe c += 15 33 1 dy dx xy x y = + 33 dx yxyx dy =+ 這是n=3時的伯努利方程。 兩邊同除以 3 x 3 32 1 dx y y xd yx = + 令 2 x z = 3 2 dz dx x dy dy = 3 2 2 2 dz y y dy x = = 3 22 yzy P(y)=-2y

32、 Q(y)= 3 2y 階線 由一 性方程的求解公式 22 3 (2 ) ydy ydy ze ye d yc =+ = 22 3 (2 ) yy ey e d y c + = 2 2 1 y yc e ++ 2 22 (1) 1 y xy c e ++ = 22 2 22 (1) yy y xeyc ee ++ = 2 22 22 (1 ) y exx yc x + = 16 y= x e + 0 () x ytdt () x dy ey x dx =+ x dy ye dx =+ P(x)=1 Q(x)= x e 階線 由一 性方程的求解公式 11 () dx dx x ye

33、 eed xc =+ =() xxx ee ed xc + =() x exc + 0 () () x xxx exce excd x +=+ + c=1 y=() x exc + 17 設數(shù) 函 (t) 于

34、 ()( ) () lim t ttt t t + = = 0 ()( ) () lim t ttt t = 0 ()(( ) 1 ) lim t tt t = 0 (0 )( 0 ) () lim t t t t + = (0) ( ) t 于是 (0) ( ) d t dt = 變量分離得 (0) d dt = 積分 (0)t ce = 由于 (0) 1 = ，即 t=0 時 1 = 1= 0 ce c=1 故 (0) () t te = 20.試證： （1 階齊 線 ） 一 非 性方程 （2 .28 兩 為應齊 線 ） 的任 解

35、之差必 相 的 性方程 （2.3）之解； （2） 若 () y yx = 是 （2.3） 的非零解， 而 () y yx = 是 （2.28 則 ） 的解， 方程 （2.28） 為 的通解可表 () () y cy x y x =+ ，其中c為數(shù) 任意常 . （3）方程（2.3 數(shù)兩 ）任一解的常 倍或任 解之和（或差）仍是方程（2.3） 的解. 證明： () () dy Pxy Qx dx =+ （2.28） () dy Pxy dx = （2.3） （1） 設 1 y ， 2 y 是（2.28 兩個 ）的任意 解 則 1 1 () () dy Pxy Qx dx =+ （1）

36、2 2 () () dy Pxy Qx dx =+ （2） （1）-（2）得 () 12 12 () ( ) dyy Pxy y dx = 即 12 y yy = 滿 是 足方程（2.3） 題 所以，命 成立。 （2） 題 由 意得： () () dy x Pxy dx = （3） () ()() () dyx Pxyx Qx dx =+ （4） 1 證 ）先 y cy y =+ 是（2.28 個 ）的一 解。 于是 ()() 34 c+ 得 () () () cdy d y cP x y P x y Q x dx dx += ++ () () ( ) () dcy y Px

37、cy y Qx dx + =+ + 故y cy y =+ 是（2.28 個 ）的一 解。 2 現(xiàn)證 ） 方程（4 寫 ）的任一解都可 成cy y + 的形式 設 1 y 是(2.28) 個 的一 解 則 1 1 () () dy Pxy Qx dx =+ （4） 于是 （4）-（4）得 1 1 () () ( ) dy y Pxy y dx = 從而 () 1 Pxd x y yc e c y = = 即 1 y yc y =+ 題 所以，命 成立。 （3） 設 3 y ， 4 y 是（2.3 兩個 ）的任意 解 則 3 3 () dy Pxy dx = （5） 4 4

38、() dy Pxy dx = （6） 于是（5） c 得 3 3 () cdy cP x y dx = 即 3 3 () () ( ) dcy Pxcy dx = 其中c為數(shù) 任意常 也就是 3 y cy = 滿足方程（2.3） （5） （6）得 3 4 34 () () dy dy Pxy Pxy dx dx = 即 34 34 () () ( ) dy y Pxy y dx = 也就是 34 y yy =滿足方程（2.3） 題 所以命 成立。 21.試別 質線 滿 并 建立分 具有下列性 的曲 所 足的微分方程 求解。 （5） 線線 縱橫 標 曲 上任一點的切 的 截距等于切點

39、 坐 的平方； （6） 線 曲上 任 線縱 橫標縱標 項 一點的切 的 截距是切點坐和坐的等差中 ； 解：設 (,) pxy為線 則 過 曲 上的任一點， p 線線為 點曲 的切 方程 ( ) YyyXx = 從 線與兩 標軸 標為 而此切 坐 的交點坐 (, 0 ) , ( 0 , ) y x yx y y 即 橫為 截距 y x y ， 縱為 截距 y xy 。 題 由 意得： （5） 2 y xy x = 變?yōu)?方 程形 2 dy x yx dx = 1 dy yx dx x = 于是 11 () (( ) ) dx dx xx ye xe d xc = + ln ln

40、 (( ) ) xx ex ed x c =+ 1 (( ) ) x xxd xc =+ 1 (( ) ) x xd xc x =+ i () x xc =+ 2 x cx = + 為 所以，方程的通解 2 y xc x = + 。 （6） 2 x y yx y + = 變?yōu)?方程 形 22 dy y x x dx = 11 22 dy y dx x = 于是 11 () 22 1 (( ) ) 2 dx dx xx yeed x c = + 11 ln ln 22 1 (( ) ) 2 xx ee d x c = + 1 1 2 2 1 (( )

41、 ) 2 x xd xc = + 11 22 1 (( ) ) 2 x xd xc = + i 11 22 () x xc = + 1 2 x cx = + 為 所以，方程的通解 1 2 yxc x = + 。 22求解下列方程。 （1） 0 ) 1 ( 2 = + xy y x 解： 1 1 1 1 2 2 = x y x xy y ) 1 1 ( 1 2 1 2 2 + = c e x e y dx x x dx x x = / 1 / 1 1 1 / 1 / 2 1 2 2 2 1 2 c dx x x x + = / 1 / / 1 / 2 3

42、 2 2 1 2 c x dx x + =c x x + / 1 / 2 （2） 3 sin cos sin 0 yxxyx = 2 sin sin cos cos dy y x dx x x x =+ P(x)= 1 sin cos x x Q(x)= 2 sin cos x x 階線 由一 性方程的求解公式 11 2 sin cos sin cos sin () cos dx dx xx xx x yeed x c x =+ = sin (s i n ) cos x xdx c x + = sin (c o s ) cos x x c x + = sin tgxc x

43、 習題 2.3 1、驗證下列方程是恰當方程，并求出方程的解。 1. 0 ) 2 ( ) ( 2 = + + dy y x dx y x 解： 1 = y M ， x N =1 . 則 x N y M = 所以此方程是恰當方程。 湊微分， 0 ) ( 2 2 = + + xdy ydx ydy dx x 得 ： C y xy x = + 2 3 3 1 2 0 ) 4 ( ) 3 ( 2 = dy x y dx x y 解： 1 = y M ， 1 = x N . 則 x N y M = . 所以此方程為恰當方程。 湊微分， 0 4 3 2 = + ydy dx x xdy

44、ydx 得 C y xy x = + 2 3 2 3 0 ) ( 1 1 ) ( 2 2 2 2 = + dy y x x y dx x y x y 解： 3 4 2 2 ) ( 2 ) ( ) 1 )( ( 2 ) ( 2 y x xy y x y x y y x y y M = = 3 4 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 y x xy y x y x x y x x x N = = 則 y N x M = . 因此此方程是恰當方程。 x y x y x u 1 ) ( 2 2 = （1 ） 2 2 ) ( 1 y x x y

45、 y u = （2 ） 對（1）做x 的積分，則 ) ( 1 ) ( 2 2 y dx x dx y x y u + = = y x y 2 ) ( ln y x + （3 ） 對（3）做y 的積分，則 dy y d y x y y x y y u ) ( ) ( 2 ) ( ) 1 ( 2 2 + + = = dy y d y x y xy ) ( ) ( 2 2 2 + + = 2 2 ) ( 1 y x x y 則 1 1 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 = + = = y y x y xy x y

46、y x xy y y x x y dy y d y y dy y y = = ln ) 1 1 ( ) ( y x xy x y y x y xy y x y y y x y x y u = + = + = ln ln ln ln 2 2 2 故此方程的通解為 C y x xy x y = + ln 4 、 0 ) 2 ( 3 ) 2 3 ( 2 2 2 3 2 = + + + dy y y x dx x xy 解： xy y M 12 = ， xy x N 12 = . x N y M = . 則此方程為恰當方程。 湊微分， 0 3 6 4 6 2 2 3 2 = + + +

47、 dy y ydy x dx x dx xy 0 ) ( ) ( ) ( 3 3 4 2 2 = + + x d x d y x d 得 ： C y y x x = + + 3 2 2 4 3 5.( y 1 sin y x - 2 x y cos x y +1)dx+( x 1 cos x y - 2 y x sin y x + 2 1 y )dy=0 解： M= y 1 sin y x - 2 x y cos x y +1 N= x 1 cos x y - 2 y x sin y x + 2 1 y y M =- 2 1 y sin y x - 3 y x cos y x - 2 1 x

48、 cos x y + 3 x y sin x y x N =- 2 1 y sin y x - 3 y x cos y x - 2 1 x cos x y + 3 x y sin x y 所以， y M = x N ，故原方程為恰當方程 因為 y 1 sin y x dx- 2 x y cos x y dx+dx+ x 1 cos x y dy- 2 y x sin y x dy+ 2 1 y dy=0 d(-cos y x )+d (sin x y )+dx+d(- y 1 )=0 所以，d(sin x y -cos y x +x - y 1 )=0 故所求的解為 sin x y -c

49、os y x +x - y 1 =C 求下列方程的解： 6 2x(y 2 x e -1)dx+ 2 x e dy=0 解： y M = 2x 2 x e , x N =2x 2 x e 所以， y M = x N ，故原方程為恰當方程 又 2xy 2 x e dx-2xdx+ 2 x e dy=0 所以，d(y 2 x e -x 2 )=0 故所求的解為 y 2 x e -x 2 =C 7.(e x +3y 2 )dx+2xydy=0 解：e x dx+3y 2 dx+2xydy=0 e x x 2 dx+3x 2 y 2 dx+2x 3 ydy=0 所以，d e x ( x 2 -

50、2x+2)+d( x 3 y 2 )=0 即 d e x ( x 2 -2x+2)+ x 3 y 2 =0 故方程的解為 e x ( x 2 -2x+2)+ x 3 y 2 =C 8. 2xydx+( x 2 +1)dy=0 解：2xydx+ x 2 dy+dy=0 d( x 2 y)+dy=0 即 d(x 2 y+y)=0 故方程的解為 x 2 y+y=C 9 、 ( )dx y x xdy ydx 2 2 + = 解：兩邊同除以 2 2 y x + 得 dx y x xdy ydx = + 2 2 即， dx y x arctg d = 故方程的通解為 c x y x tg + =

51、 arg 10 、 ( ) 0 3 = + dy y x ydx 解：方程可化為： ydy y xdy ydx = 2 即， ydy y x d = 故方程的通解為： c y y x + = 2 2 1 即： ( ) c y y x + = 2 2 同時，y=0 也是方程的解。 11 、() 0 1 = + xdy dx xy y 解：方程可化為： ( )dx xy xdy ydx + = + 1 ()( ) dx xy xy d + = 1 即： ( ) dx xy xy d = + 1 故方程的通解為： c x xy + = + 1 ln 12 、 ( ) 0 2 =

52、xdy dx x y 解：方程可化為： dx x xdy ydx = 2 dx x y d = 故方程的通解為 ： x c x y = 即： ( ) x c x y = 13 、() 0 2 = + + xdy dx y x 解：這里 x N y x M = + = , 2 ， x N y M x N x N y M 1 = 方程有積分因子 x e dx x = = 1 兩邊乘以 得：方程() 0 2 2 = + + dy x dx y x x 是恰當方程 故方程的通解為：() ()c dy dx xy x y x dx xy x = + + + 2 2 2 2 2

53、 c y x x = + 3 3 3 即： c y x x = + 2 3 3 14 、 ()() ( ) 0 cos sin cos = + + + + + dy y x x dx y x y x x 解：這里 () ( ) ( ) y x x N y x y x x M + = + + + = cos , sin cos 因為 ()() y x x y x x N y M + + = = sin cos 故方程的通解為： ()() () ()() c dy dx y x y x x y y x x dx y x y x x = + + + + + + + + sin cos

54、cos sin cos 即： () c y x x = + sin 15 、() () o dy x x x y dx x x x y = + + + cos sin sin cos 解：這里 x x x y N x x x y M cos sin , sin cos + = = x N y M 1 = M x N y M 方程有積分因子： y dy e e = = 兩邊乘以 得： 方程() ( ) 0 cos sin sin cos = + + dy x x x y e dx x x x y e y y 為恰當方程 故通解為 ：()() c dy dx x x x y e

55、y N dx x x x y e y y = + sin cos sin cos 即： ( ) c x e y x e y y = + cos 1 sin 16 、() () 0 5 3 2 4 3 = + + + xdy ydx y xdy ydx x 解：兩邊同乘以 y x 2 得： ( ) ( ) 0 5 3 2 4 3 5 2 4 2 3 = + + + ydy x dx y x ydy x dx y x ( ) ( ) 0 5 3 2 4 = + y x d y x d 故方程的通解為： c y x y x = + 5 3 2 4 17 、 試導出方程 0 ) , (

56、) , ( = + dy Y X N dx Y X M 具有形為 ) (xy 和 ) ( y x + 的 積分因子的充要條件。 解：若方程具有 ) ( y x + 為積分因子， x N y M = ) ( ) ( （ ) ( y x + 是連續(xù)可導） x N x N y M y M + = + ) ( x N y M x N y M + = ) 1 ( 令 y x z + = dz d x z dz d x = = ， dz d y = . ) ( y M x N dz d N dz d M = ， ) ( ) ( y M x N dz d N

57、 M = ， N M y M x N d = ， dz y x dz ) ( + = 方程有積分因子 ) ( y x + 的充要條件是： N M y M x N 是 y x + 的函數(shù)， 此時，積分因子為 = + dz z e y x ) ( ) ( . ) 2 ( 令 y x z = dz d y x z dz d x = = ， dz d x y z dz d y = = ) ( y M x N dz d Ny dz d Mx = ) ( ) ( y M x N dz d Ny Mx = Ny Mx y M x N d = 此時的

58、積分因子為 = dz Ny Mx y M x N e xy) ( 18. 設 ) , ( y x f 及 y f 連續(xù), 試證方程 0 ) , ( = dx y x f dy 為線性方程的充要 條件是它有僅依賴于x 的積分因子. 證: 必要性 若該方程為線性方程, 則有 ) ( ) ( x Q y x P dx dy + = , 此方程有積分因子 = dx x P e x ) ( ) ( , ) (x 只與x 有關 . 充分性 若該方程有只與x 有關的積分因子 ) (x . 則 0 ) , ( ) ( ) ( = dx y x f x dy x 為恰當方程 , 從而 dx x d y

59、 y x f x ) ( )) , ( ) ( ( = , ) ( ) ( x x y f = , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f + = + = + = . 其中 ) ( ) ( ) ( x x x P = . 于是方程可化為 0 )) ( ) ( ( = + dx x Q y x P dy 即方程為一階線性方程. 20. 設函數(shù) f(u) ， g(u) 連續(xù)、可微且 f(u) g(u), ，試證方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有積分因子 u=(xyf(xy)

60、-g(xy)) 1 證：在方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 兩邊同乘以 u 得： uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 則 y uyf =uf+uy y f +yf y u = ) ( g f xy f + ) ( g f xy y f y -yf 2 2 2 ) ( ) ( g f y x y g xy y f xy g f x + + = 2 ) ( g f xy y f gy y g yf = 2 ) ( g f x y xy xy f g y xy xy g f = 2 ) ( g f xy f g xy g f 而 x uxg

61、 =ug+ux x g +xg x u = ) ( g f xy g + ) ( g f xy x g x - xg 2 2 2 ) ( ) ( g f y x x g xy x f xy g f y + = 2 ) ( g f xy x xy xy f xg x xy xy g xf = 2 ) ( g f xy f g xy g f 故 y uyf = x uxg ，所以 u 是方程得一個積分因子 21 假設方程（2.43 ）中得函數(shù) M （x,y ）N(x,y) 滿足關系 x N y M = Nf(x)-Mg(y), 其中 f(x),g(y) 分別為

62、 x 和 y 得連續(xù)函數(shù)，試證方程（2.43 ） 有積分因子 u=exp( dx x f ) ( + dy y g ) ( ) 證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即證 x uN y uM = ) ( ) ( u y M +M y u =u x N +N x u u( y M - x N )=N x u - M y u u( y M - x N )=Ne + dy y g dx x f ) ( ) ( f(x) -M e + dy y g dx x f ) ( ) ( g(y) u( y M - x N )=e + dy y g dx x f ) (

63、 ) ( (Nf(x)-Mg(y)) 由已知條件上式恒成立，故原命題得證。 22、求出伯努利方程的積分因子. 解：已知伯努利方程為： () () ; , o y y x Q y x P dx dy n + = 兩邊同乘以 n y ，令 n y z = ， ( )() ( )() , 1 1 x Q n z x P n dx dz + = 線性方程有積分因子： () ( ) ()( ) dx x P n dx x P n e e = = 1 1 ，故原方程的積分因子為： () ( ) ()( ) dx x P n dx x P n e e = = 1 1 ，證畢！ 23、設 () y x,

64、是方程 () ( ) 0 , , = + dy y x N dx y x M 的積分因子， 從而求得可微 函數(shù) () y x U , ， 使得 () . Ndy Mdx dU + = 試證 ( ) y x, 也是方程 ( )() 0 , , = + dy y x N dx y x M 的 積分因子的充要條件是 () ( ), , U y x = 其中 ( ) t 是t 的可微函數(shù)。 證明：若 () u = ，則 () ( ) ( ) ( ) () () () () ()N u M u y M y u M u y M y M u y M + = + = = 又 ()

65、 () () ( ) () () () () () () y M M u N u y M M u N u x N x N u x N = + = + = = 即 為 ( )() 0 , , = + dy y x N dx y x M 的一個積分因子。 24、設 ()() y x y x , , , 2 1 是方程 ( ) ( ) 0 , , = + dy y x N dx y x M 的兩個積分因子， 且 2 1 常數(shù)， 求證 c = 2 1 （任意常數(shù)） 是方程 ( )() 0 , , = + dy y x N dx y x M 的通解。 證明：因為 2 1

66、 , 是方程 ( ) ( ) 0 , , = + dy y x N dx y x M 的積分因子 所以 o Ndy Mdx i i = + ( ) 2 , 1 = i 為恰當方程 即 = x N y M y M x N i i i ， 2 , 1 = i 下面只需證 2 1 的全微分沿方程恒為零 事實上： 0 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 = = = = + + = x N y M x N y M N dx y M x N y M x N N dx dx y N M dx x dx y N M dx x dy y dx x dy y dx x d 即當 c 2 1 時， c = 2 1 是方程的解。證畢！ 習題 2.4 求解下列方程 1 、 y y x + = 1 3 解：令 t p y dx dy 1 = = =