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1、數(shù)學(xué)物理方程答案 數(shù) 學(xué) 物理方程 第二版答案 第一章 波 動 方程 1 方 程 的 導(dǎo)出 。定 解條 件 1 細(xì)桿 （或 彈簧 ） 受某 種外 界原 因而 產(chǎn)生 縱向 振動 ， 以 u(x,t) 表示 靜止 時 在 x 點(diǎn)處的點(diǎn) 在時刻 t 離開原來位置的偏移， 假設(shè)振動過程發(fā)生的張力服從虎克定律， 試證明 ) , ( t x u 滿足 方程 x u E x t u x t 其中 為桿的密度，E 為楊氏模量。 證： 在桿 上任 取一 段， 其中 兩端 于靜 止時 的坐標(biāo)分別為 x 與 x x 。 現(xiàn)在 計算 這段 桿 在時刻t 的相對伸長。在時刻t 這段桿兩端

2、的坐標(biāo)分別為： ) , ( ); , ( t x x u x x t x u x 其相對伸長等于 ) , ( ) , ( ) , ( t x x u x x t x u x t x x u x x x 令 0 x ，取極限得在點(diǎn)x 的相對伸長為 x u ) , ( t x 。由虎克定律，張力 ) , ( t x T 等于 ) , ( ) ( ) , ( t x u x E t x T x 其中 ) (x E 是在點(diǎn)x 的楊氏模量。 設(shè)桿的橫截面面積為 ), (x S 則作用在桿段 ) , ( x x x 兩端的力分別為 x u x S x E ) ( ) ( x u x

3、x S x x E t x ) ( ) ( ); , ( ). , ( t x x 于是得運(yùn)動方程 tt u x x s x ) ( ) ( x ESu t x ) , ( x x x x x ESu x x | ) ( | ) ( 利用微分中值定理，消去 x ，再令 0 x 得 tt u x s x ) ( ) ( x x ESu ( ) 若 ) (x s 常量，則得 2 2 ) ( t u x = ) ) ( ( x u x E x 即得所證。 2 在桿 縱向 振動 時， 假設(shè)(1) 端點(diǎn)固定，(2) 端點(diǎn)自由， (3) 端點(diǎn)固定在彈性支承上， 試 分別導(dǎo)出這三種情況

4、下所對應(yīng)的邊界條件。 數(shù)學(xué)物理方程答案 解：(1) 桿的兩端被固定在 l x x , 0 兩點(diǎn)則相應(yīng)的邊界條件為 . 0 ) , ( , 0 ) , 0 ( t l u t u (2) 若 l x 為自 由端 ， 則桿 在 l x 的張力 x u x E t l T ) ( ) , ( | l x 等于 零， 因此 相應(yīng) 的邊界條件為 x u | l x =0 同理，若 0 x 為自由端，則相應(yīng)的邊界條件為 x u 0 0 x (3) 若 l x 端固定在彈性支承上， 而彈性支承固定于某點(diǎn)， 且該點(diǎn)離開原來位置的 偏移由函數(shù) ) (t v 給出，則在 l x 端支承的伸長為

5、) ( ) , ( t v t l u 。由虎克定律有 x u E ) ( ) , ( t v t l u k l x 其中k 為支承的剛度系數(shù)。由此得邊界條件 ) ( u x u ) (t f l x 其中 E k 特別地，若支承固定于一定點(diǎn)上，則 , 0 ) ( t v 得邊界條件 ) ( u x u 0 l x 。 同理，若 0 x 端固定在彈性支承上，則得邊界條件 x u E ) ( ) , 0 ( 0 t v t u k x 即 ) ( u x u ). ( 0 t f x 3. 試證：圓錐形樞軸的縱振動方程為 2 2 2 2 ) 1 (

6、) 1 ( t u h x x u h x x E 其中h 為圓錐的高(如圖 1) 證：如圖，不妨設(shè)樞軸底面的 半徑為 1 ，則x 點(diǎn)處截面的半徑l 為： h x l 1 所以截面積 2 ) 1 ( ) ( h x x s 。利用第 1 題，得 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 2 2 x u h x E x t u h x x 若 E x E ) ( 為常量，則得 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( t u h x x u h x x E 數(shù)學(xué)物理方程答案 4. 絕對柔軟逐條而均勻的弦線有一端固 定，在它本身重力作用下，此線處于鉛垂平衡 位

7、置，試導(dǎo)出此線的微小橫振動方程。 解：如圖 2，設(shè)弦長為l ，弦的線密度為 ，則x 點(diǎn)處的張力 ) (x T 為 ) ( ) ( x l g x T 且 ) (x T 的方向總是沿著弦在x 點(diǎn)處的切線方向。 仍以 ) , ( t x u 表示弦上各點(diǎn)在時刻t 沿垂直 于x 軸方向的位移，取弦段 ), , ( x x x 則弦段兩端張力在u 軸方向的投影分別為 ) ( sin )) ( ( ); ( sin ) ( x x x x l g x x l g 其中 ) (x 表示 ) (x T 方向與x 軸的夾角 又 . sin x u tg 于是得運(yùn)動方程 x u x

8、 x l t u x ) ( 2 2 x u x l g x x g x 利用微分中值定理，消去 x ，再令 0 x 得 ) ( 2 2 x u x l x g t u 。 5. 驗證 2 2 2 1 ) , , ( y x t t y x u 在錐 2 2 2 y x t 0 中都滿足波動方程 2 2 2 2 2 2 y u x u t u 證：函數(shù) 2 2 2 1 ) , , ( y x t t y x u 在錐 2 2 2 y x t 0 內(nèi)對變量 t y x , , 有 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。且 t y x t t u 2 3 2 2 2

9、 ) ( 2 2 5 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 ) ( 3 ) ( t y x t y x t t u ) 2 ( ) ( 2 2 2 2 3 2 2 2 y x t y x t x y x t x u 2 3 2 2 2 ) ( 數(shù)學(xué)物理方程答案 2 2 5 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 x y x t y x t x u 2 2 2 2 5 2 2 2 2 y x t y x t 同理 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2y x t

10、 y x t y u 所以 . 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 t u y x t y x t y u x u 即得所證。 6. 在單性桿縱振動時, 若考慮摩阻的影響, 并設(shè)摩阻力密度涵數(shù)( 即單位質(zhì)量所受的摩阻力) 與桿件在該點(diǎn)的速度大小成正比( 比例系數(shù)設(shè)為 b), 但方向相反, 試導(dǎo)出這時位移函數(shù)所滿足 的微分方程. 解: 利用第 1 題的推導(dǎo), 由題意知此時尚須考慮桿段 x x x , 上所受的摩阻力. 由題設(shè), 單位質(zhì)量所受摩阻力為 t u b , 故 x x x , 上所受摩阻力為 t u x x s x p

11、 b 運(yùn)動方程為: t u x x s x b x x u ES t u ES t u x x s x x x 2 2 利用微分中值定理，消去 x , 再令 0 x 得 . 2 2 t u x s x b x u ES x t u x s x 若 ) (x s 常數(shù)，則得 t u x b x u E x t u x 2 2 若 則得方程 令 也是常量 是常量 , . , 2 E a E x E x . 2 2 2 2 2 x u a t

12、u b t u 2 達(dá) 朗 貝爾 公式 、 波的傳抪 1. 證明方程 數(shù)學(xué)物理方程答案 常數(shù) 0 1 1 1 2 2 2 2 2 h t u h x a x u h x x 的通解可以寫成 x h at x G at x F u 其中 F,G 為任意的單變量可微函數(shù), 并由此求解它的初值問題: . , : 0 x t u x u t 解：令 v u x h 則 x v u x h x u x h x v u x u x h 2 , ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 x

13、v u x h x u x h x u x h x v u x u x h x 又 2 2 2 2 t v t u x h 代入原方程，得 2 2 2 2 2 1 t v x h a x v x h 即 2 2 2 2 2 1 t v a x v 由波動方程通解表達(dá) 式得 at x G at x F t x v , 所以 x h at x G at x F u 為原方程的通解。 由初始條件得 ) 1 ( 1 x G x F x h x x aG x aF x h x / / 1 數(shù)學(xué)

14、物理方程答案 所以 ) 2 ( 1 0 c d h a x G x F x x 由 ) 2 ( ), 1 ( 兩式解出 2 2 1 2 1 c d h a x x h x F x x o 2 2 1 2 1 c d h a x x h x G x x o 所以 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) , ( at x at x h at x at x h x h t x u + at x at x h x h a ( ) ( ) ( 2 1 . )

15、 d 即為初值問題的解散。 問初 始條 件 ) (x 與 ) (x 滿足怎樣的條件時， 齊 次波動方程初值問題的解僅由右傳 播波組成？ 解：波動方程的通解為 u=F(x-at)+G(x+at) 其中 F ，G 由初始條件 ) (x 與 ) (x 決定。初值問題的解僅由右傳播組成，必須且只須對 于任何 t x, 有 G(x+at) 常數(shù). 即對任何 x, G(x) C 0 又 G （x）= x x a C d a x 0 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 所以 ) ( ), ( x x 應(yīng)滿足 ) (x x x C d a 0 1 ) ( 1 （常數(shù)） 或

16、 (x)+ ) ( 1 x a =0 3. 利用傳播波法，求解波動方程的特征問題（又稱古爾沙問題） ). ( ) ( 0 0 2 2 2 2 2 x u x u x u a t u at x at x ) 0 ( ) 0 ( 數(shù)學(xué)物理方程答案 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 ) (x =F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 ) (x =F （2x）+G(0) 所以 F(x)= ) 2 ( x -G(0). G （x）= ) 2 ( x -F(0). 且 F （0）+G(0)= ). 0 (

17、 ) 0 ( 所以 u(x,t)= ( ) 2 at x + ) 2 ( at x - ). 0 ( 即為古爾沙問題的解。 4對非齊次波動方程的初值問題 ) ( ) ( ), ( , 0 ) , 0 ( ) , ( 2 2 2 2 2 x x t u x u t x t t x f x u a t u 證明： （1） 如果初始條件在 x 軸的區(qū)間x 1 ,x 2 上發(fā)生變化，那末對應(yīng)的解在區(qū)間 1 x ， 2 x 的影響區(qū)域以外不發(fā)生變化； （2） 在 x 軸區(qū)間 2 , 1 x x 上所給的初始條件唯一地確定區(qū)間 2 1 ,x x

18、的決定區(qū) 域中解的數(shù)值。 證： （1） 非齊次方程初值問題的解為 u(x,t)= at x at x a at x at x 2 1 ) ( ) ( 2 1 d ) ( + t t a x t a x d d f a 0 ) ( ) ( . ) , ( 2 1 當(dāng)初始條件發(fā)生變化時，僅僅引起以上表達(dá)式的前兩項發(fā)生變化，即僅僅影晌到相應(yīng)齊 次方程初值的解。 當(dāng) ), (x ) (x 在 2 , 1 x x 上發(fā) 生變 化， 若對 任何 t0, 有 x+atx 2 , 則區(qū)間x-at,x+at 整個落在區(qū)間 2 , 1 x x 之外 ， 由解 的表 達(dá)式

19、知 u(x,t) 不發(fā) 生變 化， 即對 t0, 當(dāng) xx 2 +at, 也就是（x,t ）落在區(qū)間 2 1 ,x x 的影響域 ) 0 ( 2 t at x x at x t 數(shù)學(xué)物理方程答案 之外，解 u(x,t) 不發(fā)生變化。 （1）得證。 (2). 區(qū)間 2 1 ,x x 的決定區(qū)域為 at x x at x t 2 1 , 0 在其中任給（x,t ）, 則 2 1 x at x at x x 故區(qū)間x-at,x+at 完全落在區(qū)間 2 1 ,x x 中。因此 2 1 ,x x 上所給的初紿 條件 ) ( ), ( x x 代入達(dá)朗貝爾公式唯一地確定出 u(

20、x,t) 的數(shù)值。 5. 若電報方程 GRu u LG CR CLu u t tt xx 為常數(shù) G R L C , , , 具體形如 at x f t t x u , 的解（稱為阻礙尼波） ，問此時 G R L C , , , 之間應(yīng)成立什么關(guān)系？ 解 at x f t t x u , at x f t u xx at x f t a at x f t u t at x f t a at x f t a at x f t u tt 2 2 代入方程，得 0 2 1 2

21、 at x f t GR t GR t LG CR t CL at x f t LG CR a t aCL at x f t CLa 由于 f 是任意函數(shù)，故 f f f , , 的系數(shù)必需恒為零。即 0 0 2 0 1 2 t GR t LG CR t CL t LG CR t CL CLa 于是得 2 1 a CL LG CR a t u t u 2 2 所以 t LG CR a e c t u 2 0 2 數(shù)學(xué)物理方程答案 代入以上方程組中最后一個方程，得 0 2 4 2 2 2 4 GR LG CR a

22、 LG CR a CL 又 GRCL LG CR CL a 2 2 4 1 , 1 得 即 0 2 LG CR 最后得到 R G L C 6利用波的反射法求解一端固定并伸長到無窮遠(yuǎn)處的弦振動問題 0 0 , 0 0 0 , 0 0 2 t t u x x u x u u a u t t t xx tt 解：滿足方程及初始條件的解，由達(dá)朗貝爾公式給出： at x at x d a at x at x t x u 2 1 2 1 , 。 由題 意知 x x , 僅在 x 0 上給出，為利用達(dá)朗貝爾解，必須將 x x , 開

23、拓到 0 x 上，為此利用邊值條件，得 at at d at at 2 1 0 。 因此對任何t 必須有 at at 0 at at d 即 x x , 必須接奇函數(shù)開拓到 0 x 上，記開拓后的函數(shù)為 x x , ； 0 , 0 , 0 , 0 , x x x x x x x x x x 所以 at x at x d a at x at x t x u 2 1 2 1 ,數(shù)學(xué)物理方程答案 0 , , 2 1 2 1 0 , , 2 1 2

24、1 x a x t d a x at at x x a x t d a at x at x at x x at at x at x 。 7 求方程 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u a t u 形如 t r f u , 的 解 （ 稱 為 球 面 波 ） 其 中 2 2 2 z y x r 。 解： t r f u , x r r u x r r u x u 3 2 2 2 2 2 2 2 1 r x r r u r x r u x u 3 2 2 2 2 2 2 2 1 r

25、y r r u r y r u y u ) 1 ( 3 2 2 2 2 2 2 2 r z r r u r z r u z u 代入原方程，得 ) 3 ( 3 2 2 2 2 2 2 2 2 r z y x r r u r u a t u 即 ) 2 ( 2 2 2 2 2 r u r r u a t u 令 v ru ，則 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , r v r u r u r r v u r u r t v t u r ， 代入方程，得 v 滿足 2 2 2 2 2 r v a t v 故得通解

26、 ) ( ) ( ) , ( at r G at r F t r v 所以 ) ( ) ( 1 at r G at r F r u 8求解波動方程的初值問題 數(shù)學(xué)物理方程答案 x t u u x t x u t u t t sin | , 0 sin 0 0 2 2 2 2 解：由非齊次方程初值問題解的公式得 d d d t x u t t x t x t x t x 0 ) ( ) ( sin 2 1 sin 2 1 ) , ( = t d t x t x t x t x 0 )) ( cos( )

27、) ( cos( 2 1 ) cos( ) cos( 2 1 = t d t x t x 0 ) sin( sin sin sin = t t t x t x 0 ) sin( ) cos( sin sin sin = x t sin 即 x t t x u sin ) , ( 為所求的解。 9求解波動方程的初值問題。 2 0 0 2 2 2 1 1 | , 0 | ) 1 ( x u u x tx u a u t t t xx tt 解： t t a x t a x at x at x d d d a t x u 0

28、) ( ) ( 2 2 2 ) 1 ( 1 1 2 1 ) , ( at x at x at x arctg at x arctg d ) ( ) ( 1 1 2 t t a x t a x t t a x t a x d d d 0 ) ( ) ( 2 0 ) ( ) ( 2 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( = t d t a x t a x 0 2 2 )) ( ( 1 ) ( ( 1 2 1 = x at x x at x du u a u at x du u a u at x ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2

29、 1 2 2 2 2 數(shù)學(xué)物理方程答案 = at x at x x at x x at x u du a t u du za t du u u x a 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 = 2 2 2 2 ) ( 1 ) ( 1 ln 4 1 )) ( ) ( ( 2 at x at x a at x arctg at x arctg a x + ) ( ) ( 2 2 at x arctg at x arctg arctgx a t = ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 2 2 at x arctg at x a at x arctg at x

30、a + 2 2 2 ) ( 1 ) ( 1 ln 4 1 at x at x a arctgx a t 所以 ) ( 1 ) ( 1 ln 2 1 2 ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( 4 1 ) , ( 2 2 2 2 3 at x at x atarctgx at x arctg a at x at x arctg a at x a t x u 3 混 合 問題 的分 離變 量法 1. 用分離變量法求下列問題的解： (1) 0 ) , ( ) , 0 ( ) 0 ( ) 1 ( , 3 sin 0 2 2 2 2

31、2 t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o t t 解：邊界條件齊次的且是第一類的，令 ) ( ) ( ) , ( t T x X t x u 得固有函數(shù) x l n x X n sin ) ( ，且 t l an B t l an A t T n n n sin cos ) ( ， ) 2 , 1 ( n 于是 1 sin ) sin cos ( ) , ( n n n x l n t l an B t l an A t x u 今由始值確定常數(shù) n A 及 n B ，由始值得 1 sin 3 sin n n x l n A

32、l x 數(shù)學(xué)物理方程答案 1 sin ) ( n n x l n B l an x l x 所以 , 1 3 A , 0 n A 當(dāng) 3 n l n xdx l n x l x an B 0 sin ) ( 2 x l n x n l x l n n l x l n x n l l an cos sin cos 2 2 2 2 2 ) ) 1 ( 1 ( 4 cos 2 sin 2 4 4 3 0 3 3 3 2 2 2 n l an l x l n n l x l n n x l 因此所求解為 1 4 4 3 sin sin

33、 ) 1 ( 1 4 3 sin 3 cos ) , ( n n x l n t l an n a l x l t l a t x u (2) 0 ) 0 , ( , ) 0 , ( 0 ) , ( 0 ) , 0 ( 0 2 2 2 2 2 x t u x l h x u t l t u t u x u a t u 解：邊界條件齊次的，令 ) ( ) ( ) , ( t T x X t x u 得： 0 ) ( , 0 ) 0 ( 0 l X X X X (1) 及 ) 2 ( 0 2 X a T 。 求問題(1) 的非平

34、凡解，分以下三種情形討論。 1 0 時，方程的通解為 x x e C e C x X 2 1 ) ( 由 0 ) 0 ( X 得 0 2 1 c c 由 0 ) ( l X 得 0 2 1 l l e C e C 解以上 方程組，得 0 1 C ， 0 2 C ，故 0 時得不到非零解。 數(shù)學(xué)物理方程答案 2 0 時，方程的通解為 x c c x X 2 1 ) ( 由邊值 0 ) 0 ( X 得 0 1 c ，再由 0 ) ( l X 得 0 2 c ，仍得不到非零解。 3 0 時，方程的通解為 x c x c x X sin cos ) ( 2

35、1 由 0 ) 0 ( X 得 0 1 c ，再由 0 ) ( l X 得 0 cos 2 l c 為了使 0 2 c ，必須 0 cos l ，于是 2 2 1 2 l n n ) 2 , 1 , 0 ( n 且相應(yīng)地得到 x l n x X n 2 1 2 sin ) ( ) 2 , 1 , 0 ( n 將 代入方程(2) ，解得 t a l n B t a l n A t T n n n 2 1 2 sin 2 1 2 cos ) ( ) 2 , 1 , 0 ( n 于是 0 2 1 2 sin ) 2 1 2 sin 2

36、1 2 cos ( ) , ( n n n x l n t a l n B t a l n A t x u 再由始值得 0 0 2 1 2 sin 2 1 2 0 2 1 2 sin n n n n x l n B a l n x l n A x l h 容易驗證 x l n 2 1 2 sin ) 2 , 1 , 0 ( n 構(gòu)成區(qū)間 , 0 l 上的正交函數(shù)系： n m l n m xdx l n x l m l 當(dāng) 當(dāng) 2 0 2 1 2 sin 2 1 2 sin 0 利用 x l n 2 1 2 sin 正交性，得 xdx l n

37、 x l h l A l n 2 1 2 sin 2 0 數(shù)學(xué)物理方程答案 l x l n n l x l n x n l l h 0 2 2 2 1 2 sin ) 1 2 ( 2 2 1 2 cos ) 1 2 ( 2 2 n n h ) 1 ( ) 1 2 ( 8 2 2 0 n B 所以 0 2 2 2 1 2 sin 2 1 2 cos ) 1 2 ( ) 1 ( 8 ) , ( n n x l n t a l n n h t x u 2。設(shè)彈簧一端固定，一端在外力作用下作周期振動，此時定解問題歸結(jié)為 0

38、 ) 0 , ( ) 0 , ( sin ) , ( , 0 ) , 0 ( 2 2 2 2 2 x t u x u t A t l u t u x u a t u 求解此問題。 解：邊值條件是非齊次的，首先將邊值條件齊次化，取 t x l A t x U sin ) , ( ，則 ) , ( t x U 滿 足 0 ) , 0 ( t U ， t A t l U sin ) , ( 令 ) , ( ) , ( ) , ( t x v t x U t x u 代入原定解問題，則 ) , ( t x v 滿足 ) 1 ( ) 0 , ( 0 ) 0 , ( 0 ) , ( , 0

39、) , 0 ( sin 2 2 2 2 2 2 x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t v ) , ( t x v 滿足第一類齊次邊界條件，其相應(yīng)固有函數(shù)為 x l n x X n sin ) ( ， ) 2 , 1 , 0 ( n 故設(shè) ) 2 ( sin ) ( ) , ( 1 n n x l n t T t x v 將方程中非齊次項 t x l A sin 2 及初始條件中 x l A 按 x l n sin 展成級數(shù)，得 1 2 sin ) ( sin n n x l n t

40、 f t x l A 數(shù)學(xué)物理方程答案 其中 l n xdx l n t x l A l t f 0 2 sin sin 2 ) ( l x l n n l x l n x n l t l A 0 2 2 2 2 2 sin cos sin 2 x l A t n A n sin ) 1 ( 2 1 2 x l n n n sin 1 其中 n l n n A xdx l n x l A l ) 1 ( 2 sin 2 0 2 將(2) 代入問題(1) ，得 ) (t T n 滿足 n n n n n n n A T

41、 T t n A t T l an t T ) 1 ( 2 ) 0 ( , 0 ) 0 ( sin ) 1 ( 2 ) ( ) ( 1 2 2 解方程，得通解 2 2 1 2 ) ( sin ) 1 ( 2 sin cos ) ( l an t n A t l an B t l an A t T n n n n 由始值，得 0 n A 2 2 2 2 2 2 2 3 1 ) ( 2 ) 1 ( ) ) (( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 l an al A l an n l A n A an B n n n n 所以 1 2 2 sin

42、) ( ) ( 2 ) 1 ( ) , ( n n t l an l an al A t x v x l n t n l an l A n sin sin 1 ) ( ) ( 2 ) 1 ( 2 2 2 2 1 x l n t n l t l an a l an l A n sin sin sin ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 因此所求解為 1 2 2 2 ) ( ) ( ) 1 ( 2 sin ) , ( n l an l A t x l A t x u x l n t nt l t l an a sin s

43、in sin 數(shù)學(xué)物理方程答案 3用分離變量法求下面問題的解 0 | | 0 | | 0 0 0 2 2 2 2 2 l x x t t u u t u u bshx x u a t u 解：邊界條件是齊次的，相應(yīng)的固有函數(shù)為 ) , 2 , 1 ( sin ) ( n x l n x X n 設(shè) 1 sin ) ( ) , ( n n x l n t T t x u 將非次項bshx 按 sin x l n 展開級數(shù)，得 1 sin ) ( n n x l n t f bshx 其中 shl bn l n xdx l n shx l

44、b t f n l n 2 ) 1 ( sin 2 ) ( 2 2 2 1 0 將 1 sin ) ( ) , ( n n x l n t T t x u 代入原定解問題，得 ) (t T n 滿足 0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 2 n n n n n T T shl l n bn t T l an t T 方程的通解為 shl l n bn an l t l an B t l an A t T n n n n 1 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) ( sin cos ) ( 由 0 )

45、0 ( n T ，得： shl l n bn an l A n n 1 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) ( 由 0 ) 0 ( n T ，得 0 n B 所以 ) cos 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( 1 2 2 2 2 t l an shl l n bn an t T n n 所求解為 1 2 2 2 1 2 2 sin ) cos 1 ( ) ( ) 1 ( 2 ) , ( n n x l n t l an l n n shl a bl t x u 4用分離變量法求下面問題的解： 數(shù)學(xué)物理方程答案 0

46、| , | 0 | | ) 0 ( 2 0 0 0 2 2 2 2 2 t t l x x t u x l h u u u b x u a t u b t u 解：方程和邊界條件都是齊次的。令 ) ( ) ( ) , ( t T x X t x u 代入方程及 邊界條件，得 X X T a bT T 2 2 0 ) ( ) 0 ( l X X 由此得邊值問題 0 ) ( ) 0 ( 0 l X X X X 因此得固有值 2 l n n ，相應(yīng)的固有函數(shù)為 , 2 , 1 , sin ) ( n x l n x X n 又 ) (t T 滿足方程

47、 0 2 2 T a bT T 將 n 代入，相應(yīng)的 ) (t T 記作 ) (t T n ，得 ) (t T n 滿足 0 2 2 T l an bT T n n 一般言之，b 很小，即阻尼很小，故通常有 , 2 , 1 , 2 2 n l an b 故得通解 ) sin cos ( ) ( t B t A e t T n n n n bt n 其中 2 2 b l an n 所以 數(shù)學(xué)物理方程答案 x l n t B t A e t x u n n n n n bt sin ) sin cos ( ) , ( 1 再由始值，

48、得 x l n B bA x l n A x l h n n n n n n sin ) ( 0 sin 1 1 所以 1 0 2 ) 1 ( 2 sin 2 n l n n h xdx l n x l h A 1 ) 1 ( 2 n n n n n n bh A b B 所求解為 . sin ) sin (cos ) 1 ( 2 ) , ( 1 1 x l n t b t n e h t x u n n n n n bt 4 高 維 波 動方 程 的柯 西問 題 1 利用泊松公式求解波動方程 ) ( 2 zz yy xx

49、 tt u u u a u 的柯西問題 0 0 2 3 0 t t t u z y x u 解：泊松公式 ds r a ds r a t u Sat M Sat M 4 1 4 1 現(xiàn) z y x 2 3 , 0 且 0 2 0 | sin ) , , ( at r s d d r r ds r M at 其中 ) cos , sin sin , cos sin ( ) , , ( r z r y r x r ) cos ( ) sin sin ( ) cos sin ( 2 3 r z y r x

50、 3 3 2 2 2 2 2 2 3 cos sin cos sin 3 cos sin 3 r xr r x z y x cos sin sin sin sin 2 2 2 2 r y rz yzr 數(shù)學(xué)物理方程答案 cos sin sin sin cos sin 2 2 3 2 r yr 計算 0 2 0 sin ) , , ( d d r r ) ( 4 ) cos ( 2 ) ( sin ) ( 2 3 0 2 0 0 2 3 2 3 z y x r z y x r d d r z y x 0

51、 2 0 0 2 0 2 2 2 2 0 cos sin 3 sin cos sin 3 d d r x d d r r x 0 2 0 0 2 0 2 3 3 2 2 2 cos sin 3 sin cos sin 3 d d xr d d r xr 2 0 0 3 3 2 sin 4 1 2 cos cos 3 1 3 xr d d r r xr sin cos sin 4 3 3 0 2 0 3 3 3 2 0 4 0 4 4 cos sin xr d d r 0 2 0 2 2 0 2 0 0 sin sin 2

52、 sin sin sin 2 d d yzr d d r yzr z r z r d d rz d d r z r 3 2 0 0 3 3 2 0 2 0 3 0 2 0 2 2 2 3 4 2 sin 4 1 2 cos cos 3 1 sin sin sin sin sin 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 sin cos sin cos d d r y d d r r y 2 0 0 2 3 0 2 0 2 0 sin cos sin 2 sin sin sin 2 d d yr d d r coc yr

53、 0 2 0 2 3 4 0 2 0 2 2 3 0 sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r 數(shù)學(xué)物理方程答案 所以 3 1 4 3 4 4 ) ( 4 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 z t a t xa z y x at z r r z y x r ds r Sat M at r u(x,y,z)= Sat M r a t 4 1 z t a x t a z y x z t a t xa z ty tx t 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 1 即為所求的解。 2

54、 試用降維法導(dǎo)出振動方程的達(dá)朗貝爾公式。 解：三維波動方程的柯西問題 ) , , ( ), , , ( ) ( 0 0 2 z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt 當(dāng) u 不依賴于 x,y, 即 u=u(z), 即得弦振動方程的柯西問題： ) ( ), ( 0 0 2 z u z u u a u t t t zz tt 利用泊松公式求解 Sat M Sat M ds r a ds r a t u 4 1 4 1 因只與 z 有關(guān)，故 Sat M d d at at at z ds r 2 0

55、0 2 sin ) ( ) cos ( d at at z d sin ) cos ( 2 0 0 令 = atcos + z , d = d atsin - 得 Sat M at z at z d ds r ) ( 2 所以 數(shù)學(xué)物理方程答案 at z at z at z at z d a d a t t z u ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) , ( at z at z d a at z at z ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 即為達(dá)郎貝爾公式。 3. 求解平面波動方程的柯西問題： 0 | | 0 2 0 2

56、t t t yy xx tt u y x x u u u a u 解： 由二維波動方程柯西問題的泊松公式得： m at d d y x t a t a t y x u 2 2 2 2 , 2 1 , , m at d d y x t a 2 2 2 2 , 2 0 2 2 2 0 sin , cos 2 1 rdrd r t a r y r x t a at 又 sin cos cos sin , cos 2 r r y x r x r y r x 2 2 2 c

57、os cos 2 r y x r y x x y x x cos sin cos 2 sin cos 2 2 xr r x sin cos cos 2 3 r 因為 2 0 2 2 0 2 0 cos , 0 sin , 0 cos d d d . 0 sin cos , 0 cos , 0 cos sin 2 0 2 2 0 3 2 0 d d d 所以 at rdrd r t a r y r x 0 2 0 2 2 2 sin , cos at at r t a dr r y

58、 x r t a rdr y x x 0 0 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 數(shù)學(xué)物理方程答案 又 at at at r t a r t a rdr 0 0 2 2 2 2 2 2 | at at at rdr r t a r t a r r t a dr r 0 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 3 2 | 3 3 0 2 3 2 2 2 3 2 | 3 2 t a r t a a 于是 y x a y x ax t a t y x u 3 3 2 2 2 1 , , 3 3 2 y x t a

59、 y x x 3 2 2 2 即為所求的解。 4. 求二維波動方程的軸對稱解（即二維波動方程的形如 t r u u , 的解， ) 2 2 y x r . 解： 解法一：利用二維波動方程柯西問題的積分表達(dá)式 , , 2 1 , , 2 2 2 2 2 2 m att m att y x at d d y x at d d t a t y x u 由于 u 是軸對稱的 , ,t r u u 故其始值 , 只是 r 的函數(shù)， r u t 0 | ， , . , | 2 2 2 2 0 t a y x r u m at t

60、 t 為圓 又 記圓上任 一點(diǎn) , p 的矢徑為 2 2 圓心 ) , ( y x M 其矢徑為 2 2 y x r 記 2 2 y x s 則由余弦 定理知， cos 2 2 2 2 rs s r ，其中 為oM 與Mp 的夾角。選極坐標(biāo) ) , ( s 。 cos 2 2 2 rs s r ， cos 2 , 2 2 rs s r 于是以上公式可寫成 sdsd s at rs s r t a t y x u at 2 0 2 2 2 2 0 cos 2 2 1 , , 數(shù)學(xué)物

61、理方程答案 sdsd s at rs s r at 2 0 2 2 2 2 0 cos 2 由上式右端容易看出，積分結(jié)果和 ) , ( t r 有關(guān)，因此所得的解為軸對稱解，即 at sdsd s at rs s r t a t r u 0 2 0 2 2 2 2 ) ( cos 2 2 1 ) , ( + ) ( cos 2 ( 0 2 0 2 2 2 2 sdsd s at r s r at 解法二：作變換 cos r x , sin r y . 波動方程化為 ) 1 ( 2 2 2 2 2 r u r r u a t u

62、用分離變量法，令 u(r,t)=R(r)T(t). 代入方程得 0 0 2 2 2 R r rR R r t a T 解得： ) ( ) ( sin cos ) ( 0 r J r R t a B t a A t T 令 疊加得 du J t B t A t r u ) ( ) sin ) ( cos ) ( ( ) , ( 0 0 5. 求解下列柯西問題 ) , ( ), , ( ) ( 0 0 2 2 y x r v y c v v c v v a v t t yy xx tt 提示：在三維波動方程中，令 )

63、 , , ( ) , , ( t y x v e z y x u a cz 解：令 ) , , ( ) , , , ( t y x v e t z y x u a cz 則 yy a cz yy xx a cz xx tt a cz tt v e u v e u v e u , , v e a c u a cz zz 2 2 數(shù)學(xué)物理方程答案 代入原問題，得 ) , ( ), , ( ) ( 0 0 2 y x e u y x e u u u u a u a cz t t a cz t zz yy xx tt ds a ds a t t z y x u M a

64、t a c M at a c S r e S r e ) , ( 4 1 4 1 ) , , , ( ) , ( 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( : t a z y x S M at 記 M at S 為上半球， M at S 為下半球， M at 為 M at S 在 o 平面上的投影。 d d y x t a at ds 2 2 2 2 ) ( ) ( , 則 M at M at M at S S S a c a c a c ds e r ds e r ds r e ) , ( 1 ) , ( 1 ) , ( M a

65、t d d y x t a e y x t a z a c ) , ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ) ) ( ) ( ( 2 2 2 2 d d y x t a e M at y x t a z a c ) , ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ) ) ( ) ( ( 2 2 2 2 d d y x t a y x t a a c ch e M at a cz ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 rdrd r y r x r t a r a c t c ch e at a cz ) si

66、n , cos ( ) ( 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 所以 x r t a r a c t c ch e a t z y x u at a cz ( ) ( 2 1 ) , , ( 2 0 0 2 2 2 2 2 2 ) sin , cos tftf r y r rdrd r y r x r t a r a c t c ch e a at a cz ) sin , cos ( ) ( 2 1 2 0 0 2 2 2 2 2 2 數(shù)學(xué)物理方程答案 于是 x r t a r a c t c ch a t t y x v at ( ) ( 2 1 ) , , ( 2 0 0 2 2 2 2 2 2 x r t a r a c t c ch a rdrd r y r at ( ) ( 2 1 ) sin , cos 2 0 0 2 2 2 2 2 2 rdrd r y r ) sin , cos 即為所求的解。 6試用 4 第七段中的方法導(dǎo)出平面齊次波動方程 ) , , ( ) ( 2 t y x f