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1、3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 一、心軸彎曲的概念與實(shí)例 二、作用在心軸上載荷的分類 三、剪力與彎矩 四、剪力圖與彎矩圖 五、 平面彎曲梁的強(qiáng)度計(jì)算 六、平面彎曲梁的剛度計(jì)算 七、提高梁強(qiáng)度和剛度的措施 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 一、心軸彎曲的概念與實(shí)例 F q ( a ) ( b ) 心軸： 工作時(shí)僅承受彎矩而不傳遞轉(zhuǎn)矩。 受力特點(diǎn)： 梁軸線平面內(nèi)受到力偶矩或垂直于軸線方向的 外力 作用。 變形特征： 構(gòu)件的軸線由直線變成一條曲線，這種變形稱為 彎 曲變形 。以彎曲變形為主的構(gòu)件習(xí)慣上稱為 梁 。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 y z y z y

2、z y z 工程實(shí)際中常用直梁的橫截面形狀主要有圓形、矩形、 T 字形和工字形等。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 心軸橫截面一般都有一個(gè)或幾個(gè)對(duì)稱軸 ， 由縱向?qū)ΨQ軸與梁的 軸線組成的平面稱為 縱向?qū)ΨQ平面 。 圖 6.3 二 、 作用在心軸上載荷的分類 集中力 集中力偶 均布載荷 N A 彎 曲 后 的 軸 線 N B q F 縱 向 對(duì) 稱 面 對(duì) 稱 軸 軸線 M 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 BA BA BA ( a ) ( b ) ( c ) 外伸梁： 梁的一端或兩端伸在支座之外的簡(jiǎn)支梁。 懸臂梁： 梁的一端為固定端支座， 另一端為自由端。

3、 簡(jiǎn)支梁： 梁的一端為固定鉸鏈支座， 另一端為活動(dòng)鉸鏈支座。 梁的簡(jiǎn)化 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 三、剪力與彎矩 A x m m F B N A N B a l N A A C 1 m m M F s m m F B N B s F M ( a ) ( b ) ( c ) 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 利用靜力平衡條件求出 A、 B的支座反力 NA與 NB為： FlaNFl alN BA , 用一截面將梁沿 m-m截面截開(kāi) ， 取左段 進(jìn)行分析： xF l al MxNMm F l al NFFNF AC AssA 1 0 若取 m-m

4、截面 右段 為研究對(duì)象，作同樣分析后，可求得與左 段截面上等值、反向的剪力 s和彎矩 M，與左段截面上的剪力 Fs和彎矩 M互為作用與反作用的關(guān)系。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 剪力符號(hào)規(guī)定 F s F s F s F s ( )( ) 剪力符號(hào)規(guī)定 ：使所取該段梁產(chǎn)生“左上右下”的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的 剪力方向?yàn)檎?，反之為?fù)； 彎矩符號(hào)規(guī)定： 使所取該段梁彎曲呈上凹下凸的彎矩為正，反 之為負(fù)。 彎矩符號(hào)規(guī)定 ( ) ( ) M M M M 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 梁內(nèi)任一截面上的剪力 ， 等于截面任一側(cè)梁上外力的代 數(shù)和；梁內(nèi)任一截面上的彎矩 ， 等于截

5、面任一側(cè)梁上外力對(duì)該 截面形心力矩的代數(shù)和 。 計(jì)算剪力時(shí) ： 截面左側(cè)向上的外力、右側(cè)向下的外力取正號(hào)； 計(jì)算彎矩時(shí)： 無(wú)論截面左側(cè)或右側(cè)，向上的外力取正號(hào)，向下 的外力取負(fù)號(hào)。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 四 、 剪力圖和彎矩圖 工程中 ， 梁橫截面上的剪力和彎矩沿梁的軸線發(fā)生變化 。 若以橫坐標(biāo) x表示梁的橫截面位置 ， 則梁在各橫截面上的剪力 Fs 和彎矩 M可以寫成 x的函數(shù)： Fs=Fs(x) M=M(x) 為了直觀地反映梁上各橫截面上的剪力和彎矩的大小及變 化規(guī)律 ， 可根據(jù)剪力方程和彎矩方程 , 用橫坐標(biāo) x表示梁的橫截 面的位置 ,

6、縱坐標(biāo)分別表示剪力 Fs和彎矩 M的大小而畫出的圖形 ， 分別稱為 剪力圖 和 彎矩圖 。 剪力方程 彎矩方程 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 kNNFN kNFN FNm AB A AB 8 4 3 1 013 【 例 3-1】 如圖 (a)所 示 ， 簡(jiǎn)支梁 AB受集中 截荷 F=12kN， 試畫 出其剪力圖和彎矩圖 。 ( a ) A 2 m F 1 m B N A N B x 1 x 2 ( b ) C 1 x 1 F s 1 M 1 N A N A x 2 F C 2 F s 2 F s A 0 4 k N C B x 8 k N M A 0 8 k N m

7、 C B ( c ) ( d ) ( e ) C M 2 x 例 3-1圖 解 (1) 求 A、 B的支座反力。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 (2) 列剪力方程與彎矩方程 。 )20(4 0 4 0 111 1 1 1 1 xxM xNMm kNNF NF AC As As 對(duì) AC段，取距 A端為 x1的截面左段，畫出受力圖，如圖 (b) 所示。列平衡方程： 對(duì) CB段 ， 取距 A端為 x2的截面左段 ， 畫出受力圖 ， 如圖 (c)所 示 。 列平衡方程： )32(824 0)2( 8124 0 222 222 2 2 2 xxM x

8、NxFMm kNFNF NFF AC As As (3) 繪制剪力圖和彎矩圖。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 【 例 3-2】 如圖 （ a） 所 示 ， 簡(jiǎn)支梁 AB上作用一 集中力偶 M， 試?yán)L出梁 AB的剪力圖和彎矩圖 。 例 3-2圖 ( a ) ( b ) ( c ) A N A 1 1 x 1 a x 2 l M 2 2 B N B F s 0 M 0 A B x x C B C M / l M a / l ( l a ) M / l 解 (1) 求 AB的支座反力，由力偶系平衡可得 l MNN BA (2) 列剪力方程和彎矩方程。 1-1截面，剪力方程為：

9、l MF s 1 彎矩方程為： 11 xl MM (0 x1

10、l) 02 xqxM 221 qxM (0 xl) q m 1 m x l A B M F s m m q B ql F s x x M 0 0 2 2 1 ql ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) l 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 四 、 剪力圖和彎矩圖 利用剪力、彎矩與載荷集度的微分關(guān)系，可不比列出剪力和彎矩方程即可畫 出剪力圖和彎矩圖。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 五、平面彎曲梁的強(qiáng)度與剛度計(jì)算 1、純彎曲試驗(yàn) A P P B C D l l F s A 0 P B C D x P M 0 A Pl B C D x 純彎曲： 只有彎矩沒(méi)

11、有剪力。 剪切彎曲： 既有剪力又有彎矩。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 1 2 a a b b 1 2 ( a ) 1 2 a a b b 1 2 M M ( b ) ( c ) 1 1 中 性 層 中 性 軸 Z 2 2 純彎曲梁的變形 純彎曲梁的變形特征： 橫向線仍是直線且仍與梁的 軸線正交，只是相互傾斜了一個(gè)角度； 縱向線（包括軸線）都變成 了弧線； 梁橫截面的寬度發(fā)生了微小 變形，在壓縮區(qū)變寬了些，在拉伸區(qū) 則變窄了些 。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 2、 橫截面上的正應(yīng)力 受 拉 力 中 性 軸 受 壓 力 b M h M M

12、o y M y o h ( b )( a ) z 梁受純彎曲時(shí) ， 其橫截面上 只有正應(yīng)力 ， 沒(méi)有切應(yīng)力 。 橫截面上 任意一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比 ， 距中 性軸等高度的各點(diǎn)正應(yīng)力相等 ， 而中性軸上各點(diǎn)處正應(yīng)力為零 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 離中性軸最遠(yuǎn)的梁的上 、 下邊緣處正應(yīng)力最大 ， 最大正應(yīng)力用 符號(hào) max表示 ， 其值為： zW M m a x 式中 , 稱為截面對(duì)中性軸 z的 抗彎截面系數(shù) ， 其 單位為 m3或 mm3 m axy IW z z 可以證明距離中性軸為 y處點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式為： y=My y/Iz 式中 ， Iz為橫

13、截面對(duì)中性軸的慣性矩 對(duì) 矩形截面： Iz=bh3/12， 圓形截面： Iz=d4/64。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 y h z b y z d y D d z ( a ) ( b ) ( c ) 6 2bh W z 圓形截面： 32 3d W z 圓環(huán)截面： )1(32 4 3 DW z D d 矩形截面： 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 3、 組合截面二次矩 平行移軸公式 2 2 z zc y y c I I a A I I b A 若梁的截面形狀復(fù)雜，并可分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形的組合， 則可用平行移軸公式計(jì)算某截面對(duì)任意軸的截面二次矩： 3.

14、2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 3、 組合截面二次矩 平行移軸公式 【 例 】 試求圖 3-2-27所示 T形截面對(duì)其形心軸的慣性矩。 解： 1.求 T形截面的形心座標(biāo) yc 1 1 2 2 12 50 10 5 50 10 35 20 50 10 50 10c A y A yy m m AA 2.求截面對(duì)形心軸 z軸的慣性矩 3 1 2 5 4 1 1 1 3 2 2 5 4 2 2 2 1 2 5 5 4 50 10 20 5 50 10 1.1 7 10 12 10 50 35 5 50 10 2.1 6 10 12 1.1 7 2.1 6

15、10 3.3 3 10 zz zz z z z I I a A m m I I a A m m I I I m m 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 4、 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 m a xm a x zW M 對(duì)于一般塑性材料其抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度相等時(shí) ， 采用材料的許用拉 (壓 ) 應(yīng)力 。 當(dāng)材料的抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度不相同 （ 脆性材料 ） ， 應(yīng)分別校核抗拉強(qiáng)度 與抗壓強(qiáng)度 。 對(duì)于中性軸不是截面的對(duì)稱梁 ， 其最大拉應(yīng)力值與最大壓應(yīng)力值不相等 。 如圖 所示的 T形截面梁 ， 最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為： m

16、 a x, m a x, cc tt ZZ I yM I yM 1m a x m a x 2m a x m a x , 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 4、 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 m a xm a x zW M 利用強(qiáng)度條件可解決三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題： 強(qiáng)度校核： 截面設(shè)計(jì)： 確定需用載荷： ZMW Z MW 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 【 例 】 如圖所示 ， 一矩形截面懸臂梁長(zhǎng) l=4m， 材料的許用應(yīng)力 =150MPa， 求此懸臂梁的許可載荷 。 圖 6.15 F l M 0 F l x 1 0 0 2 0 0 ( a ) ( b

17、) 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 解： 繪出懸臂梁的彎矩圖 , 如圖 b)所示 。 圖中 ， Mmax=Fl=4000F。 梁的橫截面抗彎截面系數(shù)為： 6 200100 2 zW 由梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件得： NF F W M z 0 0 0251 5 0 4 0 0 06 2 0 01 0 0 6 2 0 01 0 0 4 0 0 0 2 2 m a x 因此 , 懸臂梁的許可載荷為 F=25 000N。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 【 例 】 某建筑工地上 , 用長(zhǎng)為 l=3 m的矩形截面木板做跳板 , 木 板橫截面尺寸 b=50

18、0 mm, h=50 mm, 木板材料的許用應(yīng)力 =6 MPa, 試求： （ 1） 一體重為 700N的工人走過(guò)是否安全 ？ （ 2） 要求兩名體重均為 700N的工人抬著 1500 N的貨物安 全走過(guò) ， 木板的寬度不變 ， 重新設(shè)計(jì)木板厚度 h。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 解 （ 1）計(jì)算彎矩的最大值 max。當(dāng)工人行走到跳板中央 時(shí)，彎矩最大。 mNM 525232700m a x 校核彎曲強(qiáng)度 : 52.2 6 50500 10525 2 3 m a x m a x M P a W M z 所以 , 體重為 700 N的工人走過(guò)是安

19、全的。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 (2) 設(shè)工人重力和貨物重力合成為一個(gè)集中力 ， 且作用在跳 板長(zhǎng)度的中點(diǎn)時(shí)最危險(xiǎn) ， 此處彎矩最大值為： mNM 2 1 7 5232 1 5 0 027 0 0m a x 按彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)： 6 6 5 0 0 102 1 7 5 2 3 m a x m a x hW M z h65.95 所以，木板厚度 h應(yīng)滿足 h66 mm。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 六、梁 的 彎曲變形概述 撓度： 截面形心位移的垂直分量 （ 線位移 ） ， 用 表示 。 1、撓度與轉(zhuǎn)角 A y t q C 1 C m B

20、x t B m m m q 正負(fù)號(hào)規(guī)定： 向上為正，向下為負(fù) 轉(zhuǎn)角： 梁彎曲變形后，軸上任意一點(diǎn) C處的橫截面 m-m將繞中性軸 轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度至 m-m，其角位移 稱為該截面的轉(zhuǎn)角。 正負(fù)號(hào)規(guī)定： 逆為正，順為負(fù) =f(x) 撓曲線方程 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 2、 撓曲線微分方程 幾種常見(jiàn)梁的簡(jiǎn)單載荷作用下的變形 A l B F q B A l B B M e 梁 的 簡(jiǎn) 圖 端 截 面 轉(zhuǎn) 角 z B EI Fl 2 2 q A a l q B q B F B B z B EI Fl 3 2 最 大 撓 度 z e B EI M 2 q z e B

21、 EI lM 2 2 z B EI Fa 2 2 q )3( 6 2 al EI Fa z B 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 z B EI ql 6 3 q z B EI ql 8 4 z BA EI Fl 16 2 qq z EI Fl 48 3 m a x z BA EI ql 24 2 qq z EI ql 38 5 4 ma x z BA EI F al 62 1 qq )( 3 2 al EI Fa z C )( al EI Fa z C 32 6 q A l a B C F q C q B q A A l B q q A q B A l /2 l /2 C

22、F B A q q B B l B q B q A 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 當(dāng)梁上同時(shí)受到幾個(gè)載荷作用時(shí) ， 可分別計(jì)算出單個(gè)載荷作用 下梁的撓度和轉(zhuǎn)角 ， 再將它們求代數(shù)和 ， 得到所有載荷同時(shí)作用時(shí) 梁的總變形 。 3、計(jì)算變形的疊加法 4、剛度條件 m a x m a x qq 其中 、 的具體數(shù)值可查有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 【 例 】 如圖 (a)所示 ， 行車大梁采用 NO.45a工字鋼 ， 跨度 l=9m， 電動(dòng)葫蘆重 5 kN， 最大起重量為 55 kN， 許用撓度 =l/500， 試校核行車大梁的剛度 。

23、 l F A q F C B CF Cq ( b )( a ) 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 解 ：將行車簡(jiǎn)化后受力情況如圖 6.17(b)所示 。 把梁的自重看成 均布載荷 ， 并且 ， 當(dāng)電動(dòng)葫蘆處于梁的中央時(shí) ， 梁的變形最大 。 (1) 用疊加法求撓度 。 查手冊(cè)可知： NO.45a工字鋼的 q=788N/m, Iz=32 240 cm4, E=200GPa。 梁需要承受的最大載荷 F=5+55=60kN。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 查表可得，在力 F作用下產(chǎn)生的撓度為： m EI Fl CF CF 014.0 10240321

24、020048 91060 48 89 3 3 在均布載荷 q作用下產(chǎn)生的撓度為： m EI ql Cq z CF 001.0 102403210200348 97885 38 5 89 4 4 梁的最大變形： c max=CF+Cq=0.015 m。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 (2) 校核梁的剛度。 梁的許用撓度 ml 018.05009500 ，則： m a x c 所以梁的剛度足夠。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 七、提高梁的承截能力的措施 1、合理安排梁的支承 均布載荷作用在簡(jiǎn)支梁上時(shí)，最大彎矩與跨度的平

25、方成正比， 如能減少梁的跨度，將會(huì)降低梁的最大彎矩。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 七、提高梁的承截能力的措施 2、合理布置載荷 使梁上載荷分散布置，可以降低最大彎矩。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 3、 選擇合理的截面 根據(jù)抗彎截面系數(shù)與截面面積比值 Wz/A選擇截面 七、提高梁的承截能力的措施 抗彎截面系數(shù)越大，梁能承受載荷越大；橫截面積越小，梁使 用的材料越少。同時(shí)考慮梁的安全性與經(jīng)濟(jì)性，可知 Wz/A值越大， 梁截面越合理 。 矩形截面： 圓形截面： 高為 h的工字形 與槽形截面： 三種截面的合理順序是： 1）工字形與槽形截面； 2

26、）矩形截面； 3）圓形截面。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 4. 減小跨度或增加支承 由前面內(nèi)容可知 ， 梁的變形與梁的跨度的高次方成正比 ， 減小跨度 L能夠有效地提高梁的抗彎剛度并減少?gòu)澗兀?增加支 承也可以提高梁的抗彎剛度 。 如車床上車削工件時(shí) ， 由于車刀 尖給工件作用力 ， 不用尾架頂尖時(shí)工件易變形 。 使用頂尖后 ， 變形可以減小 。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 3、 選擇合理的截面 根據(jù)材料的拉壓性能選擇截面 七、提高梁的承截能力的措施 對(duì)于塑性材料 ，其抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度相等，宜采用中性軸為 截面對(duì)稱軸的截面，使最大拉應(yīng)

27、力與最大壓應(yīng)力相等。如矩形、工 字形、圓環(huán)形、圓形等截面形式。 對(duì)于脆性材料 ，其抗壓強(qiáng)度大于抗拉強(qiáng)度，宜采用中性軸不是 對(duì)稱軸的截面，如 T形截面，使中性軸靠近受拉端： 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 思 考 與 練 習(xí) 3.1 具有對(duì)稱截面的直梁發(fā)生平面彎曲的條件是什么 ？ 3.2 如何理解在集中力作用處 ， 剪力圖發(fā)生突變 ? 在集中力 偶作用處 ， 彎矩圖發(fā)生突變 ? 3.3 一矩形截面梁 ， 它的高 、 寬之比 h/b=2, 在相同受力條件 下 ， 截面豎放與平放時(shí) ， 橫截面上的最大正應(yīng)力相差幾倍 ？ 3.4 為什么彎曲與拉伸組合

28、變形時(shí)只需要校核拉應(yīng)力強(qiáng)度條 件 ， 而彎曲與壓縮組合變形時(shí)脆性材料要同時(shí)校核拉應(yīng)力和壓 應(yīng)力強(qiáng)度條件 ？ 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 3.5 同時(shí)承受拉伸 、 扭轉(zhuǎn)和彎曲變形的圓截面桿件 ， 按第三 強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件是否可寫成如下形式 ？ 為什么 ？ 22 z N rs W TM A F 3.6 試列出練習(xí) 3.6圖示的各梁的剪力方程和彎矩方程， 畫 出剪力圖和彎矩圖。 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 練習(xí) 3.6圖 A B C l l ( a ) A l l M B C F F q l A F F B a a ( b ) ( c ) ( d ) 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 3.7 空心管梁受載如練習(xí) 3.7圖所示 ， 已知 =150MPa， 外徑 D=80 mm, 求內(nèi)徑 d的最大值 。 練習(xí) 3.7圖 F 2 0 k N A C B D 2 5 0 1 2 0 1 5 0 M 1 . 5 k N m 3.2.3 心軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 3.8 一矩形截面外伸梁受力如練習(xí) 3.8圖所示 。 已知材料許 用應(yīng)力 =160MPa， 求最大許可載荷 Fmax。 練習(xí) 3.8圖 A B C F 8 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 5 0 0