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1、課程概述 矩陣論 課程是專門為工科研究生開設(shè)的數(shù) 學(xué)課程。 矩陣論 的內(nèi)容是根據(jù)國家教育部課程指導(dǎo) 委員會關(guān)于工科研究生數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本要 求編寫而成。 矩陣論 介紹的理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ) 。 矩陣論 是工科研究生必備的核心基礎(chǔ)知識 ，是工科研究生的必修課。 I. 先修課程 矩陣論 主要以大學(xué) 線性代數(shù) 為先修課 程，可以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的 線性代數(shù) 教材書為參考書。 矩陣論 還以大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 為先修課程 ，可以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的 高等數(shù)學(xué) 教 材書為參考書。 本課程假定讀者已經(jīng)學(xué)習(xí)過上述兩門大學(xué)課程 或已經(jīng)掌握相關(guān)的知識。

2、 II. 主要內(nèi)容 課程主要包括以下六項(xiàng)內(nèi)容： (1) 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形； (2) 線性空間與線性變換； (3) 內(nèi)積空間； (4) 矩陣分析； (5) 矩陣的廣義逆； (6) 特征值的估計(jì)。 第 1章：線性空間與線性變換 內(nèi)容 ： 線性空間的一般概念 重點(diǎn)：空間結(jié)構(gòu)和其中的數(shù)量關(guān)系 線性變換 重點(diǎn)：其中的矩陣處理方法 特點(diǎn) ： 研究代數(shù)結(jié)構(gòu) 具有線性運(yùn)算的集合。 看重的不是研究對象本身，而是對象之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。 研究的關(guān)注點(diǎn)：對象之間數(shù)量關(guān)系的矩陣處理。 學(xué)習(xí)特點(diǎn)：具有抽象性和一般性。 一 . 集合

3、與映射 1.集合 集合 ：作為整體看的一堆東西 . 集合的元素 ：組成集合的事物 . 設(shè) S表示集合， a表示 S的元素，記為 讀為 a屬于 S；用記號 aS 表示 a 不屬于 S. 集合的表示： (1 ) 列舉法 5 1.1 線性空間 (Linear Spaces) 具有的性質(zhì)aaM 例如 空集合 ：不包含任何元素的集合，記為 子集合 ：設(shè) 表示兩個集合，如果集合 都是集合 的元素，即由 ， 那么就稱 的子集合，記為 12),( yxyxP 21 SS

4、與 2S 21 SaSa 21 SS是 212121 SSS且SSS 相等 ：即 1221 SSSS 或 (2) 特征性質(zhì)法 6 集合的交： 集合的并： 集合的和： 例如 2121 SxSxxSS 且 2121 SxSxxSS 或 2121 , SySxyxSS 7,6,5,4,34,3,23,2,1 4,3,2,14,3,23,2,1 2.數(shù)域 數(shù)域 ：是一個含 0和 1,且對加，減，乘，除（ 0 不為除數(shù)）封閉的 數(shù)集 . 7 例如：有理數(shù)域 Q，實(shí)數(shù)域 R，復(fù)數(shù)域 C. 3.映射 映射 ：設(shè) S 與 S 是兩個集合，一個法則

5、（規(guī)則） ，它使 S中的每個元素 a 都有 中一 個確定的元素 a 與之對應(yīng)，記為 稱為集合 S到 S 的 映射 ， a 稱為 a 在映射 下的 象 ，而 a 稱為 a 在映射 下的一個 原象 . : SS aaaa 或)( 8 變換 ： S到 S自身的映射 . 例如： 將方陣映射為數(shù) 將數(shù)映射為矩陣 可看成變換。 其中 相等 ：設(shè)

6、 都是集合 S到 的映射，如 果對于 都有 ，則稱 相等，記為 . .的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合是次數(shù)不超過 nP n 21 與 S Sa )()( 21 aa 21 與 21 n nn Ptftftf KaaIa KAAA )(),())(( ,)( ,d e t)( 3 2 1 9 乘法 ：設(shè) 依次是集合 S到 ， 的 映射，乘積 定義如下 是 S到 的一個映射 . 注 ： ， （ 是 的

7、映射） , 1S 21 SS到 Saaa ) ) ,(()( 2S )()( 32 SS 到 二、線性空間的概念 線性空間 =集合 +兩種運(yùn)算（所成完美集合） Example R 3=x=（ x1， x2， x3） T： xi R =空間中所有向量 定義向量的加法，數(shù)與向量的乘積。 運(yùn)算封閉 八條運(yùn)算律成立 線性空間 =集合 +兩種運(yùn)算（所成完美集合） Definition:(線性空間或向量空間 ) 要點(diǎn)： 集合 V 與數(shù)域 F 向量的加法和數(shù)乘向量運(yùn)算 （ 運(yùn)算之后的結(jié)果跑不出去 ） 八條運(yùn)

8、算律 （ 能夠保證向量的混合運(yùn)算幾乎與數(shù)的運(yùn)算一樣完美 ） 常見的線性空間 Fn=X=（ x1， x2， ， xn） T： x F 運(yùn)算 ：向量加法和數(shù)乘向量 Fmn = A=aijmn： a ijF； 運(yùn)算 ：矩陣的加法和數(shù)乘矩陣 Rmn ； Cmn 。 Ftn =f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ： aiR 運(yùn)算 ：多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘 Ca， b=f（ x）： f（ x）在 a， b上連續(xù) 運(yùn)算 ：函數(shù)的加法和數(shù)乘 Example： V=R+， F=R， a b=ab

9、， a=a F=R或 C 不是線性空間的集合 V=X=（ x1， x2， 1） T： xi R 運(yùn)算 ：向量加法和數(shù)乘向量 要證明一個集合不是線性空間，定義中有很多漏 洞可以攻擊。 線性空間的一般性的觀點(diǎn)： 線性空間的簡單性質(zhì)（共性）： （ 1） V中的零元素是惟一的。 （ 2） V中任何元素的負(fù)元素是惟一的。 （ 3）數(shù)零和零元素的性質(zhì)： 0=0， k0=0， k =0 =0 或 k=0 （ 4） = （ 1） 數(shù) 0 向量 0 三、向量組的探討（ Review) 向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)： 向量 可由 1， 2， ，

10、s線性表示 ;（其工作可由多 人合力完成） 向量組 1， 2， ， s線性無關(guān) 任何一個向量不能由其余向量線性表示 要使 只有系數(shù)都為 0 向量組 1， 2， ， s線性無關(guān) 其中一個向量可以由其余向量線性表示 要使 必須有非零系數(shù) ,0...2211 sskkk ,0...2211 sskkk 三、向量組的探討（ Review) 向量組的極大線性無關(guān)組： 1， 2， ， s為向量組 A的一個部分組

11、 （ 精英組合 ） 滿足 向量組 1， 2， ， s線性無關(guān) （ 彼此工作不可替代 ） 任意 A的向量可以由 1， 2， ， s線性表示 （ 公司的任何人的工作可由精英組合完成 ） 向量組的秩 (rank)：最大無關(guān)組中向量的個數(shù) 四、線性空間的基和維數(shù) 抽象的線性空間的元素稱之為向量 (vector) 所有的線性空間中的向量的線性相關(guān)性定義 和 Rn一樣： 定義形式和向量空間 Rn中的定義一樣。 有關(guān)性質(zhì)與定理和 Rn中的結(jié)果一樣。 因此，要研究線性空間，只需要研究它的最 大線性無

12、關(guān)組 ----即為基 (basis) 四、線性空間的基和維數(shù) 基 (basis)：線性空間的極大無關(guān)組； 維數(shù) (dimension)：基中向量的個數(shù)； 常見線性空間的基與維數(shù)： Fn，自然基 e1， e2， ,e n， dim Fn =n Rmn ，自然基 Eij， dim Rmn =mn。 Ft3 ， 自然基 1， t， t2， dimFt3 =3 Ca， b， 1， x， x2， x3x n-1 Ca,b， dim Ca， b= 約定： 本書主要研究有限維線性空間。 五、坐標(biāo) 坐標(biāo)的來歷： 設(shè) 1， 2， ， n 是空間 V的一 組基， V,

13、可以由基 1， 2， ， n唯一 線性表示 =x11+x22+ +xn n 則 x1 ， x2， ， xn 是 在基 i下的坐標(biāo)。 例 1： 求 R22中向量 在基 Eij 下的坐標(biāo)。 54 13 要點(diǎn)： 坐標(biāo)與基有關(guān) 坐標(biāo)的表達(dá)形式 例 2 設(shè)空間 Fx4的兩組基為： 1， x， x2， x3和 1，（ x - 1） 1，（ x - 1） 2，（ x - 1） 3 求 f（ x） =2+3x+4x2+x 3在這兩組基下的坐標(biāo) 。 歸納： 有了基，就可以將一個抽象的線性空間中的元素和 一個實(shí)

14、際的 元素對應(yīng)起來，從而將抽象具體化 進(jìn)行研究。 nR *例 3 設(shè) R22中向量組 Ai 31 20A 2 21 11A 1 10 13A 3 73 42A 4 1 討論 Ai的線性相關(guān)性 . 2求向量組的秩和極大線性無關(guān)組 . 3把其余的向量表示成極大線性無關(guān)組的 線性組合 . 六、基變換和坐標(biāo)變換 討論： 不同的基之間的關(guān)系 同一個向量在不同基下坐標(biāo)之間的關(guān)系 1 基變換公式 設(shè)空間中有兩組基： , . . . ,, n21 nnnn C ), . . . ,,(), . . . ,,( 2121 過渡矩陣 C的性質(zhì)：

15、 C為可逆矩陣 C的第 i列是 i 在基 i 下的坐標(biāo) 則 過 渡 矩 陣 , . . . ,, 21 n 2 坐標(biāo)變換公式 已知 空間中兩組基： 滿足 : : ; 討論 X和 Y的關(guān)系 , . . . ,, n21 X). . .( n21 Y). . .( n21 X=CY , . . . ,, 21 n nnnn C ), . . . ,,(), . . . ,,( 2121 例 已知空間 R中兩組基 （ I） Eij （ II）； 1.

16、 求從基（ I）到基（ II）的過渡矩陣 C。 2. 求向量 在基（ II）的坐標(biāo) Y。 00 12 01 10 13 00 30 00 21 37 線性空間 V與 Fn的同構(gòu) 坐標(biāo)關(guān)系 V Fn V的 基 1， 2，。。。 n 由此建立一個一一對應(yīng)關(guān)系 V， X Fn， （ ） =X （ 1+2） =（ 1） +（ 2） （ k） =k（ ） 在關(guān)系 下，線性空間 V和 Fn同構(gòu)。 同構(gòu)的性質(zhì) 定理 1.3:V 中向量 1，

17、2， n線性相關(guān) 它們的坐標(biāo) X1 , X2, ,X n在 Fn中線性 相關(guān)。 同構(gòu)保持線性關(guān)系不變。 應(yīng)用 ： 借助于空間 Fn中已經(jīng)有的結(jié)論和方法研 究一般線性空間的線性關(guān)系。 1.2 子空間 概述： 線性空間 V中，向量集合 V可以有集 合的運(yùn)算和關(guān)系： Wi V， W1W2， W1W2， 問題： 這些關(guān)系或運(yùn)算的結(jié)果是否仍然為 線性空間 ？ 1、 子空間的概念 定義： 設(shè)非空集合 WV， W ， 如果 W 中的元素關(guān)于 V中的線性運(yùn)算為線性空間 ， 則稱 W是 V的子空間 。 判別方法： Important Theorem W是子空間

18、 W對 V的線性運(yùn)算封閉 。 子空間本身就是線性空間 。 子空間的判別方法可以作為判別線性空間的方 法 子空間和非子空間的例子： V=x=(x1， x2， 0 R 3， V=x=(x1， x2， 1 R 3， 矩陣 AR m n， 齊次線性方程組 AX=0的解集合： S= X ： AX=0 Rn， 非齊次線性方程的解集合： M= X ： AX=b Rn， 重要的子空間： 生成子空間 設(shè)向量組 1， 2， ， m V， 由它們的一 切線性組合生成的子空間： Span1， 2， ， m =L(1， 2， ， m)

19、 = k11+k22++kmm| ki 生成子空間的重要的性質(zhì)： 1） 如果 1， 2， ， m線性無關(guān) ， 則其為生成子空 間 Span1， 2， ， m 的一組基； 2） 如果 1， 2， ， r是向量組 1， 2， ， m的 最大線性無關(guān)組 ， 則 Span1， 2， ， m 1， 2， ， r是 Span1， 2， ， m 的一 組基 2、 子空間的“交空間”與“和空間” 討論： 設(shè) W 1 V， W2 V， 且都是子空間 ， 則 W1W2和 W1W2是否仍然是子空間 ？ 1. （ 1） 交空間 交集： W1W2=

20、 W1 而且 W 2 Vn（ F） W1W2是子空間 ， 被稱為 “ 交空間 ” （ 2） 和空間 和的集合： W1 W2= =X1 X2X1W1， X2W2 ， W1W2 W1 W2 W1 W2是子空間 ， 被稱為 “ 和空間 ” ， W 1W2不一定是子空間， W1W2 W1 W2 例 設(shè) R3中的子空間 W1=Le1， W2=Le2 求和空間 W1 W2。 比較：集合 W1W2和集合 W1 W2。 如果 W1=Span1， 2， ， m ， W2=Span1， 2， ， k， 則 W1 W2=Span1

21、， 2， ， m， 1， 2， ， k 3 、維數(shù)公式 子空間的包含關(guān)系 ： )F(VWW W W WW n 21 2 1 21 dimW1W2 dim Wi dimW1 W2 dimVn（ F）。 維數(shù)定理 ： dimW1 dimW2=dim（ W1 W2） dim（ W1W2） 證明： 4 、子空間的直和 分析 ： 如果 dim（ W1W2） 0， 則 dim（ W1 W2） dimW1 dimW2 所以： dim（ W1 W2） =dimW1 dimW2 dim（ W1W2） =0

22、 W1W2=0 直和的定義 ： 若 dim（ W1W2） =0 ， 則和為直和 W=W 1 W2=W1W2， 子空間的“和”為“直和”的充要 條件 ： Theorem 設(shè) W=W1 W2， 則下列各條等價： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W， X=X 1 X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1 dimW2 例 設(shè)在 Rn n中 ， 子空間 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ，

23、 證明 Rn n=W1W2。 13 線性變換 (Linear Transformations) 一 、 線性變換的概念 線性變換的來歷； Definition： （ i） T是 V上的映射： T： VV。 (ii) T具有線性性： T（ ） =T（ ） T（ ） (保持加法的三角形法則 ) T（ k） =kT（ ） (保持比例關(guān)系 ) 2 線性變換的性質(zhì)： （ i） T(0)=0 （ ii） T( )= T(

24、) （ iii） m 1i m 1i iiii )(TkkT 3 線性變換的象空間和零空間 設(shè)線性變換 T： VV， 象空間 Im(T)= ： V， =T() 零空間 Ker(T)= ： V， T ( ) =0 定義： T 的秩 =dim R（ T）； T 的零度 =dim N（ T） 線性變換保持線 性相關(guān)性不變！ 例 (P018) Rn中的變換 T：設(shè) A Rn n是一個 給定的 矩陣， XRn， T(X)=AX。 (1)T是線性變換； (2)Ker(T)是 AX=0的解空間； (3)Im(T)=Spana1,a2,...,an, 其中

25、 a1是矩陣 A 的列向量； (4)dimKer(T)+dimIm(T)=n 4 線性變換的運(yùn)算 設(shè) T1， T2都是空間 V中的線性變換 ， 常見的用它們 構(gòu)成的新的變換： （ i） T1 T2 V， （ T1 T2） （ ） =T1（ ） T2（ ） （ ii） T1T2 V， (T1T2)（ ） =T1（ T2（ ）） （ iii） kT V， （ kT） （ ） =k（ T（ ）） （ iv） 若 T 1是可逆變換 ， T 1 T

26、1( )= 當(dāng)且僅當(dāng) T()=。 定義 二、 線性變換的矩陣 1 線性變換的矩陣與變換的坐標(biāo)式 Purpose:將抽象的線性變換與矩陣對應(yīng)起來 AT aaaT aaaT aaaT VVT nn nnnnnn nn nn n ), . . . ,,(), . . . ,,( ... ... ... ... , . . . ,, 2121 2211 22221122 12211111 21 記為 的一組基。是上的線性變換，是線性空間設(shè) T的矩陣 二、 線性變換的矩陣 1 線性變換的矩陣與變換的坐標(biāo)式 V上線性變換的特點(diǎn)分析： 定義變換 T 確定基中向量的象

27、 T（ i） 。 定義 T（ i） 確定它在基下 i的坐標(biāo) A i 。 定義變換 T 確定矩陣 A=A1， A2， ， An 例 已知 定義映射 T： (1)證明 T是 V上的線性變換； (2)求 V的一組基，并求 T在這組基下的矩陣。 ,0| , 10 11 2211 2221 1211 Rxxx xx xx XV B ij 線性空間 VXBXXBXT TT ,)( 2 線性變換運(yùn)算的矩陣對應(yīng)： 設(shè) V上的線性變換 T 1， T2， 它們在同一組 基下的矩陣： T

28、1A1； T2A2 （ i） （ T1 T2） （ A1 A2） （ ii） （ T1T2） A1A2 （ iii） （ kT） kA （ iv） T 1 A 1 3 不同基下的變換矩陣 兩組基 1， 2， , n ， 1， 2， , n ， （ 12 n） =（ 12 n ） C T（ 1 2 n ） =（ 1 2 n） A T（ 1 2 n） =（ 1 2 n） B 同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的 B=C 1AC 1 2 3 *例 （ P025， 例 1.4.6） *例 設(shè)單位向量 u=（ 2/3， -2/3， -1/3） ，定 R3上的線性變換 P（ x） = x - （ x， u） u， 1. 求 P在自然基 e1， e2， e3下的變換矩陣。 2. 求 P在標(biāo)準(zhǔn)正交基 u， u2， u3下的變換矩 陣。 2.1 內(nèi)積與歐氏空間 Inner Product 5 Hermite矩陣的性質(zhì)； 6 矩陣的奇異值。 推薦練習(xí)題：第一、二章 P026： 4； 5； 6； 10； 11； 13； 14 P053： 2； 5； 10