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1、返回 后頁 前頁 教學(xué)目標(biāo)： 理解線性變換的概念，掌 握線性變換的基本性質(zhì) 6.1 線性變換的定義 教學(xué)難點(diǎn)： 線性變換的象與核的求法 授課題目： 6.1 線性變換的定義 授課時(shí)數(shù)： 4學(xué)時(shí) 教學(xué)重點(diǎn)： 線性變換的基本性質(zhì) 第六章 線性變換 返回 后頁 前頁 圖 6.1 例 1 在二維幾何空 間 中，令 是將 每個(gè)向量旋轉(zhuǎn)角 的一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換 （見圖 6.1） 2V 一 . 定義及例子 容易看出：對(duì)任意向量 ,及實(shí)數(shù) k 均有 (+) ()+() (k) k() 1.兩個(gè)實(shí)例 返回 后頁 前頁 容易看出：對(duì)任意向量 ,及實(shí)數(shù) k 均有 (+) ()+()

2、 (k) k() 例 2 在 中， H是過原 點(diǎn)的一個(gè)平面 . 令 是對(duì)平面 H 的正投影變換 （圖 6.2） 3V 圖 6.2 返回 后頁 前頁 定義 1 設(shè) V是數(shù)域 F上的一個(gè)線性空間， 是 V的一個(gè)變換，如果它滿足以下兩個(gè)條件： （ 1）對(duì)任意的 , V，有 (+) ()+ ()； （ 2）對(duì)任意的 k F，有 (k)=k(). 則稱 是向量空間 V的一個(gè)線性變換 2.定義 返回 后頁 前頁 例 3 對(duì) 的每個(gè)向量 ，規(guī)定 是 的一個(gè)變換，我們證明它是一個(gè)線性變換 1 2 3( , , )x x x = 1 1 2 2 3(

3、 ) ( , 3 , )x x x x x = - + 3F 3F 1）對(duì)于 的任意兩個(gè)向量 ， 與 ，有 (+) = (x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3) 1 2 3( , , )x x x = 1 2 3( , , )y y y = 3F 3.一些例子 =( x1+ y1, 3(x1+ y1)-( x2+ y2), ( x2+ y2)+( x3+ y3)) 返回 后頁 前頁 2)對(duì)任意數(shù) k F，則有 (k)=(kx1, kx2, kx3） =( kx1, 3kx1- kx2, kx2+ kx3) = k(x1, 3x1-x2, x2+x3) =

4、k() 因此， 是 F3的一個(gè)線性變換 =( x1, 3 x1- x2, x2+ x3)+( y1, 3 y1- y2, y2+ y3) = ()+ () 返回 后頁 前頁 =(1,0,0), =(2,0,0), += ， ()= , ()= , ()+()= ,而 (+)= , (+) ____ ()+(). 如果在 F3中規(guī)定 () (x12, 3 x1- x2， x2+ x3） 那么 就不是 F3的線性變換 . (3,0,0) (1,3,0) (4,6,0) (5,10,0) (9,9,0) 返回 后頁 前頁

5、 例 4 在 Mn(F)中 , 對(duì)任意的 n階方陣 X, 規(guī)定 (X)=AXB，其中 A和 B為 F上兩個(gè)固定的 方陣 . 由于： 1）對(duì)任意的 X、 Y Mn(F)，則有 (X+Y) = = = ; A(X+Y)B AXB+AYB (X)+ (Y) 2)對(duì)任意的 k F，有 (kX)= = = A(kX)B k(AXB) k(X) 所以 ,是 Mn(F )的一個(gè)線性變換 . 返回 后頁 前頁 特別地， 若 A=B, 則 (X)=BXB, 是 Mn(F)的一個(gè)線性變換；

6、若 B可逆，且 A=B-1, 則 (X)=B-1XB, 也是 Mn(F)的一個(gè)線性變換 . 返回 后頁 前頁 例 5 設(shè) V是數(shù)域 F上的一個(gè)線性空間，取定 F中的 一個(gè)數(shù) k，對(duì)任意的 V，規(guī)定 () k. 當(dāng) k 1時(shí)， 是 V的恒等變換 ； 是 V的一個(gè)線性變換，叫做 V的一個(gè)數(shù)乘（或 位似）變換 . 因此，恒等變換及零變換都是線性變換 . 當(dāng) k 0時(shí)， 是 V的零變換 . 返回 后頁 前頁 例 7 設(shè) Ca, b是定義在 a, b上的一切連續(xù) 函數(shù)作成的 R上的線性空間 . 對(duì)任意的 f(x) Ca, b, 規(guī)定 J(f(x)) . 例 6 在 Fx中，令 D

7、(f(x))=f (x) 容易驗(yàn)證， D是 Fx的一個(gè)線性變換，稱為 F x的微商變換（或微分變換） . J(f(x))仍是 a, b上的連續(xù)函數(shù) 線性變換，叫做 Ca, b的積分變換 . J是 Ca, b的一個(gè) ()xa f t dt 返回 后頁 前頁 二 . 線性變換的基本性質(zhì) 1) 線性變換 把零向量變成零向量； 把任一向量 的負(fù)向量 -變成 的象 ()的負(fù)向量 -(). 證 任取一向量 ，有 (0) (0) 0() 0 所以 (-) -() ()+(-) (-) (0) 0， 返回 后頁 前頁 2) 定義 1中的條件 (1), (2)與以下條件等價(jià)：

8、(3) 對(duì)任意的 a, b F, , V，有 (a+b) a()+b(). 3）線性變換 保持線性關(guān)系式，即對(duì)于 V， 若有 k1, k2,, kn F,及 1,2,, n V使得 k11+ k22++ knn 則 () k1(1)+ k2(2)++ kn(n), 返回 后頁 前頁 特別地，當(dāng) 0時(shí)，有 K1(1)+ k2(2)++ kn(n) 0. 若 k1 ， k2， ， kn 不全為 0，則得性質(zhì)： 4) 線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān) 的向量組 . 5) 設(shè) 是 V的一個(gè)線性變換 , V 是 V的子空間 . V

9、在 下的象集合 ,記作 (V ), 即 (V ) = () V . 則 (V )是 V的一個(gè)子空間 . 返回 后頁 前頁 證 對(duì)任意的 ， (V) 總有 , V使 () ,() . 由于 是線性變換，所以，對(duì)任意的 a, b F, 有 a +b a()+ b( ) (a+b). 但 V 是 V 的子空間， a+ b V, 因而 a +b (V), 故 (V)是 V 的一個(gè)子空間 . 特別地， (V)是 V的子空間，稱為 的象，可用 Im()表示 . 返回 后頁 前頁 6）設(shè) 是 V的一個(gè)線性變換， W是 V的一個(gè) 子空間，則 W在 之下的

10、原象集合 V （ ） W 是 V的一個(gè)子空間 特別地，零子空間 0在 之下的原象集是 V的一個(gè)子空間，稱為 的核，用 ker() 表示 .即 ker() V () 0 返回 后頁 前頁 V V ker( ) O 圖 6.4 我們用 圖 6.3和 圖 6.4分 別表示 子空間 Im()和 ker(). V V Im( ) 圖 6.3 O 返回 后頁 前頁 性質(zhì) 5）和性質(zhì) 6）可總括為： 在線性變換 之下，向量空間 V的 子空間的象集和原象集都是 V的子 子空間 . 返回 后頁 前頁 的求解問題，用線性變換的話來說

11、，就是 求向量 的原象的問題 . 12( , , , )nb b b 線性方程組 例 8 在 中，令 () A,是 中任意的 向量， A是確定的 F上的 n階方陣 . 則 是 的 一個(gè)線性變換 . nF nF nF 11 22 nn xb xb A xb 而解齊次線性方程組就相當(dāng)于求線性變換 的核 . 返回 后頁 前頁 容易看出 Im()=L(A1, A2, , An) =L(1, 2, , n) 其中 1 ( 1 , 0, ... , 0 ) , = 2

12、( 0, 1 , ... , 0 ) , ... , = ( 0, 0, ... , 1 ) .n = 而 1, 2, , n是 A的列向量 . 返回 后頁 前頁 習(xí)題 6.1 1. 判斷以下的變換是否是線性變換，說出理由 1) 在 R3中 ,(x1, x2, x3)=(0,x1+ x2-3 x3,2x1-x2-2x3); 2)在 Q3中 ,(x1, x2, x3)= ( , x2- x3, 21x 23);x 3) 在線性空間 V中， () ,是 V中固定 的一個(gè)向量； 4) 在線性空間 V中 ,() +,是 V中 固定的一個(gè)向量； 返回 后頁

13、前頁 5）在 Mn(F)中， (X) XA+AX,其中 A是 Mn(F) 中固定的一個(gè)方陣； 6）在 Fx, (f (x))=f(x+1)-f(x); 7) 在由實(shí)數(shù)域 R上的所有次數(shù)不超過 n的多項(xiàng)式及 零多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間 Rnx中， (f(x))=xf(x)； 8）把復(fù)數(shù)域 C看成它自己的線性空間 ,令 ()= , , C, 是 的共軛復(fù)數(shù) 返回 后頁 前頁 2. 設(shè) 是數(shù)域 F上的線性空間 V的一個(gè)變換， 證明： 是線性變換的充要條件是，對(duì)任意 的 a、 b F 和任意 , V都有 (a+b)=a()+b(). 3. 證明：線性空間 V的子空間 W在 V的線性變 換 下 的原象仍是 V的子空間 .