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通過優(yōu)化柔性橢球體對欠驅(qū)動冗余度機械臂的自重構(gòu)
何廣平 北方工業(yè)大學機電工程學院 北京 100041
陸震 北京航空航天大學自動化學院 北京 100083
摘要：根據(jù)優(yōu)化技術(shù)，欠驅(qū)動冗余度機械臂的多模型特征、柔性操作的測量、自重構(gòu)的控制方法已被調(diào)查研究。分析了空間關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)變形和欠驅(qū)動冗余度機械臂柔性操作之間的關(guān)系，處于鎖定模式下欠驅(qū)動冗余度機械臂的一種新型柔性橢球體操作的測量被提出，能應(yīng)用于獲得自重構(gòu)控制的最理想結(jié)構(gòu)。因此，基于簡諧振動隨時間變化非線性控制方法認為能完成其自重構(gòu)。被動關(guān)節(jié)三連桿欠驅(qū)動機械臂等仿真例子在一些調(diào)查方面起重要作用。
關(guān)鍵詞：欠驅(qū)動機械臂 自重構(gòu) 優(yōu)化 非線性控制
0 前言
欠驅(qū)動裝置和機械臂能應(yīng)用于許多領(lǐng)域，例如太空技術(shù)、合作機械人、變形裝置。在太空領(lǐng)域里，由于沒有失去有用功能或了解系統(tǒng)的自重構(gòu)。當驅(qū)動構(gòu)件出現(xiàn)一些問題時，基于欠驅(qū)動技術(shù)的誤差出現(xiàn)是不可避免的。欠驅(qū)動機械臂也能被設(shè)計為合作機器人，也就是說COBOT。COBOT 的驅(qū)動不是作驅(qū)動裝置而是提供動力學非函數(shù)約束。COBOT 需要操作人員提供外力才能完成準確的應(yīng)用，例如在生物工程學上外科手術(shù)和半導體制造等等。在機械領(lǐng)域機械變形有多種模態(tài)，并能從一種模態(tài)向另一種模態(tài)轉(zhuǎn)變。引用不同模態(tài)之間的改變可能導致連桿數(shù)目的變化或機械變形的約束限制。很顯然，欠驅(qū)動控制、冗余度驅(qū)動和柔性裝置是不可避免的。因此，欠驅(qū)動系統(tǒng)逐漸的成為研究領(lǐng)域一個具有吸引力的話題。
從力學角度看，研究欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)是不可能控制的。被動關(guān)節(jié)的運動是必須靠與動力裝置連接。Jain等表明動力裝置是欠驅(qū)動機械臂的非完整性約束是二階的。在機械實際上，與非完整性約束廣泛被研究比較也有100多年歷史，然而，關(guān)于這種系統(tǒng)的運動規(guī)劃和控制技術(shù)的研究只是近10的事情，研究多針對輪式移動機器人、跳躍機器人、航空航天機器人等一階非完整性約束系統(tǒng)。關(guān)于欠驅(qū)動機械臂的研究觀點，Anthoney等研究運動的穩(wěn)定性，Arai 等提出隨時間變化方法完成系統(tǒng)的位置控制。Lee 等為欠驅(qū)動機器人提供了多種非線性控制方法。欠驅(qū)動研究的這些方法已從本質(zhì)上揭示了它是非線性的，并且是隨時間變化的、抽象的。事實上，Brockett 已證實這并沒有消除阻礙和穩(wěn)定給定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜電狀況反饋。很顯然，非線性系統(tǒng)的特征在組合空間多自由度是可以控制的。所以，非線性系統(tǒng)的控制研究受到更多的關(guān)注。
欠驅(qū)動機構(gòu)和機械臂是對傳統(tǒng)機械設(shè)計基本原理相違背的，傳動機械設(shè)計基本原理認為，原動件的數(shù)目要與自由度的數(shù)目相等時，機構(gòu)才具有確定的運動。欠驅(qū)動機械臂首先被提出并不是由于它的價值優(yōu)點，但一些研究表明，欠驅(qū)動機構(gòu)的故意設(shè)計也是很有價值的。例如，Rivhter 等獲得由柔性欠驅(qū)動機械臂多維受力的測量。Nakamura 等設(shè)計出了輪式滾動接觸的非完整機器人和平面四連桿二驅(qū)動機械臂的控制。He 等針對欠驅(qū)動冗余度機械臂提出一種自由碰撞運動規(guī)劃演算法。從以上討論的結(jié)果來看，我們可推斷出在研究欠驅(qū)動時，可能遇到一些未被發(fā)現(xiàn)的新問題，如所提到的技術(shù)和理論的形成。因此，我們改善這裝置具有很大的潛能性。
這篇論文中，我們對欠驅(qū)動機械臂的靜態(tài)特征和自重構(gòu)控制方法進行探索與研究。
1 柔性橢球體模型
機械硬度是機械臂的一個重要要素，它是用來抵抗受力和阻礙力的能力。對于開式鏈接機械臂而言，鏈接部分是非常重要的部分。所以末端位姿的變形將會對連桿帶來不良影響。轉(zhuǎn)矩可以近似滿足如下方程：
i=1，2，…，n （1）
式中 ——關(guān)節(jié) i 的轉(zhuǎn)矩
——關(guān)節(jié) i 的變形量
——關(guān)節(jié) i 的硬度系數(shù)
如果忽略關(guān)節(jié) i 的重力和摩擦力不計，假設(shè)機械臂末端位姿力矢，則轉(zhuǎn)矩方程又可以寫成：
（2）
式中
——關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)矩
——雅可比矩陣
眾所周知，關(guān)節(jié)有會有變形，機械臂末端位姿有如下關(guān)系式：
（3）
式中 ——機械臂末端位姿矢量
——關(guān)節(jié)的位姿矢量
將（1）式寫成矩陣的形式，結(jié)合（2）、（3）式，經(jīng)簡單的計算，和F之間的關(guān)系如下：
（4）
式中
如果定義
（6）
（6）式是末端位姿的柔性矩陣。然而，在太空工作強度矩陣一致。柔性矩陣C可以用來測量機械臂的靜態(tài)特征。矩陣C也有雅可比函數(shù)功能。因此，它在組合和構(gòu)造要素較大范圍內(nèi)是可改變的，在穩(wěn)定條件下機械臂的可變特征能用于完成一些應(yīng)該的復雜的操作。如裝配、拋光、維修等等。由（5）、（6）式可知矩陣C是對稱性矩陣。
如果定義
（7）
對矩陣C進行微分，方程式（7）我們又可以得到
（8）
式中，i=1,2,3,···，m應(yīng)用了矩陣C的單一性。因此，是其對稱矩陣，有如下關(guān)系：
（9）
式（9）被描述為橢球體曲線方程，當橢球體的主要曲線與矩陣C的單一值相等時，這橢球體也被認為是一般柔性橢球體GFE。由于直觀原因，圖一中平面2連桿機械臂的的連桿長，GFE如圖（2）和（3）所示。
圖一 平面2R桿機械臂
圖2 平面2R桿全驅(qū)動機械臂的GFE模型
圖3 平面2R桿全驅(qū)動機械臂的GFE模型
這些圖示表明測量是需要依賴組合和機構(gòu)要素。然而全驅(qū)動機械臂并不能改變其機構(gòu)要素。因此，由于不同的構(gòu)件（圖2），而不是結(jié)構(gòu)要素（從圖2改變到圖3），GFE模型是可以改變的。當被動關(guān)節(jié)被引進作為全驅(qū)動機械臂時，為了方便使用，假設(shè)這些被動關(guān)節(jié)具有制動裝置和位置控制，以便被動關(guān)節(jié)能在自由模式和鎖定模式下進行制動。然而在運動學上，欠驅(qū)動機械臂揭示了一些冗余度連桿問題，并沒有表明在輸入方式下的自運動不如工作狀態(tài)下的自運動。另一方面，被動關(guān)節(jié)的制動模式能使欠驅(qū)動機械臂具有重構(gòu)能力,系統(tǒng)具有敏捷性而使其能適合不同的工作。
2. 柔性矩陣
假設(shè)在欠驅(qū)動冗余度機械臂中s連桿為被動關(guān)節(jié) ，被動關(guān)節(jié)裝有制動裝置，當被動關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時，其速度運動方程可以寫成為：
（10）
式中 ——機械臂末端位姿矢量
——驅(qū)動機械臂的雅可比矩陣
——分別為驅(qū)動和被動機械臂的廣義坐標矢量
當機械臂中被動關(guān)節(jié)處于鎖定狀態(tài)時，系統(tǒng)運動方程可變?yōu)?
（11）
式中 ——機械臂末端位姿矢量
——鎖定狀態(tài)下被動關(guān)節(jié)機械臂的雅可比矩陣
——驅(qū)動關(guān)節(jié)的機械臂廣義坐標
很顯然，方程（11）和（3）是同一形式，方程（10）和（11）表明欠驅(qū)動機械臂在運動學上具有不同的模式。換句話說，在運動學上系統(tǒng)具有多中模式特征。圖（4）平面3R連桿機械臂就是很好的例子。機械臂的第二關(guān)節(jié)是被動關(guān)節(jié)，其他的都是驅(qū)動關(guān)節(jié)。當被動關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時，被選做為廣義坐標變量。如果被動關(guān)節(jié)處于自鎖狀態(tài)，機械臂的維數(shù)將變?yōu)?維，這廣義坐標變量為，顯然由于，但雅可比矩陣有如下關(guān)系：
圖4 平面3R桿機械臂
由于欠驅(qū)動機械臂存在不同的運動模式，一種可以用來優(yōu)化和機械臂的機構(gòu)組合及自重構(gòu)以使用不同的工作。預測如何完成基于欠驅(qū)動下的全驅(qū)動機械臂操作是不可避免的問題。不象全驅(qū)動冗余度機械臂那樣，欠驅(qū)動冗余度機械臂并不能改善其操作工作，執(zhí)行機械臂任務(wù)類似于輸入空間的體積比工作空間少的緣故。有一條可行的途徑就是在不同的時間分解機構(gòu)的工作。例如，當機械臂工作處于驅(qū)動模式下，機構(gòu)組合能進行機構(gòu)自重構(gòu)。然而當機械臂工作在全驅(qū)動模式下，其功能之一就是能控制機構(gòu)的運動。事實上，處于欠驅(qū)動工作模式下的機械臂能辯別機構(gòu)的運動，如位置控制或間斷點對應(yīng)點運動。但是這并不是此論文所討論的重點。我們應(yīng)關(guān)注的是欠驅(qū)動冗余度機械臂的靜態(tài)特征和機構(gòu)自重構(gòu)控制方法。
欠驅(qū)動機械臂兩中模式的運動方程可以被多種方法描述。但是在復雜的機械裝置中多連桿機械臂的機構(gòu)要素定義還存在一定的困難。為了解決這些問題，我們將進行分析欠驅(qū)動冗余度機械臂的兩種模式間的關(guān)系。
假定一種特殊的機械臂組合機構(gòu)，假設(shè)有，處于裝置的兩種模式下的末端位姿表達式是一致的，可以表示為
（12）
假設(shè) （13）
（13）式表示微運動發(fā)生在關(guān)節(jié)部分而不是發(fā)生在末端位姿處，根據(jù)（13）式，方程式又可以寫成
（14）
把（14）代入（12）式中，我們可以得到
（15）
（15）式描述欠驅(qū)動機械臂兩種模式下的不同一機構(gòu)。因此，兩種廣義坐標也是相等的。設(shè)，又可以得到
（16）
（16）式表示兩種模式下的雅可比矩陣間的關(guān)系。此式能預測出全驅(qū)動模式的運動。把（16）式代入方程式（5），可以得到全驅(qū)動模式下的欠驅(qū)動矩陣方程
（17）
根據(jù)方程（7），GFE欠驅(qū)動機械臂也能定義，方程（17）表示在機械裝置改裝后的系統(tǒng)靜態(tài)特征。其一，我們以通過3R桿機械臂模擬（圖4）。作為非冗余度機械臂而言，如果我們假定處于工作狀態(tài)下的一點，它不僅與柔性橢球體模型有關(guān)。相反有許多與處于冗余度機械臂工作狀態(tài)下的這一點相關(guān)。假設(shè)3R桿平面機械臂三桿長分別為，機構(gòu)的起始角度為，GFE其他末端位姿起始位置如圖5所示。
顯然，根據(jù)處于工作狀態(tài)下的這種狀況，可知存在許多這樣的關(guān)節(jié)組合。這些機構(gòu)都是與GFE相關(guān)的。但是一欠驅(qū)動冗余度機械臂存在機構(gòu)自重構(gòu)的能力。一般而言，我們期望的GFE在不同的基本組合中有類似的運動。換句話說，橢球體模型類似于一個球。如圖5所示，在3桿中第一桿運動狀態(tài)表現(xiàn)最佳。
3 非線性控制
我們通過分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，為了尋求一種能有效地控制欠驅(qū)動機械臂運動。欠驅(qū)動機械臂動態(tài)方程可以寫成
（18）
（19）
式中為質(zhì)量慣性矩，為中心吸引力和摩擦轉(zhuǎn)矩矢量。M是驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩矢量。是驅(qū)動關(guān)節(jié)廣義坐標矢量。是被動關(guān)節(jié)廣義坐標矢量。Jain等證實方程（19）是二階非線性約束方程。通過自重構(gòu)，在工作狀態(tài)下給定位置，欠驅(qū)動機械臂具有改善裝置運動的能力。由于系統(tǒng)輸入空間維數(shù)少于空間關(guān)節(jié)的維數(shù)，被動關(guān)節(jié)的位置控制只能通過動態(tài)藕合來實現(xiàn)?；贐rockett理論，給定機構(gòu)的系統(tǒng)并不是光滑的，穩(wěn)定性完全符合靜平衡反饋定律。因此，非線性控制的結(jié)果表明系統(tǒng)是非線性的、隨時間變化的、離散的。非線性控制方法還有一種就是在Ref（17）中所提到的全驅(qū)動關(guān)節(jié)的簡諧振動。這種方法的本質(zhì)就是當驅(qū)動關(guān)節(jié)運動到一個周期時被動關(guān)節(jié)將偏離平衡位置（圖6）。
驅(qū)動關(guān)節(jié)的簡諧振動方程有
（20）
（21）
（22）
式中 A—簡諧振動的振幅
W—簡諧振動的角頻率
如果我們將式中（22）變換一下，代入（19）式得到
（23）
通常，角頻率是一個較大的數(shù)，因此，簡諧振動周期T=是一個非常小的數(shù)。被作為一個周期的約束，（23）式有可以寫成
（24）
（24）式表示一個周期后有一點發(fā)生偏離。顯然，構(gòu)成整體的價值在于簡諧振動的振幅和角頻率，者就是簡諧振動中的驅(qū)動關(guān)節(jié)能控制被動關(guān)節(jié)的原因之一。
4 自重構(gòu)控制律
自重構(gòu)需要穩(wěn)定的控制技術(shù)。間諧振動非線性控制方法在第3部分已經(jīng)簡單地介紹了。下面我們將設(shè)計一個新的控制方法來執(zhí)行機構(gòu)的自重構(gòu)運動。這種方法將用于優(yōu)化在工作狀態(tài)下給定位置時的廣義柔性橢球體模型。
假設(shè)引用于一個期望的組合，此組合源于一些優(yōu)化方法，是驅(qū)動機械臂的驅(qū)動位置角。
設(shè)
（25）
式中 e——關(guān)節(jié)位置矢量誤差
對方程（24）進行微分有：
（26）
取滑動模態(tài)為 （27）
集中律為 （28）
式中 ，且sgn（）作為符號函數(shù)，有如下式子：
如果矢量有，可以得到下面式子：
（27）式表示驅(qū)動關(guān)節(jié)的運動滿足萊布羅定律。假設(shè)驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入與（20）、（21）有關(guān)，當時，又可以得到如下關(guān)系式
將（26）式中2桿的2倍偏離量代入（30）式，可以得到
設(shè)驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入為
將（32）和（31）式代入（19）式，有如下關(guān)系
振動振幅為
雖被動關(guān)節(jié)并沒有達到期望的位置，驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入控制可用（32）式來描述，另一方面，被動關(guān)節(jié)處于期望的位置，輸入控制方式有以下方程。從（27）式中可知偏離時間為
結(jié)合（28）和（35）式，控制律為
顯然，這種控制方法是非線性的、隨時間變化的、且遵循Brockett理論。有以上關(guān)系重新整理振幅，控制律為
當ep=0時滿足
當ep≠0時滿足
5 仿真研究
在這部分中，選平面3R桿機械臂作為仿真模型，如圖4所示。設(shè)第二桿為機械臂的被動關(guān)節(jié)，其他兩桿為驅(qū)動關(guān)節(jié)。如果初始位置為，為了改善執(zhí)行廣義的柔性橢球體模型，更好的位置為，這在第三部分已給出。我們認為后面一種情況是我們期望的結(jié)果。根據(jù)第四部分所提供的控制方法，模擬仿真結(jié)果如圖7所示。
圖7 3R桿欠驅(qū)動機械臂的自重構(gòu)運動
1.連桿1 2.連桿2 3.連桿3
圖7（a）表示隨時間變化的關(guān)節(jié)位置誤差；圖7（b）表示與時間有關(guān)的關(guān)節(jié)運動軌道軌跡；圖7（c）表示在自重構(gòu)控制中機械臂機構(gòu)位置的改變；圖7（d）表示關(guān)節(jié)速度與位置間關(guān)系圖。顯然，機械臂已滿足期望的機構(gòu)完成自重構(gòu)控制。
6 結(jié)束語
欠驅(qū)動技術(shù)是一個非常關(guān)鍵性的問題，它不僅能夠產(chǎn)生空間機器人系統(tǒng)的線性誤差，而且能操控合作機器人和機器裝置。欠驅(qū)動機械臂有實現(xiàn)機械自重構(gòu)的能力。新的關(guān)儀廣義柔性橢球體欠驅(qū)動冗余度制動式機械臂的測量被提出。這測量由于優(yōu)化系統(tǒng)的穩(wěn)定性。簡諧振動的非線性控制方法能執(zhí)行自重構(gòu)運動。有3連桿欠驅(qū)動機械臂的仿真結(jié)果證明測量和振幅的控制是有效的。
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