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基于立方三角插值樣條的數(shù)控機床運動路徑的描述和平滑處理 陶建明，宋愛平，易旦萍 (揚州大學機械工程學院，江蘇揚州225127) 關鍵字：樣條曲線，插值，可調節(jié)形狀，軌道描述，平滑路徑 摘要：為了更好地描述數(shù)控加工的復雜的運動路徑,實現(xiàn)路徑片段之間的平穩(wěn)過渡，一種基于一組特殊的基函數(shù)的立方三角插值樣條曲線被提出。有可調形狀的樣條曲線滿足C 1連續(xù)性并且它可以準確地描述一些常見工程曲線比如直線，圓弧和自由曲線。根據(jù)給定的控制點信息，不同形狀的插值樣條曲線可以通過改變調整系數(shù)獲得認可。通過選擇合適的控制點和形狀調整系數(shù)附近的拐角，插入樣條曲線可以在相鄰的拐角處實現(xiàn)平穩(wěn)過渡段數(shù)控運動路徑，這樣可以確保穩(wěn)定的運動路徑和進給速度的連續(xù)，與此同時，它還可以減少數(shù)控機床的影響。 引言：高速數(shù)控加工是提高零件加工效率和質量的重要方法。機床在高速運行過程中,需要確保機床運動的穩(wěn)定性,避免產(chǎn)生更大的將影響零件的加工質量的影響,同時保護機床進給系統(tǒng)。在實際加工過程中，數(shù)控運動路徑通常由許多直線和圓弧組成。目前，為了處理在相鄰數(shù)控機床路徑段落的拐角的速度，主要方法是在當前加工階段的結尾減緩速度為零，然后在下個處理段的起始位置加快命令速度。使用這種方式以零速度來度過每一個拐角可以避免對數(shù)控機床更大的影響。然而,這種方式將導致在加工過程中頻繁啟動和停止速度,它會嚴重影響零件加工效率的提高。因此,需要研究新的在拐角處的運動控制方法,從而使傳輸速度不降至零,并達到目的的實現(xiàn)兩個相鄰路徑之間的高速平穩(wěn)過渡段。從而提高加工效率和限制載荷的影響。 處理在拐角處的相鄰加工路徑段的速度時，文獻提出了在拐角處添加圓弧或二次曲線過渡,來使速度不降至零。在某種程度上,這種方法提高了加工效率,降低了機床的影響。但它缺乏加速控制并且錯誤控制不嚴格，當拐角很大時，傳輸速度的提高將是有限的，所以這個方法不滿足高速加工的需要。文獻提出了在拐角處速度與預見性控制方法，該方法有限速度矢量的變化形成的影響，通過在拐角處的有限的速度下降追求最大的加工效率。但它需要大量的預計算，它需要更高的數(shù)控控制系統(tǒng)。文獻提出了一種向量法來實現(xiàn)兩個路徑之間的平穩(wěn)過渡。通過預期的運動參數(shù)的分析，該方法可以在拐角更大時提高傳輸速度，但當拐角較小時，傳輸速度仍不夠光滑。 在立方埃米爾函數(shù)功能基礎上，這篇論文提出了一種可調形立方三角多項式插值樣條曲線，它可以用來描述數(shù)控加工路徑，如直線、圓弧和自由曲線段，并且它有簡單的計算性能,靈活的結構,等等。樣條也可以在拐角處用來描述平穩(wěn)過渡曲線，實現(xiàn)高速數(shù)控加工路徑段之間的平穩(wěn)過渡，滿足現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)的需求高速、穩(wěn)定性和靈活性。 立方三角插值樣條曲線 樣條的基礎功能 一些變量的給定值λ和κ，參數(shù)υ滿足0≤υ≤1，下面的公式稱為立方三角樣條基函數(shù)集。 在公式中，s代表 ，c代表 插值樣條曲線 假設一組給定的控制點是 那么樣條曲線段可以被定義為 由許多小的曲線段組成的曲線P(u)被稱為立方樣條插值曲線。 從表達式（2）中知道整個曲線P(u)由n-2個小曲線段組成，第i個曲線段pi(u)存在 (3) 第i+1個曲線段pi+1(u)存在 (4) 比較（3）（4）兩式，很明顯知道臨近的曲線段pi(u)和pi+1(u)有以下聯(lián)系 (5) 由式子（3）（4）（5），一個定理可以得到，即樣條曲線篡改這組給定的控制點從qn到qn-2 ,它也滿足C1的連續(xù)性。 展開樣條曲線公式（2）變成多項式形式，然后可以得到(6) (7) 在式子（7）（8）中s代表 ，c代表 圖一 可調樣值插條曲線 從上面可以知道,任何四個控制點完全確定一段可調形立方三角插值樣條曲線。曲線篡改前兩個控制點,后兩個控制點是用來計算曲線的端點斜坡段。設qi qi+1 qi+2 qi+3 分別為A B C D四個確定的點，采用AutoCAD中的AutoLISP程序能畫一個立方三角插值樣條曲線段可調的形狀，如圖1。改變λ和k的值可以實現(xiàn)曲線段的形狀調整。當k取值0.5，λ=0.5,0.5,1和0.5時，圖一中的四條曲線分別插值樣條曲線段一致。然而當λ取值1，k=0.3，0.5,0.6和0.7時，四條曲線在圖1b中分別和樣條曲線段一致。 圖二 環(huán)形插值樣條 圖三 直線插值樣條 此外,當控制點被重用時環(huán)形插值樣條曲線段可以生成。如圖2所示，當控制點序列式（B,B,C,D）S時，即B點被重用，然后通過編程可以生成環(huán)型樣條曲線段。當k取值-1，λ=-1,0和1，圖2中的兩條環(huán)形曲線段分別和樣條曲線段對應。保持A、B、C三點在一條直線上，然后樣條起點向量和AB同向，向量結束點和BD同向。這個特性可以用來處理在數(shù)控加工中的相鄰路徑之間的拐角平穩(wěn)過渡段。 三角立方插值樣條曲線的工程應用 貝塞爾曲線和b樣條曲線與傳統(tǒng)的弗格森曲線相比,可調形狀立方三角插值樣條曲線具有更好的性能。它不僅具有可調的屬性插值和形狀,還因為樣條曲線包含的三角多項式,通過選擇合適的控制點和形狀調整系數(shù)。樣條曲線可以準確地描述常見的工程曲線如直線、圓弧和自由曲線等。因此,樣條曲線可以用來描述復雜的數(shù)控運動路徑。與此同時,通過選擇合適的附近角落里的控制點相鄰加工路徑段和形狀調整系數(shù),可以生成可實現(xiàn)高速平穩(wěn)過渡街角環(huán)形式或圓弧樣條曲線。 數(shù)控運動路徑的直線描述 假設一個線段的兩個端點B和C,以四個控制點順序為(B,C,B,C),然后從B到C一條直線可以構造如圖3所示。 分析公式7當和k=1的時候，公式7變成了線性參數(shù)方程（8） 在公式中：C是代表。 圓弧數(shù)控運動路徑的描述 通過樣條曲線的四個特殊控制點和形狀調整系數(shù)可以準確的描述圓弧。假設兩個端點的圓弧段是a和B,以四個連續(xù)的控制點為A(a,0) ,B(0, a) , C(a,πa/2) and D(?πa/2, a),形狀調整系數(shù)λ= 1,k =?1,然后從一個圓弧從A到B可以構造。把以上四個控制點的坐標和形狀調整系數(shù)代入公式(7),可以得到圓弧的參數(shù)方程: （9） 在公式中：s代表，c代表 圖4顯示了角圓弧段與中心的角為90°,相應的改變了從0到1的參數(shù)u。當使用樣條曲線來描述圓弧角和中心小于90°時,它可以通過控制參數(shù)u的數(shù)值;當描述圓弧角與中心超過90°時,使用一些圓弧段拼接去理解。 描述數(shù)控運動路徑的自由曲線 使用這個立方三角插值樣條可以很容易地描述自由曲線。從上面我們知道給定的控制點可以構造n?3樣條曲線段。如圖5所示,通過(A,B,C,D,E,F,G,H，I,J)十控制點可以產(chǎn)生一個由七個小段樣條曲線組成的自由曲線段。整個自由曲線滿足C1的連續(xù)性,這保證了樣條曲線的平滑度。 應用力學和材料波動率365-366 519 圖4.圓弧插值樣條 圖5.自由曲線插值樣條 數(shù)控運動路徑的規(guī)劃 圖6顯示了當前常用數(shù)控加工運動路徑的一部分。工具中心的移動路徑為A→B→C→D。在運動路徑中,點B和C是明顯的轉折點。當相鄰加工路徑段形成的角比較大時,它將引起過大的運動速度矢量的變化,這將更容易對數(shù)控機床引起更大的影響。這種現(xiàn)象對高速情況下的高速加工更加明顯。根據(jù)樣條曲線的性質,插入樣條在拐角處的相鄰段加工路徑,可以生成的軌跡過渡段之間的平穩(wěn)過渡,實現(xiàn)加工路徑,以實現(xiàn)角落平滑過渡的速度的目的。 圖6.潤滑前的數(shù)控運動路徑 圖7.潤滑后的數(shù)控運動路徑 圖7顯示了描述數(shù)控運動路徑基于可調鋒利的立方三角插值樣條曲線。其中,分C1和C2的十字路口外輪廓的工具根據(jù)公元前段和CD當工具中心是在C點。段AB、BC1和C2D匯集直線、插入外花鍵環(huán)形式過渡曲線拐角點B和圓弧內花鍵過渡曲線拐角點C。這樣計劃數(shù)控加工運動路徑平滑,沒有速度下降和上升角過渡期間,可以保證順利在拐角處轉移,容易實現(xiàn)高速加工數(shù)控運動路徑段之間的關系。 外部角落的平滑度 如圖8所示,為了順利轉移加工m l和n l之間的片段,樣條曲線環(huán)形式插入外部角落B點, 由四個控制點生成序列(B,B,B1、B2)和形狀調整系數(shù)k =?1。其中,點B1的延長線上段m l和點B2段n l。選擇控制點,這種方式可以確保矢量的起點樣條曲線轉移與段m l在同一個方向,和結束點向量是相同的段n l方向,可以實現(xiàn)外部角落數(shù)控運動之間的平穩(wěn)過渡路徑段。改變形狀調整系數(shù)λ的值可以產(chǎn)生不同大小的樣條曲線,通過選擇合適的λ值可以控制角落里的運動過程加速度的變化。 機械設計和制造工程 520 圖8 外部角落平穩(wěn)過渡 圖9 內角平穩(wěn)過渡 平滑的內角 如圖9所示,插入在圓弧樣條曲線內角點C平滑轉移n l和o l之間的部分。四個連續(xù)的控制點是(C1,C2,C3,C4)和形狀調整系數(shù)k =?1。其中,點C1和C2是工具外輪廓線的路口段l n和o l當工具中心在C點,點C3的延長線上段n l,點C4段o l,和他們的坐標是由點C1和C2。同樣,這條曲線的起點向量同一個方向段n l和終點向量與段o l在同一個方向,可實現(xiàn)數(shù)控運動路徑的內部角平穩(wěn)過渡段。改變形狀的價值調整系數(shù)λ可以改變傳輸曲線的大小,所以通過選擇合適的λ值可以控制在角落運動加速度的變化的過程,與此同時,它還可以控制加工誤差。 結論 本文給出了一組特殊的基函數(shù),并根據(jù)它所構造的曲線立方三角插值樣條曲線滿足1 C連續(xù)性。曲線有以下優(yōu)點:1)改變控制點只有四段曲線的相關影響,并沒有影響其他地區(qū)的整個曲線,曲線具有良好的性能位置。2)每段樣條有兩個形狀調整系數(shù)λ和k,和的形狀曲線可以很容易地控制通過改變λ的值和k,所以曲線的性質形狀可調。3)選擇合適的控制點和形狀調整系數(shù),樣條精確地描述一些常見工程曲線如直線、圓弧和自由曲線,所以樣條曲線構造的靈活性。4)使用樣條多項式的形式表達式來避免理性形式,因此需要減少大量的計算和存儲空間。 因此,使用這個樣條描述復雜數(shù)控運動路徑具有明顯的優(yōu)勢,它也可以用來處理相鄰數(shù)控運動路徑之間的角落平穩(wěn)過渡段。通過插入可調鋒利的樣條在拐角處可以很容易地實現(xiàn)高速數(shù)控路徑之間的平穩(wěn)過渡段,可以滿足現(xiàn)代數(shù)控需要的系統(tǒng)高速、穩(wěn)定性和靈活性。