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1、3.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù) 函數(shù)的極 值與導數(shù) 內容： 函數(shù)極值的概念及其與 導數(shù) 的關系 應用 求函數(shù)的極值 給函數(shù)的極值求 函數(shù)的解析式 給函數(shù)的極值求函 數(shù)的單調區(qū)間 本課主要學習 函數(shù)的極值與導數(shù) 。 以視頻 擺錘極限 轉動最高點 引入新課 ， 接著探討在 跳水運動中 ,運動員相 對于水面的高度與起跳后的時間的函數(shù)圖象 ， 從圖象的 增與減定義函數(shù) 極大值的概念 ， 類似地借助函數(shù)圖象 定 義函數(shù)極小值的概念 ， 探討判斷函數(shù)極值的方法和步驟 。 重點是理解函數(shù)極值的概念 ， 會用導數(shù)求函數(shù)的極大 值與極小值 ， 掌握利用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù) 極

2、值的一般方法 .難點是函數(shù)在某點取得極值的必要條件 和充分條件 為了鞏固新知識 ， 給出 3個例題和變式 ， 通 過解決問題 說明導數(shù)在求函數(shù)極值問題中的應用 。 在講述 函數(shù)的極值與導數(shù) 時 ， 采用例題與變式結合 的方法 ， 通過例 1和變式 1探討求已知函數(shù) 極值的方法 。 例 2和變式 2、 例 3和變式 3都是利用已知的極值點求函數(shù) 的解析式或函數(shù)的單調區(qū)間 。 采用一講一練針對性講解 的方式 ， 重點理解 導數(shù)在求函數(shù)極值中 應用 。 通過觀看視頻，大家一起討論一下 擺錘極限 轉動最高點 問題 . 擺錘極限轉動最高點 跳水運動中 ,運動員相對于水面的高度 h(單位：米

3、 ) 與起跳后的時間 t(單位：秒 )存在函數(shù)關系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 其圖象如右 . t h o t h o a 0)( ah 0)( th 單調遞增 0)( th 單調遞減 y o xdb fca e hg 對于 d點 , 函數(shù) y=f(x)在點 x=d的函數(shù)值 f(d)比在其附 近其他點的函數(shù)值都小， =0. 在點 x=d 附近的左側 0 )(xf )(xf 我們把點 d叫做函數(shù) y=f(x)的 極小值點 ， f(d)叫做函數(shù) y=f(x)的 極小值 . y o xdb fca e hg 在點 x=e 附近的左側

4、 0 在點 x=e 附近的右側 0 f(x) =0 f(x) <0 極大值 減 f(x) 0 請問如何判斷 f (x0)是極大值或是極小值？ 左正右負為極大，右正左負為極小 函數(shù) y=f(x)的導數(shù) y/與函數(shù)值和極值之間的關系為 ( ) A、導數(shù) y/由負變正 ,則函數(shù) y由減變?yōu)樵?,且有極大值 B、導數(shù) y/由負變正 ,則函數(shù) y由增變?yōu)闇p ,且有極大值 C、導數(shù) y/由正變負 ,則函數(shù) y由增變?yōu)闇p ,且有極小值 D、導數(shù) y/由正變負 ,則函數(shù) y由增變?yōu)闇p ,且有極大值 D 例 1、求函數(shù) f(x)=x3-12x+12的極值 . 解： =3x2

5、-12=3(x-2)(x+2) )(xf 令 =0 )(xf 得 x=2,或 x=-2 下面分兩種情況討論： (1)當 0即 x2,或 x<-2時 ; )(xf (2)當 <0即 -2

6、)1(0 )1(4 cba cba f f 又 5a=3b,解得 a=3,b=5,c=2. (2)設 a<0,列表如下 : x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值 極大值 )1,( ),1( )(xf 由表可得 ,即 . 0 4 )1(0 )1(4 cba cba f f 又 5a=3b,解得 a=-3,b=-5,c=2. 練習 2:已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1處有極值 為 10,求 a、 b的值 . 解 : =3x2+2ax+b=0

7、有一個根 x=1,故 3+2a+b=0. )(xf 又 f(1)=10,故 1+a+b+a2=10. 由 、解得 或 . 3 3 11 4 b a b a 當 a=-3,b=3時 , ,此時 f(x)在 x=1處無 極值 ,不合題意 . 0)1(3)( 2 xxf 當 a=4,b=-11時 , ).1)(113(1183)( 2 xxxxxf 當 -11/3

8、解方程 =0.當 =0時 . 如果在 x0附近的左側 右側 那么 ,f(x0)是極大值 ; 如果在 x0附近的左側 右側 那么 ,f(x0)是極小值 . 0)( xf 0)( xf 0)( xf0)( xf 即“峰頂” 即“谷底” a b x y )( xfy O 1.（ 2014年天津 )函數(shù) 的定義域為開區(qū)間 )(xf 導函數(shù) 在 內的圖像如圖所示 ,則函數(shù) 在開區(qū)間 內有（ ）個極小值點。 A.1 B.2 C.3 D. 4 )(xf ),( ba ),( ba )

9、,( ba )(xf A f(x) 0 f(x) =0 注意： 數(shù)形結合以及原函數(shù)與導函數(shù)圖像的區(qū)別 必做題 : 2.函數(shù) 在 時有極值 10， 則 a， b的值為（ ） A. 或 B. 或 C. D. 以上都不對 223)( abxaxxxf 1x 3,3 ba 11,4 ba 1,4 ba 11,4 ba 11,4 ba C 解 :由題設條件得： 解之得 注意： f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件 注意代 入檢驗 3.求下列函數(shù)的極值 : x x y 1 1）（ 161282 23 xxxy ）（ 1.函數(shù) f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有極大值， 又有極小值，則 a的取值范圍為 . 注意： 導數(shù)與方程、不等式的結合應用 選做題 : 32()f x a x b x c x 2.(2012年北京卷 )已知函數(shù) 在點 處取得極大值 5,其導函數(shù) 的圖像 (如圖 )過點（ 1,0） ,（ 2,0） , 求： （ 1) 的值；（ 2） a,b,c的值； 0 x ( )y f x 0 x 略解： (1)由圖像可知： (2) 注意： 數(shù)形結合以及函數(shù)與方程思想的應用