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1、萊布尼茨數(shù)學思想的統(tǒng)一性 戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（１６４６～１７１６）對數(shù)學有兩項突出貢獻：發(fā)明了符號邏輯和微積分。由于這兩項成就分屬不同的數(shù)學分支，人們也往往將其看作萊布尼茨的兩種不同工作，忽視了它們之間的一致性，這為研究萊布尼茨的數(shù)學思想、完整地理解數(shù)學史和科學發(fā)現(xiàn)的規(guī)律帶來不少困難。本文的目的就是試圖理解的揭示這種一致性。 　　一、符號邏輯：　"通用數(shù)學語言"; 萊布尼茨對數(shù)學問題的最早探索和最初貢獻是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構(gòu)所謂的"通用語言";。這種語言是一種用來代替自然語言的人工語言，它通過字母和符號

2、進行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規(guī)則改變?yōu)檠菟阋?guī)則，以便更精確更敏捷地進行推理。（［１］，ｐ．８）或者說，"通用語言";是一套表達思想和事物的符號系統(tǒng)，利用這些符號可以進行演算并推出各種知識。在《論組合術(shù)》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要創(chuàng)設"一個一般的方法，在這個方法中所有推理的真實性都要簡化為一種計算。同時，這會成為一種通用語言或文字，但與那些迄今為止設想出來的全然不同；因為它里面的符號甚至詞匯要指導推理；錯誤，除去那些事實上的錯誤，只會是計算上的錯誤。形成或者發(fā)明這種語言或者記號會是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它。";（［２］，ｐ．１２３）在１６７９年９月８日給惠更斯的

3、信中他又寫道，有一個"完全不同于代數(shù)的新符號語言，它對于精確而自然地在腦子里再現(xiàn)（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處。它的主要效用在于能夠通過記號〔符號〕的運算完成結(jié)論和推理，這些記號不經(jīng)過非常精細的推敲或使用大量的點和線會把它們混淆起來，因而不得不作出無窮多個無用的試驗；另一方面，這個方法會確切而簡單地導向〔所需要的〕結(jié)果。我相信力學差不多可以象幾何學一樣用這種方法去處理。";（［３］，ｐ．１５１～１５２） 綜合萊布尼茨零零碎碎的設想，他的宏偉規(guī)劃大體旨在創(chuàng)造兩種工具：其一是通用語言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現(xiàn)存語言的局限性和不規(guī)

4、則性，使新語言變成世界上人人會用的具有簡明符號、合理規(guī)則的語言，規(guī)定符號的演變規(guī)則與運算規(guī)則，使邏輯演變依照一條明確的道路進行下去，進而解決所有可用語言表達的問題。 為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認作最根本的不可分析的符號；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯(lián)結(jié)等形式概念的設計。關于第一方面，萊布尼茨首次設想用數(shù)目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術(shù)中的乘或除來代替。他認為用這種數(shù)字的不同方式排列組合，進行各種運算，就可產(chǎn)生無窮多的復合概念。這一思想后來改進為以素數(shù)代表基本概念，而復合詞項即可借分解相應的數(shù)字成為它們的素數(shù)因子來加以分析。以

5、"人是理智動物";為例，用素數(shù)"３";代表"動物";、"５";代表"理智";，則"人";即以"１５＝３．５";代表。為了更好地構(gòu)設"通用語言";，萊布尼茨又以設想的"人類概念字母表";為語言詞匯基礎創(chuàng)制了一些邏輯符號，如"∪";（并）、"∩";（交）等，一直沿用下來。 關于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以１６７９、１６８６、１６９０三個年代為標志劃分為三個階段。（［４］，ｐｐ．２７１～２７３） 第一階段，萊布尼茨改進從數(shù)字代替概念以其演算，代之以對普通命題經(jīng)驗分析為基礎的代數(shù)邏輯。他以全稱肯定命題"ａ是ｂ";的形式開始，提出五條基本演算規(guī)則：（１）ａｂ是ｂａ（交換律）；（２

6、）ａ是ａａ（重言律）；（３）ａ是ａ（同一原則）；（４）ａｂ是ａ或ａｂ是ｂ（化簡原則）；（５）如ａ是ｂ且ｂ是ｃ，則ａ是ｃ（傳遞原則）。以此為據(jù)，他證明了同一和包含兩個邏輯系詞之間的重要關系，即，如ａ是ｂ且ｂ是ａ，則ａ與ｂ是同一的。進而，他又提出四個定理：（１）如ａ是ｂ且ａ是ｃ，則ａ是ｂｃ；（２）如ａ是ｂｃ，則ａ是ｂ且ａ是ｃ；（３）如ａ是ｂ，則ａｃ是ｂｃ；（４）如ａ是ｂ且ｃ是ｄ，則ａｃ是ｂｄ。由此可見，萊布尼茨在第一階段的邏輯演算已相當完善和科學化，為邏輯的系統(tǒng)化打下了堅實的基礎。 第二階段，萊布尼茨用等式符號作系詞符號，借公式Ａ＝ＢＹ表述全稱肯定命題（Ｙ為一未確定的系數(shù)，用以修飾Ｂ而使Ｂ成為Ａ

7、的一部分），同時提出雙重否定之為肯定，即"非非Ａ＝Ａ";，并由此演釋出一系列定理。為了進一步發(fā)展演算，萊布尼茨還試圖通過與屬性組合的關系，用代數(shù)方法來描述四個直言命題，甚至對四個直言命題的表示法提出了九個方案。 第三個階段，萊布尼茨最有價值的工作是羅列了十四個基本命題：（１）Ａ＝Ａ＋Ａ"＋";表示邏輯相乘，下同）；（２）如Ａ＝Ｂ且Ｂ＝Ｃ，則Ａ＝Ｃ；（３）如Ａ＝Ｂ且Ｂ≠Ｃ，則Ａ≠Ｃ；（４）如Ａ＝Ｂ，且Ｂ＜Ｃ，則Ａ＜Ｃ；（５）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＜Ｂ，則Ｃ＜Ａ；（６）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＝Ｄ；則Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ；（７）如Ａ＝Ｂ，則Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ；（８）Ａ＜Ｂ，則Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｃ；（９）如Ａ＋Ｂ＝Ａ，則Ｂ＜Ａ；（１０）如Ｂ＜Ａ，則Ａ＋Ｂ＝Ａ；（１１）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ｃ，則Ａ＜Ｃ；（１２）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ａ，則Ａ＝Ｂ；（１３）如Ａ＜Ｃ且Ｂ＜Ｃ，則Ａ＋Ｂ＜Ｃ；（１４）如Ａ＜Ｂ且Ｃ＜Ｄ，則Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄ。為適應邏輯相除，