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1、上節(jié)課的內容：光波與電磁波 麥克斯韋方 程組 1. 電磁波譜 2. 麥克斯韋電磁方程 3. 物質方程 5. 光電磁場的能流密度 4. 波動方程 1.2 幾種特殊形式的光波 (Several light waves with special forms ) 3. 柱面光波 (Cylindrical light wave) 1. 平面光波 (Plane light wave) 2. 球面光波 (Spherical light wave) 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 上節(jié)得到的交變電場 E 和交變磁場 H 所滿足的波動 方程，可以表示為如下的一般形式： 1.2 幾種特殊形式的光

2、波 這是一個二階偏微分方程，根據邊界條件的不同，解 的具體形式也不同，例如 ， 可以是平面光波、球面光 波、柱面光波或高斯光束 。 2 2 22 1 0 ( 1 8 ) t ff 2 2 22 2 2 22 1 0 ( 13 ) 1 0 E E t H H t 首先說明，光波中包含有 電場矢量和磁場矢量 ，從 波的傳播特性來看，它們處于同樣的地位，但是從 光與介質的相互作用來看，其作用不同。 在通常應用的情況下，磁場的作用遠比電場弱，甚 至不起作用。因此，通常把光波中的電場矢量 E 稱 為光矢量 ， 把電場 E 的振動稱為光振動，在討論光 的波動持性時，只考慮電場矢量 E 即可。 1. 平面光

3、波 (Plane light wave) 1）波動方程的平面光波解 2 2 2 2 2 2 2x y z 在直角坐標系中，拉普拉斯算符的表示式為 為簡單起見，假設 f 不含 x、 y 變量，則波動方程為 22 2 2 2 1 0 ( 1 9 ) zt ff 1. 平面光波 (Plane light wave) 1）波動方程的平面光波解 11( ) ( ) 0 z t z t f 為了求解波動方程，先將其改寫為 令 p z t q z t 可以證明 11 () 2 11 () 2 p z t q z t 1）波動方程的平面光波解 因而，上面的方程變?yōu)?2 0pq f 求解該方程， f 可表示為

4、1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 )p q z t z t 2 1 2f f f f f 對于式中的 f1 (z - t)， (z - t)為常數的點都處于相 同的振動狀態(tài)。如圖所示， t 0 時的波形為 I， t t1時的波形 相對于波形 I 平移了 t1 , 。 1）波動方程的平面光波解 f1(z - t) 表示的是沿 z 方向、以 速度傳播的波。 類似地，分析可知 f2(z + t) 表示的是沿 - z 方向、以速度 傳播的波。 f t z t = 0 t1 t2 t1 波陣面：將某一時刻振動 相位相同 的點連接起來， 所組成的曲面叫波陣面。 由于此時的波陣面是垂直 于傳播

5、方向 z 的平面，所以 fl 和 f2 是平面光波。 1）波動方程的平面光波解 O x y z k 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 )p q z t z t 2 1 2f f f f f 在一般情況下，沿任一方向 k、以速度 v 傳播的平 面波，如右圖所示。 1）波動方程的平面光波解 z O x y k 2）單色平面光波 （ 1） 單色平面光波的三角函數表示 c o s ( ) s i n ( )t k z t k z f A B (20)式是波動方程在 平 面光波情況下的一般解形式， 根據具體條件的不同，可以采取不同 的 具體 函 數表 示。 最 簡單、最普遍采用的是三角函數

6、形式 ，即 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 )p q z t z t 2 1 2f f f f f （ 1） 單色平面光波的三角函數表示 若只計沿 + z 方向傳播的平面光波，其電場表示式為 00 0 c o s ( ) c o s ( ) c o s 2 ( ) ( 2 1 ) z E E t k z E t tz E T ee e 這就是平面簡諧光波的三角函數表示式。式中， e 是 E 振動方向上的單位矢量。 c o s ( ) s i n ( )t k z t k z f A B （ 1） 單色平面光波的三角函數表示 所謂單色，即指單頻 。一個單色平面光波是一個在 時間上

7、無限延續(xù)，空間上無限延伸的光波動，在時 間、空間中均具有周期性。 其時間周期性用周期 （ T） 、頻率 （ v） 、圓頻率 （ ） 表征，而由 （ 21） 式形式的對稱性，其空間周期性 可用 、 1/ 、 k 表征，并分別可以稱為 空間周期、 空間頻率和空間圓頻率 。 （ 1） 單色平面光波的三角函數表示 單色平面光波的時間周期性與空間周期性密切相關 , 并由 v / 相聯系。 2 i ( / )( , ) e c o s 2 ( / ) i s in 2 ( / ) x v tx t A A x v t x v t 為便于運算，經常把平面簡諧光波的波函數寫成復 數形式。 例如，可以將沿 z

8、方向傳播的平面光波寫成 采用這種形式，就可以用簡單的指數運算代替比較 繁雜的三角函數運算。 i ( )0 ( 22)t k ze EE （ 2）單色平面光波的復數表示 例如，在光學應用中，經常因為要確定光強而求振 幅的平方 E20，對此，只需將復數形式的場乘以它 的共軛復數即可， （ 2）單色平面光波的復數表示 * i ( ) i ( ) 20 0 0t k z t k zE E E e E e E 應強調的是，任意描述真實存在的物理量的參量都應 當是實數，在這里采用復數形式只是 數學上運算方便 的需要 。 由于對 （ 22） 式取實部即為 （ 21） 式所示的函數，所 以，對復數形式的量進行

9、線性運算，只有取實部后才 有物理意義，才能與利用三角函數形式進行同樣運算 得到相同的結果。 （ 2）單色平面光波的復數表示 i ( )0 ( 22)t k zE E e 00c o s( ) c o s 2 ( ) ( 2 1 ) tzE e E t k z e E T 此外，由于對復數函數 exp-i(t-kz)與 expi(t-kz) 兩 種形式取實部得到相同的函數，所以對于平面簡諧 光波，采用 ， exp-i(t-kz)和 expi(t-kz)兩種形式完 全等效。 （ 2）單色平面光波的復數表示 exp-i(t-kz) expi(t-kz) （ 2）單色平面光波的復數表示 對于平面簡詣光

10、波的復數表示式，可以將時間相位 因子與空間相位因子分開來寫： i i i0 ( 23 )k z t te e EeEE 式中 0 ( 24)i k zeEE 稱為 復 振幅 。 （ 2）單色平面光波的復數表示 若考慮場強的初相位，復振幅為 0()0 ( 2 5 )i k ze EE 復振幅表示場振動的振幅和相位 隨空間的變化 。在許 多應用中，由于 exp(-it) 因子在空間 各處都相同 ，所 以只考察場振動的空間分布。 （ 2）單色平面光波的復數表示 進一步，若平面簡諧光波沿著任一波矢 k 方向傳播 , 則其 三角函數形式和復數形式 表示式分別為 00c o s ( ) ( 2 6 )t

11、E E k r 0i ( )0 ( 2 7 )te krEE 相應的復振幅為 0i ( )0 ( 2 8 )e krEE （ 2） 單色平面光波的復數表示 在信息光學中，經常遇到 相位共扼光波 的概念。所 謂相位共扼光波，是指兩列同頻率的光波，它們的 復振幅之間是 復數共軛 的關系。 0i i s in0 ( 2 9 )kxee EE 00* s in s in ( )00 ( 3 0 )i ik x i ik xe e e e E E E 0i ( )0 ( 2 8 )e krEE 0* 0 ( 3 1 )iiee krEE （ 2）單色平面光波的復數表示 假設有一個平面光波的波矢量 k 平

12、行于 xOz 平面，在 z 0 平面上的 復 振幅 為 0i i s in0 ( 2 9 )kxee EE 式中的 為 k 與 z 軸的夾角。 x z E O x z E O 0 sin sinxx xz z k k k r k x k x k r k x k z （ 2）單色平面光波的復數表示 則相應的相位共扼光波復振幅為 此相位 共軛 光波是與 波來自同一 側 的平面光波， 其波矢量平行于 xOz 平面 ， 與 z 軸夾角為 - 。 E 00* s in s in ( )00 ( 3 0 )i ik x i ik xe e e e E E E 0i i s in0 ( 2 9 )kxee

13、EE （ 2）單色平面光波的復數表示 此相位 共軛 光波是與 波來自同一 側 的平面光波， 其波矢量平行于 xOz 平面 ， 與 z 軸夾角為 - 。 E x z E * E O - E （ 2）單色平面光波的復數表示 如果對照 （ 30） 式，把 （ 28） 式的復數共扼寫成 則這個沿 -k 方向，即與 波反向傳播的平面光波 也是其相位共扼光波。 0* 0 ( 3 1 )iiee krEE 0i ( )0 ( 2 8 )e krEE E （ 2）單色平面光波的復數表示 一個各向同性的點光源，它向外發(fā)射的光波是球面 光波，等相位面是以點光源為中心、隨著距離的增 大而逐漸擴展的同心球面。 球面波

14、 r 光線 波陣面 2. 球面光波 (Spherical light wave) 球面光波所滿足的波動方程仍然是 （ 18） 式，只是 由于球面光波的球對稱性，其波動方程僅與 r 有關， 與坐標 、 無關，所以球面光波的振幅只隨距離 r 變化。若忽略場的矢量性，采用標量場理論，可將 波動方程表示為 2 2 22 1 0 ( 3 2 )ff t 式中 ， 。 ( , )f f r t 2. 球面光波 (Spherical light wave) 2 2 22 1 0 ( 1 8 ) t ff 對于球面光波，利用球坐標討論比較方便。此時 ， （ 32） 式可表示為 2. 球面光波 (Spheric

15、al light wave) 即 2 2 2 2 2 11( ) 0 ( 3 3 )ffr rrrt 22 2 2 2 ( ) 1 ( ) 0rf rf rt 因而其解為 12( ) ( )f r t f r tf rr f1 (r -t) 代表從原點沿 r 正方向向外發(fā)散的球面光波， f2 (r +t) 代表向原點傳播的會聚球面光波。球面波 的振幅隨 r 成反比例變化。 2. 球面光波 (Spherical light wave) 1 c o s ( ) ( 3 5 )AE t k r r 其復數形式為 最簡單的簡諧球面光波 單色球面光波的波函數為 i ( )1 ( 3 6 )t k rAE

16、e r 復振幅為 i1 ( 3 7 )krAEe r 上面三式中的 A1 為離開點光源單位距離處的振幅值。 2. 球面光波 (Spherical light wave) 一個各向同性的 無限長線光源 ，向外發(fā)射的波是柱面 光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距離的 增大而逐漸展開的 同軸圓柱面 ，如圖所示。 z r 3. 柱面光波 (Cylindrical light wave) 柱面光波所滿足的波動方程可以采用以 z 軸為對稱 軸、不含 z 的圓柱坐標系形式描述： 2 22 11( ) 0 ( 3 8 )ffr r r r t 式中， 。這個方程的解形式比較復雜，此 處不詳述。但可以證明

17、，當 r 較大（遠大于波長） 時，其單色柱面光波的表示式為 22r x y i ( )1 ( 3 9 )t k rAEe r 3. 柱面光波 (Cylindrical light wave) 復振幅為 i1 ( 4 0 )krAEe r 可以看出，柱面光波的振幅與 成反比。 r i ( )1 ( 3 9 )t k rAEe r 3. 柱面光波 (Cylindrical light wave) 由激光器產生的激光束既不是上面討論的均勻平面光 波，也不是均勻球面光波，而是一種 振幅和等相位面 都在變化的高斯球面光波 ，亦稱為高斯光束。 在由激光器產生的各種模式的激光中，最基本、應用 最多的是基模（

18、 TEM00）高斯光束，因此，在這里僅 討論基模高斯光束。有關這種高斯光束的產生、傳輸 特性的詳情，可參閱激光原理教科書。 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 從求解波動方程的觀點看，基模高斯光束仍是波動方 程（ 18）式在激光器諧振腔條件下的一種特解。它是 以 z 軸為柱對稱的波，其表達式內包含有 z，且大體 朝著 z 軸的方向傳播。 2 2 22 1 0 ( 1 8 ) t ff 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 考慮到高斯光束的柱對稱性，可以采用 圓柱坐標系 中的波動方程形式： 2 2 2 2 2 2 2 11( ) 0 ( 4 1 )E rrr z t 其

19、解的一般函數形式為 ( , , )E E r z t 可以證明，下面的表達式滿足上述波動方程： 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 22 2 i ( ) a r c t a n 2 ( ) j()0 00 ( , , ) ( 4 2 )() rzr kz R z f tzEE r z t e e e z 式中 E0 常數，其余 符號的意義為 2 2 2 2 0 2 2 0 2 ( ) 1 ( ) ( 4 3 ) () r x y k z z f f R z z z f 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 這里， 0=(z = 0) 為基模高斯光束的 束腰半徑 ； f

20、 為高斯光束的共焦參數或 瑞利長度 ； R(z) 為與傳播 軸線相交于 z 點的高斯光束 等相位面的曲率半徑 ； (z) 是與傳播軸線相交于 z 點高斯光束等相位面上 的 光斑半徑 。 4. 高斯光束 (Gaussian beams) (z) 0 R(z) z 0 (42) 式的波場就是基模高斯光束的標量波形式，由它 可以研究： 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 22 2 i ( ) a r c t a n 2 ( ) j()0 00 ( , , ) ( 4 2 )() rzr kz R z f tzEE r z t e e e z (1) 光強分布的特征 ; (2) 空間相移

21、特征 ; (3) 發(fā)散角的特征： （ 1）基模高斯光束在橫截面內的 光電場振幅分布 按 照高斯函數的規(guī)律從中心（即傳播軸線）向外平滑 地下降，如圖所示。 1/e z 0 1 exp-r2/2(z) (z) (z) 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 2 0( ) 1 ( ) ( 4 4 ) zz f 由中心振幅值下降到 1/e ( 1/2.718281828459=0.3678)點 所對應的寬度，定義為 光斑半徑 。 22 2 i ( ) a r c t a n 2 ( ) j()0 00 ( , , ) ( 4 2 )() rzr kz R z f tzEE r z t e e

22、 e z 2 0( ) 1 ( ) zz f （ 1）基模高斯光束在橫截面內的光電場振幅分布 2 0( ) 1 ( ) ( 4 4 ) zz f 可見，光斑半徑隨著坐標 z 按 雙曲線的規(guī)律擴展 ，即 22 22 0 () 1 ( 4 5 )zz f 在 z 0 處， (z)=0，達到極小值， 稱為束腰半徑 。 （ 1）基模高斯光束在橫截面內的光電場振幅分布 由（ 45）式可見，只要知道高斯光束的束腰半徑 0 ， 即可確定任何 z 處的光斑半徑 .0 是由激光器諧振腔 決定的 , 改變激光器諧振腔的結構設計 , 即可改變 0 值 . (z) 0 R(z) z 0 22 22 0 () 1 (

23、4 5 )zz f 2 0f （ 1）基模高斯光束在橫截面內的光電場振幅分布 (2) 基模高斯光束場的相位因子 2 00 ( , ) a r c ta n ( 4 6 )2 ( ) rzr z k z R z f 22 2 i ( ) a r c t a n 2 ( ) j()0 00 ( , , ) ( 4 2 )() rzr kz R z f tzEE r z t e e e z 決定了基模高斯光束的空間相移特性。 (2) 基模高斯光束場的相位因子 (a) kz 描述了高斯光束的幾何相移； (b) arctan(z/f ) 描述了高斯光束在空間行進距離 z 處、 相對于幾何相移的附加相移；

24、 (c) 因子 kr2/(2R(z) 則表示與橫向坐標 r 有關的相 移，它表明高斯光束的等相位面是以只 R(z) 為半 徑的球面。 2 00 ( , ) a r c ta n ( 4 6 )2 ( ) rzr z k z R z f 2 2 2r x y （ 2） 基模高斯光束場的相位因子 2 ( ) ( 4 7 )fR z z z R(z) 隨 z 的變化規(guī)律為 2 2 0 () f R z z z f （ 2） 基模高斯光束場的相位因子 可見： 當 z 0 時， R(z) ， 表明束腰所在處的等相位 面為平面； 當 z 時， R(z)z ， 表明離束腰無限遠 處的等相位面亦為平面，且曲率

25、心就在束腰處； 當 z f 時， R(z) 2f，達到極小值； 2 ( ) ( 4 7 )fR z z z （ 2） 基模高斯光束場的相位因子 當 0 z f 時， R(z) 2f，表明等相位面的曲率中 心在 （ ， f） 區(qū)間上 ； 當 z f 時， z R(z) z f，表明等相位面的曲率中 心在 （ f， 0） 區(qū)間上。 2 ( ) ( 4 7 )fR z z z (z) R(z) z 0 f - f 基模高斯光束既非平面波，又非均勻球面波，它的發(fā) 散度采用 遠場發(fā)散角表征 。遠場發(fā)散角 1/e2定義為 z 時，強度為中心的 1/e2 (0.135335) 點所夾角的全 寬度，即 21/ 0 2 ( ) 2l im ( 4 8 ) e z z z 顯然，高斯光束的發(fā)散度由束腰半徑 0 決定。 （ 3）基模高斯光束發(fā)散角 2 0 2 0 ( ) 1 ( ) z z f f 基模高斯光束在其傳播軸線附近，可以看作是一種 非 均勻的球面波 ，其等相位面是曲率中心不斷變化的球 面， 振幅和強度在橫截面內保持高斯分布 。 (z) 0 R(z) z 0 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 1/e z 0 1 exp-r2/2(z) (z) (z)