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1、玻耳茲曼 麥克斯韋 一、微觀量 ：描述個(gè)別分子運(yùn)動(dòng)規(guī)律 的物理量。如：每個(gè)分子都有的質(zhì)量、 運(yùn)動(dòng)速度、能量 。 (不可測(cè) ) 二、宏觀量 ：表示大量分子集體效應(yīng)的 物理量。如：氣體的溫度、壓強(qiáng) 。 如 狀態(tài)參量： V(m3),P(Pa),T(K) 宏觀可測(cè)。 6-1 平衡態(tài) 理想氣體狀態(tài)方程 三、 平衡態(tài)： 氣體與外界 沒有能量和物質(zhì)的交換 ，內(nèi) 部也無任何形式的能量轉(zhuǎn)換，則經(jīng)相當(dāng)長 時(shí)間后內(nèi)部各處具有統(tǒng)一的 P、 T,且不隨 時(shí)間變化 .這是 熱動(dòng)平衡。 準(zhǔn)靜態(tài)過程 (平衡過程 )： 氣體從一個(gè)平衡狀態(tài)經(jīng)過無數(shù)個(gè) 無限 接近平衡狀態(tài) 的中間狀態(tài)，過渡到另一個(gè) 平衡態(tài)。 熱力學(xué)第零定律 平衡態(tài)

2、與平衡過程的描述： 常用 P V圖。 V P o P1 P2 V1 V2 平衡態(tài)： 點(diǎn)。 如 、 。 平衡過程： 任意曲線。 四、理想氣體狀態(tài)方程： RT N NRT M MPV Am o l 阿佛伽德羅常數(shù) 1002.6 23AN R=8.31J/molk 普適氣體常數(shù) （ 準(zhǔn)靜態(tài)過程） 五 .分子熱運(yùn)動(dòng)的圖像與基本特征 引 力 斥 力 0r r F 0 二、分子力 一、物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)：大量分子原 子組成 (分子數(shù)密度 三、分子熱運(yùn)動(dòng) 基本特征 ： 不停地作雜亂無章的 運(yùn)動(dòng)與頻繁碰撞。 )/ VNn 氣體分子運(yùn)動(dòng)論 牛頓力學(xué) +統(tǒng)計(jì)平均 六 .統(tǒng)計(jì)規(guī)律 : 大量分子集體行為 有章可循 ,服從

3、統(tǒng) 計(jì)規(guī)律 個(gè)別分子 完全隨機(jī) ,雜亂無章 。 典型數(shù)據(jù) ： 平均速率 500m/s；分子連續(xù)兩次碰 撞的平均路程 10-7 m； 平均時(shí)間間隔 10-10 s。 求出全部分子微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值 6-2 理想氣體壓強(qiáng)公式 一、 理想氣體的分子模型 (微觀模型 )： 質(zhì)點(diǎn)、完全彈性碰撞、分子間作用力不計(jì)。 自由地、無規(guī)則運(yùn)動(dòng)著的彈性球分子的集合 二、統(tǒng)計(jì)假設(shè) 平衡態(tài)下： 1、分子數(shù)密度處處 相等。 2、分子沿任一方向的運(yùn)動(dòng)，機(jī)會(huì)均等。 2 z 2 y 2 x vvv kvjvivv zyx 2 x 2 z 2 y 2 x 2 v3vvvv 推論 :分子沿各個(gè)方向速度的各種平均值相等 0 x y

4、zv v v 四、 理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo) 為計(jì)算簡單 ,假定 : 邊長 l1、 l2、 l3的長方體容器中有 N個(gè)同 類分子作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量均為 m， 處于溫度為 T 的平衡態(tài)。 Z l1 l3 l2 X A2 A1 Y O 一個(gè)分子對(duì) A1 面的平均作用力： Z l1 l2 l3 X A2 A1 Y O va 2 11 2 2 ix ix ix ix m v m v F l v l N個(gè)分子對(duì) A1面 的總的平均作用力： 22 111 1 3 N x i x i x Nm F F F m v v ll -mv x mv x 氣體分子對(duì) A1面的壓強(qiáng)： 2 321 v lll3 Nm S

5、 Fp 令： V N lll Nn 321 為分子數(shù)密度 n ) v m ( n p w 3 2 2 2 1 3 2 或 其中 2vm 2 1w 為一個(gè)分子的平均 平動(dòng)動(dòng)能。 說明： 2、 A1面的壓強(qiáng)公式可推廣到任一面上。 3、空間任一點(diǎn)處都有相同的壓強(qiáng)。 4、分子間的碰撞不影響結(jié)果。 5、分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能： 平均平動(dòng)動(dòng)能、 平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、平均振動(dòng)動(dòng)能。 后兩種動(dòng) 能對(duì)壓強(qiáng)無貢獻(xiàn)。 1. 壓強(qiáng)是大量分子對(duì)容器碰撞的結(jié)果 . 6-3 溫度公式 一、 氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系 對(duì)一定體積 V，若氣體質(zhì)量為 M， 則： NmM 對(duì)于 1mol氣體，則 mNM Amo l 于是， RT N N

6、PV A n k TT N R V NP A RT M MPV m o l 其中 n為分子數(shù)密度， k為玻爾茲曼常數(shù)。 N、 m分別為分子總 數(shù)及單個(gè)分子質(zhì)量。 對(duì)照 wn 3 2P 有 kT 2 3w 說明： 1、溫度是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度。 2、分子熱運(yùn)動(dòng)永不停息，絕對(duì)零度不可達(dá)。 3、溫度是氣體處于熱（動(dòng)）平衡的物理量。 4、溫度是統(tǒng)計(jì)量。 5、 溫度與氣體整體運(yùn)動(dòng)（有規(guī)則運(yùn)動(dòng)）無關(guān)。 n k TP m o l 2 M RT3 m kT3 v 2 13 22 w m v k T 二、 氣 體 分 子 的 方 均 根 速 率 說明： 1、 是大量分子統(tǒng)計(jì)平均值，某一分 子的 v是不斷變化

7、的，方向也雜亂無章的。 2v 2、 P、 T都是宏觀量，它們是大量分子 熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，具有統(tǒng)計(jì)意義。 例 1：一瓶氮?dú)夂鸵黄亢饷芏认嗤?，?子平均平動(dòng)動(dòng)能相同，且處于平衡態(tài)，則 1、 T、 P均相同。 2、 T、 P均不相同。 3、 T相同，但 e2 HN PP 4、 T相同，但 e2 HN PP 例 2：在密閉的容器中，若理想氣體溫度 提高為原來的 2倍，則 1、 都增至 2倍。 p,w 2、 增至 2倍， p增至 4倍。 w 4、 增至 4倍， p增至 2倍。 w3、 都不變。 p,w 例題 3:下列各式中哪一式表示氣體分子的平均 平動(dòng)動(dòng)能？（式中 M為氣體的質(zhì)量， m為氣體 分子質(zhì)

8、量， N為氣體分子總數(shù)目， n為氣體分子 數(shù)密度， NA為阿伏加得羅常量） pVMm23 pV M M m o l2 3 npV 2 3 pVN M M A2 3 m o l(A) (B) (C) (D) 解： M p Vm MN p VM T N R kTw A m o l A 2 3 2 3 2 3 2 3 例題 4： A、 B、 C 三個(gè)容器中皆裝有理想氣體 ， 它們的分子數(shù)密度之比為 nA nB nC 4 2 1， 而分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之比為 1 2 4， 則它們的 壓強(qiáng)之比 __________ Aw Bw Cw Ap Bp Cp 1 : 1 : 1 思路分析： , p = n k

9、T kT 2 3w 三者分別相乘即可。 6-4 能量按自由度均分原理、內(nèi)能 一、自由度 確定運(yùn)動(dòng)物體在空間位置所需的獨(dú)立 坐標(biāo)數(shù)目 。 質(zhì)點(diǎn)：任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，需三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo) x、 y、 z。 剛體：任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，可分解為質(zhì)心的平動(dòng)及繞通 過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。 y （ x,y,z) a z x b o f x y z 剛性雙原子 : i=5 剛性多原子 : i=6 單原子 : i=3 （ x, y, z) y z x 分子內(nèi)部要發(fā) 生振動(dòng)，在經(jīng)典 范圍內(nèi)不考慮。 二、 能量按自由度均分原理 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能： kT23vm21w 2 平衡態(tài)下 2 3 12 z 2 y 2 x vvvv kT)vm(v

10、mvmvm 21221312z212y212x21 一個(gè)平方項(xiàng)的平均值 一個(gè)平動(dòng)自由度 在平衡態(tài)下，分子每一個(gè)自由度都分配有 kT/2 的熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能。 如果分子有 i個(gè)自由度，一個(gè)分子的 平均動(dòng)能： kT2ik 說 明 能量均分定理是分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 三、 理想氣體內(nèi)能： 分子間相互作 用忽略不計(jì) 分子間相互作用勢(shì)能 =0 理想氣體的內(nèi)能 =所有分子的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能 之總和。 1mol理想氣體的內(nèi)能： RT2i)kT2i(NE Amo l 對(duì)于質(zhì)量為 M的理想氣體： RT 2 i M ME m o l 單原子： RT 2 3 M ME m o l 雙原子： RT 2 5 M

11、ME m o l 多原子： RT M ME m o l 2 6 理想氣體 的內(nèi)能是 溫度的單 值函數(shù) 總結(jié)幾個(gè)容易混淆的慨念： 1.分子的 平均平動(dòng)動(dòng)能： 3 2w k T RT2iM ME m o l 3.理想氣體 內(nèi)能： 4.單位體積內(nèi)氣體分子的平均 平動(dòng)動(dòng)能： nw 5.單位體積內(nèi)氣體分子的 平均動(dòng)能： kn 2.分子的 平均動(dòng)能： 2k i kT n為單位體積內(nèi)的分子數(shù) 例 1：如果氫氣、氦氣的溫度相同，摩爾 數(shù)相同，那么著兩種氣體的 1、平均動(dòng)能是否相等？ 2、平均平動(dòng)能是否相等？ 3、內(nèi)能是否相等？ 例 2： H2的溫度為 00C，試求： 1、分子的平均平動(dòng)能。 2、分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)

12、動(dòng)能。 3、分子的平均動(dòng)能。 4、分子的平均能量。 例 3：儲(chǔ)有氫氣的容器以某速度 v作定向運(yùn) 動(dòng)。假設(shè)該容器突然停止，全部定向運(yùn)動(dòng) 動(dòng)能都變?yōu)闅怏w分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，此時(shí)容 器中氣體的溫度上升 0.7K。求容器作定向 運(yùn)動(dòng)的速度 v，容器中氣體分子的平均動(dòng) 能增加了多少？ 6-5 麥克斯韋分子速率分布定律 一、伽爾頓板演示： (視頻） 大量的偶然事件集合成必然規(guī)律 二、氣體分子速率統(tǒng)計(jì)分布圖表 (視頻） Dv (102ms-1) 9 DN/N (%) 1.4 8.1 16.5 21.4 20.6 15.1 9.2 4.8 2.0 0.9 O v DN/NDv(10-4) 4 8 12 16 20

13、 1 2 3 4 5 6 7 8 Dv= 100ms-1 O v 4 8 12 16 20 1 2 3 4 6 5 7 8 Dv= 50ms-1 DN/NDv(10-4) DN/N DN/N 三 速率分布函數(shù)： f(v) O v f(v) v v+dv dv)v(fNdN 氣體速率分布曲線 N d v dN)v(f f(v)的物理意義： 在 v附近，單位速 率區(qū)間的分子數(shù) 占總分子數(shù)的百 分比。 , , , / /v o v d v N d N N N v d N N d vD D D D D 顯然： 1dv)v(f 0 為歸一化條件。 f(v)又稱概率密度： 某一分子在速率 v附近的單位速率

14、區(qū)間 內(nèi)出現(xiàn)的概率。 dvvfNN v v 2 1 )(D 某一分子出現(xiàn)在 v1v2區(qū)間內(nèi)的概率： 某一分子出現(xiàn)在 vv+dv區(qū)間內(nèi)的概率： N dN 1860年， Maxwell 從理論上得出： 2kT2 mv 23 ve) kT2 m (4 N d v dN )v(f 2 在平衡態(tài)下，一定量氣體不受外力。 四、 麥克斯韋速率分布律 五、 麥克斯韋速率分布曲線 f(v) v V p 2kT2 mv 23 ve) kT2 m(4 N d v dN)v(f 2 最概然速率： 與 f(v)極大值對(duì)應(yīng)的速率。 ( ) 0 dv vdf令 m o l p M RT2 m kT2 v 得 六、 三種速率

15、： 1、最概然速率 Vp： m o l p M RT41.1 m kT2v 2、平均速率 ( ) m o l 0 00 iiii2211 M RT 61.1 m kT8 dvvvf N dv)v(vN f N vd N N Nv N NvNvNv v D DDD 3、 方均根速率 ( ) m kT3dvvfvv 0 22 m o l 2 M RT73.1 m kT3v 0 f(v) v vp v 2v pv v 2v 都與 成正比， 與 成反比。 T mo lM 例：在 27 時(shí)， H2 和 O2分子的方均根 速率分別為 1930m/s 和 486m/s，與氣體 中聲速同數(shù)量級(jí)。 1、溫度與分

16、子速率： 七、麥克斯韋速率分布曲線的性質(zhì) 2、質(zhì)量與分子速率： Mmol1 0 f(v) v vp vp T相同 M mol2 2m o l1m o l MM T1 0 f(v) v vp vp Mmol相同 21 TT 例：如圖：兩條曲線是氫和氧在同一溫度 下分子速率分布曲線，判定哪一條是氧分 子的速率分布曲線？ 0 f(v) v 為什么大氣層中幾乎無自由的氫分子 ? 例：求分布在 v1 v2 速率區(qū)間的分子平 均速率。 解： 2 1 2 1 v v v v dN dNv ( ) ( ) 2 1 2 1 v v v v dvvf dvvfv 對(duì)于 v的某個(gè)函數(shù) g(v): 0 0 dvvf

17、dvvfvg vg )( )()( )( 測(cè)定分子速率分布的實(shí)驗(yàn)裝置： 彎曲玻璃板。 G 圓筒 B不轉(zhuǎn)，分子束 的分子都射在 P處。 圓筒 B轉(zhuǎn)動(dòng)，分子束的速率不同的分子將射 在不同位置 : v Dt v D v Dl 2 2 2 Dl A B S P P G 分子源 真空室 狹縫 圓筒 6-6 玻爾茲曼能量分布律 平衡態(tài)下的理想氣體的麥克斯韋速 率分布律 : 在 v v+dv dvve kT m NdvvNfdN kT mv 2 22 3 2 2 4)( 其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能 相應(yīng)于分子不受外力場(chǎng)的影響 玻： 在 vx vx+dvx、 vy vy+dvy 、 vz vz+dvz xx+d

18、x、 yy+dy、 zz+dz d x d y d zdvdvdve kT2 m ndN zyxkT 2 3 0 pk 玻爾茲曼的推廣 : 按空間位置的分布依賴于分子所在力場(chǎng) 的性質(zhì)。 kpk 代替用 d x d y d zdvdvdve kT2 m ndN zyxkT 2 3 0 pk n0表示 處，單位體積內(nèi)具有各種 速度的分子總數(shù)。 0p d x d y d zdvdvdve kT m nNd zyxkT 2 3 0 pk 2 由于在空間體積元 dv=dxdydz中 ,各種速度 的分子都有 ,我們?nèi)?dN對(duì)速度的積分 ,將得 到分子僅按座標(biāo)的分布 : 1dvdvdve kT2 m zyx

19、 kT 2 3 k d x d y d zenNd kT0 p kT 0 Penn 在 xx+dx、 yy+dy、 zz+dz 令： n d xd yd z Nd 說明 :1.能量最低原理 ;2.Boltzman分布只 適用于分子 ,原子等 ,但不適用電子 ,光子系統(tǒng) 重力場(chǎng)中粒子按高度的分布： RTghM 0 kTm g h 0 m o lenenn m g hP 重力場(chǎng)中的氣壓公式（ ） RTghM 0 kTm g h 0 m o lepepp p pngMRTh m o l 0 每升高 10米，大氣壓強(qiáng)降低 133Pa。 近似符合實(shí)際，可粗略估計(jì)高度變化。 6-7 分子碰撞和平均自由程

20、一、碰撞： 1、氣體運(yùn)動(dòng)軌跡為一折線： m o lM RT61.1v 一般為每秒幾百米。 如： N2分子在 270C時(shí)的平均速率為 476m.s-1. 矛盾 氣體分子熱運(yùn)動(dòng)平均速率高， 但氣體擴(kuò)散過程進(jìn)行得相當(dāng)慢 ! 氣動(dòng)理論遭質(zhì)疑 ! 2、碰撞截面： sd2 d d為分子的有 效直徑。 二、平均碰撞頻率 Z 一秒內(nèi)一個(gè)分子與其他分子碰撞的平 均次數(shù)。 1、 Z n 2、 Z d2 3、 Z v A s=d2 d d d v Z平均碰撞頻率 的計(jì)算 設(shè)想 ：跟蹤分子 A，看其在一段時(shí)間 Dt 內(nèi)與多少分子相碰。 假設(shè) ：其他分子靜 止不動(dòng)。 在 Dt 內(nèi)， A分子與其他分子碰撞的次數(shù)： tvn

21、 Ds 2dvnvn t tvn Z s D Ds A d d d v 考慮到其他分子也在作熱運(yùn)動(dòng)， nvd2Z 2 三、平均自由程 氣體分子在連續(xù)兩次碰撞之間的各段 距離的平均值。 n d 2 1 Z v 2 nk TP Pd kT 22 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，多數(shù)氣體平均自由程 10-8m，只有氫氣約為 10-7m 。 vZ 10 9 s -1 每秒鐘一個(gè)分子竟發(fā)生幾十億次碰撞！ 例：一定量的理想氣體，若 V不變， T 1) 不變 ,Z 2) ,Z 不變 3) 都減小,Z 4) 不變,Z 則 例：一定量的理想氣體，若 T不變， P 1) 都增大,Z 2) ,Z 3) 都減小,Z 4) ,Z 則 解： ( ) 增為兩倍不變， v n 1 ( ) 不變倍，降為 v 2 1 n 2 得則由 nvd2z 2 平均碰撞頻率與原來相同。 得由 nd2 1 2 平均自由程增為原來的兩倍。 思考題：一定量理想氣體先經(jīng)等容過程，使其溫度升 高為原來的四倍，再經(jīng)等溫過程，使體積膨脹為原來 的兩倍。根據(jù) 和 ， 則平均碰撞頻率增為原來的兩倍；再根據(jù) 則平均自由程增為原來的四倍。以上結(jié)論是否正確， 如有錯(cuò)誤請(qǐng)改正。 nvd2z 2 m kT8v pd2 kT 2