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1、第 2章 力系的合成 平面匯交力系的合成 空間匯交力系的合成 平面力偶系的合成 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 空間力對(duì)點(diǎn)矩與力對(duì)軸 之 矩 空間力偶系的合成 重心 結(jié)論與討論 引 言 根據(jù)力的作用線是否共面可分為： 平面力系 空間力系 每一類又可以分為四種： 匯交力系 力偶系 任意力系 平行力系 1. 合成的幾何法 (即力多邊形法則 ) A F2 F4 F3 F1 2.1 平面匯交力系的合成 1RF 2RF RF 3F 4F 2F 1F A A F2 F4 F3 F1 FR FR1 FR2 F4 F3 FR F 2 A 結(jié)論： 平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一 合力，其合力的大小與方向等于 各分力的矢量和，合

2、力的作用線 通過匯交點(diǎn)。 FR= F1 + F2 + + Fn = Fi F1 A B F2 C F3 D F1 A B F2 C F3 D 2. 力的投影 x A B F O i j X Y y s inc o s c o s FFY FX 22 c o s ( , ) / F X Y XF Fi 力在坐標(biāo)軸上的投影 力的投影是代數(shù)量， 當(dāng)力與軸之間的夾角為銳 角時(shí)，其值為正，當(dāng)夾角 為鈍角時(shí)，其值為負(fù)。 反之，已知力的投影，也可 以求力的大小和方向 3. 合力投影定理 1 3 2 1F RF 3F 2F x y O A B C A D B C D 1xF 2xF RxF 3xF 表述： 合

3、力在某軸上的投影，等于各個(gè)分力在同一 軸上投影的代數(shù)和。 DAc o sFF RRx BAc o sFF x 111 CBc o sFF x 222 DCc o sFF x 333 由圖可知 DCCBBADA 故有 iRx XDAF 同理 iRy YF 反之，已知 Xi ， Yi，可以求合 力的大小和方向 22 iiR YXF R i F Xc o s 合力大小 合力方向 4. 合成的解析法 (根據(jù)合力投影定理 ) 根據(jù)合力投影定理： 2222 )Y()X(FFF RyRxR RR Rx F X F Fc o s 12 1 n R x n i i F X X X X 12 1 n R y n

4、i i F Y Y Y Y 合力大小 合力方向 A F2 F4 F1 F3 FR x y O 1F 2F3F RF （ 1）幾何法 解： 4F 例題 1 已知： F1=200N、 F2=300N、F 3=100N、 F4=250N。求圖示匯交力 系的合力。 RFy 30 4545 60 x 1F 2F 3F 4F O N.c o sFc o sF c o sFc o sFXF Rx 31294545 6030 43 21 （ 2）解析法 N.s i nFs i nF s i nFs i nFYF Ry 31 1 24545 6030 43 21 N.FFF RyRxR 317131123129

5、 2222 7 5 4 8.03.1 7 1 3.1 2 9c o s R RX F F 合力作用線通過匯交點(diǎn) O 合力 FR與 x軸的夾角為： 9940 . RF y 30 4545 60 x 1F 2F 3F 4F O 規(guī)定 F與 h的乘積作 為力 F使扳手繞支點(diǎn) O轉(zhuǎn) 動(dòng)的效應(yīng)的度量，稱為 力 F對(duì) O點(diǎn)之矩， 用符號(hào) M0(F)表示，即 A B OFhFM 2)(0 若力 F使物體繞 O點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) ,力矩為正 ;反之為負(fù)。 N.m 或 kN.m 力矩的單位： 注意：在平面問題中，力對(duì)點(diǎn)之矩只取決于力矩 的大小和轉(zhuǎn)向，所以，力矩是一個(gè)代數(shù)量。 2.2 平面力偶系的合成 1. 力對(duì)點(diǎn)之矩

6、 練習(xí)：計(jì)算下面各圖中力 F對(duì) O點(diǎn)的矩 0M FlM 22 bls i nFM s i nFlM FbM rlFM l F (a) l F (b) F l (e) b l F (f) r l F (d) (c) F O O O O O O 2. 力偶與力偶矩 力偶 兩個(gè)大小相等、方向相反且 不共線的平行力組成的力系。 力偶臂 力偶的兩力之間的垂直距離。 力偶的作用面 力偶所在的平面。 力偶矩 FdM力偶矩 3. 平面力偶的性質(zhì) （ 1） 力偶不能合成為一個(gè)力，也不能用一個(gè)力來平衡。力 和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。 （ 2） 力偶中的兩個(gè)力對(duì)平面中任意點(diǎn) O之矩之和等以什么 ？ F FA B

7、 O d x )()(),( FFFF OOO MMM FxxdF )( dF (3)同平面兩個(gè)力偶的等效條件： 在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶， 如果力偶矩相同 (大小相等，轉(zhuǎn)向相同 )，則兩力偶彼此 等效。 (通過動(dòng)畫來演示證明過程 ) 因此： (a)只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，力偶可以在作 用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，不改變對(duì)剛體的作用效果。 (b)只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改 變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變力偶對(duì)剛體 的作用效果。 M M M 問：作用在 AC桿上的力偶 M能否移動(dòng)到 BC桿上去？ A B C M M ？ 分析： 不能。力偶只能在同一剛體上的同 一個(gè)平面內(nèi)移動(dòng)。因

8、為 三角架不是一個(gè)剛體， 所以不能。 代數(shù)和iMM 4. 平面力偶系的合成 因?yàn)榱ε际谴鷶?shù)量， 所以合力偶矩是各個(gè)分 力偶矩的代數(shù)和 iMM解： 根據(jù) 可得 負(fù)號(hào)表示合力偶矩的轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針方向 4321 MMMMM m.N60154 如圖汽缸蓋上 4個(gè)相同的 孔，每個(gè)孔的切削力偶矩大 小為 M1=M2=M3=M4=15 N.m。 求工件的總切削力偶矩 例 題 2 1M2M 3M4M 1.力的平移定理 A F B d F F A F B M=F. d=MB(F) 可以把作用于剛體上點(diǎn) A 的力 F平行移到同一剛體上 的任意點(diǎn) B，但必須同時(shí)附 加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶 的矩等于原來的力 F對(duì)新作

9、 用點(diǎn) B的矩。 M 2-3 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 攻絲時(shí)為什么要兩個(gè) 手施力 ,用一個(gè)手會(huì)有 什么不好之處 ? A B D C E F d 問：能否將力 F從 D點(diǎn)移動(dòng) 到 E點(diǎn)并附加力偶。 分析：不能。力的移動(dòng)只 能在同一個(gè)剛體上；因?yàn)閯偧?不是一個(gè)剛體，所以力 F不能從 D點(diǎn)平移到 E點(diǎn)，即使是加附加 力偶也不行。 d F M A B F 問：已知力 F和力偶 M，兩者可 以合成為一個(gè)力，請(qǐng)問該力應(yīng) 該在 A點(diǎn)的左側(cè)還是右側(cè) ? 分析：左邊。合力應(yīng)該在剛 體上 A點(diǎn)的左側(cè)。但是和原來的 力 F平行且距離為 d， F Md F M F3 F1 F2 O 2.平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)的簡(jiǎn)

10、化 主矢 和 主矩 簡(jiǎn)化中心 O O F 1 M1 F1 =F1 M1=MO(F1) F 2 M2 F2 =F2 M2=MO(F2) F 3 M 3 F3 =F3 M3=MO(F3) O F 1 F 2 F 3 O M1 M2 M3 + RF MO O MO RF FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 主矢 (簡(jiǎn)化后匯交力系合成結(jié)果 ) MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3) 主矩 (附加力偶系合成結(jié)果 ) n i iFF 1 R 主矢 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn) O簡(jiǎn)化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶， 這個(gè)力等于該力系的主矢，作用線 通過簡(jiǎn)化中心。這個(gè)力偶的矩

11、等于 力系對(duì)于點(diǎn) O的主矩。 R R X c o s )Y()X(F F 22 主矢與主矩的計(jì)算（對(duì)于具 有幾個(gè)力的一般情況） 主矩 1 ()nO O i i MM F O x y MO F R 3 . 固定端支座 既不能移動(dòng)，又不能 轉(zhuǎn)動(dòng)的約束 固定端（插入端）約束 : FAx FAy 固定端約束簡(jiǎn)圖 4 . 簡(jiǎn)化結(jié)果分析 合力矩定理 FR=0， MO0 FR 0， MO=0 FR 0， MO 0 FR=0， MO=0 1. 平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶的情形 FR=0， MO0 n i iOO MM 1 )( F 因?yàn)榱ε紝?duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩都相同，因此當(dāng)力 系合成為一個(gè)力偶時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化

12、中心的選擇無關(guān)。 O FR O 2 . 平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力的情形 合力矩定理 FR 0， MO=0 合力的作用線通過簡(jiǎn)化中心 FR 0， MO 0 FR O O d FR FR d R O F Md 平面任意力系的合力對(duì) 作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于 力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩 的代數(shù)和。 FR O Mo O 合力矩定理： 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n O R R O O i i n O R O i i M F F d M M F M F M F 在長(zhǎng)方形平板的 O， A， B， C點(diǎn)上分別作用有四 個(gè)力： F1=1 kN， F2=2 kN， F3=F4=3 kN（如圖），試求 以

13、上四個(gè)力構(gòu)成的力系對(duì) O點(diǎn) 的簡(jiǎn)化結(jié)果，以及該力系的最 后合成結(jié)果。 例 題 3 F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2m 3m 30 60 (1)求向 O點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果 4 R 1 xi i FX 30 c o s60 c o s 432 FFF kN 598.0 解： 4 R 1 yi i Y F 30 s in60 s in 421 FFF kN 768.0 1).求主矢 。 RF kN 7 9 4.0 2R2RR yx FFF 所以，主矢的大小 F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2m 3m 30 60 6 1 4.0c o s R R R F F xi , F 1

14、.52R i , F 主矢的方向： 2） . 求主矩 MO 4 0 1 ()O i M M F mkN 50 30 3260 2 432 . s i nc o s FFF m 51.0 R FMd O 合力 FR到 O點(diǎn)的距離 RR FF O A B C x y MO RF F R （ 2）求最后合成結(jié)果 由于主矢和主矩都不為零，所以最后 合成結(jié)果是一個(gè)合力 FR。如右圖所示。 例題 4 解： 以 O為簡(jiǎn)化中心有 120 120 120 A B C 1F 2F 3F O x y 已知：如圖，每個(gè)力的大小都為 F1=F2=F3=250kN, OA=OB=OC=d=1.2m 求合成結(jié)果 3 1 1

15、 23c o s 6 0 s in 3 0 0 R x i i F X F FF 3 23 1 0 s in 6 0 c o s 3 0 0R Y i i F Y F F 3 0 1 1 2 3 () 3 2 5 0 1 .2 9 0 0 . Oi i M M F F d F d F d k N m 反 時(shí) 針 2.4 空間匯交力系的合成 1. 空間力的投影和分解 2.4 空間匯交力系的合成 1. 空間力的投影和分解 直接投影法 c os c os c os FZ FY FX x y zF F F F X i Y j Z k O x y F z xF yF zF i j k yFYxFX zF

16、Z 二次投影法 y z O x F Fxy i j k xF yF zF c o s s ins in c o ss in FZ FY FX F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk F Z F Y F X ZYXF ),c os ( ),c os ( ),c os ( 222 kF jF iF 2. 空間匯交力系的合成 空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線 通過匯交點(diǎn)。 12 1 n R n i i R i i iX Y Z F F F F F F i j k R R R R R R R F Z F Y F X ZYXF ),c os ( ),c os ( ),c os ( )(

17、)()( 222 kF jF iF 2.5力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)軸之矩 力偶系的合成 1. 力對(duì)點(diǎn)的矩 O A(x,y,z) B r F h y x z MO(F) 空間的力對(duì) O點(diǎn)之矩取決于： (1)力矩的 大小 ； (2)力矩的 轉(zhuǎn)向 ； (3)力矩 作用面的方位 。 須用一矢量表征 MO(F) =Fh=2 OAB )(FMO )(FM O kjiF kjir ZYX zyx MO(F) 定位矢量 kji kji FrFM )()()( )( yXxYxZzXzYyZ ZYX zyx O O A(x,y,z) B r F h y x z MO(F) i j k 2. 力對(duì)軸的矩 B A F O x

18、 y z h Fxy b Fz 力對(duì)軸的矩等于力在垂 直于該軸的平面上的投影對(duì) 軸與平面交點(diǎn)的矩。 Mz(F) = MO(Fxy) = Fxy h = 2 OAb 力對(duì)軸之矩用來表征 力對(duì)剛體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 Mz(F) 當(dāng)力與軸在同一平面時(shí)，力對(duì)該軸的矩等于零。 B A F O x y z h Fxy b Fz 力對(duì)軸的矩等于力在垂 直于該軸的平面上的投影對(duì) 軸與平面交點(diǎn)的矩。 Mz(F) = MO(Fxy) = Fxy h = 2 OAb 力對(duì)軸之矩用來表征 力對(duì)剛體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 Mz(F) 當(dāng)力與軸在同一平面時(shí)，力對(duì)該軸的矩等于零。 力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式 yXxYM xZzXM

19、 zYyZM z y x )( )( )( F F F yXxY MMMM yOxOxyOz )()()()( FFFF kji FFFF ZYX zyx y z O x F Fxy A(x,y,z) Fz Fx Fy Fy Fx B a b x y 3. 力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì) 軸的矩的關(guān)系 kji kji FrFM )()()( )( yXxYxZzXzYyZ ZYX zyxO yXxYM xZzXM zYyZM z y x )( )( )( F F F )()( )()( )()( FF FF FF zzO yyO xxO MM MM MM 力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過 該點(diǎn)的某軸上的投影，等 于力對(duì)該

20、軸的矩。 手柄 ABCE在平面 Axy內(nèi) ,在 D處作用一個(gè)力 F，如 圖所示，它在垂直于 y軸的平面 內(nèi)，偏離鉛直線的角度為 。如 果 CD=b，桿 BC平行于 x軸 ,桿 CE平行于 y軸， AB和 BC的長(zhǎng)度 都等于 l。試求力 F 對(duì) x， y和 z三 軸的矩。 例 題 5 應(yīng)用合力矩定理求解。 解： 方法 1 c o sFF blFCDABFMM zZxx 力 F 沿坐標(biāo)軸的投影分別為： 0 c os s in FF F FF z y x 由于力與軸平行或相交 時(shí)力對(duì)該軸的矩為零，則有 c o sFF FlBCFMM zZyy s i nFF blFCDABFMM xxzz 應(yīng)用力對(duì)

21、軸的矩之解析 表達(dá)式求解。 xyz zxy yzx yFxFM xFzFM zFyFM F F F c o s,0, s i n FFFFF zyx 因?yàn)榱υ谧鴺?biāo)軸上的投影分別為： 0, zblylx 力作用點(diǎn) D 的坐標(biāo)為： 0 c o sc o sF blFFblzFyFM yzx 則 方 法 2 0 c o sc o sF FlFlxFzFM zxy 0 s i ns i nF blFFblyFxFM xyz z P O a b c A x y 222 c os)()( cba P ab M OOA PMP 已知： P 、 a、 b、 c 求： 力 P 對(duì) OA軸之矩 例 題 6 MO(

22、P) () 00 O abc P Pb i j k M P r P i 解： （ 1）計(jì)算 MO(P) （ 2）利用力矩關(guān)系 2.7 重心 1. 重心的概念及其坐標(biāo)公式 z O x y P Pi C Vi xC yC zC xi yi zi PxC=P1x1+P2x2+Pnxn=Pixi 根據(jù)合力矩定理，對(duì) y軸取矩，有 -PyC=(P1y1+P2y2+Pnyn)=-Piyi 根據(jù)合力矩定理，對(duì) x軸取矩，有 將物體連同坐標(biāo)系繞 x軸順時(shí)針轉(zhuǎn) 90 后，再對(duì) x軸取矩，有 -PzC=(P1z1+P2z2+Pnzn)=-Pizi z O x y P Pi C Vi xC yC zC xi yi

23、zi i ii C i ii C i ii C P zPz P yPy P xPx i ii C i ii C i ii C V Vzz V Vyy V Vxx S Szz S Syy S Sxx S C S C S C d,d,d 均質(zhì)物體的重心就是 幾何中心，通常稱 形心 PxC=P1x1+P2x2+Pnxn=Pixi -PyC=(P1y1+P2y2+Pnyn)=-Piyi -PzC=(P1z1+P2z2+Pnzn)=-Pizi 由以上三式可以得到重心公式，即 對(duì)于均質(zhì)體： 對(duì)于均質(zhì)曲面： 2. 確定物體重心的方法 （ 1）對(duì)稱法 具有對(duì)稱軸對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心的物體，其重心 必然在對(duì)稱軸對(duì)稱

24、面或?qū)ΨQ中心上 。 若一個(gè)物體具有兩個(gè)對(duì)稱面，則形心必在 兩個(gè)對(duì)稱面的交線上，若具有兩個(gè)對(duì)稱軸， 則形心就在兩軸的交點(diǎn)上。 O O （ 2）用組合法求重心 (a) 分割法 o x y C1 C2 C3 30mm 30mm 30 mm 10 mm 10 mm x3=15, y3=5, A3=300 mm2 321 332211 AAA AxAxAx A Axx i ii c 解 : 建立圖示坐標(biāo)系 求： Z形截面重心 。 例 題 7 x1=-15, y1=45, A1=300 x2=5, y2=30, A2=400 mm27 321 332211 AAA AyAyAy A Ayy i ii C

25、(b)負(fù)面積法（負(fù)體積法） 解： 建立圖示坐標(biāo)系，由對(duì) 稱性可知： yC=0 3 40 3 4 1 Rx 25,1 0 0 0,502 232 2 1 rAA RA 40 5 0 2 5 1 0 0 0 4 0 2 5 3 1 9 .6 5m m 5 0 1 0 0 0 2 5 ii c i xA x A 求： 圖示截面重心。 例 題 8 252 x 403 x 40mm 50mm 20 mm 1 2 3 10cm x y o A B E D a b x y x 求： 若將圖示均質(zhì)梯形板在 E點(diǎn)掛起， 且使 AD保持水平， BE等于多少。 例 題 9 解： 建立如圖的坐標(biāo)系 要使 AD保持水平

26、，梯形板的重心應(yīng) 在 y軸上，即 xC 0 把梯形分為三角形與矩形兩部分 設(shè) BE x 由 ii C i xAx A 032 1 2 xabxaxbx 022 22 aaxx a.x 3660解出得 （ 3）用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定重心的位置 (a) 懸掛法 A FA P A B FB P C D E (b) 稱重法 F1 F2 第一步： 01 lFxP C P lFx C 1 第二步： 02 lFxP C P lFx C 2 c o s ll s inc o s hxx CC l Hlc o s, l Hs i n 22 2212 1 Hl HP FFrz C 結(jié)論與討論 1. 力在坐標(biāo)軸上的投影為：

27、 c o sFX 2. 平面力的解析表達(dá)式為： jiF YX 3. 求平面匯交力系的合力 （ 1）幾何法 根據(jù)力多邊形法則，求得合力的大小和方向?yàn)椋?FF R 合力的作用線通過各力的匯交點(diǎn)。 （ 2）解析法 根據(jù)合力投影定理： R Rx R RyRxR F F )i,Fc os ( )Y()X(FFF 2222 力偶的等效定理： 在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相同， 則彼此等效。力偶矩是力偶作用效果的唯一量度。 4. 力的平移定理： 平移一力的同時(shí)必須附加一力偶，附加力偶的 矩等于原來的力對(duì)新作用點(diǎn)的矩。 5. 平面任意力系向平面內(nèi)任選一點(diǎn) O簡(jiǎn)化，一般情況下，可得一 個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力

28、等于該力系的主矢，即 n i n i n i iR YX 111 jiFF 作用線通過簡(jiǎn)化中心 O。這個(gè)力偶的矩等于該力系對(duì)于點(diǎn) O的主 矩，即 n i iOO )F(MM 1 6. 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可能出現(xiàn)的四種情況。 主 矢 主 矩 合成結(jié)果 說 明 FR 0 FR= 0 MO = 0 MO0 MO 0 MO 0 合 力 合 力 力 偶 平 衡 此力為原力系的合力，合力的作用線 通過簡(jiǎn)化中心 合力作用線離簡(jiǎn)化中心的距離 R OFMd 此力偶為原力系的合力偶，在這種情 況下主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān) 8. 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影 O x y F z y z O x F Fxy c os c os c os FZ FY FX c o s s ins in c o ss in FZ FY FX 二次投影法 直 接 投 影 法 （ 3）力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系 )()( )()( )()( FF FF FF zzO yyO xxO MM MM MM 力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn) 的某軸上的投影，等于力對(duì)該 軸的矩。 9. 重 心 重心的坐標(biāo)公式 i ii C i ii C i ii C P zPz P yPy P xPx q A F B C D E H F 測(cè)試：試畫出所有分離體圖（ 80分）和整體受力圖（ 20分）