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1、習題精解 9-1.在氣墊導軌上質(zhì)量為m的物體由兩個輕彈簧分別固定在氣墊導軌的兩端，如圖9-1所示，試證明物體m的左右運動為簡諧振動，并求其振動周期。設彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2. 解：取物體在平衡位置為坐標原點，則物體在任意位置時受的力為 根據(jù)牛頓第二定律有 化簡得 令則所以物體做簡諧振動，其周期 9-2 如圖9.2所示在電場強度為E的勻強電場中，放置一電偶極矩P=ql的電偶極子

2、，+q和-q相距l(xiāng)，且l不變。若有一外界擾動使這對電荷偏過一微小角度，擾動消息后，這對電荷會以垂直與電場并通過l的中心點o的直線為軸來回擺動。試證明這種擺動是近似的簡諧振動，并求其振動周期。設電荷的質(zhì)量皆為m，重力忽略不計。 解 取逆時針的力矩方向為正方向，當電偶極子在如圖9.2所示位置時，電偶極子所受力矩為 電偶極子對中心O點的轉動慣量為 由轉動定律知 化簡得 當角度很小時有，若令，則上式變?yōu)? 所以電偶極子的微小擺動是簡諧振動。而且其周期為

3、 9-3 汽車的質(zhì)量一般支承在固定與軸承的若干根彈簧上，成為一倒置的彈簧振子。汽車為開動時，上下為自由振動的頻率應保持在 附近，與人的步行頻率接近，才能使乘客沒有不適之感。問汽車正常載重時，每根彈簧松弛狀態(tài)下壓縮了多少長度？ 解 汽車正常載重時的質(zhì)量為m，振子總勁度系數(shù)為k，則振動的周期為，頻率為　 正常載重時彈簧的壓縮量為 9-4 一根質(zhì)量為m，長為l的均勻細棒，一端懸掛在水平軸O點，如圖9.3所示。開始棒在平衡位置OO，處于平衡狀態(tài)。將棒拉開微小角度后放手，棒將在重力矩作用下，繞O點在豎直平面內(nèi)來回擺動。此裝置時最簡單的物理

4、擺。 若不計棒與軸的摩擦力和空氣的阻力，棒將擺動不止。試證明擺角很小的情況下，細棒的擺動為簡諧振動，并求其振動周期。 解 設在某一時刻，細棒偏離鉛直線的角位移為，并規(guī)定細棒在平衡位置向右時為正，在向左時為負，則力矩為 負號表示力矩方向與角位移方向相反，細棒對O點轉動慣量為,根據(jù)轉動定律有 化簡得 當很小時有，若令則上式變?yōu)? 所以細棒的擺動為簡諧振動，其周期為 9-5 一放置在水平光滑桌面上的彈簧振子，振幅，周期，當t=0時， （1）物體在正方

5、向的端點； （2）物體在負方向的端點； (3) 物體在平衡位置，向負方向運動; (4）物體在平衡位置，向負方向運動; (5)物體在處向負方向運動 (6)物體在處向正方向運動。求以上各種情況的振動方程。 解 由題意知 （1）由初始條件得初想為是,所以振動方程為 （2）由初始條件得初想為是，所以振動方程為 （3）由初始條件得初想為是，所以振動方程為 （4）由初始條件得初想為是，所以振動方程為 （5）因為，所以，?。ㄒ驗樗俣刃∮诹悖哉駝臃匠虨? （6），所以，?。ㄒ驗樗俣却笥诹悖?/p>

6、，所以振動方程為 9-6一質(zhì)點沿x軸做簡諧振動，振幅為0.12m，周期為2s，當t=0時，質(zhì)點的位置在0.06m處，且向x軸正方向運動，求； （1）質(zhì)點振動的運動方程； （2）t=0.5s時，質(zhì)點的位置、速度、加速度； （3）質(zhì)點x=-0.06m處，且向x軸負方向運動，在回到平衡位置所需最短的時間。 解 （1）由題意可知：可求得（初速度為零），所以質(zhì)點的運動方程為 （2） 任意時刻的速度為 所以 任意時刻的加速度為 所以 （3）根據(jù)題意畫旋轉矢量圖如圖9.4所示。 由圖可知，質(zhì)點在x=-0.

7、06m處，且向x軸負方向運動，再回到平衡位置相位的變化為 所以 9-7 一彈簧懸掛0.01kg砝碼時伸長8cm，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛0.025kg的物體，使它作自由振動。請建立坐標系，分析對下述3種情況列出初始條件，求出振幅和初相位，最后建立振動方程。 （1）開始時，使物體從平衡位置向下移動4cm后松手； （2）開始時，物體在平衡位置，給以向上的初速度，使其振動； （3）把物體從平衡位置向下拉動4cm后，又給以向上的初速度，同時開始計時。 解 （1）取物體處在平衡位置為坐標原點，向下為x軸正方向，建立如圖9.5所示坐標系。 系統(tǒng)振動的圓頻率為 根

8、據(jù)題意，初始條件為 振幅，初相位 振動方程為 （2）根據(jù)題意，初始條件為 振幅，初相位 振動方程為 （3）根據(jù)題意，初始條件為 振幅，，得 振動方程為 9-8 質(zhì)量為0.1kg的物體，以振幅做簡諧振動，其最大加速度為，求：（1）振動周期；（2）通過平衡位置時的動能；（3）總能量。 解 （1）簡諧振動的物體的最大加速度為 ，所以周期為。 （2）做簡諧振動的物體通過平衡位置時具有最大速度 所以動能為 （3）總能量為 9-9 彈簧振子在光滑的

9、水平上面上做振幅為的簡諧振動，如圖9.6所示，物體的質(zhì)量為M，彈簧的勁度系數(shù)為k，當物體到達平衡位置且向負方向運動時，一質(zhì)量為m的小泥團以速度從右打來，并粘附于物體之上，若以此時刻作為起始時刻，求： （1）系統(tǒng)振動的圓頻率； （2）按圖示坐標列出初始條件； （3）寫出振動方程； 解 （1）小泥團粘附于物體之后與物體一起做簡諧振動，總質(zhì)量為M+m，彈簧的勁度系數(shù)為k，所以系統(tǒng)振動的圓頻率為 （2）小泥團粘附于物體之上后動量守恒，所以有 按圖9.6所示坐標初始條件為 （3）根據(jù)初始條件，系統(tǒng)振動的初相位為；假設，系統(tǒng)的振

10、動振幅為A，根據(jù)能量守恒，有 其中 故得 振動方程為 9-10 有一個彈簧振子，振幅，周期T=1s，初相位，（1）寫出它的振動方程；（2）利用旋轉矢量圖，作x-t圖。 解 （1）由題意可知，，所以彈簧振子的振動方程為 （2）利用旋轉矢量圖做x-t圖如圖9.7所示 9-11 一物體做簡諧振動，（1）當它的位置在振幅一半處時，試利用旋轉矢量計算它的相位可能為哪幾個值？做出這些旋轉矢量；（2）諧振子在這些位置時，其動能。勢能各占總能量的百分比是多少？ 解 （1）根據(jù)題意做旋轉矢量如圖9.8所示。 由圖9.8

11、可知，當它的位置在振幅的一半時，它的可能相位是 （2）物體做簡諧振動時的總能量為，在任意位置時的時能為，所以當它的位置在振幅的一半時的勢能為，勢能占總能量的百分比為25%，動能占總能量的百分比為75%。 9-12 手持一塊平板，平板上放以質(zhì)量為0.5kg的砝碼，現(xiàn)使平板在豎直方向上下振動，設該振動是簡諧振動，頻率為2Hz，振幅是0.04m,問： （1） 位移最大時，砝碼對平板的正壓力多大？ （2）以多大的振幅振動時，會使砝碼脫離平板？ (3) 如果振動頻率加快一倍則砝碼隨板保持一起振動的振幅上限是多大？ 解 （1）由題意可知，。因為物體在作簡諧振動，物體在最大位

12、移時加速度大小 根據(jù)牛頓第二定律有 解得（最低位置）， (最高位置) （2）當，即時 會使砝碼脫離平板。 （3）頻率增大一倍，把代入得 9-13 有兩個完全相同的彈簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，測得它們的周期都是2s?，F(xiàn)將兩個物體從平衡位置向右拉開5cm，然后先釋放A振子，經(jīng)過0.5s后，再釋放B振子，如圖9.9所示，若以B振子釋放的瞬間作為時間的起點， （1）分別寫出兩個物體的振動方程； （2）它們的相位差為多少？分別畫出它們的x-t圖。 解 （1）由題可知，兩物體做簡諧振動的圓頻率為，若以B振子釋放的瞬時作為時間的起點，則B物體振動

13、的初相位是，振動方程應為 由于A物體先釋放0.5s時的時間，所以相位超前B物體，所以A物體振動的初相位是，振動方程應為 （2）它們的相位差為 作A,B兩物體的振動曲線如圖9.10所示。 9-14 一質(zhì)點同時參與兩個方向、同頻率的簡諧振動，它們的振動方程分別為 試 用旋轉矢量求出合振動方程。 解 作旋轉矢量如圖9.11所示。 由平面幾何關系可知 合振動的初相位是 所以合振動的振動方程為 9-15 有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為0

14、.2，合振動的相位于第一個振動的相位之差為，若第一個振動的振幅為0.173m，求第二個振動的振幅，第一、第二兩振動的相位差。 解 做旋轉矢量如圖9.12所示。 由平面幾何關系可知 假設和的夾角為，則由平面幾何可知 把已知數(shù)代入解得， 9-16 質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點同時參與互相垂直的兩個振動： 式中x,y以m計，t以s計。 （1） 求運動軌跡方程； （2） 質(zhì)點在任一位置所受的力。 解 （1）由振動方程消去時間因子得軌跡方程為 （2） 質(zhì)點在任意時刻的加速度為 質(zhì)點在任一位置所受的力為

15、 9-17 質(zhì)點參與兩個方向互相垂直的、同相位、同頻率的簡諧振動； （1）證明質(zhì)點的合振動時簡諧振動； （2）求合振動的振幅和頻率。 解 （1）根據(jù)題意，假設兩個分振動的振動方程分別為 合成的軌跡是直線，在任意時刻質(zhì)點離開平衡位置的距離為 所以質(zhì)點的合振動是簡諧振動。 （3） 合振動的振幅為，圓頻率為. 習題精解 10-1 在平面簡諧波的波射線上，A,B,C,D各點離波源的距離分別是。設振源的振動方程為 ，振動周期為T.（1）這4點與振源的振動相位差各為多少？（2）這4點的

16、初相位各為多少？（3）這4點開始運動的時刻比振源落后多少？ 解 （1） （2） （3） 10-2 波源做諧振動，周期為，振幅為，經(jīng)平衡位置向y軸正方向運動時，作為計時起點，設此振動以的速度沿x軸的正方向傳播，試寫出波動方程。 解 根據(jù)題意可知，波源振動的相位為 波動方程 10-3 一平面簡諧波的波

17、動方程為，求（1）此波的頻率、周期、波長、波速和振幅；（2）求x軸上各質(zhì)元振動的最大速度和最大加速度。 解 （1）比較系數(shù)法 將波動方程改寫成 與 比較得 （2）各質(zhì)元的速度為 所以 各質(zhì)元的加速度為 所以 10-4 設在某一時刻的橫波波形曲

18、線的一部分如圖10.1所示。若波向x軸正方向傳播，（1）試分析用箭頭表明原點0，1，2，3，4等點在此時的運動趨勢；（2）確定此時刻這些點的振動初相位；（3）若波向x軸的正方向傳播，這些點的振動初相位為多少？ 解 （1）因為波是沿x軸的正方向傳播的，所以下一個時刻的波形如圖10.1中虛線所示。由圖可知：O點的運動趨勢向y軸正方向；1點的運動趨勢向y軸的正方向；2點的運動趨勢向y軸的負方向；3點的運動趨勢向y軸的負方向；4點的運動趨勢向y軸的正方向。 (2) 各點的振動的初相位分別為 （3）若波向x軸的負方向傳播，則各點振動的初相

19、位分別為 10-5 一平面簡諧波的波動方程為 (1)求該波的振幅、周期、圓頻率、頻率波速和波長；（2）設處為波源，求距波源0.125m及1m處的振動方程，并分別繪出它們的y-t圖；（3）求t=0.01s及t=0.02s時的波動方程，并繪出對應時刻的波形圖。 解 （1）將波動方程變?yōu)? 與 相比較得 （2）將x=0.125m及x=1m代入波動方程，得振動方程分別為

20、 繪y-t圖如圖10.2（a）所示。 （3）將t=0.01s及t=0.02s代入波動方程，得兩時刻的波方程分別為 兩時刻的波形圖如圖10.2（b）所示。 10-6 一平面簡諧波的波動方程為 （1）x=0.2m處的質(zhì)元在t=2.1s時刻的振動相位為多少？此相位所描述的運動狀態(tài)如何？ （2）此相位值在哪一時刻傳至0.4m處？ 解 （1）將t=0.01s及t=0.02s代入波動方程得 此質(zhì)元在此時刻的位置為

21、 速度為 （2）將x=0.4m代入有 得 10-7 一波源做簡諧振動，周期為0.01s,振幅為0.1m，經(jīng)平衡位置向正方向運動時為計時起點，設此振動以的速度沿直線傳播， （1）寫出波動方程； （2）求距波源16m處和20m處的質(zhì)元的振動方程和初相位； （3）求距波源15m處和16m處的兩質(zhì)元的相位差是多少？ 解 （1）取波源的傳播方向為x軸的正向，由題意可知波源振動的初相位為，，所以波方程為

22、 （2）將x=16m和x=20m代入波動方程得振動方程為 所以初相位分別是 （3） 距波源15m和16m處的兩質(zhì)元的相位差為 10-8 有一波在媒介中傳播，其速度，振幅，頻率，若媒介的密度為, (1) 求該波的平均能流密度； （2）求1min內(nèi)垂直通過一面積為的總能量。 解 （1）由知道，該波的平均能流密度為 （2） 1min內(nèi)垂直通

23、過一面積為 的總能量為 10-9 一平面簡諧波沿直徑為0.14m的圓柱形管行進（管中充滿空氣），波的強度為，頻率為 300Hz，波速為，問： (1) 波的平均能量密度和最大能量密度是多少？ （2）每兩個相鄰的，相位差為的波振面之間的波段中有多少能量？ 解 （1）波的平均能量密度為 最大能量密度 （2）波長 所以每兩個相鄰的，相位差為的波段中的能量為

24、 10-10 兩相干波源分別在P,Q兩處，它們相距，如圖10.3所示。由P,Q發(fā)出頻率為，波長為的相干波。R為PQ連線上的一點，求下面的兩種情況兩波在R點的和振幅：（1）設兩波源有相同的初相位；（2）兩波源初相位為。 解 （1）設兩波源有相同的初相位，P,Q兩波源在R點引起振動的相位差為 所以和振幅為 （2） 因為兩波源的初相位差為（假設P振動相位超前Q振動相位），P,Q兩波源在R點引起振動的相位差為

25、 所以合振幅為 10-11 兩個波在一根很長的細繩上傳播，它們的方程分別為 式中，x,y以m計，t以s計。 （1） 試證明這細繩實際上作駐波振動，并求波節(jié)和波腹的位置； （2） 波腹處的振幅為多大？在x=1.2m處質(zhì)元的振幅多大？ 解 （1）任意質(zhì)元在任意時刻的位移為 所以這細繩實際上做駐波式振動。 波節(jié)位置為，即 波腹位置為，即 （2） 波腹處的振幅為 在x=1.2m處質(zhì)元的振幅為 10-12 繩索上的駐波公式為：，求 形成該駐波的兩反向行進波的振幅、波長和波速。 解 把與駐波的標準形式線比較得： 10-13 一警笛發(fā)射頻率為1500Hz的聲波，并以的速度向著觀測者運動，觀測者相對與空氣靜止，求觀測者所聽到的警笛發(fā)出聲音的頻率是多少？（設空氣中的聲速為） 解 觀測者所聽到的警笛發(fā)出的聲音的頻率為