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1、 海盜分金問題異調(diào) 這是一幫亡命之徒，在海上搶人錢財，奪人性命，干的是刀頭上舔血的營生。在我們的印象中，他們一般都瞎一只眼，用條黑布或者講究點的用個黑皮眼罩把壞眼遮上。他們還有在地下埋寶的好習慣，而且總要畫上一張藏寶圖，以方便后人掘取。不過大家是否知道，他們是世界上最民主的團體。參加海盜的都是桀驁不馴的漢子，是不愿聽人命令的，船上平時一切事都由投票解決。船長的唯一特權，是有自己的一套餐具——可是在他不用時，其他海盜是可以借來用的。船上的唯一懲罰，就是被丟到海里去喂魚。 現(xiàn)在船上有若干個海盜，要分搶來的若干枚金幣。自然，這樣的問題他們是由投票來解決的。投票的規(guī)則

2、如下：先由最兇猛的海盜來提出分配方案，然后大家一人一票表決，如果 有 50%或以上的海盜同意這個方案，那么就以此方案分配，如果少于 50%的海盜同意，那么這個提出方案的海盜就將被丟到海里去喂魚，然后由剩下的海盜中最兇猛的那個海盜提出方案，依此類推。 我們先要對海盜們作一些假設。 1) 每個海盜的兇猛性都不同，而且所有海盜都知道別人的兇猛性，也就是說，每個海盜都知道自己和別人在這個提出方案的序列中的位置。另外，每個海盜的數(shù)學和邏輯都很好，而且很理智。最后，海盜間私底下的交易是不存在的，因為 第 1 頁 海盜除了自己誰都不相信。

3、 2) 一枚金幣是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。 3) 每個海盜當然不愿意自己被丟到海里去喂魚，這是最重要的。 4) 每個海盜當然希望自己能得到盡可能多的金幣。 5) 每個海盜都是現(xiàn)實主義者，如果在一個方案中他得到了 1 枚金幣，而下一個方案中，他有兩種可能，一種得到許多金 幣，一種得不到金幣，他會同意目前這個方案，而不會有僥 幸心理。總而言之，他們相信二鳥在林，不如一鳥在手。 6) 最后，每個海盜都很喜歡其他海盜被丟到海里去喂魚。在不損害自己利益的前提下，他會盡可能投票讓自己的同伴喂魚。 現(xiàn)在，如果有

4、 10 個海盜要分 100 枚金幣，將會怎樣？要解決這類問題，我們總是從最后的情形向后推，這樣我們就知道在最后這一步中什么是好的和壞的決定。然后運用這個知識，我們就可以得到最后第二步應該作怎樣的決定，等 等等等。要是直接就從開始入手解決問題，我們就很容易被 這樣的問題擋住去路：“要是我作這樣的決定，下面一個海 盜會怎么做？”以這個思路， 先考慮只有 2 個海盜的情況（所 有其他的海盜都已經(jīng)被丟到海里去喂魚了） 。記他們?yōu)?p1 和 p2，其中 p2 比較兇猛。 p2 的最佳方案當然是： 他自己得 100 枚金幣， p1 得 0 枚。

5、投票時他自己的一票就足夠 50%了。往 第 2 頁 前推一步。現(xiàn)在加一個更兇猛的海盜 p3。 p1 知道—— p3 知 道他知道——如果 p3 的方案被否決了，游戲就會只由 p1 和 p2 來繼續(xù)，而 p1 就一枚金幣也得不到。所以 p3 知道，只要 給 p1 一點點甜頭， p1 就會同意他的方案（當然，如果不給 p1 一點甜頭，反正什么也得不到， p1 寧可投票讓 p3 去喂魚）。所以 p3 的最佳方案是： p1 得 1 枚， p2 什么也得不到， p3 得 99 枚。 p4 的情況差不多

6、。他只要得兩票就可以了，給 p2 一枚金幣 就可以讓他投票贊同這個方案，因為在接下來 p3 的方案中 p2 什么也得不到。 p5 也是相同的推理方法只不過他要說服 他的兩個同伴，于是他給每一個在 p4 方案中什么也得不到 的 p1 和 p3 一枚金幣，自己留下 98 枚。 依此類推， p10 的最佳方案是：他自己得 96 枚，給每一個在 p9 方案中什么也得不到的 p2， p4，p6 和 p8 一枚金幣。 下面是以上推理的一個表（ y 表示同意， n 表示反對）： 現(xiàn)在我們將海盜分金問題推廣： 1) 改變

7、一下規(guī)則，投票中方案必須得到超過 50%的票數(shù)（只 得到 50%票數(shù)的方案的提出者也會被丟到海里去喂魚） ，那么 如何解決 10 個海盜分 100 枚金幣的問題？ 2) 不改變規(guī)則，如果讓 500 個海盜分 100 枚金幣，會發(fā)生什么？ 3) 如果每個海盜都有 1 枚金幣的儲蓄，他可以把這枚金幣用 第 3 頁 在分配方案中，如果他被丟到海里去喂魚，那么他的儲蓄將 被并在要分配的金幣堆中，這時候又怎樣？ 通過對規(guī)則的細小改變，海盜分金問題可以有許多變化，但 是最有趣的大概是 1

8、) 和 2)（規(guī)則仍為 50%票數(shù)即可）的情況， 本帖只對這兩種情況進行討論。 首先考慮 1) ?，F(xiàn)在只有 p1 和 p2 的情形變得對 p2 其糟無比： 1 票是不夠的， 可是就算他把 100 枚金幣都給 p1，p1 也照樣 會把他丟到海里去。可是 p2 很關鍵，因為如果 p3 進行分配 方案的話，即使他一枚金幣也不給 p2， p2 也會同意，這樣 一來 p3 就有 p2 這張鐵票！ p3 的最佳方案就是： 獨吞 100 枚金幣。 p4 要 3 張票，而 p3 是一定反對他的， 而如果不給 p2 一點甜 頭， p2 也

9、會反對，因為 p2 可以在 p3 的方案中得救，目前為 什么不把 p4 丟到海里呢？所以要分別給 p1 和 p2 一枚金幣， 這樣 p4 就有包括他自己 1 票的 3 票。 p4 的方案為： p1， p2 每人 1 枚金幣，他自己 98 枚。 p5 的情況要復雜點，他也要 3 票。 p4 是會反對他的，所以 不用給，給 p3 一枚金幣就能使他支持自己的方案，因為在 接下來的 p4 方案中他什么也得不到。 問題是 p1 和 p2：只要 其中有一個支持就可以了?？墒侵唤o 1 枚金幣是不行的， p4 方案中他們一定有 1 枚金幣可得，所以

10、只要在他們中隨便選 一個，給 2 枚金幣，另一個就對不起了，不給。這樣 p5 的 第 4 頁 方案是：自己 97 枚， p3 得 1 枚， p1 或 p2 得 2 枚。 p6 的方案建立在 p5 的上面，只要給每個 p5 方案中不得益的 海盜 1 枚金幣。 要注意的是， p1 和 p2 都應該看作在 p5 方案 中不得益的：他們可能得 2 枚，可是也可能 1 枚不得，所以 只要 p6 給他們 1 枚金幣，根據(jù)“二鳥在林，不如一鳥在手 “的原則，就可以讓他們支持p6 的方案。所以 p6 的方案是 唯一的： p1

11、， p2，p4 每人 1 枚金幣， p6 自己拿 97 枚。 這樣繼續(xù)下去， p9 的方案是： p3， p5，p7 每人 1 枚金幣，然后在 p1， p2， p4，p6 中任選一人給 2 枚金幣， p9 自己得 95 枚。最后， p10 的方案是唯一的： p1，p2，p4，p6，p8 每人 1 枚金幣， p10 自己得 95 枚。 2) 是最有趣的（提醒：我們 回到 50%票即可的規(guī)則） 。原題解中的推理過程直到 200 個海 盜都是成立的： p200 給每個偶數(shù)號的海盜 1 枚金幣， 包括他 自己，其他海盜什么也得不到。從 p201 開始，繼續(xù)推理就

12、 變得有點困難了： p201 為了不被丟到海里去， 必須什么也不 留給自己，而給從 p1 到 p199 中所有奇數(shù)號海盜每人 1 枚金 幣，從而爭取到 100 票，加上他自己 1 票，逃過一劫。 p202 也什么都得不到， 他必須用這 100 枚金幣買通 100 個從 p201 的方案中什么也得不到的海盜，要注意到現(xiàn)在這個方案不是 唯一的： p201 的方案中得不到金幣的海盜是所有奇數(shù)號的海盜，有 101 個（包括 p201），所以有 101 種方案。 p203 必須得到 102 票，除了自己的 1 票外，他只有 100 枚金

13、第 5 頁 幣，所以只能買到 100 票，所以可憐的家伙就被丟到海里喂 魚了。但是， p203 是個很重要的角色，因為 p204 知道如果 自己的方案不被通過， p203 也一樣會完蛋，所以他有 p203 的一張鐵票。所以 p204 可以大出一口氣：他自己一票，加 上 p203 一票，然后加上用 100 枚金幣買的確 100 票，他就 得救了！ 100 個有幸得到 1 枚金幣的海盜， 可以是 p1 到 p202 中任何 100 個：因為其中的偶數(shù)號的從 p202 的方案中什么 也得不到，如果 p204 給他們中某個海

14、盜 1 枚金幣，這個海 盜一定會贊同這個方案；而編號為奇數(shù)的海盜呢，只是有可 能從 p202 的方案中得益罷了（可能性為 100/101 ），所以根 據(jù)“二鳥在林，不如一鳥在手“的原則，如果能得到 1 枚金 幣，他也會贊同這個方案。 接下去 p205 是不能把希望放在 p203 和 p204 這兩張票上的，因為就算他被丟到海里去， p203 和 p204 還可以通過 p204 的方案機會活下來。 p206 雖然可以靠 p205 的鐵票，加上自己 1 票和 100 枚金幣搞到的 100 票，只有 102 票，所以他也被丟到海里喂魚。 p207 好不了多少

15、，他需要 104 票，而他自己以及 p205 和 p206 的鐵票加上 100 枚金幣搞到的 100 票只有 103 票——只好下海。 p208 運氣比較好，他同樣也要 104 票，可是 p205， p206， p207 都會投票贊成他的方案！加上他自己的 1 票和買來的 第 6 頁 100 票，他 于逃脫了做 食的命運。 我 就有了一種可以一直推下去的新 。海盜可以什 么也不留 自己， 上 100 票，然后依靠一部分一定會被 下海的海盜的

16、票，從而 自己的方案通 。有 運氣的 海盜分 是 p201， p202， p204， p208，p216， p232， p264， p328 和 p456??我 看到 的號 是 200 加上一個 2 的 次 。哪些海盜是受益者呢， 然 票是不用（不能） 金 的。所以只有上一個幸運號 及他以前的那些海盜才有可 能得到 1 枚金 。于是我 得到 500 海盜分 100 枚金 的 是：前 44 個最兇猛的海盜被 海里，然后 p456 給 p1 到 p328 中的 100 個海盜每人 1 枚金 。 就 ，最兇猛的海盜被 海里，而比 兇猛的什么也得 不到，而只有最溫柔的那些海盜，才有可能得到 1 枚金 。 第 7 頁