《《常微分方程》PPT課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《常微分方程》PPT課件.ppt（117頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 1 第一節(jié) 微分方程的基本概念 一、問題的提出 二、微分方程的定義 三、主要問題 求方程的解 四、小結(jié) 思考題 第五章 常微分方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 2 例 1 一曲線通過點 ( 1, 2), 且在該曲線上任一點 ),( yxM 處的切線的斜率為 x2 , 求這曲線的方程 . 解 )( xyy 設(shè)所求曲線為 xdxdy 2 xdxy 2 2,1 yx 時其中 ,2 Cxy 即 ,1C求得 .12 xy所求曲線方程為 一、問題的提出 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 3 例 2 列車在平直的線路上以 20 米 / 秒

2、的速度行駛 , 當(dāng)制動時列車獲得加速度 4.0 米 / 秒 2 , 問開始制動 后多少時間列車才能停??？以及列車在這段時間內(nèi) 行駛了多少路程？ 解 )(, tssst 米秒鐘行駛設(shè)制動后 4.02 2 dt sd ,20,0,0 dtdsvst 時 14.0 Ctdt dsv 2122.0 CtCts 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 4 代入條件后知 0,20 21 CC ,202.0 2 tts ,204.0 tdtdsv 故 ),(504.020 秒t 列車在這段時間內(nèi)行駛了 ).(5 0 05020502.0 2 米s 開始制動到列車完全停住共需 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20

3、21/3/21 5 微分方程 : 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程 . 例 ,xyy ,0)( 2 xdxdtxt ,32 xeyyy ,yxxz 實質(zhì) : 聯(lián)系自變量 ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的 某些導(dǎo)數(shù) (或微分 )之間的關(guān)系式 . 二、微分方程的定義 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 6 微分方程的階 : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之 . 分類 1: 常微分方程 , 偏微分方程 . ,0),( yyxF一階微分方程 );,( yxfy 高階 (n)微分方程 ,0),( )( nyyyxF ).,( )1()( nn yyyxfy 分類 2: 分類 3

4、: 線性與非線性微分方程 . ),()( xQyxPy ;02)( 2 xyyx 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 7 微分方程的解 : 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之 . ,)( 階導(dǎo)數(shù)上有在區(qū)間設(shè) nIxy .0)(,),(),(,( )( xxxxF n 微分方程的解的分類： 三、主要問題 -求方程的解 (1)通解 : 微分方程的解中含有任意常數(shù) ,且任 意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 8 (2)特解 : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解 . ,yy 例 ;xCey 通解 ,0 yy ;c o ss i n 21 xCxC

5、y 通解 解的圖象 : 微分方程的積分曲線 . 通解的圖象 : 積分曲線族 . 初始條件 : 用來確定任意常數(shù)的條件 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 9 過定點的積分曲線 ; 00 ),( yy yxfy xx 一階 : 二階 : 00 00 , ),( yyyy yyxfy xxxx 過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線 . 初值問題 : 求微分方程滿足初始條件的解的問題 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 10 例 3 驗證 : 函數(shù) ktCktCx s i nc o s 21 是微分 方程 0 2 2 2 xk dt xd 的解 . 并求滿足初始條件 0

6、, 0 0 t t dt dx Ax 的特解 . 解 ,c o ss in 21 ktkCktkCdtdx ,s inc o s 22122 2 ktCkktCkdt xd ,2 2 的表達式代入原方程和將 xdt xd 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 11 .0)s i nco s()s i nco s( 212212 ktCktCkktCktCk .s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ,0, 0 0 t t dt dxAx .0, 21 CAC 所求特解為 .c o s ktAx 補充 : 微分方程的初等解法 : 初等積分法 . 求解微分方程 求積分 (

7、通解可用初等函數(shù)或積分表示出來 ) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 12 思考題 函數(shù) xey 23 是微分方程 04 yy 的什么解 ? 思考題解答 ,6 2 xey ,12 2 xey yy 4 ,03412 22 xx ee xey 23 中不含任意常數(shù) , 故為微分方程的 特 解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 13 三、設(shè)曲線上點 ),( yxP 處的法線與 x 軸的交點為 Q , 且線段 PQ 被 y 軸平分 , 試寫出該曲線所滿足的微 分方程 . 一、 填空題 : 1 、 02 2 yxyyx 是 _____ _ 階微分方程； 2 、 0 2 2 c

8、Q dt dQ R dt Qd L 是 ____ __ 階微分方程； 3 、 2 s i n d d 是 ____ __ 階微分方程； 4 、一個二階微分方程的通解應(yīng)含有 ___ _ 個任意常數(shù) .二、確定函數(shù)關(guān)系式 )s i n ( 21 CxCy 所含的參數(shù) , 使 其滿足初始條件 1xy , 0 xy . 練 習(xí) 題 四、已知函數(shù) 1 xbeaey xx , 其中 ba , 為任意常 數(shù) , 試求函數(shù)所滿足的微分方程 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 14 練習(xí)題答案 一、 1 、 3 ； 2 、 2 ； 3 、 1 ； 4 、 2. 二、 . 2 ,1 21 CC 三、

9、02 xyy . 四、 xyy 1 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 15 第二節(jié) 一階微分方程 一、可分離變量的微分方程 二、齊次方程 三、一階線性微分方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 16 一、可分離變量的微分方程 dxxfdyyg )()( 可分離變量的微分方程 . 5 4 22 yx dx dy 例如 ,2 254 dxxdyy 解法 設(shè)函數(shù) )( yg 和 )( xf 是連續(xù)的 , dxxfdyyg )()( 設(shè)函數(shù) )( yG 和 )( xF 是依次為 )( yg 和 )( xf 的原函 數(shù) , CxFyG )()( 為微分方程的解 . 分離變量法 上

10、頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 17 例 1 求解微分方程 .2 的通解xydxdy 解 分離變量 ,2 xdxydy 兩端積分 ,2 xdxy dy 12ln Cxy .2 為所求通解xCey 典型例題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 18 例 2 衰變問題 : 衰變速度與未衰變原子含量 M 成 正比 , 已知 00 MM t , 求衰變過程中鈾含量 )( tM 隨時間 t 變化的規(guī)律 . 解 ,dtdM衰變速度 由題設(shè)條件 )0( 衰變系數(shù) MdtdM dtMdM , dtMdM 00 MM t 代入 ,lnln CtM ,tCeM 即 00 CeM 得 ,C teM

11、M 0 衰變規(guī)律 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 19 思考題 求解微分方程 .2c o s2c o s yxyxdxdy 思考題解答 ,02c o s2c o s yxyxdxdy ,02s i n2s i n2 yxdxdy ,2s i n 2 s i n2 dx x y dy 2c o t2c s cln yy , 2c o s2 C x 為所求解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 20 一、求下列微分方程的通解 : 1 、 0ta ns e cta ns e c 22 xdyyy d xx ； 2 、 0)()( dyeedxee yyxxyx ； 3 、 0

12、)1( 32 x dx dy y . 二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解 : 1 、 xdxyy d yx s i nc o ss i nc o s , 4 0 x y ； 2 、 0s i n)1(c o s y d yey d x x, 4 0 x y . 練 習(xí) 題 練習(xí)題答案 一、 1 、 Cyx ta nta n ； 2 、 Cee yx )1)(1( ； 3 、 Cxy 43 3)1(4 . 二、 1 、 xy c o sc o s2 ； 2 、 ye x c o s221 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 21 二、齊次方程 )( xyfdxdy 形如 的微

13、分方程稱為 齊次方程 . 2.解法 ,xyu 作變量代換 ,xuy 即 代入原式 ,dxduxudxdy ),( ufdxduxu .)( x uufdxdu 即 可分離變量的方程 1.定義 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 22 例 1 求解微分方程 ( 1 c o s ) c o s 0 .y y yd x d y x x x ，令 xyu ，則 u d xxdudy ( 1 c o s ) c o s ( ) 0 ,u u d x u u d x x d u ,c o s xdxu du ,lns i n Cxu .lns i n Cxxy 微分方程的通解為 解 上頁 下頁 返

14、回 結(jié)束 2021/3/21 23 22 22 yxyx xyy dx dy , 1 2 2 2 x y x y x y x y ,xyu 令 ,u d xx d udy 則 ,1 2 2 2 uu uuuxu .2 222 xyy dyyxyx dx 例 2 求解微分方程 解 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 24 ,lnlnln21)2l n (23)1l n ( Cxuuu . )2( 1 2 3 Cxuu u 微分方程的解為 .)2()( 32 xyCyxy ,1122)121(21 xdxduuuuu 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 25 利用變量代換求微分方程

15、的解 23 ( ) .dy xy dx 例 求 的 通 解 解 ,uyx 令 1 dxdudxdy 代入原方程 21 u dx du ,a rc t a n Cxu 解得 得代回 ,yxu ,)a r c t a n ( Cxyx 原方程的通解為 .)t a n ( xCxy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 26 思考題 方程 )()()(20 22 xxydttyttyx 是否為齊次方程 ? 思考題解答 方程兩邊同時對 求導(dǎo) : x ,2 22 yxyyxy ,22 yyxyx ,1 2 x y x yy 原方程 是 齊次方程 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 27

16、 一、 求下列齊次方程的通解 : 1 、 0)( 22 x y d ydxyx ； 2 、 0)1(2)21( dy y x edxe y x y x . 二、 求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解 : 1 、 1,02)3( 0 22 x yxy dxdyxy ； 2 、 ,0)2()2( 2222 dyxxyydxyxyx 1 1 x y . 練 習(xí) 題 練習(xí)題答案 一、 1 、 )ln2( 22 Cxxy ； 2 、 Cyex y x 2 . 二、 1 、 322 yxy ； 2 、 yxyx 22 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 28 )()( xQyxPdxdy 一階

17、線性微分方程 的標(biāo)準(zhǔn)形式 : ,0)( xQ當(dāng) 上方程稱為 齊次的 . 上方程稱為 非齊次的 . ,0)( xQ當(dāng) 三、一階 線性微分方程 例如 ,2xydxdy ,s in 2ttxdtdx ,32 xyyy ,1c o s yy 線性的 ; 非線性的 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 29 .0)( yxPdxdy 齊次方程的通解為 .)( dxxPCey 1. 線性齊次方程 一階線性微分方程的 解法 (使用分離變量法 ) 2. 線性非齊次方程 ).()( xQyxPdx dy 非齊次方程通解形式 與齊次方程通解相比 : )( xuC 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/2

18、1 30 常數(shù)變易法 把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法 . 實質(zhì) : 未知函數(shù)的變量代換 . ),()( xyxu 原未知函數(shù)新未知函數(shù) 作變換 dxxPexuy )()( ,)()()( )()( dxxPdxxP exPxuexuy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 31 代入原方程得和將 yy ,)()( )( CdxexQxu dxxP ),()( )( xQexu dxxP 積分得 一階線性非齊次微分方程的通解為 : dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )( 對應(yīng)齊次 方程通解 非齊次方程特

19、解 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 32 .s i n1 的通解求方程 x xyxy ,1)( xxP ,s i n)( x xxQ Cdxe x x ey dx x dx x 11 s i n Cdxe x xe xx lnln s i n Cxdxx si n1 .c o s 1 Cx x 解 例 1 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 33 例 2 如圖所示，平行與 軸的動直線被曲 線 與 截下的線段 PQ之 長數(shù)值上等于陰影部分的面積 , 求曲線 . y )( xfy )0(3 xxy )(xf ,)()( 230 yxdxxfx x yxyd x0 3 , 兩邊求

20、導(dǎo)得 ,3 2xyy 解 解此微分方程 x y o x P Q 3xy )( xfy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 34 dxexCey dxdx 23 ,663 2 xxCe x ,0| 0 xy由 ,6C得 所求曲線為 ).222(3 2 xxey x 23 xyy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 35 .4 2 的通解求方程 yxyxdxdy ,41 2xyxdxdyy ,yz 令 , 42 2xz xdx dz ,22 Cxxz解得 .2 2 4 Cxxy即 解 ，得兩端除以 y 例 3 伯努利 (Bernoulli)方程 nyxQyxPdxdy )()( )

21、1,0( n 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 36 例 4 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程 : ;22.1 22 xxexyyy 解 ,21 12 yxexyy x ,2)1(1 yyz 令 ,2 dx dyy dx dz 則 ,2 2xxexzdxdz 22 2 Cdxexeez x d xxx d x 所求通解為 ).2( 2 2 2 Cxey x 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 37 ;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy 解 ,xyz 令 ,dxdyxydxdz 則 ,s in 1)(s in 1( 22 zxyxyxxydxdz ,42s i n2

22、Cxzz 分離變量法得 ,代回將 xyz 所求通解為 .4)2s i n (2 Cxxyxy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 38 ;1.3 yxdxdy 解 ,uyx 令 ,1 dxdudxdy則 代入原式 ,11 udxdu 分離變量法得 ,)1l n ( Cxuu ,代回將 yxu 所求通解為 ,)1l n ( Cyxy 11 yeCx y或 另解 .yxdydx 方程變形為 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 39 思考題解答 y yxyy dy dx c o s s i n2s i nc o s ,t a n2si n yxy ,2s int an yxydydx

23、 Cdyeyex yy c o slnc o sln 2si n Cdy y yyy co s co ss i n2co s .c o s2c o s yCy 思考題 求微分方程 的通解 . yxyy yy s i n2s i nc o s c o s 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 40 一、求下列微分方程的通解 : 1 、 x exyy s i n co s ； 2 、 0)ln(ln dyyxy dxy ； 3 、 02)6( 2 y dx dy xy . 二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解 : 1 、 4,5c ot 2 c o s x x yexy dx dy ；

24、 2 、 .0,1 32 13 2 x yy x x dx dy 練 習(xí) 題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 41 三、設(shè)有一質(zhì) 的量為 m 質(zhì)點作直線運動從速度等于零 的時刻起 , 有一個與運動方向一致 , 大小與時間成正 比 ( 比例 1 k系數(shù)為 ) 的力作用于它 , 此外還受 一與速度成正比 ( 比例 2 k系數(shù)為 ) 的阻力作用 , 求質(zhì) 點運動的速度與時間的函數(shù)關(guān)系 . 四、 求下列伯努利方程的通解 : 1 、 2 1 2 1 2 1 yxy x y ； 2 、 0)ln1( 3 dxxxyyx d y . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 42 五、 用適當(dāng)

25、的變量代換將下列方程化為可分離變量的 方程 , 然后求出通解 : 1 、 1 1 yxdx dy ； 2 、 1co ss i n2s i n)1( s i n2 22 xxxyxyy ； 3 、 x y xyxdx dy )(s i n 1 2 . 六、 已知微分方程 )( xgyy , 其中 0,0 10,2 )( x x xg , 試求一連續(xù)函數(shù) )( xyy , 滿 足條件 0)0( y , 且在區(qū)間 ),0 滿足上述方程 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 43 練習(xí)題答案 一、 1 、 xeCxy s i n)( ； 2 、 Cyyx 2lnln2 ； 3 、 23 2

26、 1 yCyx . 二、 1 、 15s i n c o s xexy ； 2 、 1 1 33 2 2 xexxy . 三、 )1( 0 2 2 1 2 1 t m k e k mk t k k v . 四、 1 、 Cxxy ； 2 、 ) 3 2 ( ln 3 2 3 2 2 xxC y x . 五、 1 、 Cxyx 2)( 2； 2 、 Cx xy 1 s in1 ； 3 、 Cxxyxy 4)2s in (2 . 六、 1,)1(2 10,)1(2 )( xee xe xyy x x . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 44 第三節(jié) 可降階的高階微分方程 一、 )()(

27、 xfy n 型的微分方程 二、 ),( yxfy 型的微分方程 三、 ),( yyfy 型的微分方程 基本解法是： 通過代換將其化成較低階的方程來求解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 45 一、 )()( xfy n 型的微分方程 方程解法：通過 n 次積分就可得到方程的通解 . 例 1 求方程 xy cos)3( 的通解 . 解 因為 xy c os)3( , 所以 1s i ndco s Cxxxy , 211 c osd)( s i n CxCxxCxy , 2 1 2 1 2 3 1 ( cos ) d s i n . 2 y x C x C x x C x C x

28、C 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 46 .0)4()5( 的通解求方程 yxy 解 ),()4( xPy 設(shè) 代入原方程 ,0 PPx xCP 1解線性方程 , 得 兩端積分 ,得 原方程通解為 )()5( xPy ）（ 0P ,1)4( xCy 即 ,21 221 CxCy , ,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy 54233251 dxdxdxdxdy 例 2 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 47 二 、 ),( yxfy 型的微分方程 . 方程的特點：方程右端不顯含未知函數(shù) y . 方程的解法：令 )( xpy , 則 )( xpy 代入方程

29、得 )(,()( xpxfxp . 這是一個關(guān)于自變量 x 和未知函數(shù) )( xp 的一階微 分方程 , 若可以求出其通解 ),( 1Cx , 則 ),( 1Cxy 再積分一次就能得原方程的通解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 48 例 3 求方程 2)(12 yyyx 的通解 . 解 因為方程 2)(12 yyyx 不顯含未知函數(shù) y , 所 以令 )( xpy , 則 )()( xpxy ，將其代入所給方程 , 得 212 pppx , 分離變量得 x x p pp dd 21 2 , 兩邊積分 12 lnln)1l n ( Cxp ， 得 xCp 121 . 即 11 x

30、Cp , 也即 11 xCy . 所以 13 22 1 1 2 1 2 ( 1 ) d ( 1 ) 3 y C x x C x C C 為所 求方程的通解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 49 方程的解法：求解這類方程可令 )( ypy 則 p y p x y y yp x y y d d d d d d d d )( , 于是 , 方程 ),( yyfy 可化為 ),( pyf y p p d d . 三 、 ),( yyfy 型的微分方程 方程的特點：右端不顯含自變量 x . 這是關(guān)于 y 和 p 的一階微分方程 , 如能求出其解 ),( 1 Cyp , 則可由 ),( 1

31、 Cy x y d d 求出原方程的解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 50 .02 的通解求方程 yyy 解 ,dydPpy 則 ),(py 設(shè) 代入原方程得 ,02 PdydPPy ,0)( PdydPyP即 ，由 0 PdydPy ,1 yCP 可得 .12 xCeCy 原方程通解為 ,1 yCdxdy 例 4 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 51 .02 的通解求方程 yyy 解 將方程寫成 ,0)( yydxd ,1Cyy 故有 ,1 dxCy dy 即 積分后得通解 .212 CxCy 注意 : 這一技巧性較高 , 關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程 . 例 5 上頁

32、下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 52 例 6. 解初值問題 解 : 令 02 yey ,00 xy 10 xy ),( ypy ,dd yppy 則 代入方程得 積分得 1221221 Cep y 利用初始條件 , ,0100 xy yp,01 C得 根據(jù) yep x y d d 積分得 ,2Cxe y ,00 xy再由 12 C得 故所求特解為 xe y 1 得 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 53 小結(jié) ： 三類可降階的高階方程 ny f x一 、 型 ,y f x y y 二 、 型 不 顯 含 ,y f y y x 三 、 型 不 顯 含 解法：求 n次積分即可 2

33、2, d y d y d pp d x d x d x解 法 ： 令 則 化 為 兩 個 一 階 方 程 求 解 . 2 2 , = , dy d y dp dp pp dx dx dx dy 解 法 ： 令 則 化 為 兩 個 一 階 方 程 求 解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 54 解法 通過代換將其化成較低階的方程來求解 . 思考題 已知 31 y ， 2 2 3 xy ， x exy 2 3 3 都是微分方程 162222 22 xyxyxyxx 的解，求此方程所對應(yīng)齊次方程的通解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 55 思考題解答 321 , yyy

34、 都是微分方程的解 , ,23 xeyy ,212 xy 是對應(yīng)齊次方程的解 , 2 12 23 x e yy yy x 常數(shù) 所求通解為 122231 yyCyyCy .221 xCeC x 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 56 一、求下列各微分方程的通解 : 1 、 x xey ； 2 、 2 1 yy ； 3 、 yyy 3 )( ； 4 、 0 1 2 2 y y y . 二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解 : 1 、 0,1,01 11 3 xx yyyy ； 2 、 1,0,0 00 2 xx yyyay ； 3 、 2,1,3 00 xx yyyy . 三、

35、 試求 xy 的經(jīng)過點 )1,0(M 且在此點與直線 1 2 x y 相切的積分曲線 . 練 習(xí) 題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 57 練習(xí)題答案 一、 1 、 32 1 2 3 CxCx C exey xx ； 2 、 21 )co s (ln CCxy ； 3 、 12 )a rcs i n ( CeCy x ； 4 、 xCxC y 21 1 1 . 二、 1 、 2 2 xxy ； 2 、 )1ln ( 1 ax a y ； 3 、 4 )1 2 1 ( xy . 三、 1 2 1 6 1 3 xxy . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 58 第四節(jié) 二階線

36、性微分方程解的結(jié)構(gòu) 一、兩個函數(shù)的線性相關(guān)性 二、二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu) 四、小結(jié) 思考題 三、二階線性非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 59 二階線性微分方程 )()()(2 2 xfyxQdxdyxPdx yd 時，當(dāng) 0)( xf 二階線性齊次微分方程 時，當(dāng) 0)( xf 二階線性非齊次微分方程 n階線性微分方程 ).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 60 定義 設(shè)函數(shù) y1(x) 和 y2(x) 是定義在某區(qū)間 I 上 的兩個函數(shù) ， k1 y1(x) + k2

37、y2(x) = 0 不失一般性， 考察兩個函數(shù)是否線性相關(guān)， 我們往往采用另一種 簡單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)， 事實上 ， 當(dāng) y1(x) 與 y2(x) 線性相關(guān)時 ， 有 k1 y1 + k2 y2 = 0， 其中 k1, k2 不全為 0， ,0 1 2 2 1 1 k k y yk 則設(shè) 如果存在兩個不全為 0 的常數(shù) k1和 k2， 使 在區(qū)間 I 上恒成立 . 則稱函數(shù) y1(x) 與 y2(x) 在區(qū)間 上 是 線性相關(guān) 的，否則稱為 線性無關(guān) . 一、兩個函數(shù)的線性相關(guān)性 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 61 即 y1 與 y2 之比為常數(shù) . 反之 ，

38、 若 y1 與 y2 之比為常數(shù) ， , 2 1 y y設(shè) 則 y1 = y2，即 y1 - y2 = 0. 所以 y1 與 y2 線性相關(guān) . 因此 ， 如果兩個函數(shù)的比是常數(shù) ， 則它們線性相關(guān)； 例如函數(shù) y1 = ex， y2 = e -x， 1 2 ( yy 常 數(shù) ) ， 如果不是常數(shù) 則它們線性無關(guān) . 例如 線性無關(guān) ,s i n,co s 21 xyxy ,0 yy ,t a n 1 2 常數(shù)且 x y y 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 62 問題 : 一定是通解嗎？2211 yCyCy ( ) ( ) 0y P x y Q x y 12yy如 果 函 數(shù) 與

39、是 方 程 的 兩 個 解 ， 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 y C y C y y P x y Q x y 那 么 也 是 的 解 。 是常數(shù)）（ 21 , CC 二、二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu) 定理 1: 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 63 定理 2 如果函數(shù) y1 與 y2 是二階線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個線性無關(guān)的特解 ， y = C1 y1 + C2 y2 是該方程的通解， 則 其中 C1, C2為任意常數(shù) . 例如 , 方程 有特解 且 xy ta n2 1y 常數(shù) , 故方程的通解為 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/

40、3/21 64 3.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu) : 3定理 是二階非齊次線性方程設(shè) y 的一個特解，)()()( xfyxQyxPy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Y y P x y Q x y f x y P x y Q x y 是 與 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 通 解 ， 是二階非齊次線性微分那么 yYy ( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x 方 程 的 通 解 。 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 65 解的疊加原理 4定理 ( ) ( ) ( ) () y P x y Q x y f x fx 設(shè) 非 齊 次 方 程 的 右 端 是

41、幾 個 函 數(shù) 之 和 ， )()()()( 21 xfxfyxQyxPy 如 分別是方程與而 21 yy )()()( 1 xfyxQyxPy )()()( 2 xfyxQyxPy 就是原方程的特解。的特解，那么 21 yy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 66 一、 驗證 2 1 x ey 及 2 2 x xey 都是方程 0)24(4 2 yxyxy 的解 , 并寫出該方程的通 解 . 二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解 : 1 、 ),(ln 21 2 2 2 1 是任意常數(shù)ccxxcxcy 是方程 043 2 yyxyx 的通解； 2 、 ),( 2 )( 1 21

42、21 是任意常數(shù)cc e ecec x y x xx 是 方程 x exyyyx 2 的通解 . 練 習(xí) 題 練習(xí)題答案 一、 2)( 21 xexCCy . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 67 第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程 一、二階常系數(shù)線性齊次微分方程 思考題 二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 68 定義 )(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 0 qyypy 二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 )( xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3

43、/21 69 一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法 -特征方程法 ,rxey 設(shè) 將其代入上方程 , 得 0)( 2 rxeqprr ,0rxe 故有 02 qprr 特征方程 ,2 4 2 2,1 qppr 特征根 0 qyypy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 70 有兩個不相等的實根 ,2 4 2 1 qppr , 2 42 2 qppr ,11 xrey ,22 xrey 兩個線性無關(guān)的特解 得齊次方程的通解為 ;21 21 xrxr eCeCy )0( 特征根為 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 71 有兩個相等的實根 ,11 xrey ,221 prr )0( 一特

44、解為 得齊次方程的通解為 ;)( 121 xrexCCy 代入原方程并化簡，將 222 yyy ,0)()2( 1211 uqprrupru ,0u知 ,)( xxu 取 ,12 xrxey 則 ,)( 12 xrexuy 設(shè)另一特解為 特征根為 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 72 有一對共軛復(fù)根 ,1 jr ,2 jr ,)(1 xjey ,)(2 xjey )0( 重新組合 )(2 1 211 yyy ,c o s xe x )(21 212 yyjy ,s i n xe x 得齊次方程的通解為 ).s i nc o s( 21 xCxCey x 特征根為 上頁 下頁 返回

45、結(jié)束 2021/3/21 73 定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根 確定其通解的方法稱為 特征方程法 . .044 的通解求方程 yyy 解 特征方程為 ,0442 rr 解得 ,221 rr 故所求通解為 .)( 221 xexCCy 例 1 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 74 .052 的通解求方程 yyy 解 特征方程為 ,0522 rr 解得 ,2121 jr ， 故所求通解為 ).2s i n2c o s( 21 xCxCey x 例 2 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 75 小結(jié) 02 qprr 0 qyypy 二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟

46、 : （ 1）寫出相應(yīng)的特征方程 ; （ 2）求出特征根 ; （ 3）根據(jù)特征根的不同情況 ,得到相應(yīng)的通解 . 特征根的情況 通解的表達式 實根 21 rr 實根 21 rr 復(fù)根 ir 2,1 xrxr eCeCy 21 21 xr exCCy 2)( 21 )s i nc o s( 21 xCxCey x 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 76 思考題解答 ,0y ,ln 2 2 yy yyy ,ln y y y ,ln yyy x ,lnln yy 令 yz ln 則 ,0 zz 特征根 1 通解 xx eCeCz 21 .ln 21 xx eCeCy 思考題 求微分方程 的

47、通解 . yyyyy ln22 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 77 一、 求下列微分方程的通解 : 1 、 04 yy ； 2 、 025204 2 2 x dt dx dt xd ； 3 、 0136 yyy ； 4 、 0365 )4( yyy . 二、 下列微分方程滿足所給初始條件的特解 : 1 、 0,2,044 00 xx yyyyy ； 2 、 3,0,0134 00 xx yyyyy . 三、 求作一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程 , 使 3,2,1 xxx eee 都是它的解 . 四、 設(shè)圓柱形浮筒 , 直徑為 m5.0 , 鉛直放在水中 , 當(dāng)稍 向下壓后突然放開

48、 , 浮筒在水中上下振動的 s2周期為 , 求浮筒的質(zhì)量 . 練 習(xí) 題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 78 練習(xí)題答案 一、 1 、 x eCCy 4 21 ； 2 、 t etCCx 2 5 21 )( ； 3 、 )2s i n2co s( 21 3 xCxCey x ； 4 、 xCxCeCeCy xx 3s in3c os 43 2 2 2 1 . 二、 1 、 )2( 2 xey x ； 2 、 xey x 3s i n 2 . 三、 0 yy . ( 提示 : 為兩個 x e,1 線性無關(guān)的解 ) 四、 195M kg. 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21

49、79 )( xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程 對應(yīng)齊次方程 ,0 qyypy 通解結(jié)構(gòu) ,yYy 常見類型 ),( xPm ,)( xm exP ,co s)( xexP xm ,sin)( xexP xm 難點 ： 如何求特解？ 方法 ： 待定系數(shù)法 . )()( xPexf mx 二、二階常系數(shù)非齊次線性方程解法 主要討論 : 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 80 設(shè)非齊方程特解為 xexQy )( 代入原方程 )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 不是特征方程的根，若 )1( ,02 qp ),()( xQxQ m可設(shè) 是特征方程的單根，若 )2

50、( ,02 qp ,02 p ),()( xxQxQ m可設(shè) ;)( xm exQy ;)( xm exxQy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 81 是特征方程的重根，若 )3( ,02 qp 02 p ),()( 2 xQxxQ m可設(shè) 綜上討論 ,)( xQexy mxk 設(shè) 是重根 是單根 不是根 2 ,1 0 k .)(2 xm exQxy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 82 特別地 xAeqyypy 是特征方程的重根 是特征方程的單根 不是特征方程的根 x x x ex A xe p A e qp A y 2 2 2 , 2 , 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20

51、21/3/21 83 例 1. 的一個特解 . 解 : 本題 而特征方程為 不是特征方程的根 . 設(shè)所求特解為 代入方程 : 比較系數(shù) , 得 3 1,1 10 bb 于是所求特解為 0 ,0 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 84 .23 2 的通解求方程 xxeyyy 解 對應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0232 rr 特征根 ， 21 21 rr ,221 xx eCeCY 是單根，2 ,)( 2 xeBAxxy 設(shè) 代入方程 , 得 xABAx 22 , 1 2 1 B A xexxy 2)1 2 1( 于是 原方程通解為 .)121( 22

52、21 xxx exxeCeCy 例 2 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 85 思考題解答 設(shè) 的特解為 2644 xyyy *1y xeyyy 2844 設(shè) 的特解為 *2y *2y*1* yy 則所求特解為 0442 rr 特征根 22,1 r CBxAxy 2*1 xeDxy 22*2 （重根） *2y*1* yy CBxAx 2 .22 xeDx 思考題 寫出微分方程 xexyyy 22 8644 的待定特解的形式 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 86 一、 求下列微分方程的通解 : 1 、 xeyay 2 ； 2 、 xxeyyy 323 ； 二、 求下列各

53、微分方程滿足已給初始條件的特解 : 1 、 0,1,54 00 xx yyyy ； 2 、 xx exeyyy 2 , 1,1 11 xx yy . 練 習(xí) 題 練習(xí)題答案 一、 1 、 221 1 s inc o s a e axCaxCy x ； 2 、 )3 2 3 ( 22 21 xxeeCeCy xxx . 二、 1 、 xey x 4 5 )511( 16 1 4 ； 2 、 xxx e x e x ex ee y 26 ) 1 2 1 ( 6 12 23 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 87 1、基本概念 微分方程 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程 叫微分方程 微

54、分方程的階 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階 微分方程的解 代入微分方程能使方程成為恒等 式的函數(shù)稱為微分方程的解 微分方程習(xí)題課 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 88 通解 如果 微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且 任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的 解叫做微分方程的通解 特解 確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解， 叫做微分方程的特解 初始條件 用來確定任意常數(shù)的條件 . 初值問題 求微分方程滿足初始條件的解的問題， 叫初值問題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 89 dxxfdyyg )()( 形如 (1) 可分離變量的微分方程 解法

55、 dxxfdyyg )()( 分離變量法 2、一階微分方程的解法 )( xyfdxdy 形如(2) 齊次方程 解法 xyu 作變量代換 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 90 )()( xQyxPdxdy 形如 (3) 一階線性微分方程 ,0)( xQ當(dāng) 上方程稱為齊次的 上方程稱為非齊次的 . ,0)( xQ當(dāng) 齊次方程的通解為 .)( dxxPCey （使用分離變量法） 解法 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 91 非齊次微分方程的通解為 dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( （常數(shù)變易法） (4) 伯努利 (Bernoulli)方程 nyxQyxP dx

56、 dy )()( 形如 )1,0( n 解法 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程 ,1 nyz 令 .)1)( )()1()()1( 1 CdxenxQe zy dxxPndxxPn n 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 92 3、可降階的高階微分方程的解法 解法 ),( xPy 令 特點 .y不顯含未知函數(shù) ),()2( yxfy 型 )()1( )( xfy n 接連積分 n次，得通解 型 解法 代入原方程 , 得 ) ).(,( xPxfP ,Py 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 93 ),( xPy 令 特點 .x不顯含自變量 ),()3( yyfy 型 解法 代入原

57、方程 , 得 ).,( PyfdydpP ,dydpPy 、線性微分方程解的結(jié)構(gòu) （ 1） 二階齊次方程解的結(jié)構(gòu) : )1(0)()( yxQyxPy形如 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 94 定理 1 如果函數(shù) )(1 xy 與 )(2 xy 是方程 (1) 的兩個 解 , 那末 2211 yCyCy 也是 ( 1 ) 的解 . （ 21 , CC 是常 數(shù)）定理 2 ：如果 )(1 xy 與 )(2 xy 是方程 ( 1 ) 的兩個線性 無關(guān)的特解 , 那么 2211 yCyCy 就是方程 ( 1 ) 的通 解 . （ 2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu) : )2()()()(

58、xfyxQyxPy 形如 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 95 定理 3 設(shè) * y 是 )2( 的一個特解 , Y 是與 (2) 對應(yīng) 的齊次方程 (1) 的通解 , 那么 * yYy 是二階 非齊次線性微分方程 (2) 的通解 . 定理 4 設(shè)非齊次方程 (2) 的右端 )( xf 是幾個函 數(shù)之和 , 如 )()()()( 21 xfxfyxQyxPy 而 * 1 y 與 * 2 y 分別是方程 , )()()( 1 xfyxQyxPy )()()( 2 xfyxQyxPy 的特解 , 那么 * 2 * 1 yy 就是原方程的特解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/2

59、1 96 、二階常系數(shù)齊次線性方程解法 )(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn 形如 n階常系數(shù)線性微分方程 0 qyypy 二階常系數(shù)齊次線性方程 )( xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程 解法 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確 定其通解的方法稱為 特征方程法 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 97 02 qprr 0 qyypy 特征根的情況 通解的表達式 實根 21 rr 實根 21 rr 復(fù)根 ir 2,1 xrxr eCeCy 21 21 xr exCCy 2 )( 21 )s i nc o s( 21 xCxCey x 特征方程為 上頁 下頁 返回

60、 結(jié)束 2021/3/21 98 、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法 )( xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程 ( ) ( )x mf x e P x 型 解法 待定系數(shù)法 . ,)( xQexy mxk 設(shè) 是重根 是單根 不是根 2 ,1 0 k 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 99 典型例題 .)c o ss i n()s i nc o s( dy x y x x y yxdx x y y x y xy 求通解 例 1 解 原方程可化為 ), c o ss i n s i nc o s ( x y x y x y x y x y x y x y dx dy 上頁 下頁

61、返回 結(jié)束 2021/3/21 100 ,xyu 令 ., uxuyuxy 代入原方程得 ),c o ss i n s i nc o s( uuu uuuuuxu ,c o s2 c o ss i n xdxduuu uuu 分離變量 兩邊積分 ,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu ,c o s 2xCu ,c o s 2xCxyxy 所求通解為 .c o s Cxyxy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 101 .32 343 yxyyx 求通解例 2 解 原式可化為 ,32 3 4 2 yxy xy ,32 23 1 3 4 xyxyy 即 ,31 yz令 原式變?yōu)?,

62、323 2xzxz ,3 2 2xzxz 即 對應(yīng)齊方通解為 ,32Cxz 一階線性非齊方程 伯努利方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 102 ,)( 32xxCz 設(shè) 代入非齊方程得 ,)( 232 xxxC ,73)( 3 7 CxxC 原方程的通解為 .73 3 2 3 7 3 1 xCxy 利用常數(shù)變易法 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 103 .21 2 y yy 求通解例 3 解 .x方程不顯含 , dydPPyPy 令 代入方程，得 ,21 2 y P dy dPP ,1 12 yCP 解得， ,11 yCP ,11 yCdxdy即 故方程的通解為 .1

63、2 21 1 CxyCC 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 104 .1)1()1(,2 yyexeyyy xx 求特解例 4 解 特征方程 ,0122 rr 特征根 ,121 rr 對應(yīng)的齊次方程的通解為 .)( 21 xexCCY 設(shè)原方程的特解為 ,)(2* xebaxxy ,2)3()( 23* xebxxbaaxy 則 ,2)46()6()( 23* xebxbaxbaaxy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 105 代入原方程比較系數(shù)得將 )(,)(, * yyy ,21,61 ba 原方程的一個特解為 ,26 23 * xx exexy 故原方程的通解為 .2

64、6)( 23 21 xxx exexexCCy ,1)1( y ,1)31( 21 eCC ,6)1()( 3 221 xexxCCCy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 106 ,1)1( y ,1)652( 21 eCC ,31121 eCC ,6512 21 eCC 由 解得 , 1 2 1 , 6 12 2 1 e C e C 所以原方程滿足初始條件的特解為 .26)121(612 23 xxx exexex eey 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 107 . )(),( 1 )()( 2 此方程的通解（） 的表達式；（） ，試求：的齊次方程有一特解為 ，對應(yīng)有一

65、特解為設(shè) xfxp x x xfyxpy 例 5 解 （） 由題設(shè)可得： ),() 1 )( 2 ,02)(2 23 xf x xp x xxp 解此方程組，得 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 108 .3)(,1)( 3xxfxxp （） 原方程為 .31 3xyxy ，的兩個線性無關(guān)的特解 程是原方程對應(yīng)的齊次方顯見 221 ,1 xyy 是原方程的一個特解，又 xy 1* 由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為 .1221 xxCCy 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 109 間鏈條滑過釘子需多少時下垂米，試問整個 邊的一邊下垂米，另一上，運動開始時，鏈條 一無摩擦的釘子一質(zhì)

66、量均勻的鏈條掛在 解 例 6 o x m8 m10 , , 米鏈條下滑了經(jīng)過時間 設(shè)鏈條的線密度為 xt 則由牛頓第二定律得 ,)8()10(2 2 gxgxdt xdm .0)0(,0)0(,99 xxgxgx即 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 110 解此方程得 ,1)(21)( 3 1 3 1 tgtg eetx ,8, x即整個鏈條滑過釘子 代入上式得 )().809l n (3 秒 gt 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 111 一、 選擇題 : 1 、 一階線性非齊次微分方程 )()( xQyxPy 的通 解是 ( ) . (A) )( )()( CdxexQey dxxPdxxP ； (B) dxexQey dxxPdxxP )()( )( ； (C) )( )()( CdxexQey dxxPdxxP ； (D) dxxP cey )( . 2 、方程 yyxyx 22 是 ( ). (A) 齊次方程； (B) 一階線性方程； ( C) 伯努利方程； (D ) 可分離變量方程 . 測 驗 題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/21 112 3