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湘 電 培 訓(xùn) 與 教 學(xué) 2 0 0 7 年 第 3 期 一 、 概 述 幾 何 造 型 是 C A D 中 的 關(guān) 鍵 技 術(shù) 之 一 , 現(xiàn) 代 工 業(yè) 產(chǎn) 品 設(shè) 計(jì) 對(duì) C A D 系 統(tǒng) 處 理 復(fù) 雜 拓 撲 形 體 的 能 力 提 出 了 越 來 越 高 的 要 求 。 雖 然 以 N U R B S 為 代 表 的 造 型 表 示 方 法 已 經(jīng) 取 得 了 非 常 成 功 的 應(yīng) 用 , 但 它 僅 適 于 表 示 規(guī) 則 拓 撲 形 體 ( 單 個(gè) 補(bǔ) 片 ) , 拼 接 和 裁 剪 還 存 在 很 大 困 難 。 細(xì) 分 曲 面 造 型 技 術(shù) 是 一 種 基 于 樣 條 可 細(xì) 化 性 質(zhì) 基 礎(chǔ) 上 的 以 網(wǎng) 格 細(xì) 分 為 特 征 的 離 散 造 型 方 法 , 具 有 表 示 的 任 意 拓 撲 性 , 光 滑 保 證 性 , 計(jì) 算 簡(jiǎn) 單 性 等 傳 統(tǒng) 方 法 難 以 比 擬 的 優(yōu) 點(diǎn) , 是 目 前 國(guó) 際 上 計(jì) 算 機(jī) 圖 形 學(xué) 領(lǐng) 域 的 最 新 技 術(shù) 。 本 文 介 紹 了 幾 種 常 用 細(xì) 分 方 法 及 其 應(yīng) 用 。 二 、 細(xì) 分 方 法 1 . L o o p 細(xì) 分 方 法 L o o p 法 是 C h a r l e s L o o p 提 出 的 一 種 簡(jiǎn) 單 的 基 于 三 角 形 網(wǎng) 格 的 逼 近 型 面 拆 分 細(xì) 分 法 。 它 被 證 明 了 包 括 邊 界 情 況 在 內(nèi) , 即 使 點(diǎn) 的 價(jià) 達(dá) 到 1 0 0 都 可 以 保 持 C 1 階 連 續(xù) 。 L o o p 法 是 基 于 三 向 箱 樣 條 的 細(xì) 分 方 法 , 在 規(guī) 則 網(wǎng) 格 處 可 生 成 C 2 階 連 續(xù) 的 曲 面 , 奇 異 點(diǎn) 處 可 以 有 C 1 階 連 續(xù) , 其 網(wǎng) 格 可 以 是 任 意 的 。 細(xì) 分 規(guī) 則 L o o p 法 的 細(xì) 分 規(guī) 則 如 圖 1 。 其 中 可 為 或 n 3 , = 3 / ( 8 k ) 邊 界 和 折 邊 處 使 用 了 特 殊 規(guī) 則 , 可 以 在 邊 界 和 折 邊 處 生 成 僅 依 賴 于 該 邊 上 點(diǎn) 的 三 次 樣 條 曲 線 。 切 向 量 計(jì) 算 L o o p 規(guī) 則 中 的 切 向 量 是 非 常 簡(jiǎn) 單 的 。 內(nèi) 部 點(diǎn) 的 切 向 量 可 記 為 : ( 1 ) 該 公 式 可 以 在 細(xì) 分 各 個(gè) 的 層 次 應(yīng) 用 。 通 常 , 切 向 量 是 用 來 計(jì) 算 法 向 量 的 。 法 向 量 可 通 過 叉 乘 t 1 t 2 得 到 , 該 叉 乘 可 也 即 由 點(diǎn) 組 成 的 所 有 三 角 形 的 法 線 的 加 權(quán) 平 均 。 法 線 的 標(biāo) 準(zhǔn) 計(jì) 算 方 式 是 該 點(diǎn) 相 鄰 的 所 有 三 角 形 的 法 線 的 平 均 , 上 式 可 以 看 作 是 對(duì) 此 地 一 個(gè) 逼 近 , t 1 t 2 的 計(jì) 算 量 要 比 平 均 所 有 三 角 形 法 線 的 計(jì) 算 量 小 。 圖 1 L o o p 細(xì) 分 規(guī) 則 在 邊 界 上 , 點(diǎn) 沿 邊 界 線 的 切 線 可 為 。 垂 直 于 邊 界 線 的 切 線 可 為 : ( 2 ) 其 中 , 極 限 位 置 控 制 點(diǎn) 在 細(xì) 分 時(shí) , 其 極 限 點(diǎn) 是 一 個(gè) 固 定 點(diǎn) 。 曲 面 細(xì) 分 方 法 及 其 應(yīng) 用 信 息 工 程 系 謝 偉 紅 人 力 資 源 部 葉 亮 榮 【 內(nèi) 容 提 要 】 細(xì) 分 曲 面 造 型 技 術(shù) 是 一 種 基 于 樣 條 可 細(xì) 化 性 質(zhì) 基 礎(chǔ) 上 的 以 網(wǎng) 格 細(xì) 分 為 特 征 的 離 散 造 型 方 法 , 具 有 表 示 的 任 意 拓 撲 性 , 光 滑 保 證 性 , 計(jì) 算 簡(jiǎn) 單 性 等 傳 統(tǒng) 方 法 難 以 比 擬 的 優(yōu) 點(diǎn) 。 本 文 介 紹 了 常 用 幾 種 細(xì) 分 方 法 的 細(xì) 分 規(guī) 則 及 其 應(yīng) 用 。 如 L o o p 細(xì) 分 法 、 蝴 蝶 改 進(jìn) 法 、 C a t m u l l C l a r k 法 和 D o o - S a b i n 法 。 【 關(guān) 鍵 詞 】 細(xì) 分 方 法 L o o p 細(xì) 分 法 蝴 蝶 改 進(jìn) 法 C a t m u l l C l a r k 法 D o o - S a b i n 法 應(yīng) 用 與 實(shí) 用 技 術(shù) 4 5- - 湘 電 培 訓(xùn) 與 教 學(xué) 2 0 0 7 年 第 3 期 ( 3 ) 其 中 對(duì) 于 邊 界 邊 和 折 邊 , 則 為 ( 4 ) 2 . 蝴 蝶 改 進(jìn) 法 蝴 蝶 法 首 先 被 D y n , G r e g o r y 和 L e v i n 提 出 , 最 初 的 蝴 蝶 法 也 是 建 立 在 任 意 三 角 形 網(wǎng) 格 上 的 , 其 極 限 曲 面 在 規(guī) 則 網(wǎng) 格 處 是 C 1 階 連 續(xù) 的 , 但 在 k = 3 和 k 7 的 奇 異 點(diǎn) 處 達(dá) 不 到 C 1 階 光 滑 。 和 基 于 樣 條 的 逼 近 方 法 不 同 , 蝴 蝶 法 不 能 產(chǎn) 生 分 段 多 項(xiàng) 式 曲 面 。 Z o r i n 提 出 了 一 個(gè) 改 進(jìn) 方 案 , 可 以 在 任 意 網(wǎng) 格 上 產(chǎn) 生 C 1 連 續(xù) 的 曲 面 。 其 規(guī) 則 如 圖 2 : 其 中 系 數(shù) s i , 當(dāng) k 5 時(shí) , 為 ; k = 3 , ; 蝴 蝶 法 是 一 種 插 值 型 細(xì) 分 法 , 它 的 偶 點(diǎn) 保 持 不 變 。 圖 2 蝴 蝶 改 進(jìn) 法 細(xì) 分 規(guī) 則 3 . C a t m u l l C l a r k 細(xì) 分 方 法 C a t m u l l - C l a r k 法 是 基 于 張 量 積 雙 三 次 樣 條 建 立 的 , 其 規(guī) 則 如 下 圖 3 . 5 所 示 , 其 中 。 該 法 產(chǎn) 生 的 曲 面 除 在 奇 異 點(diǎn) 處 C 1 連 續(xù) 外 , 其 它 處 處 C 2 連 續(xù) 的 。 圖 3 C a t m u l l C l a r k 細(xì) 分 規(guī) 則 在 邊 界 運(yùn) 用 三 次 樣 條 系 數(shù) 可 以 產(chǎn) 生 滿 意 的 效 果 , 但 不 是 嚴(yán) 格 意 義 的 C 1 連 續(xù) 。 通 過 對(duì) 它 的 改 進(jìn) , 可 以 達(dá) 到 這 種 結(jié) 果 。 如 圖 3 . 6 。 不 過 , 更 好 的 方 法 是 用 取 代 5 / 8 , 用 取 得 1 / 8 。 圖 4 改 進(jìn) C a r m u l l C l a r k 規(guī) 則 C a r m u l l - C l a r k 法 是 基 于 四 邊 形 網(wǎng) 格 定 義 的 , 但 可 以 對(duì) 任 意 多 邊 形 網(wǎng) 格 使 用 C a r m u l l - C l a r k 規(guī) 則 的 通 用 形 式 。 面 點(diǎn) 是 多 邊 形 各 角 點(diǎn) 的 平 均 ; 邊 點(diǎn) 是 邊 的 端 點(diǎn) 和 鄰 面 的 新 面 的 的 平 均 ; 對(duì) 偶 點(diǎn) 的 計(jì) 算 方 式 有 多 種 , 可 用 下 面 的 公 式 : ( 5 ) 4 . D o o - S a b i n 法 D o o - S a b i n 細(xì) 分 是 一 種 點(diǎn) 拆 分 的 細(xì) 分 方 案 , 它 在 概 念 上 非 常 簡(jiǎn) 單 , 其 奇 點(diǎn) 和 偶 點(diǎn) 沒 有 差 異 , 規(guī) 則 的 定 義 也 非 常 簡(jiǎn) 單 , 一 種 表 達(dá) 就 夠 了 , 僅 在 邊 界 處 有 所 不 同 , 邊 界 的 極 限 曲 線 是 二 次 樣 條 線 。 D o o - S a b i n 細(xì) 分 的 規(guī) 則 如 圖 5 所 示 : 應(yīng) 用 與 實(shí) 用 技 術(shù) 4 6- - 湘 電 培 訓(xùn) 與 教 學(xué) 2 0 0 7 年 第 3 期 圖 5 D o o - S a b i n 細(xì) 分 規(guī) 則 其 中 系 數(shù) , 。 對(duì) 于 該 系 數(shù) C a t m u l l 和 C l a r k 還 給 了 另 一 種 定 義 : , 。 該 方 案 被 分 析 是 C 1 連 續(xù) 的 。 同 時(shí) 它 還 有 一 個(gè) 顯 著 的 特 性 : 規(guī) 則 點(diǎn) 細(xì) 分 可 以 看 作 是 兩 次 平 均 步 驟 地 綜 合 。 如 圖 6 。 圖 6 D o o - S a b i n 規(guī) 則 細(xì) 分 可 以 看 作 兩 次 中 點(diǎn) 細(xì) 分 的 綜 合 。 H a b i b 和 W a r r e n 提 出 了 一 種 更 簡(jiǎn) 單 的 方 案 , 在 規(guī) 則 情 況 下 , 只 需 要 三 個(gè) 控 制 點(diǎn) 。 如 圖 7 所 示 。 圖 7 中 邊 ( M i d e d g e ) 細(xì) 分 規(guī) 則 其 中 系 數(shù) 。 中 邊 細(xì) 分 方 案 只 具 有 C 0 階 連 續(xù) , 它 在 規(guī) 則 情 況 下 , 也 可 以 看 作 兩 步 均 值 的 結(jié) 果 , 如 圖 8 所 示 。 圖 8 中 邊 法 規(guī) 則 細(xì) 分 可 以 看 作 兩 次 邊 點(diǎn) 的 平 均 。 三 、 細(xì) 分 方 法 應(yīng) 用 圖 9 為 不 同 的 細(xì) 分 規(guī) 則 細(xì) 分 結(jié) 果 。 一 般 , L o o p 法 和 C a r m u l l C l a r k 法 細(xì) 分 的 結(jié) 果 要 好 看 一 些 , 因 為 它 們 在 規(guī) 則 網(wǎng) 格 上 產(chǎn) 生 的 是 C 2 光 滑 曲 面 。 由 于 正 方 體 的 面 都 是 四 邊 形 , C a t m u l l C l a r k 法 產(chǎn) 生 的 面 最 為 好 看 。 L o o p 法 產(chǎn) 生 的 面 是 不 對(duì) 稱 的 , 因 為 正 方 體 三 角 化 后 本 身 就 是 不 均 勻 的 。 而 D o o - S a b i n 法 和 蝴 蝶 法 的 細(xì) 分 結(jié) 果 和 正 方 體 最 相 似 。 蝴 蝶 改 進(jìn) 法 產(chǎn) 生 的 曲 面 的 質(zhì) 量 最 差 , 因 為 它 是 一 種 插 值 法 。 插 值 的 結(jié) 果 越 接 近 原 曲 面 , 曲 面 的 質(zhì) 量 就 越 差 。 圖 9 不 同 的 細(xì) 分 規(guī) 則 時(shí) , 四 方 體 細(xì) 分 產(chǎn) 生 的 結(jié) 果 圖 1 0 不 同 的 細(xì) 分 規(guī) 則 時(shí) , 四 面 體 的 細(xì) 分 結(jié) 果 圖 1 0 是 四 面 體 的 細(xì) 分 結(jié) 果 , 情 況 大 致 相 同 。 注 意 到 , 對(duì) 于 逼 近 細(xì) 分 方 案 , 都 有 收 縮 的 趨 勢(shì) , 這 也 是 它 們 的 一 個(gè) 特 性 。 如 果 細(xì) 分 結(jié) 果 不 必 插 值 初 始 網(wǎng) 格 的 話 , L o o p 法 和 C a r m u l l - C l a r k 法 在 實(shí) 際 應(yīng) 用 中 運(yùn) 用 的 更 廣 泛 一 些 。 【 參 考 文 獻(xiàn) 】 1 A d i L e v i n . C o m b i n e d s u b d i v i s i o n s c h e m e s , P h D t h e s i s , 2 0 0 0 , T e l - A v i v U n i v e r s i t y . 2 A d i L e v i n , C o m b i n e d s u b d i v i s i o n s c h e m e s f o r t h e d e s i g n o f s u r f a c e s s a t i s f y i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s . C o m p u t e r A i d e d G e o m e t r i c D e s i g n 1 6 ( 5 ) , 1 9 9 9 , p a g e s 3 4 5 - 3 5 4 3 C a t m u l l E , C l a r k J . R e c u r s i v e l y g e n e r a t e d B - s p l i n e s u r f a c e o n t o p o l o g i c a l m e s h e s . C o m p u t e r A i d e d D e s i g n , 1 9 7 8 , 1 0 ( 6 ) : 3 0 0 - 3 5 0 4 D e n i s Z o r i n , P e t e r S c h r ? d e r . I m p l e m e n t i n g s u b d i v i s i o n a n d m u l t i r e s o l u t i o n s u r f a c e s J , S I G G R A P H 2 0 0 0 : 1 0 5 - 1 1 5 應(yīng) 用 與 實(shí) 用 技 術(shù) 4 7- -