《大學物理 第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學物理 第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1 習題精解 3-1 某剛體 繞定軸做勻 速轉(zhuǎn)動， 對 剛體 上距轉(zhuǎn)軸為 r 處的任 意質(zhì)元的法 向加速度為 和切線 加 速度來 正確的是（ ） A. ， 大小 均 隨 時 間 變 化 B. ， 大小 均 保 持 不 變 n a a n a a C. 的大小 變化， 的大小 保持不變 D. 大小保 持不變， 的大小 變化 n a a n a a 解 剛體繞 定軸做勻變 速轉(zhuǎn)動時， 因 為 ， 而 為恒量 ， 所 以 ， 2 , n a r a r = = 0 t = + 故 。 可 見： 的大小 變化， 的大小 保持恒定， 本 題答案為 C. ( ) 2 0 , n a r t a r = +

2、 = n a a 3-2 一飛輪以的角 速度 轉(zhuǎn)動 ，轉(zhuǎn)動慣量為 ，現(xiàn)施加一恒 定的 制動 1 300 min r ad 2 5k g m 力矩， 使飛輪在 2s 內(nèi)停止 轉(zhuǎn)動，則該 恒定制動力 矩的大小為_________. 解 飛輪轉(zhuǎn) 動的角速度 為 所以該 恒定制 ( ) 2 0 0 0 1 300 2.5 2 2 60 r ad s t = = = = 動力矩 大小為 。 ( ) 5 2.5 12.5 M J N m = = = 3-3 一飛輪 半徑 ， 以 轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)動， 受 制動 均勻減速， 經(jīng) 后靜 1 r m = 1 1500 min n r = 50 t s = 止 ， 試 求

3、 ： （1 ）角 速 度 和從 制 動 開 始 到 靜 止 這 段 時 間 飛 輪 轉(zhuǎn) 過 的 轉(zhuǎn) 數(shù)； （2 ）制 動 開 始 后時飛 輪的角速度 ； （ 3 ）在時 飛輪邊緣上 一點的速度 和加速度。 25 t s = 解 （1）角加 速度 ( ) 2 0 1500 2 3.14 0 2 60 3.14 50 50 n r ad s t = = = = 從制動 開始到靜止 這段時間飛 輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn) 數(shù) ( ) 2 2 0 1500 1 1 2 3.14 50 3.14 50 60 2 2 625 2 2 2 3.14 t t N + = = = = 圈 （2）制動 開始后 時飛輪 的角速度

4、25 t s = ( ) 2 0 1500 2 2 3.14 3.14 25 78.5 60 t n t r ad s = + = + = = （3）在 是飛輪 邊緣上一點 的速度和加 速度分別為 25 t s = ( ) ( ) ( ) 1 78.5 1 78.5 v r m s = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 78.5 1 3.14 6.16 10 3.14 n a a n a r n r n r n m s = + = + = + = 3-4 有 A、B 兩個半 徑相同、質(zhì) 量也相同的 細圓環(huán)，其中 A 環(huán)的質(zhì) 量分布均勻 ，而 B 環(huán)的質(zhì)2

5、量分布 不均勻。若 兩環(huán)對過環(huán) 心且與環(huán)面 垂直軸的轉(zhuǎn) 動慣量分別 為 和 ，則有 （） A J B J A. B. C. D. 無法確 定 和 的相對 大小。 A B J J A B J J A B J J = A J B J 解 因為轉(zhuǎn)動慣量 , 對于細圓環(huán)而言，各質(zhì)元 到轉(zhuǎn)軸的距離均為圓環(huán)的半徑， 2 m J r dm = d m 即 ， 所以 。故 A,B 兩個半 徑相同、 質(zhì)量 也相同的細 圓環(huán)， 不 論 r = 恒量 2 2 m J r dm m r = = 其質(zhì)量 在圓環(huán)上如 何分布， 兩 環(huán) 對過環(huán)心且 與環(huán)面垂直 軸的轉(zhuǎn)動慣 量 ， 本 題答案 為 A B J J = C 。

6、 3-5 剛體的 轉(zhuǎn)動慣量取 決于______ 、________ 和____________ 等 3 各因素 。_ 解 干體的 轉(zhuǎn)動慣量取 決于：剛體 的總質(zhì)量、 質(zhì)量的分布 和轉(zhuǎn)軸的位置 3 個元素 。 3-6 如圖 3.4 所示，細棒的長為 。設(shè)轉(zhuǎn)軸通過棒上離中心距離為 d 的一點并與棒垂直，求 l 棒對此軸的轉(zhuǎn)動慣量 。試說明這一轉(zhuǎn)動慣量與 棒對過棒中心并與此軸平行的轉(zhuǎn)軸的 O J O J 轉(zhuǎn)動慣 量 之間的 關(guān)系（此為 平行軸定理 ） 。 O J 解 如圖 3.4 所示， 以過 點垂直 于棒的直線 為軸，沿棒 長方向為 軸，原 點在 O x O 處，在 棒上取一原 長度元 ，則 dx

7、 ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 1 12 d O d m m J x dm x dx m l m d l + = = = + 所以 與 之間的 關(guān)系為 O J O J 2 O O J J m d = + 3-7 一輕繩 在具有水平 轉(zhuǎn)軸的定滑 輪上， 繩 下掛一 物體， 物 體的質(zhì) 量為 m ， 此 時滑輪的 角 加 速度為 ， 若 將物體 取下， 而 用大小 等于 ， 方 向向下 的拉繩子， 則 滑 輪的角加速 度將 （ ） m g A. 變大 B. 不變 C. 變小 D. 無法確 定 解 設(shè)滑輪 的半徑為 ,轉(zhuǎn)動慣 量為 ，如圖 3.5 所示。 使用大小等 于 ，方向 向

8、下的力拉 R J m g 繩子時 ，如圖 3.5 （a ）,滑輪產(chǎn) 生的角加速 度為 。 m gR J = 繩下段 掛一質(zhì)量為 m 的物體 時，如圖 3.5（b） ， 若 設(shè)繩子此時 的拉力為 T ，則 對物體 有： m g T m R = 對滑輪 有： T R J = 此時滑 輪產(chǎn)生的角 加速度為 2 m gR J m R = + 比較可知，用大小等于 ，方向向下的拉力拉繩子時，滑輪產(chǎn)生的角加速度變大，本題 m g3 答案為 A. 3-8 力矩、 功和能量的 單位量綱相 同，它們的 物理意義有 什么不同？ 解 雖然力 矩、功和 能量的單位 量綱相同， 同為 , 但物理 量的量綱相 同，并不

9、意味 著 2 2 L M T 這些物 理量的物理 意義相同， 力 矩 為矢量 ， 而 功 和能量 均為標量。 力 矩通 過做功的過 程使 物 體的轉(zhuǎn) 動狀態(tài)發(fā)生 變化，以改 變物體所具 有的能量。 3-9 如圖 3.6 所示 ， 兩 物 體 的 質(zhì) 量 分 別 為 和 ，滑 輪 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 為 ，半 徑 為 r 。若 1 m 2 m J 與桌面 的摩擦系數(shù) 為 ， 設(shè) 繩子與 滑動間無相 對滑動， 試 求系 統(tǒng)的加速度 a 的大小 及 繩 2 m 子中張 力 和 的大小 。 1 T 2 T 解 分析受 力如圖 3.6 所示。 和 可視為 質(zhì)點， 設(shè)其加 速度分別為 和 ， 則由牛頓 運

10、 1 m 2 m 1 a 2 a 動定律 得 1 1 1 1 2 2 2 2 m g T m a T m g m a = = 滑輪作 定軸轉(zhuǎn)動， 則由轉(zhuǎn)動定 律有 1 2 T r T r J = 由于繩 子與滑輪間 無相對滑動 ，所以 1 2 a a a r = = = 聯(lián)立以上 4 個方程 可得，系統(tǒng) 的加速度 的大小 及繩子中張 力 和 的大小 分別為 a 1 T 2 T 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , , J J m m m m m m r r a g T m g T m g J J J m m m m m m r r r + +

11、= = = + + + + + + 3-10 如圖 3.7 所示。 兩 個 半 徑不 同 的 同 軸滑 輪 固 定 在一 起 ， 兩 滑輪 的 半 徑 分別 為 和 ， 1 r 2 r 兩個滑 輪的轉(zhuǎn)動慣 量分別為 和 ，繩子 的兩端分別 懸掛著兩個 質(zhì)量分別為 和 的物 1 J 2 J 1 m 2 m 體， 設(shè) 滑 輪與軸之間 的摩擦力忽 略不計， 滑 輪 與繩子之間 無相對滑動 ， 繩 子的 質(zhì)量也忽略 不 計，且 繩子不可伸 長。試求兩 物體的加速 度的大小和 繩子中張力 的大小。 解 分析受 力如圖 3.7 所示。 和 可視為 質(zhì)點，設(shè)其 受繩子的拉 力分別為 和 ，加速 1 m 2

12、m 1 T 2 T 度分別 為 和 ，則由 牛頓第二運 動定律得 1 a 2 a 1 1 1 1 2 2 2 2 m g T m a T m g m a = = 滑輪作 定軸轉(zhuǎn)動， 則有轉(zhuǎn)動定 律有4 ( ) 1 1 2 2 1 2 T r T r J J = + 由于繩 子與滑輪間 無相對滑動 ，所以 1 1 2 2 , a r a r = = 聯(lián)立以上 5 個方程 可得，兩物 體的加速度 和繩子中的 張力分別為 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1

13、1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 m r m r r g a J J m r m r m r m r r g a J J m r m r J J m r m r r m g T J J m r m r J J m r m r r m g T J J m r m r = + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + 3-11 如圖 3.8 所示， 質(zhì) 量為 m ， 長 為 的均勻 細桿， 可 繞通過 其一端 O 的水平 軸轉(zhuǎn)動， 桿 的 l 另一端與質(zhì)量為 m 的小球固連在一起，當該系

14、統(tǒng)從水平位置有靜止轉(zhuǎn)動 角時，系統(tǒng)的角 速度 _________ 、動能 __________, 此過程 中力矩所做 的功 __________. = k E = W = 解 在任意 位置時，受 力分析如圖 3.8 所示。 系統(tǒng)所受的 合外力矩為 3 cos cos cos 2 2 l M m g m gl m gl = + = 則在此 過程中合外 力矩所做的 功為 0 0 3 3 cos sin 2 2 W M d m gl d m gl = = = 系統(tǒng)的 轉(zhuǎn)動慣量為 2 2 2 1 4 3 3 J m l m l m l = + = 于是剛 體定軸轉(zhuǎn)動 的動能定理 可寫為 2 2 3 1

15、 4 sin 2 2 3 m gl m l = 所以系 統(tǒng)的角速度 為 ，系統(tǒng) 的動能為 3 sin 2 g l = 2 1 3 sin 2 2 k E J m gl = = 3-12 一個張開雙臂手握啞鈴坐在轉(zhuǎn)椅上，讓轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)動起來，若此后無外力矩作用，則當此 人收回 雙臂時，人 和轉(zhuǎn)椅這一 系統(tǒng)的（ ） 。 A. 轉(zhuǎn)速加 大，轉(zhuǎn)動動 能不變 B. 角動量 加大 C. 轉(zhuǎn)速和 轉(zhuǎn)動動能變 化不清楚 D. 角動量 保持不變 解 因為系統(tǒng) 無 外力 矩的 作 用， 所以 系 統(tǒng)的 角動 量 守恒 ，及 ，當人收 回 雙臂 時， 0 J J = 轉(zhuǎn)動系 統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣 量減少，即 ，所以 ，故轉(zhuǎn) 速增大

16、。 0 J J 5 又因為 ，所 以 。因此 轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動 動能都增大 ， 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 k K J E J E J J = = = 0 k k E E 求角動 量守恒。所 以本題的正 確答案為 D 3-13 如圖 3.9 所示。 有一半徑為 R ，質(zhì)量為 M 的勻質(zhì) 盤水平放置 ，可繞通過 盤心的豎直 軸 作定 軸 轉(zhuǎn) 動 ， 圓 盤 對 軸 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 。當 圓 盤 以 角 速 度 轉(zhuǎn)動 時 ， 有 一 質(zhì) 量為 2 1 2 J M R = 0 的橡皮泥（可視為質(zhì)點）豎直落在圓盤上，并粘在距轉(zhuǎn)軸 處，如圖所示。那么橡皮 m 1 2 R 泥和盤 共

17、同角速度 ________. = 解 對于圓 盤和橡皮泥 組成的系統(tǒng) 而言， 所 受的 合外力矩為 零， 所 以系統(tǒng) 的角動量守 恒， 于 是有 2 0 1 2 J J m R = + 因為圓 盤對軸的轉(zhuǎn) 動慣量 2 1 2 J M R = 所以橡 皮泥和盤的 共同角速度 為 0 2 2 M M m = + 3-14 如圖 3.10 所示。 以 質(zhì) 量為 的小球 由一繩子系 著， 以 角 速度 在無摩 擦的水平面 上 ， m 0 繞圓心 O 作半徑 為 的圓周 運動。 若 在 通過圓心 O 的繩子 端作用一豎 直向下的拉 力 ， 小 0 r F 球則作 半徑為 的 圓 周 運 動 。 試 求

18、： （1）小球 新的角速度 ； （ 2）拉力 所做的 功。 0 2 r F 解 （1）在拉 力 拉小球 的過程中， 由于拉力 通過了 軸心，因此 小球在水平 面上轉(zhuǎn)動的 F F 過程中 不受外力矩 的作用，故 其角動量守 恒。于是有 0 0 J J = 即 ( ) 2 2 0 0 0 1 2 m r m r = 小球新 的角速度 。 0 4 = （2 ） 隨 著小 球轉(zhuǎn)動角速 度的增加， 其 轉(zhuǎn) 動動能 也在增加， 這 正 是拉力 做功的 結(jié)果。 于 是 F 有定軸 轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動 定理得拉力 所做的 功為 F 6 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1

19、 1 1 1 3 4 2 2 2 2 2 2 W J J m r m r m r = = = 3-15 如圖 3.11 所示。A 與 B 兩個飛 輪的軸桿可 由摩擦嚙合 器使之連接 ，A 輪的轉(zhuǎn) 動慣量 為 ， 開 始時 B 輪靜止 ， A 輪以 的轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)動， 然 后時 A 與B 2 10.0 A J k g m = 1 600 min A n r = 連接， 因而 B 輪得到 加速度而 A 輪減速 ，直到兩 輪的轉(zhuǎn)速都 等于 為止 。 1 200 min A B n r = 求 ： （1）B 輪的轉(zhuǎn) 動慣量 ； （ 2 ）在嚙 合過程中損 失的機械能 。 B J 解 （1） 兩 飛 輪在軸

20、方向 嚙和時， 軸 向 受的力 不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動 力矩， 所 以兩飛 輪構(gòu)成的系 統(tǒng)角 動 量守恒 。于是有 ( ) A A A B A B J J J = + 所以 B 輪的轉(zhuǎn) 動慣量為 ( ) 2 20.0 A A B A A B B A A A B A B n n J J J k g m n = = = （2）有兩 飛輪在嚙和 前后轉(zhuǎn)動動 能的變化可 得嚙和過程 中系統(tǒng)損失 的機械能為 ( ) ( ) 2 2 4 1 1 1.31 10 2 2 A A A B A B E J J J J = + = 3-16 質(zhì)量為 ， 長 為 的均勻 細棒， 可 繞垂直與 棒的一端的 水平軸無摩 擦的轉(zhuǎn)動

21、。 0.06 k g 0.2 m 若將此 棒放在水平 位置， 然 后任其開 始轉(zhuǎn)動， 試 求： （1）開 始 轉(zhuǎn) 動 時 的 角 加 速 度 ； （2） 落 到 豎 直 位 置 時 的 動 能 ； （3）落至 豎直位置時 對轉(zhuǎn)軸的角 動量。 解 根據(jù)題 意作圖 3.12. （1）開始 轉(zhuǎn)動是角加 速度為 ( ) 2 2 3 2 73.5 1 2 3 l m g M g r ad s J l m l = = = = （2）在下 落過程中， 系統(tǒng)（棒和 地球）受的 重力為保守 力，軸的支 持力始終不 做功，因此 系統(tǒng)的 機械能守恒 ，所以落到 豎直位置時 的動能為 ( ) 2 1 0.06 2 2

22、 l E J m g J = = = （3）因為 ，所以落至豎直位置時對轉(zhuǎn)軸的角速度為 ，故落至豎 2 1 2 2 l J m g = m gl J = 直位置 是對轉(zhuǎn)軸的 角動量 ( ) 2 3 2 3 2 1 1 9.7 10 3 3 m gl L J J m gl m l m gl k g m s = = = = = 3-17 如圖 3.13 所示。 一均勻細棒 長為 ，質(zhì)量為 m ，可繞 通過端點 的水平 軸在豎直平 面 l O 內(nèi)無摩 擦的轉(zhuǎn)動。 棒 在 水平位 置時釋放， 當 它 落到豎 直位置時與 放在地面上 一靜止的物 體 碰7 撞。該物體與地面之間的摩 擦系數(shù)為 ，其質(zhì)量也為

23、 m ，物體滑行 s 距離后停止。求碰撞 后桿的 轉(zhuǎn)動動能。 解 根據(jù)題 意可知此題 包含 3 個物理 過程。 第一過 程為均勻細 棒的下落過 程。 在 此過程 中， 以 棒和地 球構(gòu)成的系 統(tǒng)為研究對 象， 棒 受 的 重力為 保守力，軸 對棒的支持 力始終不做 功，所以系 統(tǒng)的機械能 守恒，則 2 2 1 1 2 2 3 l m g m l = 第二過 程為均勻細 棒與物體的 碰撞過程。 在此過程中 ，以棒和物 體構(gòu)成的系 統(tǒng)為研究對 象， 物體所 受的摩擦力 對轉(zhuǎn)軸 的力矩 與碰撞的沖 力矩相比較 可忽略， 所 以系統(tǒng)的 角動量守恒 ， O 則 2 2 1 1 3 3 m l m l m

24、 v l = + 其中 為碰撞 后瞬時棒的 角速度， 為碰撞 后瞬時物體 與棒分離時 物體的速率 。 v 第三過 程為分離以 后的過程。 對于棒而言 ，棒以角速 度 繼續(xù)轉(zhuǎn) 動；對于物 體而言，物 體在水 平面內(nèi)僅受 摩擦力的作 用，由質(zhì)點 的動能定律 得 2 1 2 m v m gs = 聯(lián)立以上 3 個方程 可得碰撞后 桿的轉(zhuǎn)動動 能為 ( ) 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 3 6 k E m l m gl gs = = 3-18 如圖 3.14 所示， 一勁度系數(shù)為 k 的輕彈 簧與一輕柔 繩相連，該 跨過一半徑為 R ，轉(zhuǎn)動 慣量為 J 的定滑輪，繩的另一端懸掛 一質(zhì)量 為

25、m 的物體，開始時彈簧無伸長 ，物體由靜止 釋放。 滑 輪 與軸之 間的摩擦可 以忽略不計 ， 當 物體下落 h 時， 試 求 物體的速度 ， （ 1） 用 牛 v 頓定律 和轉(zhuǎn)動定律 求解； （2）用守 恒定律求解 。 解 （1）用牛 頓定律和轉(zhuǎn) 動定律求解 。 建立坐 標系及受力 分析如圖 3.14 所示。 則由牛頓定 律和轉(zhuǎn)動定 律得 對于物 體有： 1 m g T m a = 對于滑 輪有： ( ) 1 2 T T R J = 對于彈 簧有： 2 T k x = 物體的 加速度與滑 輪邊緣的切 向加速相同 ，即 a R = 聯(lián)立以上 4 個方程 可得 2 m g k x a J m R

26、 = + 因為 dv dv dx dv a v dt dx dv dx = = =8 所以有 2 dv m g k x v J dx m R = + 整理并 積分有 0 0 2 v h m g k x v dv dx J m R = + 解之可 得物體的速 度為 2 2 2 m gh k h v J m R = + （2 ） 用守恒 定律求解 由于滑 輪和軸之間 的摩擦忽略 不計， 系 統(tǒng) （ 彈簧、 滑 輪 、 物 體 和地球） 僅 受 保守力 （ 重 力和彈 力）的作用 ，所以系統(tǒng) 的機械能守 恒，若以物 體 的初始 位置處為勢 能零點，則 m 2 2 2 1 1 1 2 2 2 v m gh m v J k h R = + + 解之得 物體的速度 為 2 2 2 m gh k h v J m R = +