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1、電磁學(趙凱華)答案[第2章 穩(wěn)恒磁場] 1.一邊長為2a的載流正方形線圈，通有電流I。試求：(1)軸線上距正方形中心為r0 處的磁感應強度；(2) 當a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或10cm時，B等于多少特斯拉？ 解（1）沿軸向取坐標軸OX，如圖所示。利用一段載 流直導線產(chǎn)生磁場的結(jié)果， 正方形載流線圈每邊在點P產(chǎn)生的磁感應強度的大小 均為:,式 中: 由分析可知，4條邊在點P的磁感應強度矢量的方向并不相同，其中AB邊在P點的B1方向如圖所示。由對稱性可知，點P上午B應沿X軸，其大小等于B1在X軸投影 的4倍。設(shè)B1與X軸夾角為α則: 把r0=10cm

2、, a=1.0cm ,I=5.0A 帶入上式，得B=3.910-7(T)。把r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 帶入上式，得B=2.810-7(T)。可見，正方形載流線圈中心的B要比軸線上的一點大的多。2. 將一根導線折成正n邊形，其外接圓半徑為a，設(shè)導線栽有電流為I，如圖所示。試求：(1)外接圓中心處磁感應強度B0；(2) 當n→∞時，上述結(jié)果如何？ 解: （1）設(shè)正n邊形線圈的邊長為b，應用有限長載流直導線產(chǎn)生磁場的公式，可知各邊在圓心處的感應強度大小相等，方向相同，即： 所以，n邊形線圈在O點產(chǎn)生的磁感應強度為： 因為2θ=2π/n,θ=π/n，故有：由右手法則，B0

3、方向垂直 于紙面向外。 （2）當n→∞時，θ變的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述結(jié)果中，得： 此結(jié)果相當于一半徑為a，載流為I的圓線圈在中心O點產(chǎn)生磁感應強度的結(jié)果，這一點在n→∞時， 是不難想象的。 3. 如圖所示，載流等邊三角形線圈ACD，邊長為2a，通有電流I。試求軸線上距中心為r0處的磁感應強度。 解:由圖可知，要求場點P的合場強B，先分別求出等邊三角形載流線圈三條邊P點產(chǎn)生的磁感應強度Bi ，再將三者進行矢量疊加。 由有限長載流導線的磁場公式可知，AC邊在P點產(chǎn)生的磁感應強度BAC的大小為： 由于⊿ACP為等腰三角形，且PC垂直AC，即： 代入上述結(jié)果中，得：

4、由右手螺旋定則可知，BAC的方向垂直于ACP平面向外， 如圖所示。由對稱性可知，AC，CD，DA三段載流導線在P 點產(chǎn)生的磁感應強度BAC、BCD、BDA在空間方位上對稱， 且它們在垂直于Z軸方向上的分量相互抵消，而平行于Z軸 方向上的分量相等，所以： 根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，O點是⊿ACP的中心，故:，并由⊿EOP可知 sinα=,所以P點的磁感應強度BP的大小為： 磁感應強度BP的方向沿Z軸方向。 4. 一寬度為b的半無限長金屬板置與真空中，均勻通有電流I0。P點為薄板邊線延長線上一點，與薄板邊緣距離為d。如圖所示。試求P點的磁感應強度B。 解: 建立坐標軸OX，如圖所示，P

5、點為X軸上一點。整個金屬板可視為無限多條無限長的載流 導組成，取其任意一條載流線，其寬度為dx，上載有電流dI=I0dx/b， 它在P點產(chǎn)生的場強為： dB的方向垂直紙面向里。由于每一條無限長直載流線P點激發(fā)上 的磁感應強度dB具有相同的方向，所以整個載流金屬板在P點產(chǎn) 生的磁感應強度為各載流線在該點產(chǎn)生的dB的代數(shù)和，即： BP方向垂直紙面向里。 5. 兩根導線沿半徑方向引到金屬環(huán)上的A、C兩點，電流方向如圖所示。試求環(huán)中心O 處的磁感應強度。 解: 由畢-薩定律可知，兩載流直線的延長線都通過圓心O，因此 她們在O點產(chǎn)生的磁感應強度為零。圖中電流為I1的大圓弧在 O點產(chǎn)生

6、的B2的方向垂直紙面向里。應用載流圓線圈在中心處 產(chǎn)生磁場的結(jié)果B=μ0I/2r，可知B1、B2的大小 為: 則O點的磁感應強度的大小 為: 設(shè)大圓弧和小圓弧的電阻為R1、R2，則: 有:, 因大圓弧和小圓弧并聯(lián)，故I1R1 = I2R2，即:,代入表達式得 B0=0。 6. 如圖所示，一條無限長導線載有電流I，該導線彎成拋物線形狀，焦點到頂點的距離為a，試求焦點的磁感應強度B。 解: 本題采用極坐標。用畢-薩定律得電流元Idl在焦點P處產(chǎn)生的磁感應強度為: , 由于Idl與r的夾角為θ，由圖可知，Idlsinθ=Irdψ, 所以dB的大小為:, 方向由右手螺旋定則可知

7、， 垂直紙面向外。由于所有電流元Idl在P點產(chǎn)生的磁 感應強度方向相同，所以P點 的總產(chǎn)生的磁感應強度 為:,因拋物線的極坐標方 程為: , 因此: 7. 如圖所示，兩塊無限大平行載流導體薄板M、N，每單位寬度上所載電流為j，方向如圖所示，試求兩板間Q點處及板外P點處的磁感應強度B。 解: 無限長載流直導線產(chǎn)生磁感應強度的公式 B=μ0Ir0/2πr可知，M板Q點激發(fā)的磁感應強度BM 的大小為：, dBx = -dBcosα， dBy = dBsinα由對稱性可知：, 設(shè)Q 點到M板的垂直距離為a，則： 由幾何關(guān)系可知：a/r=cosα,x=tanα,dx=ada/c

8、os2α，代 入上式： BM的方向沿X軸方向，因此，Q點的磁感應強度BM+BN=0，采用同樣的方法得，M板在P 點產(chǎn)生磁感應強度為： N板在P點產(chǎn)生磁感應強度為：,表明在P點兩塊板產(chǎn)生磁感應強度相同，所以P 點的B為B = BM+BN= -μ0ji，B的方向沿X軸負向。 8. 如圖所示，通有電流強度為I的細導線，平行的、緊密的單層纏繞在半個木球上，共有N匝，設(shè)木球的半徑為R，試求球心O點處的磁感應強度。 解: 由圖可知，繞有載流導線的木球可看成是有無限多 個不同半徑的同心載流圓線圈組成，球心O在載流圓線 圈的軸線上，則球心O點的磁感應強度B0是各個載流 圓線圈在該點激發(fā)的磁

9、感應強度的矢量和。如圖坐標系 OXY，在X軸線上距原點Ox處任取一弧寬為dl的圓環(huán)， 半徑為y，圓環(huán)上繞有dN匝導線，即： 通過該圓環(huán)上的電流dI=IdN=2INdθ/ π,由載流線圈在軸 線上任意一點產(chǎn)生的磁感應強度公式，可知dI在O點激 發(fā)的磁感應強度dB大小為： dB的方向沿X軸正向。由幾何關(guān)系：x=Rsinθ,y=Rcosθ,帶入上式得： 由于所有載流線圈在O點激發(fā)的B方向相同，故O點總的磁感應強度可由矢量積分簡化為標量積分，即： B0的方向沿X軸正向。 9.均勻帶電的球面繞著它的某一直徑作勻速旋轉(zhuǎn)。試求在該球面上各點的磁感應強度B. 解: 如圖所示，均勻帶電的球面

10、繞沿X軸的直徑以角速度ω旋轉(zhuǎn)。球面上任意面元所帶電荷因旋轉(zhuǎn)而形成電流。將球面分成許多環(huán)狀球帶，每一球帶因旋轉(zhuǎn)而形成的電流在X軸上任意一點P 處都將產(chǎn)生磁感應強度dB。設(shè)球面半徑為R，面電荷密度為σ，繞沿X軸的直徑以角速度為ω旋轉(zhuǎn)，球心在原點O。取從φ到（φ+dφ）的環(huán) 狀球帶，其面積為dS=2πrdl=2πrRdφ，所帶電 量為dQ=σdS=2πRrσdφ，由于旋轉(zhuǎn)，該球帶上 電荷形成沿環(huán)狀帶流動的電流，電流強度為 dI=dQ/T ,T為旋轉(zhuǎn)周期，故： dI=ωdQ/2π=ω2πRrσdφ/2π=Rσωr dφ 設(shè)該環(huán)狀球帶的中心位于x處，則： x=Rcosφdx= -Rsinφ

11、dφ = -rdφ 因此，dI可表為dI = -Rσωdx，該環(huán)狀球帶dI 在直徑上任意一點P點產(chǎn)生的dB為： , 式中i是X軸方向的單位矢量，式中的r為r2 = R2 △x2， 把r2和dI的表達式帶入，得：, 因φ取值從0到π，相應的x從R到-R，故式中dx為負值，若σ>0則dB與I同方向。場點P總的磁感應強度為： 式中：, 故：, 由于BP與直徑上各點P的位置無關(guān)，所以在作為轉(zhuǎn)軸的直徑上磁感應強度B處處相同。 10. 真空中有兩點電荷q，相距為 3d ，她們都以角速度ω繞一與兩點電荷連線垂直的軸轉(zhuǎn)動，+q到軸的距離為d。試求轉(zhuǎn)軸與電荷連線交點處的場強B。 解: 設(shè)轉(zhuǎn)軸與電荷

12、連線交點為O。根據(jù)運動電荷產(chǎn)生磁場公式，可知+q在O處產(chǎn)生的磁感應強度為： , 方向由右手法則可知與ω相同。 同理，-q在O處產(chǎn)生的磁感應強度為： , 方向由右手法則可知與ω相反， 則由場疊加原理，得O點的總磁感應強度為： , B的方向與ω相同。 11. 一邊長為a=0.1m，帶電量為q=1.010-10C的均勻帶電細棒，以速度v=1.0m/s沿X 軸正方向運動。當運動到與Y軸重合時， 細棒的下端到原點O的距離為l=0.1m，如 圖所示。試求此時坐標原點O處的磁感應 強度B。 解: 均勻帶電細棒運動時，將產(chǎn)生磁場。在均 勻帶電細棒上，縱坐標為y處取一線元dy，該 線元上的

13、帶電量為dq=λdy=qdy/a,根據(jù)運動電 荷產(chǎn)生磁場公式可知，dq在O點產(chǎn)生的磁感 應強度的大小為: 方向垂直于紙面向里。 帶電細棒在O點產(chǎn)生的磁感應強度的大小為: 方向垂直于紙面向里。 12.如圖（a）所示的電纜，由半徑為r1的導體圓柱和同軸的內(nèi)外半徑為r2和r3的導體圓桶構(gòu)成。電流I0從導體圓柱流入，從導體圓桶流出，設(shè)電流都是均勻分布在導體的橫截面上，以r表示到軸線的垂直距離。試求r從0到∞的范圍內(nèi)各處的磁感應強度。 解: 取電纜的.軸為Z軸，把電纜中的電流分解為一系列與Z軸平行的無限長直流導線。這些載流導線在空間各點產(chǎn)生的磁場均無z分量，因此電纜電流在空間的磁場也無z分

14、量。若電纜電流的磁場有徑向分量Br，則由對稱性，在任意以Z軸為.軸，以r為半徑的柱面上各點的Br應相同。 取相應的柱形高斯面，如圖（b）所示，則有: 因B無z分量，故等式右邊前兩項為零，于是:，由高斯定理可 知:，h 所以Br=0。 即電纜電流的磁場無徑向分量。在半徑為r的周圍上各點的B大小相同，記為B(r),B(r)的方向沿切向，如圖（c）所示。去積分環(huán)路L，由安培環(huán)路定理可知:，若0≤r≤r1, 則:故:； 若r1≤r≤r2,則:；若r2≤r≤r3,則:;若r> r3, 則: 結(jié)果表明，在電纜電流的外部，磁感應強度B為零，磁場被約束在電纜內(nèi)部。 13. 如圖所示，

15、為均勻密繞的無限長直螺線管的一端，半徑為R，O點為該端面的中心，已知螺線管單位長度上的線圈匝數(shù)為n，通過電流為I。試求；端面近中心處的磁感應強度B的軸向分量和徑向分量。 解: 取坐標系如圖。 螺線管中心軸線上靠近端面中心的P點，設(shè)OP=zcosβ1≈-1,cosβ2≈-z/R。 所以端面近中心處的磁感應強度B的軸向分量 為: 以端面O點為中心做半徑為r，高為dz的圓形高斯面S，設(shè)下底面 的軸向磁場為Bz，上底面的 軸向磁場為Bz+dBz。側(cè)面的徑向磁場分量為Br，根據(jù)高斯定理， 有: 整理上式，得端面近中心處的磁感應強度B徑向分量Br為: 14. 如圖所示，一半徑為R的無限

16、長直非導體圓筒均勻帶電，電荷面密度為σ，若受到外力矩的作用，圓筒從靜止開始以勻角加速度β繞OO’軸轉(zhuǎn)動，試求t時刻圓筒內(nèi)為均勻磁場。 解: 管外磁場強度為零。過管內(nèi)場點P點作一矩形積分回路abcda。由安培環(huán)路定理可知，有: 分析系統(tǒng)可知，積分回路所包圍的電流的代數(shù)和為: 由題可知ω=ω0+βt,t=0時ω0=0,則ω=βt,所以: 因 此: 即得B=μ0σRβt,B的方向根據(jù)σ的情況而定。由結(jié)果分析可知，圓筒內(nèi)部的磁場與r無關(guān)。 15. 勻強磁場中有一無限大均勻載流平面，位于z=0，其電流面密度沿X方向，j0=100A/m，如圖所示?，F(xiàn)測得載流平面上方（z>0）的磁感應強度B2 。 解: 根據(jù)題意選擇坐標系，如圖所示。設(shè)無限大載 流平面在其兩側(cè)激發(fā)的磁感應強度分別為B’1和 B’2，由于系統(tǒng)具有面對稱性，由安培環(huán)路定理可 知:, B’1的方向沿Y軸負方 向，B’2的方向沿Y軸正方向。 設(shè)原來勻強磁場的磁感應強度為:B1=B0+B’1,所以: B0=B1-B’1=B1k+1/2μ0j0j0, 同理可得，載流平面下方（zB2=B0+B’2=(1/2μ0j0+1/2μ0j0)j+B1k=μ0j0j+ B1k,代入相應數(shù)值，得： B2與Y軸夾角為：