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1、雙輪差速驅(qū)動(dòng)式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃 雙輪差速驅(qū)動(dòng)式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃 王仲民，閻 兵 （高速切削與精密加工天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津工程師范學(xué)院，天津 300222） 摘 要：研究?jī)奢啰?dú)立驅(qū)動(dòng)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題，以兩驅(qū)動(dòng)輪中任一驅(qū)動(dòng)輪輪心為基點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃， 并與傳統(tǒng)的以兩驅(qū)動(dòng)輪間輪距中點(diǎn)為基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法進(jìn)行了對(duì)比。仿真結(jié)果表明，以輪心為研究基點(diǎn)的方法較傳統(tǒng)方法控制簡(jiǎn)單，節(jié)省了大量計(jì)算時(shí)間，為有效解決移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的實(shí)時(shí)性問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。 關(guān)鍵詞：輪式移動(dòng)機(jī)器人；運(yùn)動(dòng)規(guī)劃；軌跡跟蹤 輪式移動(dòng)機(jī)器人(Wheeled Mobile Robot

2、, WMR)具有非常廣泛的應(yīng)用前景與商業(yè)價(jià)值，廣義的說(shuō)，任何帶有輪式移動(dòng)機(jī)構(gòu)如汽車等都屬于輪式移動(dòng)機(jī)器人的范疇。由于存在非完整約束，使得對(duì)WMR 進(jìn)行控制日益受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注[1][2] 。運(yùn)動(dòng)規(guī)劃是WMR 控制的主要問(wèn)題之一，也是WMR 完成工作任務(wù)的首要前提。通常兩輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)的WMR 在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃時(shí)，是以兩驅(qū)動(dòng)輪的輪距中點(diǎn)為基點(diǎn)來(lái)進(jìn)行的，WMR 通過(guò)路徑規(guī)劃器將已經(jīng)規(guī)劃好的路徑轉(zhuǎn)換成隨時(shí)間變化的兩獨(dú)立驅(qū)動(dòng)輪的角速度，從而控制兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪行進(jìn)，但由于WMR 具有高度的非線性時(shí)滯性，這就勢(shì)必增加了實(shí)時(shí)控制的復(fù)雜性[3][4]。而以兩驅(qū)動(dòng)輪中任一驅(qū)動(dòng)輪的輪心為基點(diǎn)進(jìn)行WMR 運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，

3、另一驅(qū)動(dòng)輪只作隨動(dòng)運(yùn)動(dòng)，其角速度是依據(jù)兩驅(qū)動(dòng)輪間輪基的固連關(guān)系、兩輪的角速度約束關(guān)系而獲得，其結(jié)果大大減少了計(jì)算量，進(jìn)而提高了WMR 的計(jì)算效率。 1 WMR 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模 WMR 由車體、兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪和一個(gè)隨動(dòng)輪組成，隨動(dòng)輪僅在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中起支撐作用，其在運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中的影響忽略不記。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)WMR 在水平地面上運(yùn)動(dòng)，車輪只旋轉(zhuǎn)不打滑，將WMR 簡(jiǎn)化成如圖1所示。以WMR 的右驅(qū)動(dòng)輪為研究對(duì)象，O -XY 為WMR 工作場(chǎng)地的固定參考坐標(biāo)系，R -X R Y R 為與WMR 固連的坐標(biāo)系，R 為固連坐標(biāo)系的原點(diǎn)，與右輪輪心重合；Y R 與兩驅(qū)動(dòng)輪軸線重合，指向左輪；X 和X R 間的夾角

4、為θ，即WMR 的位姿可表示為（x ，y ，θ）T ；左、右輪的坐標(biāo)分別為(),T L L x y 、 (,T R R ) x y 。設(shè)L 為WMR 兩驅(qū)動(dòng)輪的輪距；r 為WMR 作者簡(jiǎn)介：王仲民（1974-），男，副教授，工學(xué)博士； 閻 兵（1968-），男，教授，工學(xué)博士。 驅(qū)動(dòng)輪的半徑；L ω、R ω分別為WMR 左、右驅(qū)動(dòng)輪的角速度。 X 1.1 兩驅(qū)動(dòng)輪間的約束方程 顯然，無(wú)論WMR 運(yùn)動(dòng)到何處，其左、右驅(qū)動(dòng)輪間輪距L 是不會(huì)改變的，因此左右輪的坐標(biāo)與輪間距L 的關(guān)系為 ()()222L y y x x R L R L =?+? （1）

5、 令α為WMR 的初始姿態(tài)， 定義其逆時(shí)針為正，且α∈[-1800,1800 ]，則由圖1可得WMR 的姿態(tài)角與兩驅(qū)動(dòng)輪輪距中點(diǎn)的關(guān)系為 ()R L L R y y x x ??= +θαtan （2） 根據(jù)式（1）和式（2），得 ()θα+=?sin L x x L R （3） ()θα+=?cos L y y R L （4） 假設(shè)WMR 在任意一初始位置AB ，經(jīng)時(shí)間t 轉(zhuǎn)過(guò)θ角后到達(dá)另一位置B A ′′，如圖2所示，則左驅(qū)動(dòng)輪比右驅(qū)動(dòng)輪多轉(zhuǎn)過(guò)的曲線位移為 rt rt L C R L ωωθ?==′ （5） 即： ()rt L R L /θωω=? （6）

6、 由于WMR 的運(yùn)動(dòng)方式只有直線運(yùn)動(dòng)和圓弧運(yùn)動(dòng)兩種，若作為基點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)輪（文中為右驅(qū)動(dòng)輪）的角速度R c ωω==已知，則左驅(qū)動(dòng)輪的角速度 L ω根據(jù)式（6）得 ()rt L L /θωω+= （7） 若0θ=，即對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)而言，顯然L R ωω==ω，兩驅(qū)動(dòng)輪同速，即直線運(yùn)動(dòng)是曲線 運(yùn)動(dòng)的特例。 1.2 WMR 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 當(dāng)WMR 驅(qū)動(dòng)輪的角速度已知，由式（3）、（4）和（6）并根據(jù)圖2，可得到WMR 的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 cos()0sin()0//R R R L r x y r r L r L αθωαθωθ+??????????=+???? ??????????????

7、&&&（8） 如果WMR 按照確定的軌跡運(yùn)動(dòng)，即，()x t &、和()y t &()t θω=&已知時(shí)，則驅(qū)動(dòng)輪的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就可根據(jù)下式求出 r ω= 同時(shí)，WMR 左、右驅(qū)動(dòng)輪間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系由式 （6）決定，因此只要控制[],T R L U ωω=，就可以得到WMR 的位姿。又設(shè)[]T y x ,為WMR 輪距中點(diǎn)的坐標(biāo)，ω,v 分別為WMR 的平移速度和旋轉(zhuǎn)角速度，則傳統(tǒng)的以WMR 兩驅(qū)動(dòng)輪輪距中點(diǎn)建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為[5] cos 0sin 001x v y θθωθ???? ??????=???????????????? &&&? （10） =v ()/

8、2R L r r ωω+， ()/R L r r ωωω=? L （11）由式（10）和（11）得 ()()cos /2 sin /2R L R L x r r y r r ωωθωωθ?=+?????? =+? ?????&& （12） 2 兩種運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法分析 對(duì)于傳統(tǒng)的以輪距中點(diǎn)為基點(diǎn)的軌跡跟蹤問(wèn) 題，WMR 根據(jù)該點(diǎn)的速度分配給左右兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪，從而控制兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪行進(jìn)，對(duì)式（10）積分而得到實(shí)際位姿，通過(guò)與期望位姿進(jìn)行比較而得到位姿偏差。同時(shí)，WMR 在實(shí)際的行走過(guò)程中，必然存在累積誤差，如果累積誤差過(guò)大，就會(huì)嚴(yán)重影響WMR 的準(zhǔn)確定位以及任務(wù)的完成，這就必然要求對(duì)其進(jìn)行位

9、置矯正。在進(jìn)行位置矯正時(shí)，首先要根據(jù)驅(qū)動(dòng)輪經(jīng)過(guò)的路程，通過(guò)積分得到輪軸中心點(diǎn)的位姿并與規(guī)劃器中所設(shè)定的位姿對(duì)比，得出需校正的位姿偏差，然后通過(guò)矩陣求逆運(yùn)算而得到兩驅(qū)動(dòng)輪的角速度，在同時(shí)分配給兩驅(qū)動(dòng)輪。 而WMR 以輪心為基點(diǎn)進(jìn)行的軌跡跟蹤，僅對(duì)式（8）進(jìn)行積分就可求出WMR 的實(shí)際位姿，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算就可以得到用于校正位姿偏差的角速度，在位姿校正過(guò)程中，作為參考對(duì)象的驅(qū)動(dòng)輪的角速度不變，只需調(diào)整另一驅(qū)動(dòng)輪的角速度，因此非常有利于實(shí)現(xiàn)兩輪的協(xié)調(diào)控制。 3 仿真實(shí)驗(yàn) 針對(duì)這兩種運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法，進(jìn)行了WMR 的軌 跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)，軌跡方程為 （9） 1 [0,3]3(3,5](5,6.5]

10、+2.3(6.5,9]3 r r r r r r r x x x y x x x ?∈?? ?∈?=? ∈?? ?∈?? （13） 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖3，圖中用兩個(gè)方框點(diǎn)分別代表WMR 的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪，在相同的環(huán)境下WMR 分別利用這兩種運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法對(duì)于式（13）軌跡進(jìn)行跟蹤。仿真結(jié)果表明WMR 能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)于確定軌跡的準(zhǔn)確跟蹤，利用以輪心為基點(diǎn)的規(guī)劃方法僅花費(fèi)時(shí)間2.55秒，而利用傳統(tǒng)方法用時(shí)5.01秒，這表明以輪心為基點(diǎn)的規(guī)劃方法節(jié)省了大量時(shí)間，效率提高2倍左右。 4 結(jié)論 采用以輪心為基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法，僅控制一輪，另一輪作隨動(dòng)，避免了傳統(tǒng)的以輪距中點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行規(guī)劃時(shí)所進(jìn)行的復(fù)雜

11、計(jì)算，控制簡(jiǎn)單，軌跡跟蹤效果良好，有效提高了運(yùn)動(dòng)控制的實(shí)時(shí)性。 參考文獻(xiàn)： [1] Farzad P, Mattias P K. Adaptive control of dynamic mobile robots with nonholonomic constrains. Computers and Electrical Engineering. 2021，(28)： 241-253. [2] Kolmanovsky I, McClamroch N H. Developments in nonholonomic control problem[J]. IEEE Control Sys

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13、chines and Control, 2021，8(1):35-38. [4] 王仲民.移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃與軌跡跟蹤[M].北京：兵 器工業(yè)出版社，2021. Wang Zhongmin. Path Planning and Trajectory Tracking of Mobile Robot [M]. Beijing ：The Publishing House of Ordnance Industry, 2021. [5] 吳衛(wèi)國(guó)，陳輝堂，王月娟. 移動(dòng)機(jī)器人的全局軌跡跟蹤 控制[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2021，27(3)：326-331. Wu Weiguo, Chen Huitang, and Wang Yuejuan. Global Trajectory Tracking Control of Mobile Robots[J]. Acta Automatica Sinica, 2021, 27(3)：326-331. (b) 以輪心為基點(diǎn) 圖3 軌跡跟蹤結(jié)果 雙輪差速驅(qū)動(dòng)式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃 作者：王仲民， 閻兵 作者單位：高速切削與精密加工天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津工程師范學(xué)院,天津 300222本文鏈接：