《數(shù)列的極限知識(shí)點(diǎn) 方法技巧 例題附答案和作業(yè)題-》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)列的極限知識(shí)點(diǎn) 方法技巧 例題附答案和作業(yè)題-（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 數(shù)列的極限 一、知識(shí)要點(diǎn) 1數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，無窮數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù)（即|an－a|無限地接近于0），那么就說數(shù)列以為極限記作．（注：a不一定是｛an｝中的項(xiàng)） 2幾個(gè)重要極限： （1） （2）（C是常數(shù)） （3） （4） 3. 數(shù)列極限的運(yùn)算法則: 如果那么 　　 　　 4．無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和 ⑴公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和，當(dāng)n無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，記做 ⑵ 二、方法與技巧 ⑴只有無窮數(shù)列才可能有極限，有限數(shù)列無極限. ⑵運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求數(shù)列極限應(yīng)注意法則適應(yīng)

2、的前提條件.（參與運(yùn)算的數(shù)列都有極限，運(yùn)算法則適應(yīng)有限個(gè)數(shù)列情形） ⑶求數(shù)列極限最后往往轉(zhuǎn)化為或型的極限. ⑷求極限的常用方法： ①分子、分母同時(shí)除以或. ②求和（或積）的極限一般先求和（或積）再求極限. ③利用已知數(shù)列極限（如等）. ④含參數(shù)問題應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論求極限. ⑤∞－∞,,0－0,等形式，必須先化簡成可求極限的類型再用四則運(yùn)算求極限 題型講解 例1 求下列式子的極限： ①； ②； ③； ④; （2） （－n）;（3）（++…+） 例2 的（ ） A 充分必要條件 B 充分不必要條件

3、 C 必要不充分條件 D 既不充分又不必要條件 例3 數(shù)列{an}和{bn}都是公差不為0的等差數(shù)列，且=3,求的值為 例4 求 （a>0); 例5 已知,求實(shí)數(shù)a,b的值; 例6 已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,且有（－qn）=,求a1的取值范圍 例7 已知數(shù)列｛an｝是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a1＝3，且滿足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)． （1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式及前n和Sn； （2）求的值． 數(shù)列極限課后檢測 1下列極限正確的個(gè)數(shù)是（ ） ①=0

4、（α＞0） ②qn=0 ③=－1 ④C=C（C為常數(shù)） A2 B3 C4 D都不正確 3下列四個(gè)命題中正確的是（ ） A若an2＝A2，則an＝A B若an＞0，an＝A，則A＞0 C若an＝A，則an2＝A2 D若（an－b）＝0，則an＝bn 5若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,n=1,2,…,則 （a1+a2+…+an）等于（ ） A B C D 6數(shù)列{an}中,的極限存在，a1=,an+an+1=,n∈N*,則（a1+a2+…+an）等于（ ）

5、 A B C D 7．=__________ =____________ ［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］= 8已知a、b、c是實(shí)常數(shù)，且=2, =3,則的值是（ ） 9 {an}中a1=3，且對任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn)（,）在直線x－y－=0上，則=_____________ 10等比數(shù)列{an}公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,則a1=_____________ 11已知數(shù)列｛an｝滿足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,設(shè)b

6、n=an+n（n∈N*） （1）求{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求（+++…+）的值 12已知{an}、{bn}都是無窮等差數(shù)列,其中a1=3,b1=2,b2是a2與a3的等差中項(xiàng),且 =, 求極限 （++…+）的值 例題解析答案 例1 分析：①的分子有界，分可以無限增大，因此極限為0； ②的分子次數(shù)等于分母次數(shù)，極限為兩首項(xiàng)(最高項(xiàng))系數(shù)之比； ③的分子次數(shù)小于于分母次數(shù)，極限為0 解：①； ②； ③ 點(diǎn)評(píng)：分子次數(shù)高于分母次數(shù)，極限不存在； 分析:（4）因?yàn)榉肿臃帜付紵o極限，故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，可通過變形分子分母同除以n2后再求極限

7、；（5）因與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；（6）因?yàn)闃O限的運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列，需先求和再求極限 解:（1）== （2） （－n）= == （3）原式===（1+）=1 點(diǎn)評(píng)：對于（1）要避免下面兩種錯(cuò)誤：①原式===1,②∵（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，∴原式無極限 對于（2）要避免出現(xiàn)下面兩種錯(cuò)誤：①（－n）= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在 對于（3）要避免出現(xiàn)原式=++…+=0+0+…+0=0這樣的錯(cuò)誤 例2 B 例3 數(shù)列{an}和{bn}都是公差不為0的等差數(shù)列，且=3,求的值為 解：由=3d1=3d2 ， ∴=

8、= 點(diǎn)評(píng)：化歸思想 例4 求 （a>0); 解：=點(diǎn)評(píng)：注意分類討論 例5 已知,求實(shí)數(shù)a,b的值; 解：=1， ∴ a=1,b=─1 例6 已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,且有（－qn）=,求a1的取值范圍 解: （－qn）=, ∴qn一定存在∴0＜|q|＜1或q=1 當(dāng)q=1時(shí)，－1=,∴a1=3 當(dāng)0＜|q|＜1時(shí)，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q ∴0＜|2a1－1|＜1∴0＜a1＜1且a1≠ 綜上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3 例7 已知數(shù)列｛an｝是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a1＝3，且滿足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大

9、于1的整數(shù)，c是正數(shù)． （1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式及前n和Sn； （2）求的值． 解:（1）由已知得an＝ｃan－1, ∴｛an｝是以a1＝3，公比為c的等比數(shù)列，則an＝3ｃn－1 ∴Sn＝ （2） ＝ ①當(dāng)c=2時(shí)，原式＝－; ②當(dāng)ｃ＞2時(shí)，原式＝＝－; ③當(dāng)0＜ｃ＜2時(shí)，原式=＝ 點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列極限時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用 試卷解析 1 答案:B 3解析:排除法，取an＝（－１）n，排除A； 取an＝，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．答案:C 5 解析:an=即an= ∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+

10、3－6+…） ∴（a1+a2+…+an）=+=答案:C 6 解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an∴原式=［++an］=（++an） ∵an+an+1=,∴an+an+1=0∴an=0 答案:C 7 解析:原式===0 == 解析: ［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］ =［n…］==2 答案:C 8解析: 答案:D 由=2,得a=2b 由=3,得b=3c,∴c=b∴=6∴== =6 9析:由題意得－= （n≥2）∴{}是公差為的等差數(shù)列，=

11、 ∴=+（n－1）=n∴an=3n2 ∴===3 10析:∵q=－,∴ （a1+a3+a5+…+a2n－1）==∴a1=2 11 解:（1）n=1時(shí)，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1 n=2時(shí)，a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2要證bn=2n2,只需證an=2n2－n ①當(dāng)n=1時(shí)，a1=212－1=1成立②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=2k2－k成立 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得a k+1=（ak－1） =（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1） ∴當(dāng)n=k+1時(shí)，an=2n2－n正確，從而bn=2n2 （2）（++…+）=（++…+） =［++…+］ =［1－+－+…+－］=［1+－－］= 12 解:{an}、{bn}的公差分別為d1、d2 ∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,∴2d2－3d1=2 又===,即d2=2d1, ∴d1=2,d2=4∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2 ∴==（－）∴原式=（1－）=