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1、1 11 12學 年 高 等 數(shù) 學 （ 工 ） 2 期 中 復 習 卷 (A) (多 元 微 分 ,空 間 解 析 幾 何 ,無 窮 級 數(shù) ) 2 一 、 選 擇 題 ： D (1,1)ln(1 ), ( )1 1 A. ( ) B. ( )1 1 C. ( ) D. ( )2 2xz dzy xdx dy ydx xdyx y y x ydx dy dx dy 2. 則 ln( ) lny x y (1,1) 12yz (1,1) 1 12 2dz dx dy D (1,1) 1,2xz 1 1yz x y y 1 , xz x y 3 A. | | = B. ( ) ( ) C. =

2、; D. , ( ).a b a b a a b a a ba b b a a b c a a b c 3. 下 列 等 式 成 立 的 是 ( ); ; 若 則向 量 數(shù)a b /b/a 0a b c a ( ) 0a b c D 4 1 1 22 3 0 3 1 1 A. B. C. D. x y zx y z 4.平 面 與 直 線 的 位 置 關 系 為 ( )相 互 垂 直 相 互 平 行 但 直 線 不 在 平 面 上既 不 垂 直 也 不 平 行 直 線 在 平 面 上(1,2, 1)n , 3 2 1 0n s n s (3, 1,1)s /平 面 直 線 (1, 1,2)P

3、點 平 面(1, 1,2)P 點 直 線 , 1 2 ( ) 2 3 0 1 D 5代 入 平 面 方 程 , 1 1 21 110 , ( ) A. B. ( 1) C. D. ( 1)n nn nn n nn nn nu nu uu u 5. 則 下 列 級 數(shù) 中 一 定 收 斂 的 是 D 2 21nu n 21 nn u 收 斂 21( 1)n nn u 絕 對 收 斂 ，21 1n n 收 斂 1 1: 1n n 反 例 1 1: 2n n反 例 1 1 ( 1): ( 1) 2 nnn n 反 例 6必 收 斂 。 0 2 , 2 , ) A. 2 B. 2 C. 2 D. nn

4、n a x x xR RR 6. 若 冪 級 數(shù) 在 處 收 斂 在 處 發(fā) 散則 該 冪 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 為 (無 法 確 定 B 7由Abel定理 ，該冪級數(shù)在2x 時絕對收斂，2x 時發(fā)散。 11 1 1 . , ( ) A. 2 B. ( 2) C. 2+ D. nn n nn n n nn n k uu uu u 7 若 收 斂 則 下 列 級 數(shù) 中 不 收 斂 的 是lim 0nn u lim( 2) 2 0nn u B收 斂 (性 質(zhì) 1) 收 斂 (性 質(zhì) 3)收 斂 (性 質(zhì) 3) 8 ( ) ( )( ) ( )A BC D發(fā) 散 絕 對 收 斂 條 件 收

5、斂 可 能 收 斂 ， 可 能 發(fā) 散 211 cos ( )2a an n B1 1 1( ) ( cos )nn an 1 1( cos )n an 1 coslimn an 21n 22a 21 1n n又 收 斂 2 2( , ), , .xyz f e x y fdz 1. 設 是 可 微 函 數(shù)則 x ydz z dx z dy ( ) ( )dx dy 二 填 空 題 1 2 ( 2 )xyf xe f y 1 2 2xyf ye f x xz y 4(2,1,2) 1xz 1 2 1 2( 2 ) ( 2 )xy xyye f x f dx xe f y f dy 10 2 4

6、 0 (1,0,2) .xz xyz 3. 曲 面 上 點 處 切 平 面方 程 為 ( , , )F x y z(1,0,2)2 , xF z yz ,yF xz 2zF xz xy (4, 2,4), 2 2 6x y z ( , , ) x y zn F F F 11切平面方程：4( 1) 2( 0) 4( 2) 0 x y z 2 22 (1,1) .z x y P 4. 函 數(shù) 在 點 處 沿 梯 度 方 向 的 方 向 導 數(shù) 為(2 ,4 )x y =梯 度 的 模( , ) ( , )x yz x y z zgrad (1,1)zgrad (2,4) 2 22 4 2 4i j

7、 (1,1)zgrad 2 5 2 5(是 點 P處 的 方 向?qū)?數(shù) 的 最 大 值 ) 12或 11 11 11( , ) ( , ) ( , )cos cosf f fg x y cos 2 222 4 15 , 25cos 11 1 22 45 5( , )fg 10 2 55 2 22 2 15. 0 .y z ya cx 橢 圓 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 形 成 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 方 程 為 2 2 22 2 1y z xa c 2 2 24 4 . x y z x z axoy 6. 曲 面 與 平 面 的 交 線 在 面 上 的 投 影 曲 線 為 2 2 24 ( )

8、 4x y a x 62 2 24 ( ) 40 x y a xz 62 2 24 4x y zx z a 6 消 去 z (投 影 柱 面 方 程 ) 2 2 z x換 成 13 不 變 , , , 1,| | 2,| | 3, .a b c a bc a b c 7. 設 向 量 兩 兩 垂 直 且則 a b c ( ) ( )a b c a b c 2( )a a b b c c a b b c c a 2 2 2| | | |a b c 0a b b c c a 2 21 2 3 14 14 , ,a b c 兩 兩 垂 直 14 1 1 1 1 1 .2! 3! 4! 5! 6! 8

9、. 1- 0 11 , .3 !n nnn xn 9. 的 收 斂 區(qū) 間 是 和 函 數(shù) 是 1 0 ( 1)!nne n 0 !nx n xe n 11 e( , ) 3xe ( , )x 0 1! 3 nn xn = 3xe s 1 1 1 1 11 1 2! 3! 4! 5! 6! 1 s 15 21 ( 1) sin . ( )nn nn 10. 級 數(shù) 是填 發(fā) 散 或 絕 對 收 斂 或 條 件 收 斂 21 ( 1) sin .nn nn 絕 對 收 斂21 2 n n 收 斂2 2( 1) sin 2n nn n 絕 對 收 斂 16 三 計 算 題 2, cos , , .

10、x ty dzz xe x t y e dt 1. 已 知 求dz z dx z dydt x dt y dt 解 : 22 te2( )xy xxe y( sin )t 1( )x xy ye x e y xyz t17 2 2 2 2 2 4 10 0( , ) .x y z x y zz z x y 2. 求 由 函 數(shù)所 確 定 的 函 數(shù) 的 駐 點 隱 函 數(shù)2 2 2( , , ) 2 2 4 10F x y z x y z x y z 令解 : x x zFz F yy zFz F 2 22 4 xz 12 xz 2 22 4 yz 12 yz 00 xyzz 令 2z : (

11、1, 1) 所 求 駐 點1y 1x 18 21ln( ) arctan , (1,0), (1,0).1 x yxz y x z zy 3. 設 求(1,0) 2 xz (1,0) 1 yz 解 : ( ,0) (ln arctan( 1)xz x x x ( ,0) ln arctan( 1),z x x x (1,0):xz求 21 11 ( 1)x x (1, ) (ln( 1)yz y y (1, ) ln( 1),z y y (1,0):yz求 11y 19 2 2( , 2 ), , , .z zz x z y z x y 4. 設 可 微 求 隱 函 數(shù) 方 程2 2( , ,

12、 ) ( , 2 ) ,F x y z x z y z z 令 1,xF 1 22 2 1zF z 22 ,yF y xx zFz F yy zFz F 11 2,2 2 1z 21 222 2 1yz 解 : 20 121 ( 1) ? ,1 ?nn n 5. 判 別 級 數(shù) 是 否 收 斂 如 果 是 收 斂 的是 絕 對 收 斂 還 是 條 件 收 斂解 : 21 1 1| | 1nn nu n 21lim 0,1n n lim n 21 1n 2=lim 11n nn 1n 1 1n n 發(fā) 散 2 21 1 ,( 1) 1 1n n 1 | | .nn u 發(fā) 散原 級 數(shù) 收 斂

13、，且 為 條 件 收 斂 21 2 1 3 .3 2y xx x 6. 將 函 數(shù) 展 開 成 的 冪 級 數(shù)2 1 =3 2x x 解 : 1( 1)( 2)x x 1 1= 2 1x x 321 1=1 ( 3) 112 xx 0( 1) ( 3)n nn x 1 3 1x 2 4x 01 3( 1) ( )2 2n nn x 01 ( 1) ,1 ( 1,1) n nn xxx 321 1x 1 3 1x 10 1( 1) (1 )( 3)2n nnn x 2 1 =3 2x x 2 4x 22( 3) ( 32 )1 1=1 x x 2 117. . 2 (1) ; (2) .nnn

14、n x 設 級 數(shù) : 求 級 數(shù) 的 收 斂 域 求 級 數(shù) 的 和 函 數(shù)解 : 1| ( )| ( )|nnu xu x limn 1| ( )| :nn u x直 接 對 用 比 值 法22 =n nn x2 21( 1)2 nnn x limn 21 12 n xn 212 x 12 2x 2 2x (1): 收 斂 區(qū) 間 :2,R ( 2, 2)2 ,x 處 1: 2 ,n n級 數(shù) 為 發(fā) 散 . limn收 斂 域 : ( 2, 2) 23 (2) ( )S x求 級 數(shù) 的 和 函 數(shù)2 11( ) 2 nnn nS x x 2 1 0 0 1( ) 2x x nnn ns

15、 x dx x dx 1 2nn n2 22 2121 x x 2 212 2 x x 2 212 2 x x 2 22(2 )xx 2112 2 nn x ( ) (0)S x S 24 2 10 x nx dx 1 2nn n 22 nx n0 0( )S 2 222( ) xS x x | 3,| | 4,4 |(3 ) ( 2 ) |.a b a ba b a b 8. 已 知 向 量 和 交 角 ,|求解 : 5| | |sin( )a b a b (3 ) ( 2 )a b a b 3( ) 6( ) 2( )a a b a a b b b 5( )a b 5| |a b 5 3

16、4 sin 4 30 2 a b 0b b 0, a a =b a 25 2 2(2,3,1) : 7 .2 3y zA l x 9.求 點 到 直 線 的 距 離解 一 : 3) | |d PA 2) ,l P求 平 面 與 直 線 的 交 點 ,A l 1) 過 點 作 與 直 線 垂 直 的 平 面 =(1,2,3), s方 向 向 量 :, 2 3 11x y z 即( 2) 2( 3) 3( 1) 0 x y z : 平 面 方 程 平 面 的 法 向 量 :l直 線 的 參 數(shù) 方 程 7, 2 2, 3 2x t y t z t : 代 入 平 面 方 程 ( 7) 2(2 2)

17、 3(3 2) 11t t t 2.t 14 28t ( 5,2,4),l P 平 面 與 直 線 的 交 點 2 2 27 1 3 59 2 2 2(2 5) (3 2) (1 4) 26 12 (3,1, 5), :1 1 : .3 2 1A L x y zx y zL 10.求 過 點 且 平 行 于 二 直 線 和的 平 面 的 方 程解 : 2 2 =(3,2,1),L s1 1 =(1,1,1), L s直 線 方 向 向 量 : 1 2s s 平 面 的 法 向 量 :1 1 13 2 1i j k /n ( 1,2, 1), (3,1, 5) ,A 點 平 面平 面 : ( 3

18、) 2( 1) ( 5) 0 x y z (1, 2,1),n 取 27 解 ： 0 1 2（ ， ， ） cos ,te t 2cos sin ,t t 3 03 t te 切 線 方 程 ,3 22 11 0 zyx法 平 面 方 程 ,0)2(3)1(2 zyx切 點 ：切 向 量 ： 0( ), ( ), ( ) tT x t y t z t =1,2,328 21 cos 3 .2nn nn 12. 證 明 級 數(shù) 收 斂四 應 用 與 證 明 題證 : 2cos 32 2n nnn n 0 2nn n用比值法,11 22 nnn n 2n nnv 記1n nlim limnnvv

19、n 1 1 1lim2 2nn 10 .2nn n 收 斂對 2 1 cos 3 .2nn nn 收 斂 29 2cos 32 2n nnn n 30證明： ( , )z z x y 為 隱 函 數(shù)( , , ) ( )y xF x y z z z 令x x zFz F yy zFz F 1,z 2 2( ) ( ) ( )y y xz z z z zx y zx y 2( ) ( ) y yz z 2( )xz 1( )yz z 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. D D D D D B B B 1 2 1 2 2 2 22 21. 2. ( 3. 4. 5. 2 ) ( 2 )42 2 62 5 1 xy xyye f x f dx xe f y f dyx y zy z xa c 一、選擇題：二、填空題： 2 2 21 34 ( ) 4 0 6. 7. 8. 9. 10 141( , ) . , xx y a xze e 6 絕 對 收 斂 31