《數(shù)學(xué)分析第二章習(xí)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)分析第二章習(xí)題（26頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、;, 00 MxSxM 使S無 上 界：;, 00 LxSxL 使S無 下 界：.,0 00 MxSxM 使S無界： S無上界或S無下界f(x)在 D上 無 界 ： .)(,0 00 MxfDxM 使 的有限個(gè)點(diǎn)。之外至多有在有),(0,(2) .,0)1(lim nnnn aaU aaNnNaa 第二章習(xí)題課數(shù)列極限的定義的無限個(gè)點(diǎn)。之外有在有不存在),(0,(2) .,0,)1( 00 000 0lim nnnn aaUa aaNnNaa .limlimlim .lim,lim 122 aaaaa aaaaa kkkknn nknnn kk 有數(shù)列極限的等價(jià)命題 收斂數(shù)列的性質(zhì) 1、唯一性

2、；2、有界性； 3、保號性；4、保不等式性； 5、迫斂性；6、子列收斂性； 7、四則運(yùn)算性。 數(shù)列極限存在的條件單調(diào)有界定理。 Cauchy收斂準(zhǔn)則。這兩個(gè)定理都只是在實(shí)數(shù)系內(nèi)成立。 求數(shù)列an極限的方法：1、 恒 等 變 形 （ 通 分 、 約 分 、 分 子 或 分 母 有 理 化 等 ） ；2、 極 限 的 四 則 運(yùn) 算 ；4、 利 用 單 調(diào) 有 界 定 理 ；3、 利 用 重 要 極 限 en nn )11(lim5、 證 明 奇 偶 子 列 收 斂 于 同 一 個(gè) 數(shù) 。6、 憑 直 覺 估 計(jì) 極 限 值 ， 再 用 極 限 定 義 證 明 。7、 利 用 迫 斂 性 。 幾個(gè)

3、常用數(shù)列的極限).0(,01lim nn ).1|(|,0lim qqnn).0(,1lim aann .1lim nn nkkk mmmn bnbnb anana 110 110lim . , ; ,0 ; ,00 mk mk mkba e)n1(1lim nn 解題方面注意點(diǎn)：1、 -N定義求極限，N的找法。 naan | )1(中解出直接從 *不再含有n n nnaan )(),(| )2(解出中則從適當(dāng)放大法，若*取整后取作N 2、證明數(shù)列an單調(diào)的方法。比較，與0 )1( 1 nn aa 比較，與 1 )2( 1nnaa 數(shù)學(xué)歸納法。 )3( 例 1下列數(shù)列是否存在極限，若存在，求出

4、其值。.)1(1lim )1( 2 nn n .1lim )2( n nnn.65 6)4(lim )3( 11 nn nnn .3lim )4( nn n答（1） 發(fā)散。（2） 1。（3） 1/6。（4） 0。.)32(323n0 )4( nnn n由迫斂性即得。.72 1lim )5( 22 nnnn （5） 1/2。 例 2 .lim 23 , 2 11 nnnn xxxx 的極限存在并求證明數(shù)列證 ,30 1 x則設(shè),30 kxkk xx 230 1 ,363 .30 nx由歸納法知：nnnn xxxx 231又nn nn xx xx 23 23 2nn nn xx xx 23 )1)

5、(3( .0.1 nn xx 故。單調(diào)有界，從而有極限所以 nx ，兩邊取極限，得由nn xx 23 1 ,lim axnn 設(shè),23 aa .1 ,3 （舍）解之得 aa 例 3 ).1()1)(1)(1(lim ,1 242 nxxxxxn 求時(shí)當(dāng)解將分子、分母同乘以因子(1-x), 則x xxxxx nn 1 )1()1)(1)(1)(1(lim 242 原式x xxxx nn 1 )1()1)(1)(1(lim 2422 x xx nnn 1 )1)(1(lim 22 xx nn 11lim 12.1 1x .)0lim,1( 12 nxx n時(shí)當(dāng) 例 4 下 面 極 限 是 否 存

6、在 ？ 若 存 在 ， 求 之 。解 ).( )1)(1)(21 babannbax nn )(2 12)(212 bannbax n )()(21 baba ,a)(2 12)(21 12 bannbax n )()(21 baba ,b不存在。 lim nn x 解 .0,)(lim 21121 nnnmnnn aaaaaa ，其中求，則記),max( 21 maaaa 例 5 nnmnn aaa 121 )( nna 1)(a nnma 1)( n ma1n m nnmnnn aaa 121 )(lim .a 例 6收斂。證明滿足：設(shè),3,2 ,10|,| 11n nnnnn xn kx

7、xkxxx 證 | 11 nnnn xxkxx | 212 nn xxk| 121 xxkn | npn xx 則| 1211 nnpnpnpnpn xxxxxx | 121123122 xxkxxkxxk npnpn |1 )1( 1221 xxkkk pn |1 121 xxkkn ,01 nkn時(shí)，當(dāng).|,0,0 npn xxpNnN有，故由Cauchy準(zhǔn)則，xn收斂。|1 121 xxkkn | npn xx 例 7 證 明收斂。!1!21!111 nxn 證 121321 1!1 nnn |)!( 1)!2( 1)!1( 1| pnnnxx npn 11 2 12121 pnnn 2

8、11 )211(21 pn 由Cauchy準(zhǔn)則，xn收斂。.|,0,0 npn xxpNnN有，故11 2 121 pnn 121 n ).(,0 n211 )211(21 pn| npn xx 例 8 斐 波 那 契 （ Fibonaci ,1170-1250,意 大 利 數(shù) 學(xué) 家 ）斐 波 那 契 數(shù) 列 ： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， ).3(,1 2121 nuuuuu nnn后 人 求 出 了 它 的 通 項(xiàng) ： )2 51()2 51(51 nnnu 一 個(gè) 正 整 數(shù) 數(shù) 列 竟 然 要 用 無 理 數(shù) 來 表 示 ！更 令 人 叫 絕 的 是 618.

9、02 15lim 1 nnn uu 黃 金 分 割 數(shù) ！ 解例 9（用單調(diào)有界定理）均為正數(shù)，、知由 3 30 111 xxx )3(0 112 xxx 故，則設(shè))1(230 kx k 11 3 xx )3()(21 2121 xx 23 ,23)3()(21)3(0 221 kkkkk xxxxx ).1( 230 nxn . ),3,2,1( )3(30 11限的極限存在，并求此極證明，設(shè)n nnnx nxxxx 例 9（接著證單調(diào)性）nnnnn xxxxxn )3( 1 1 時(shí)，當(dāng) nnn nn xxx xx )3( )23( ，0 nnn nnnnnn xxx xxxxxx )3(

10、)3()( )3( .單調(diào)（增）nx.的極限存在nx . ),3,2,1( )3(30 11限的極限存在，并求此極證明，設(shè)n nnnx nxxxx . ),3,2,1( )3(30 11限的極限存在，并求此極證明，設(shè)n nnnx nxxxx 例 9（接著求極限）,lim axnn 記,)3(1 nnn xxx 由),3(2 1 nnn xxx 有得令 , n ),3(2 aaa 023 aa，解得.（舍去）.23lim nn x . 0 1且單調(diào)增）時(shí)，（nxn 作業(yè)中的問題P39 3(1)極限存在，并求其值。證明設(shè),2,2 11 nnn aaaa 證 ,221 a ,2na設(shè),22221 n

11、n aa則。有上界故2 na nnnn aaaa 21 )2( nn aa ,0單調(diào)減。故 na則存在，設(shè)其值為故,lim aann aa 2 .2 0，解之a(chǎn) .2 0,22 aaan不合題意，從而故由于 P39 3(2)證單調(diào)增加。顯然 na ,121 cca ,12 can設(shè)1121 cccaca nn則,12 c。有上界故12 can則存在，設(shè)其值為故,lim aann aca .2 411 ca 解之.2 411 02 411,0 cacaan 不合題意，從而故由于極限存在，并求其值。證明設(shè),),0( 11 nnn aacacca P39 6.解 .lim ,lim: Axx Axxx nnn nknn kk 收斂且試證單調(diào)且有收斂子列若，單調(diào)，不妨設(shè)為單調(diào)增 nx , Mxx pk ,無上界若nx , , Mxxp kn pnk k ，若ABxnn lim ，則任意子列有ABx knk lim .lim Axnn 與已知矛盾！, MxpM p 使則有單調(diào)增，由, pkxn 收斂矛盾！這與 knx單調(diào)有界，從而收斂。 nx