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1、 考研數(shù)學(xué)二真題 一 填空題(84=32分) 2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題 一、選擇題：1~8小題，每小題8分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。 （1）函數(shù)與是等價無窮小，則（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）無窮多個 （2）當(dāng)時，與是等價無窮小，則（） （A） （B） （C） （D） （3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點（0，0）（） （A）不是的連續(xù)點 （B）不是的極值點 （C）是的極大值點 （D）是的極小值點 （4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則=（） （A） （B） （C）

2、（D） （5）若不變號，且曲線在點（1，1）的曲率圓為，則在區(qū)間（1，2）內(nèi)（） （A）有極值點，無零點 （B）無極值點，有零點 （C）有極值點，有零點 （D）無極值點，無零點 （6）設(shè)函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的圖形為 則函數(shù)為（） （7）設(shè)Ａ、B均為2階矩陣，分別為A、B的伴隨矩陣。若|A|=2，|B|=3，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（） （A） （B） （C） （D） （8）設(shè)A，P均為3階矩陣，為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且AＰ＝，若 ，則為（） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 二、填空題：9-14 小題，每小題 4分，共 24 分，請將答案寫在答

3、題紙指定位置上。 （9）曲線在（0，0）處的切線方程為____________ （10）已知，則k=____________ （11）=___________ （12）設(shè)是方程確定的隱函數(shù)，則=____________ （13）函數(shù)在區(qū)間(0,1]上的最小值為_________ （14）設(shè)為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若相似于，則 =___________ 三、解答題：15-23 小題，共 94 分。請將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 （15）（本題滿分9分）求極限 （16）（本題滿分10分）計算不定積分 （17）（本題滿分10分）設(shè)，其中

4、具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與 （18）（本題滿分10分）設(shè)非負函數(shù)y=y(x)(x0)，滿足微分方程，當(dāng)曲線 y=y(x)過原點時，其與直線x=1及y=0圍成平面區(qū)域的面積為2，求D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。 （19）（本題滿分10分）求二重積分，其中 （20）（本題滿分12分）設(shè)y=y(x)是區(qū)間內(nèi)過點的光滑曲線，當(dāng) 時，曲線上任一點處的發(fā)現(xiàn)都過原點，當(dāng)時，函數(shù)y(x)滿足 。求y(x)的表達式。 （21）（本題滿分11分）（I）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，則存在，使得。（II）證明：若函數(shù)在x=0處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則 存在，且。

5、 （22）（本題滿分11分）設(shè) （I）求滿足的所有向量； （II）對（I）中的任一向量，證明：線性無關(guān)。 （23）（本題滿分11分）設(shè)二次型 （I）求二次型的矩陣的所有特征值；（II）若二次型的規(guī)范形為，求a的值。 2008考研數(shù)學(xué)二真題 一、選擇題：（本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)） (1)設(shè)，則的零點個數(shù)為( )． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． (2)曲線方程為，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分在幾何上表示

6、( )． (A) 曲邊梯形的面積． (B) 梯形的面積． (C) 曲邊三角形面積． (D) 三角形面積． (3)在下列微分方程中，以（為任意的常數(shù)）為通解的是( )． (A) . (B) . (C) . (D) . (4) 判定函數(shù)間斷點的情況( )． (A) 有1可去間斷點，1跳躍間斷點．(B) 有1跳躍間斷點，1無窮間斷點． (C) 有2個無窮間斷點. (D)有2個跳躍間斷點. (5)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是( )． (A) 若收斂，則收斂

7、 (B) 若單調(diào)，則收斂 (C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調(diào)，則收斂. (6)設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域為圖中陰影部分，則( )． (A) (B) (C) (D) (7)設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣．若，則下列結(jié)論正確的是( )． (A) 不可逆，不可逆. (B) 不可逆，可逆. (C) 可逆， 可逆. (D) 可逆， 不可逆. (8) 設(shè)，則在實數(shù)域上，與A合同矩陣為( )． (A) . (B) . (C) .

8、 (D) .　 二、填空題：（9－14小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上） (9)已知函數(shù)連續(xù)，且，則 (10)微分方程的通解是 . (11)曲線在點處的切線方程為 . (12)曲線的拐點坐標為 . (13)設(shè)，則 . (14)設(shè)3階矩陣的特征值為．若行列式，則___________. 三、解答題(15－23小題，共94分)． (15)(本題滿分9分) 求極限． (16)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問

9、題的解，求． (17)（本題滿分9分）計算． (18)(本題滿分11分) 計算，其中． (19)(本題滿分11分) 設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且．對任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體，若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達式． (20)(本題滿分11分) (I) 證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點，使得； (II) 若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，，證明至少存在一點，使得． (21)(本題滿分11分) 求函數(shù)在約束條件和下的最大值和最小值． (22) (本題滿分12分)． 設(shè)元線性方程組，其中

10、 ，，． （I）證明行列式； （II）當(dāng)為何值時，該方程組有惟一解，并求． （III）當(dāng)為何值時，該方程組有無窮多解，并求其通解． (23) (本題滿分10分) 設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足， (I)證明線性無關(guān)； (II)令，求． 2007年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題 一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi). （1）當(dāng)時，與等價的無窮小量是 （A） （B） （C） （D） [ ] （2）函數(shù)在上

11、的第一類間斷點是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D） （3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是： （A） (B) （C） （D） [ ] （4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （B）若存

12、在，則 （D）若存在，則. [ ] （5）曲線的漸近線的條數(shù)為 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若 ，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. [ ] （7）

13、二元函數(shù)在點處可微的一個充要條件是 （A）. （B）. （C）. （D）. （8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于 （A） （B） （C） （D） （9）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 線性相關(guān)，則 (A) (B) (C) . (D) . [ ] （10）設(shè)矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、

14、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上. （11） __________. （12）曲線上對應(yīng)于的點處的法線斜率為_________. （13）設(shè)函數(shù)，則________. （14） 二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為________. （15） 設(shè)是二元可微函數(shù)，，則 __________. （16）設(shè)矩陣，則的秩為 . 三、解答題：17～24小題，共86分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （17） (本題滿分10分) 設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求. （18）（本題滿分11分）

15、 設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域. （Ⅰ）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積； （Ⅱ）當(dāng)為何值時，最小？并求此最小值. （19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解 （20）（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設(shè)，求. （21） (本題滿分11分) 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，，證明：存在，使得. （22） (本題滿分11分) 設(shè)二元函數(shù)，計算二重積分，其中. （23） (本題滿分11分) 設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及

16、所有公共解. 1….【分析】本題為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可. 【詳解】當(dāng)時，，，， 故用排除法可得正確選項為（B）. 事實上，， 或. 所以應(yīng)選（B） 【評注】本題為關(guān)于無窮小量比較的基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算. 2…【分析】因為函數(shù)為初等函數(shù)，則先找出函數(shù)的無定義點，再根據(jù)左右極限判斷間斷點的類型. 【詳解】函數(shù)在均無意義， 而； ； . 所以為函數(shù)的第一類間斷點，故應(yīng)選（A）. 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 對初等函數(shù)來講，無定義點即為間斷點，然

17、后再根據(jù)左右極限判斷間斷點的類型；對分段函數(shù)來講，每一分段支中的無定義點為間斷點，而分段點也可能為間斷點，然后求左右極限進行判斷. 段函數(shù)的定積分. 【詳解】利用定積分的幾何意義，可得 ，， . 所以 ，故選（C）. 【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡便. 4……【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系. 由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去進行判斷，然后選擇正確選項. 【詳解】取，則，但在不可導(dǎo)，故選（D）. 事實上， 在(A),(B

18、)兩項中，因為分母的極限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得. 在（C）中，存在，則，所以(C)項正確，故選(D) 【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效. 5……【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷. 【詳解】， 所以 是曲線的水平漸近線； ，所以是曲線的垂直漸近線； ， ，所以是曲線的斜漸近線. 故選（D）. 【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注

19、意當(dāng)曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意當(dāng)時的極限不同. 6……【分析】本題依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷數(shù)列. 由于含有抽象函數(shù)，利用賦值法舉反例更易得出結(jié)果. 【詳解】選（D）. 取，，，而發(fā)散，則可排除（A）； 取，，，而收斂，則可排除（B）； 取，，，而發(fā)散，則可排除（C）； 故選（D）. 事實上， 若，則. 對任意，因為，所以， 對任意，. 故選（D）. 【評注】對于含有抽象函數(shù)的問題，通過舉符合題設(shè)條件的函數(shù)的反例可簡化計算. 7…….【分析】本題考查二元函數(shù)可微的充分條件. 利用可微的判定條件及可微與

20、連續(xù)，偏導(dǎo)的關(guān)系. 【詳解】本題也可用排除法，（A）是函數(shù)在連續(xù)的定義；（B）是函數(shù)在處偏導(dǎo)數(shù)存在的條件；（D）說明一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但不能推導(dǎo)出兩個一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(0,0) 處連續(xù)，所以（A）（B）（D）均不能保證在點處可微. 故應(yīng)選（C）. 事實上， 由可得 ，即 同理有 從而 = . 根據(jù)可微的判定條件可知函數(shù)在點處可微，故應(yīng)選(C). 【評注】二元函數(shù)連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)存在均不能推出可微，只有當(dāng)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時，才可微. 8,……【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后

21、寫出新的二次積分. 【詳解】由題設(shè)可知，，則， 故應(yīng)選（B）. 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 畫圖更易看出. 9……..【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組構(gòu)造的另一向量組的線性相關(guān)性. 一般令，若，則線性相關(guān)；若，則線性無關(guān). 但考慮到本題備選項的特征，可通過簡單的線性運算得到正確選項. 【詳解】由可知應(yīng)選（A）. 或者因為 ，而， 所以線性相關(guān)，故選（A）. 【評注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項. 10….【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系

22、與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得的特征值，并考慮到實對稱矩陣必可經(jīng)正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案. 【詳解】 由可得， 所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0. 所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以與合同，故選（B）. 【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通過計算與的特征值可立即排除（A）（C）. 11…【分析】本題為未定式極限的求解，利用洛必達法則即可. 【詳解】 . 【評注】本題利用了洛必達法則. 本題還可用泰勒級數(shù)展開計算. 因為

23、， 所以 . 12…..【分析】本題考查參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 【詳解】因為， 所以曲線在對應(yīng)于的點的切線斜率為， 故曲線在對應(yīng)于的點的法線斜率為. 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 13….【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式. 【詳解】，則，故. 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 14…..【分析】本題求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解，利用二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)求解，即先求出對應(yīng)齊次方程的通解，然后求出非齊次微分方程的一個特解，則其通解為 . 【詳解】對應(yīng)齊次方程的特征方程為 ， 則

24、對應(yīng)齊次方程的通解為 . 設(shè)原方程的特解為 ，代入原方程可得 ， 所以原方程的特解為， 故原方程的通解為 ，其中為任意常數(shù). 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 15……【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可. 【詳解】利用求導(dǎo)公式可得 ， ， 所以. 【評注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時，最好設(shè)出中間變量，注意計算的正確性. 16……【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩. 【詳解】. 【評注】本題考查矩陣的運算和秩，為基礎(chǔ)題型. 17……【分析】對含變上限積分的函數(shù)方程

25、，一般先對x求導(dǎo)，再積分即可. 【詳解】 兩邊對求導(dǎo)得 ，（） 兩邊積分得 . （1） 將代入題中方程可得 . 因為是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，則的值域為，單調(diào)非負，所以. 代入（1）式可得，故. 【評注】利用變限積分的可導(dǎo)性是解函數(shù)方程的方法之一. 18…..【分析】V(a)的可通過廣義積分進行計算，再按一般方法求V(a) 的最值即可 【詳解】（Ⅰ） . （Ⅱ）令，得. 當(dāng)時，，單調(diào)增加； 當(dāng)時，，單調(diào)減少. 所以在取得極大值

26、，即為最大值，且最大值為. 【評注】本題為定積分幾何應(yīng)用的典型問題，需記憶相關(guān)公式，如平面圖形的面積，繞坐標軸的旋轉(zhuǎn)體的體積公式等. 19…... 【分析】本題為不含的可降階方程，令，然后求解方程. 【詳解】本題不含，則設(shè)，于是，原方程變?yōu)? ， 則 ，解之得，將代入左式得 ， 于是 ，結(jié)合得， 故 . 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 20……….【分析】本題實質(zhì)上是二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，注意需用隱函數(shù)求導(dǎo)法確定.. 【詳解】令，則. 兩邊對求導(dǎo)得 ，又，可得 在兩邊對求

27、導(dǎo)得 . 所以 . . 【評注】也可利用兩邊對求導(dǎo)得 可得. 21……【分析】由所證結(jié)論可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明. 【詳解】令，則在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且. （1）若在內(nèi)同一點取得最大值，則， 于是由羅爾定理可得，存在，使得 . 再利用羅爾定理，可得 存在，使得，即. （2）若在內(nèi)不同點取得最大值，則，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由

28、羅爾定理可得，存在，使得 . 再利用羅爾定理，可得 ，存在，使得，即. 【評注】對命題為的證明，一般利用以下兩種方法： 方法一：驗證為的最值或極值點，利用極值存在的必要條件或費爾馬定理可得證； 方法二：驗證在包含于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理條件. 22…..【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分. 【詳解】因為被積函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以 ，其中為在第一象限內(nèi)的部分. 而 . 所以 . 【評注】被積函數(shù)包含時, 可考慮用極坐標，解答如下：

29、 . 23……【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得. 【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組 其系數(shù)矩陣 . . 顯然，當(dāng)時無公共解. 當(dāng)時，可求得公共解為 ,為任意常數(shù)； 當(dāng)時，可求得公共解為 . 【評注】本題為基礎(chǔ)題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結(jié)構(gòu). （24） (本題滿分11分) 設(shè)三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量； （II）求矩陣. 【分析】本題考查實對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì).

30、 【詳解】（I）， 則是矩陣的屬于－2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設(shè)的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交，可得 . 即 ，解方程組可得的屬于1的特征向量 ，其中為不全為零的任意常數(shù). 由前可知的屬于－2的特征向量為 ，其中不為零. （II）令，由（Ⅰ）可得，則 . 【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，

31、此類問題一般用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為的形式. 請記住以下結(jié)論： （1）設(shè)是方陣的特征值，則分別有特征值 可逆），且對應(yīng)的特征向量是相同的. （2）對實對稱矩陣來講，不同特征值所對應(yīng)的特征向量一定是正交的 精品 Word 可修改 歡迎下載 親愛的用戶： 煙雨江南，畫屏如展。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，感謝你的閱讀。 1、最困難的事就是認識自己。21.4.274.27.202100:0500:05:354月-2100:05 2、自知之明是最難得的知識。二〇

32、二一二〇二一年四月二十七日2021年4月27日星期二 3、越是無能的人，越喜歡挑剔別人。00:054.27.202100:054.27.202100:0500:05:354.27.202100:054.27.2021 4、與肝膽人共事，無字句處讀書。4.27.20214.27.202100:0500:0500:05:3500:05:35 5、三軍可奪帥也。星期二, 四月 27, 2021四月 21星期二, 四月 27, 20214/27/2021 6、最大的驕傲于最大的自卑都表示心靈的最軟弱無力。12時5分12時5分27-4月-214.27.2021 7、人生就是學(xué)校。21.4.2721.4.2721.4.27。2021年4月27日星期二二〇二一二〇二一年四月二十七日 8、你讓愛生命嗎，那么不要浪費時間。00:0500:05:354.27.2021星期二, 四月 27, 2021