《數學分析課件第二型曲線積分》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學分析課件第二型曲線積分（40頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2 第 二 型 曲 線 積 分 第 二 型 曲 線 積 分 與 第 一 型 曲 線 積 分 不 同 的是 在 有 方 向 的 曲 線 上 定 義 的 積 分 , 這 是 由 于第 二 型 曲 線 積 分 的 物 理 背 景 是 求 變 力 沿 曲 線作 的 功 ,而 這 類 問 題 顯 然 與 曲 線 的 方 向 有 關 .三 、 兩 類 曲 線 積 分 的 聯(lián) 系 一 、 第 二 型 曲 線 積 分 的 定 義 二 、 第 二 型 曲 線 積 分 的 計 算 一 第 二 型 曲 線 積 分 的 定 義在 物 理 中 還 遇 到 過 另 一種 類 型 的 曲 線 積 分 問 題 . 例 如

2、一 質 點 受 力 ( , )F x y的 作 用 沿 平 面 曲 線 L 從點 A 移 動 到 點 B, 求 力 ( , )F x y 所 作 的 功 ,見 圖 20-2. 20 2圖Oy xA M 0( ) ( , )x yM1 M2 nM 1nB M( )FL PQ AB 1n 1 2 1, , ,nM M M 為 此 在 曲 線 內 插 入 個 分 點0, nA M B M它 們 與 AB 一 起 把 有 向 曲 線 分 成 n個 有 向 小 曲 線 段 1 ( 1,2, , ).i iM M i n 若 記 小 曲 線 1| | max .ii nT s( , )F x y x y軸

3、 和設 力 在 軸 方 向 的 投 影 分 別 為( , ) ( , ),P x y Q x y與 那 么( , ) ( ( , ), ( , ).F x y P x y Q x y1i iM M ,is T的 弧 長 為 則 分 割 的 細 度 為段 1i iM M x y軸 和又 設 小 曲 線 段 在 軸 上 的 投 影 分 別 為 1 1( , )i ix y 1i iM M與 分 別 為 點 的 坐 標 . 記 1 ( , ),i iM M i iL x y( , )F x y 1i iM M于 是 力 在 小 曲 線 段 上 所 作 的 功1( , ) ( , ) ( , ) ,i

4、 ii i i M M i i i i i iW F L P x Q y ( , )i i 1i iM M其 中 為 小 曲 線 段 上 任 一 點 . 因 而 力 ( , )F x y AB 沿 曲 線 所 作 的 功 近 似 地 等 于 1 1,i i i i i ix x x y y y與 其 中 ( , )i ix y 與 1 1 1( , ) ( , ) .n n ni i i i i i ii i iW W P x Q y 當 細 度 | | 0T 時 , 上 式 右 邊 和 式 的 極 限 就 應 該 是 所 求 的 功 . 這 種 類 型 的 和 式 極 限 就 是 下 面 所

5、 要 討 論 的 第 二 型 曲 線 積 分 . 定 義 1 設 函 數 ( , ) ( , )P x y Q x y與 定 義 在 平 面 有 向 可 :L AB L ,T L 求 長 度 曲 線 上 . 對 的 任 一 分 割 它 把 分 成 n個 小 曲 線 段 1 ( 1,2, , ),i iM M i n 0 , .nM A M B 1i iM M其 中 記 個 小 曲 線 段 的 弧 長 ,is T 1| | max .ii nT s T為 分 割 的 細 度 又 設 的 分 點 1,i i ix x x 1,( 1,2, , ).i i iy y y i n 1i iM M (

6、, ),i i 在 每 個 小 曲 線 段 上 任 取 一 點 若 極 限 | | 0 | | 01 1lim ( , ) lim ( , )n ni i i i i iT Ti iP x Q y 存 在 且 與 分 割 T 與 點 ( , )i i 的 取 法 無 關 , 則 稱 此 極限 為 函 數 ( , ), ( , )P x y Q x y 沿 有 向 曲 線 L 上 的 第 二 型iM 的 坐 標 為 并 記( , ),i ix y 曲 線 積 分 , 記 為 ( , )d ( , )dL P x y x Q x y y ( , )d ( , )d (1)AB P x y x Q

7、x y y或 ( , )d ( , )dL LP x y x Q x y y ( , )d ( , )dAB ABP x y x Q x y y 上 述 積 分 (1)也 可 寫 作或 為 書 寫 簡 潔 起 見 , (1)式 常 簡 寫 成 d dLP x Q y d d .AB P x Q y 或 式 可 寫 成 向 量 形 式 d d . (2)L P x Q y 若 L為 封 閉 的 有 向 曲 線 , 則 記 為 若 記 ( , ) ( ( , ), ( , ),d (d ,d ),F x y P x y Q x y s x y 則 (1) dLF s d . (3)AB F s 或

8、 于 是 , 力 ( , ) ( ( , ), ( , )F x y P x y Q x y 沿 有 向 曲 線 :L AB對 質 點 所 作 的 功 為( , )d ( , )d .LW P x y x Q x y y ( , , ),P x y z ( , , ),Q x y z若 L為 空 間 有 向 可 求 長 曲 線 , ( , , )R x y z 為 定 義 在 L上 的 函 數 , 則 可 按 上 述 辦 法 類 似 地 定 義 沿 空 間 有 向 曲 線 L上 的 第 二 型 曲 線 積 分 , 并 記 為 ( , , )d ( , , )d ( , , )d , (4)LP

9、 x y z x Q x y z y R x y z z 或 簡 寫 成 d d d .LP x Q y R z ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )F x y P x y Q x y R x y 與d (d ,d ,d )s x y z當 把看 作 三 維 向 量 時 , (4)式 也 可 表 示 成 (3)式 的 向 量 形 式 .第 二 型 曲 線 積 分 與 曲 線 L 的 方 向 有 關 . 對 同 一 曲 線 , 當 方 向 由 A 到 B 改 為 由 B 到 A 時 , 每 一 小 曲 線 段 的方 向 改 變 , 從 而 所 得 的 ,i ix y 也 隨 之

10、 改 變 符 號 , 故 有 d d d d . (5)AB BAP x Q y P x Q y 而 第 一 型 曲 線 積 分 的 被 積 表 達 式 只 是 函 數 ( , )f x y 與 弧 長 的 乘 積 , 它 與 曲 線 L的 方 向 無 關 . 這 是 兩 種 類 型曲 線 積 分 的 一 個 重 要 區(qū) 別 . 類 似 與 第 一 型 曲 線 積 分 , 第 二 型 曲 線 積 分 也 有 如 下一 些 主 要 性 質 : 1 d d ( 1,2, , )i iLP x Q y i k 若 存 在 ， 則 1 1( )d ( )dk ki i i iL i ic P x c

11、Q y 也 存 在 , 且 1 1 1( )d ( )d ( d d );k k ki i i i i i iL Li i ic P x c Q y c P x Q y L 1 2, , , kL L L2. 若 有 向 曲 線 由 有 向 曲 線 首 尾 銜 接 而 成 , d d ,( 1, , )iL P x Q y i k 都 存 在 , 則 1d d d d . ikL LiP x Q y P x Q y d dL P x Q y 也 存 在 , 且 二 第 二 型 曲 線 積 分 的 計 算第 二 型 曲 線 積 分 也 可 化 為 定 積 分 來 計 算 . 設 平 面 曲 線

12、( ),: , ,( ),x tL ty t 其 中 ( ), ( ) , t t 在 上 具 有 一 階 連 續(xù) 導 函 數 , 且 A B與 ( ( ), ( ) ( ( ), ( ). 與 點 的 坐 標 分 別 為 又 設 ( , ) ( , )P x y Q x y L與 為 上 的 連 續(xù) 函 數 , 則 沿 L A B從 到 的 第 二 型 曲 線 積分( , )d ( , )dL P x y x Q x y y ( ( ), ( ) ( ) ( ( ), ( ) ( )d . (6)P t t t Q t t t t ( , )d ( ( ), ( ) ( )d ,LP x y

13、 x P t t t t ( , )d ( ( ), ( ) ( )d ,LQ x y x Q t t t t 讀 者 可 仿 照 1中 定 理 20.1的 方 法 分 別 證 明由 此 便 可 得 公 式 (6). 對 于 沿 封 閉 曲 線 L的 第 二 型 曲 線 積 分 (2)的 計 算 , 可 在 L 上 任 意 選 取 一 點 作 為 起 點 , 沿 L所 指 定 的 方 向 前 進 , 最 后 回 到 這 一 點 . 20 3圖Oy x1A(1,1) B(2,3)2 3123 D(2,1)C例 1 計 算 d ( )d ,L xy x y x y其 中 L 分 別 沿 圖 20-

14、3中 的 路 線 : (i) 直 線 段 ;AB(ii) 22( 1) 1 ;ACB y x 拋 物 線 :(iii)ADBA(三 角 形 周 界 ). 解 (i)直 線 L 的 參 數 方 程 為 1 , 0,1.1 2 ,x t ty t故 由 公 式 (6)可 得 d ( )dAB xy x y x y 10(1 )(1 2 ) 2 dt t t t 1 20 25(1 5 2 )d .6t t tACB 22( 1) 1,1 2,y x x(ii)曲 線 為 拋 物 線 d ( )dACB xy x y x y 2 2 21 2( 1) 1 2( 1) 1 4( 1)dx x x x

15、x x 2 3 21 10(10 32 35 12)d .3x x x x(iii)這 里 L是 一 條 封 閉 曲 線 , 故 可 從 A開 始 , 應 用 上 段加 即 可 得 到 所 求 之 曲 線 積 分 .由 于 沿 直 線 : , 1(1 2)AD x x y x 的 線 積 分 為所 以的 性 質 2, 分 別 求 沿 上 的 線 積 分 然 后 相 , ,AD DB BA 21 3d ( )d d d .2AD ADxy x y x y xy x x x 沿 直 線 : 2, (1 3)DB x y y y 的 線 積 分 為 31d ( )d ( )d ( 2)d 0.DB

16、DBxy x y x y y x y y y 25d ( )d d ( )d .6BA ABxy x y x y xy x y x y 所 以 3 25 8d ( )d 0 .2 6 3L xy x y x y 沿 直 線 的 線 積 分 可 由 (i)及 公 式 (5)得 到 : BA 例 2 計 算 d d ,L x y y x 這 里 L 為 : (i) 沿 拋 物 線 22 ,y x O B從 到 的 一 段 (圖 20-4); (ii) 沿 直 線 : 2 ;OB y x(iii) 沿 封 閉 曲 線 .OABO 1 20 (4 ) 2 dx x x x1 20 66 d 2.3x

17、x d dL x y y x解 (i) 20 4圖Oy (1,2)B1 (1,0)A2 x 14 2.2 10d d (2 2 )dL x y y x x x x (ii)(iii)在 OA一 段 上 , 0,0 1;y x AB在 一 段 上 , 1,0 2;x y BO在 2y x 從一 段 上 與 (ii)一 樣 是 1 0 x x到 的 一 段 . 所 以 10d d 0d 0,OA x y y x x 20d d 1d 2,AB x y y x y d d d d 2.BO OBx y y x x y y x (見 (ii) d d d d0 2 2 0.L OA AB BOx y

18、y x x y y x 沿 空 間 有 向 曲 線 的 第 二 型 曲 線 積 分 的 計 算 公 式 也 與 (6) 式 相 仿 . 設 空 間 有 向 光 滑 曲 線 L 的 參 量 方 程 為 ( ),: ( ), ,( ),x x tL y y t tz z t 因 此 ( ( ), ( ), ( ),x y z ( ( ), ( ), ( ),x y z 起 點 為 終 點 為則 d d dLP x Q y R z ( ( ), ( ), ( ) ( ) ( ( ), ( ), ( ) ( )P x t y t z t x t Q x t y t z t y t ( ( ), ( )

19、, ( ) ( )d . (7)R x t y t z t z t t這 里 要 注 意 曲 線 方 向 與 積 分 上 下 限 的 確 定 應 該 一 致 . 2d ( )d d ,LI xy x x y y x z cos , sin ,x a t y a t z bt 0t從 到L是 螺 旋 線 : 例 3 計 算 第 二 型 曲 線 積 分 t 上 的 一 段 (參 見 圖 20 5). 解 由 公 式 (7), 3 2 2 2 2 2 20 ( cos sin cos sin cos cos )dI a t t a t a t t a b t t 3 3 3 2 2 01 1 1 1

20、sin sin (1 )( sin2 )3 2 2 2a t a t a b t t 21 (1 ).2a b 例 4 求 在 力 ( , , )F y x x y z 作 用 下 , A 1L B到(i)質 點 由 沿 螺 旋 線 所 作 的 功 (圖 20-5), 其 中 1 : cos , sin , ,0 2;L x a t y a t z bt t(ii)質 點 由 A沿 直 線 2L B到 所 作 的 功 .解 如 本 節(jié) 開 頭 所 述 , 在 空 間 曲 線 L上 力 F所 作 的 功為 d d d ( )d .L LW F s y x x y x y z z (i) 由 于

21、d sin d ,d cos d ,d d ,x a t t y a t t z b t 2 2 2 2 2 20 ( sin cos cos sin )dW a t a t ab t ab t b t t 2 22( ).b a(ii) 2L 的 參 量 方 程 , 0, ,0 2 .x a y z t t b由 于 d 0,d 0,d d ,x y z t 所 以20 ( )d 2 ( ).bW a t t b a b 2 2 2 2x y z a 0 x y z 例 5 設 L為 球 面 和 平 面的 交 線 , 若 面 對 x 軸 正 向 看 去 , L是 沿 逆 時 針 方 向 的

22、,求 d d d ;L x x y y z z (i) d d d .L z x x y y z (ii)cos sin ,6 2a ax t t cos ,6ay tcos sin , 0,2.6 2a az t t t (i) 22 02d cos sin d 0.3L y y a t t t 由 對 稱 性 ，d d 0,L Lx x z z 解 L的 參 數 方 程 為 因 此 ， d d d =0.L x x y y z z (ii) 20 2d cos sin cos d6 6 2L a a ay z t t t t 23 .3 a由 對 稱 性 ， 2d d d 3 .Lz x

23、x y y z a ( )x , a b*例 6 設 G是 R2 中 的 有 界 閉 域 ， 是 上 的 連 續(xù) 可 微 函 數 , ( , ), ( , )P x y Q x y 是 在 G上 的 連 續(xù) 函 數 . ( , ( ) , int ,L x x x a b G 0 0, 則 對 任 意 , 存 在 對 于 任 意 分 割0 1: ,nT a x x x b 只 要 1max : 1, , ,i iT x x i n 必 有d d d d ,L lP x Q y P x Q y 其 中 ( , ( ), 1,2, ,i i i il A A x x i n 是 以 為 端 點的

24、折 線 ., ,P Q 0,M 證 由 的 有 界 性 ,存 在 使 得 sup ( , ) ( , ) ,P x y x y G M sup ( , ) ( , ) ,Q x y x y G M sup ( ) , .x x a b M 0, .(1 2 )( )M b a 令 由 P,Q在 G 的 一 致 連 續(xù) 性 , 存 在 0. 使 得 ( , ), ( , ) , ,A x y B x y G y y 就 有( , ) ( , ) ,P x y P x y ( , ) ( , ) .Q x y Q x y , , a b 0, 由 在 上 的 一 致 連 續(xù) 性 ,存 在 使 得

25、, , , ,x x a b x x 就 有( ) ( ) , ( ) ( )x x x x .任 意 分 割 0 1: nT a x x x b ,滿 足 1max : 1, , .i iT x x i n 令 ( , ( ),i i i iA A x xil 1iA iA 設 為 連 接 與 的 線 段 ,其 斜 率 為1 11( ) ( ) ( ), , , 1,2, , .i i i i i ii ix x x x i nx x 1 ,n iil l l ( ), , .l x x a b設 的 方 程 為 則 , ,x a b ( ) ( ) .l x x ( , ( ) ( , (

26、 ) ,P x x P x l x ( , ( ) ( ) ( , ( ) ( )iQ x x x Q x l x ( , ( ) ( ) ( , ( ) ( )iQ x x x Q x x ( , ( ) ( ) ( , ( ) ( )i iQ x x Q x l x 2 ,M于 是 L 1iA iA , 1,2, , .iL i n 設 在 到 的 那 段 曲 線 為 則 1 .n iiL L d d d dL lP x Q y P x Q y 1 d d d di ini L lP x Q y P x Q y 11 ( , ( ) ( ) ( , ( ) ( )diin x ixi Q

27、x x x Q x l x x 11 ( , ( ) ( , ( )diin xxi P x x P x l x x 因 此 1 11 12n ni i i ii ix x M x x (1 2 )( ) .M b a 注 例 6 告 訴 我 們 曲 線 上 的 積 分 可 用 折 線 上 的 積 分 來逼 近 . *三 . 兩 類 曲 線 積 分 的 聯(lián) 系在 規(guī) 定 了 曲 線 方 向 之 后 , 可 以 建 立 它 們 之 間 的 聯(lián) 系 .L A B設 為 從 到 的 有 向 光 滑 曲 線 , 它 以 弧 長 s為 參 數 , 雖 然 第 一 型 曲 線 積 分 與 第 二 型 曲

28、線 積 分 來 自 不 同 的物 理 原 型 , 且 有 著 不 同 的 特 性 , 但 在 一 定 條 件 下 , 如于 是 ( ),: 0 ,( ),x x sL s ly y s其 中 l為 曲 線 L的 全 長 , 且 點 A B與 的 坐 標 分 別 為 ( (0), (0) ( ( ), ( ).x y x l y l與 曲 線 L上 每 一 點 的 切 線 方 向 指 向 弧 長 增 加 的 一 方 . 現(xiàn) 以 ( , ),( , )t x t y 分 別 表 示 切 線 方 向 t x y與 軸 與 軸 正 向 的 夾 角 , 則 在 曲 線 上 的 每 一 點 的 切 線 方

29、 向 余 弦 是 d dcos( , ), cos( , ). (8)d dx yt x t ys s( , ), ( , )P x y Q x y L若 為 曲 線 上 的 連 續(xù) 函 數 , 則 由 (6) 式 得 d dLP x Q y 0 ( ( ), ( ),cos( , ) ( ( ), ( )cos( , )dl P x s y s t x Q x s y s t y s ( , )cos( , ) ( , )cos( , )d , (9)L P x y t x Q x y t y s 最 后 一 個 等 式 是 根 據 第 一 型 曲 線 積 分 化 為 定 積 分 的公 式

30、.注 當 (9)式 左 邊 第 二 型 曲 線 積 分 中 L改 變 方 向 時 , 積 分 值 改 變 符 號 , 相 應 在 (9)式 右 邊 第 一 型 曲 線 積 分 中 , 曲 線 上 各 點 的 切 線 方 向 指 向 相 反 的 方 向 (即 指 向 弧 長 減 少 的 方 向 ). 這 時 夾 角 ( , ) ( , )t x t y和 分 別 與 原 來 , cos( , ) cos( , )t x t y和 的 夾 角 相 差 一 個 弧 度 從 而 都 要 變 號 . 因 此 , 一 旦 方 向 確 定 了 , 公 式 (9)總 是 成 立 的 . 復 習 思 考 題 1

31、. 設 ( , )f x y 在 光 滑 曲 線 L上 連 續(xù) , L滿 足( , ) ( , ) .x y L x y L 若 ( , )f x y ( , ) ( , ),f x y f x y 滿 足 條 件 : 是 否 有( , )d 0?L f x y x ( , )f x y ( , ) ( , ),f x y f x y 又 若 滿 足 是 否 有( , )d 2 ( , )d ?L Lf x y x f x y x 其 中 ( , ) : 0 .L x y L x 2. 第 二 型 曲 面 是 否 也 有 輪 換 對 稱 性 ？設 ( , )f x y 在 光 滑 曲 線 L上

32、 連 續(xù) , L滿 足( , ) ( , ) .x y L y x L ( , )f x y ( , ) ( , ),f x y f y x 若 滿 足 條 件 : 是 否 亦 有 ( , )d ( , )d ?L Lf x y x f y x y 3. 設 ( , , )f x y z 在 空 間 光 滑 曲 線 L上 連 續(xù) , L滿 足( , , ) ( , , ) ( , , ) .x y z L y z x L z x y L ( , , )f x y z ( , , ) ,x y z L 若 滿 足 條 件 :( , , ) ( , , ) ( , , ),f x y z f y z x f z x y ( , , )d ( , , )d ( , , )d ?L L Lf x y z x f y z x y f z x y z 是 否 亦 有