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1、 一 、 數(shù) 列 的 概 念1.定 義按 一 定 次 序 排 列 的 一 列 數(shù) 叫 做 數(shù) 列 .2.數(shù) 列 是 特 殊 的 函 數(shù) 從 函 數(shù) 的 觀 點(diǎn) 看 數(shù) 列 , 對(duì) 于 定 義 域 為 正 整 數(shù) 集 N*(或 它 的有 限 子 集 1, 2, 3, , n)的 函 數(shù) 來(lái) 說(shuō) , 數(shù) 列 就 是 這 個(gè) 函 數(shù) 當(dāng) 自變 量 從 小 到 大 依 次 取 值 時(shí) 對(duì) 應(yīng) 的 一 系 列 函 數(shù) 值 , 其 圖 象 是 無(wú)限 個(gè) 或 有 限 個(gè) 孤 立 的 點(diǎn) . 注 : 依 據(jù) 此 觀 點(diǎn) 可 以 用 函 數(shù) 的 思 想 方 法 來(lái) 解 決 有 關(guān) 數(shù) 列的 問(wèn) 題 . 二 、

2、數(shù) 列 的 表 示1.列 舉 法2.圖 象 法3.通 項(xiàng) 公 式 法 若 數(shù) 列 的 每 一 項(xiàng) an 與 項(xiàng) 數(shù) n 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 可 以 用 一 個(gè)公 式 來(lái) 表 達(dá) , 即 an=f(n), 則 an=f(n) 叫 做 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 .4.遞 推 公 式 法 如 果 已 知 數(shù) 列 的 第 一 項(xiàng) (或 前 幾 項(xiàng) ), 且 任 一 項(xiàng) 與 它 的 前 一項(xiàng) (或 前 幾 項(xiàng) )的 關(guān) 系 可 以 用 一 個(gè) 公 式 來(lái) 表 示 , 這 個(gè) 公 式 就 叫 做數(shù) 列 的 遞 推 公 式 .注 : 遞 推 公 式 有 兩 要 素 : 遞 推 關(guān) 系 與 初 始

3、條 件 . 三 、 數(shù) 列 的 分 類(lèi)1.按 項(xiàng) 數(shù) ： 有 窮 數(shù) 列 和 無(wú) 窮 數(shù) 列 ；2.按 an 的 增 減 性 ： 遞 增 、 遞 減 、 常 數(shù) 、 擺 動(dòng) 數(shù) 列 ；3.按 |an| 是 否 有 界 ： 有 界 數(shù) 列 和 無(wú) 界 數(shù) 列 .四 、 數(shù) 列 的 前 n 項(xiàng) 和Sn=a1+a2+ +an= ak; nk=1 an= S1 (n=1), Sn-Sn-1 (n 2). 五 、 數(shù) 列 的 單 調(diào) 性 設(shè) D 是 由 連 續(xù) 的 正 整 數(shù) 構(gòu) 成 的 集 合 , 若 對(duì) 于 D 中 的 每 一 個(gè)n 都 有 an+1an(或 an+1an), 則 稱(chēng) 數(shù) 列 an

4、在 D 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 (或單 調(diào) 遞 減 ).方 法 ： 作 差 、 作 商 、 函 數(shù) 求 導(dǎo) .六 、 重 要 變 換an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1); a n=a1 . anan-1a2 a1 a3 a2 典 型 例 題 1.若 數(shù) 列 an 滿(mǎn) 足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+ +(n-1)an-1 (n2), 則 當(dāng) n2 時(shí) , an 的 通 項(xiàng) an= . 2.定 義 “ 等 和 數(shù) 列 ” : 在 一 個(gè) 數(shù) 列 中 , 如 果 每 一 項(xiàng) 與 它 的 后一 項(xiàng) 的 和 都 為 同 一 個(gè) 常 數(shù) , 那 么 這 個(gè) 數(shù) 列

5、叫 做 等 和 數(shù) 列 , 這 個(gè)常 數(shù) 叫 做 該 數(shù) 列 的 公 和 . 已 知 數(shù) 列 an 是 等 和 數(shù) 列 , 且 a1=2, 公 和 為 5, 那 么 a18 的 值 為 , 這 個(gè) 數(shù) 列 的 前 n 項(xiàng) 和 Sn 的 計(jì) 算公 式 為 . 3.設(shè) 數(shù) 列 a n 的 前 n 項(xiàng) 和 為 Sn, Sn= (對(duì) 于 所 有 n1), 且 a4=54, 則 a1 的 數(shù) 值 為 . a1(3n-1) 2 4.在 數(shù) 列 an 中 , a1= , an+1-an= , 求 數(shù) 列 an 的 通 項(xiàng)公 式 . 12 4n2-1 1 n! 2an=3 24n-2 4n-3 an= n 為

6、 奇 數(shù) 時(shí) , Sn= n- ; n 為 偶 數(shù) 時(shí) , Sn= n. 1252 52 5.已 知 數(shù) 列 an 的 前 n 項(xiàng) 和 Sn 滿(mǎn) 足 : log2(1+Sn)=n+1, 求 數(shù) 列 an 的 通 項(xiàng) 公 式 . 6.設(shè) 數(shù) 列 an 的 前 n 項(xiàng) 和 Sn=2an-1(n=1, 2, 3, ); 數(shù) 列 bn 滿(mǎn)足 : b1=3, bk+1=ak+bk(k=1, 2, 3, ). 求 數(shù) 列 an、 bn 的 通 項(xiàng) 公式 . 3, n=1, 2n, n 2. an= an=2n-1 bn=2n-1+2 7.設(shè) 數(shù) 列 an 的 前 n 項(xiàng) 和 Sn=3n2-65n, 求 數(shù)

7、 列 |an| 的 前 n 項(xiàng)和 Tn. -3n2+65n, n 11, 3n2-65n+704, n 12. Tn= 8.已 知 數(shù) 列 an 的 通 項(xiàng) an=(n+1)( ) , 問(wèn) 是 否 存 在 正 整 數(shù) M, 使 得 對(duì) 任 意 正 整 數(shù) n 都 有 anaM ? n109 當(dāng) nan, an 單 調(diào) 遞 增 ；當(dāng) n8 時(shí) , an+1an, an 單 調(diào) 遞 減 . 而 a8=a9, 即 a1a2 a10a11 , a8 與 a9 是 數(shù) 列 an 的 最 大 項(xiàng) . 故 存 在 M=8 或 9, 使 得 anaM 對(duì) n N+ 恒 成 立 . 解 : an+1-an=(n

8、+2)( )n+1-(n+1)( )n 11 9 11 9 =( )n . 11 9 10 8-n 9.求 使 得 不 等 式 + + + + 2a-5 對(duì) n N* 恒 成 立 的 正 整 數(shù) a 的 最 大 值 . 1 3n+1 1 n+1 1 n+2 1 n+3 解 : 記 f(n)= + + + + , 考 察 f(n) 的 單 調(diào) 性 . 1 3n+1 1 n+1 1 n+2 1 n+3 f(n+1)f(n), f(n+1)-f(n)= + + - 1 3n+2 1 3n+3 1 3n+4 1 n+1 = + - 1 3n+2 1 3n+4 2 3n+3= 0, 2 (3n+2)(3

9、n+3)(3n+4) 評(píng) 析 數(shù) 列 的 單 調(diào) 性 是 探 索 數(shù) 列 的 最 大 項(xiàng) 、 最 小 項(xiàng) 及 解 決其 它 許 多 數(shù) 列 問(wèn) 題 的 重 要 途 徑 , 因 此 要 熟 練 掌 握 求 數(shù) 列 單 調(diào) 性 的 程 序 . 當(dāng) n=1 時(shí) , f(n) 有 最 小 值 f(1)= + + = . 12 13 14 1213要 使 題 中 不 等 式 對(duì) n N* 恒 成 立 , 只 須 2a-5 . 1213 正 整 數(shù) a 的 最 大 值 是 3. 解 得 a . 2473 課 后 練 習(xí) 1.根 據(jù) 下 列 數(shù) 列 的 前 幾 項(xiàng) 的 值 , 寫(xiě) 出 數(shù) 列 的 一 個(gè) 通

10、 項(xiàng) 公 式 : (1) -1, , - , , - , , ;34 3632 13 15(2) 5, 55, 555, . an=(-1)n 2+(-1)nnan=555 5= (999 9)= (10n-1)n 個(gè) 59 n 個(gè) 59(3) -1, 7, -13, 19, ; (4) 7, 77, 777, 7777, ; (5) , , , , , ;23 638 9910154 356(6) 5, 0, -5, 0, 5, 0, -5, 0, . an=(-1)n(6n-5) an= (10n-1)79an= 2n (2n-1)(2n+1)an=5sin 2 n 2.已 知 下 面 各

11、 數(shù) 列 an 的 前 n 項(xiàng) 和 Sn 的 公 式 , 求 an 的 通 項(xiàng)公 式 : (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n2+n+1; (3)Sn=3n-2.解 : (1)當(dāng) n=1 時(shí) , a1=S1=-1; 當(dāng) n 2 時(shí) , an=Sn-Sn-1=4n-5, 故 an=4n-5(nN*). (2)當(dāng) n=1 時(shí) , a1=S1=5; 當(dāng) n 2 時(shí) , an=Sn-Sn-1=6n-2, 故 an= 5, n=1, 6n-2, n 2. (3)當(dāng) n=1 時(shí) , a1=S1=1; 當(dāng) n 2 時(shí) , an=Sn-Sn-1=23n-1, 故 an= 1, n=1, 23n-1,

12、n 2. 3.已 知 數(shù) 列 an 滿(mǎn) 足 a1=1, an=3n-1+an-1(n 2). (1) 求 a2, a3; (2) 證 明 : an= .3n-1 2(1)解 : a1=1, an=3n-1+an-1(n 2), a2=32-1+a1=3+1=4, a3=33-1+a2=9+4=13. 故 a2, a3 的 值 分 別 為 4, 13. (2)證 : a1=1, an=3n-1+an-1, an-an-1=3n-1. an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1) =1+3+32+ +3n-1 3 n-1 2故 an= . 3n-1 23n-13-13-1=

13、= . 4.設(shè) 函 數(shù) f(x)=log2x-logx2 (0 x1), 數(shù) 列 an 滿(mǎn) 足 f(2an)=2n, n=1, 2, 3, . (1)求 數(shù) 列 an 的 通 項(xiàng) 公 式 ; (2)判 斷 數(shù) 列 an 的 單調(diào) 性 .解 : (1)由 已 知 log22an- =2n, log22an1 an- =2n,1an即 an2-2nan-1=0. 解 得 an=n n2+1. 故 an=n- n2+1 (nN*). 0 x1, 即 02an1, an0. (2) = an+1 an (n+1)- (n+1)2+1n- n2+1 (n+1)+ (n+1)2+1n+ n2+1= 1.

14、而 a nan. 故 數(shù) 列 an 是 遞 增 數(shù) 列 . 5.已 知 數(shù) 列 an 的 通 項(xiàng) an=(n+1)( )n(nN*), 試 問(wèn) 該 數(shù) 列an 有 沒(méi) 有 最 大 項(xiàng) ? 若 有 , 求 出 最 大 項(xiàng) 和 最 大 項(xiàng) 的 項(xiàng) 數(shù) ; 若 沒(méi)有 , 說(shuō) 明 理 由 . 1110 當(dāng) n0, 即 an+1an; 當(dāng) n9 時(shí) , an+1-an0, 即 an+10), 則 有 : a24=a14q=(a11+3d)q, a32=a12q2=(a11+d)q2, 12( +3d)q=1,( +d)q2= , 12 14即 : 解 得 : q=d= . 1212故 公 比 q 的 值

15、 為 . 12 12(2)a1k=a11+(k-1)d= +(k-1) = . k2 n212(3)A1=a11+a12+a13+ +a1n= ( + )= . n2 n(n+1) 4 Ak=ak1+ak2+ak3+ +akn=qk-1A1=( )k-1 = . 12 n(n+1) 4 n(n+1) 2k+1 7.已 知 數(shù) 列 2n-1an 的 前 n 項(xiàng) 和 Sn=9-6n. (1)求 數(shù) 列 an 的 通項(xiàng) 公 式 ; (2)設(shè) bn=n(3-log2 ), 求 數(shù) 列 的 前 n 項(xiàng) 和 .|an| 3 bn1解 : (1)當(dāng) n=1 時(shí) , 20a1=S1=9-6=3, a1=3;

16、當(dāng) n 2 時(shí) , 2n-1an=Sn-Sn-1=-6, 故 an= - , n 2. 3, n=1, 2n-2 3 an=- . 2n-2 3(2)當(dāng) n=1 時(shí) , b1=3-log21=3, = ; b11 13當(dāng) n 2 時(shí) , bn=n(3-log2 )=n(n+1), 32n-2 3 bn1 = - . n1 n+1156= - . n+11 + + + = +( - )+ +( - ) b11 b2 1 bn1 13 n112 13 n+11 8.已 知 數(shù) 列 an, bn 滿(mǎn) 足 a1=1, a2=a(a為 常 數(shù) ), 且 bn=anan+1, 其 中 , n=1, 2,

17、3, . (1)若 an 是 等 比 數(shù) 列 , 試 求 數(shù) 列 bn 的 前 n 項(xiàng) 和 Sn 的 公 式 .解 : an 是 等 比 數(shù) 列 , a1=1, a2=a, a0, an=an-1.又 bn=anan+1, b1=a1a2=a, 且 有 : bn+1 bn anan+1 an+1an+2 = = =a2. an+2 an bn 是 以 a 為 首 項(xiàng) , a2 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列 .當(dāng) a=1 時(shí) , Sn=1+1+ +1=n; 當(dāng) a=-1 時(shí) , Sn=-1-1- -1=-n; 當(dāng) a1 時(shí) , Sn= . 1-a2 a(1-a2n) 1-a 2 a(1-a2n

18、) 故 Sn= n, a=1, -n, a=-1, , a1. (2)當(dāng) bn 是 等 比 數(shù) 列 時(shí) , 甲 同 學(xué) 說(shuō) : an 一 定 是 等 比 數(shù) 列 , 乙同 學(xué) 說(shuō) : an 一 定 不 是 等 比 數(shù) 列 . 你 認(rèn) 為 他 們 的 說(shuō) 法 是 否 正 確 ? 為 什 么 ? 解 : 甲 , 乙 兩 個(gè) 同 學(xué) 的 說(shuō) 法 均 不 正 確 , 理 由 如 下 : 設(shè) bn 的 公 比 為 q, 則 : bn+1 bn anan+1 an+1an+2 = = =q, 且 a0. an+2 an 又 a1=1, a2=a, a1, a3, a5, , a2n-1, 是 以 1 為

19、首 項(xiàng) , q 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列 . a2, a4, a6, , a2n, 是 以 a 為 首 項(xiàng) , q 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列 . 即 an 為 : 1, a, q, aq, q2, aq2, .當(dāng) q=a2 時(shí) , an 是 等 比 數(shù) 列 , 當(dāng) qa2 時(shí) , an 不 是 等 比 數(shù) 列 .法 二 : 舉 例 說(shuō) 明 an 可 能 是 等 比 數(shù) 列 , 也 可 能 不 是 : 設(shè) bn 的 公 比 為 q, 取 a=q=1, 則 : an=1(nN*). 此 時(shí) bn=1, an 與 bn 都 是 等 比 數(shù) 列 ; 取 a=2, q=1, 則 : an= , bn=2.1 (n為 奇 數(shù) ) 2 (n為 偶 數(shù) ) 此 時(shí) bn 是 等 比 數(shù) 列 , 而 an不 是 等 比 數(shù) 列 .