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1、 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 是 現(xiàn) 代 設(shè) 計(jì) 方 法 的 重 要 內(nèi) 容 之 一 。 它 是 以數(shù) 學(xué) 規(guī) 劃 論 為 理 論 基 礎(chǔ) ， 以 電 子 計(jì) 算 機(jī) 為 工 具 ， 在 充 分考 慮 多 種 設(shè) 計(jì) 約 束 的 前 提 下 ， 尋 求 滿 足 某 項(xiàng) 預(yù) 定 目 標(biāo) 的最 佳 設(shè) 計(jì) 方 案 的 一 種 設(shè) 計(jì) 方 法 。 本 章 主 要 介 紹 了 如 下 幾 方 面 內(nèi) 容 ：內(nèi) 容 簡 介 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 基 本 概 念 及 數(shù) 學(xué) 模 型 的 建 立 ； 常 用 的 一 維 優(yōu) 化 方 法 ； 多 維 無 約 束 優(yōu) 化 方 法 ； 約 束 優(yōu) 化 方 法 ； 多 目 標(biāo) 優(yōu)

2、 化 方 法 ； 機(jī) 械 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 一 般 步 驟 及 設(shè) 計(jì) 應(yīng) 用 實(shí) 例 。 2.1 概 述2.1.1 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 基 本 概 念 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) （ Optimal Design） 是 20世 紀(jì) 60年 代 發(fā) 展起 來 的 一 種 現(xiàn) 代 設(shè) 計(jì) 方 法 。 它 是 將 最 優(yōu) 化 原 理 和 計(jì) 算 機(jī)技 術(shù) 應(yīng) 用 于 設(shè) 計(jì) 領(lǐng) 域 ， 為 工 程 設(shè) 計(jì) 提 供 一 種 重 要 的 科 學(xué)設(shè) 計(jì) 方 法 。 利 用 這 一 設(shè) 計(jì) 方 法 ， 設(shè) 計(jì) 者 就 可 從 眾 多 的 設(shè) 計(jì) 方 案中 尋 找 出 最 佳 設(shè) 計(jì) 方 案 ， 從 而 大 大 提 高

3、設(shè) 計(jì) 效 率 和 質(zhì) 量 ，因 此 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 是 現(xiàn) 代 設(shè) 計(jì) 理 論 和 方 法 的 一 個(gè) 重 要 領(lǐng) 域 ，它 已 廣 泛 應(yīng) 用 于 各 個(gè) 工 業(yè) 設(shè) 計(jì) 領(lǐng) 域 和 各 種 產(chǎn) 品 設(shè) 計(jì) 中 。 所 謂 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) ， 就 是 在 規(guī) 定 的 設(shè) 計(jì) 限 制 條 件 下 ， 運(yùn) 用最 優(yōu) 化 原 理 和 方 法 將 實(shí) 際 工 程 設(shè) 計(jì) 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 最 優(yōu) 化 問 題 ，然 后 以 計(jì) 算 機(jī) 為 工 具 進(jìn) 行 尋 優(yōu) 計(jì) 算 ， 在 全 部 可 行 設(shè) 計(jì) 方 案中 ， 尋 求 滿 足 預(yù) 定 設(shè) 計(jì) 目 標(biāo) 的 最 佳 設(shè) 計(jì) 方 案 。 進(jìn) 行 最

4、 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 時(shí) ： 首 先 必 須 將 實(shí) 際 問 題 加 以 數(shù) 學(xué) 描 述 ， 形 成 一 組 由 數(shù) 學(xué)表 達(dá) 式 組 成 的 數(shù) 學(xué) 模 型 ； 然 后 選 擇 一 種 最 優(yōu) 化 數(shù) 值 計(jì) 算 方 法 和 計(jì) 算 機(jī) 程 序 ， 在計(jì) 算 機(jī) 上 進(jìn) 行 尋 優(yōu) 運(yùn) 算 求 解 ， 得 到 一 組 最 佳 的 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 。 這 組 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 就 是 設(shè) 計(jì) 的 最 優(yōu) 解 。 與 傳 統(tǒng) 設(shè) 計(jì) 方 法 不 同 ， 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 過 程 一 般 分 為 如 下 四 步 ： （ ） 設(shè) 計(jì) 課 題 分 析 ： 通 過 對 設(shè) 計(jì) 課 題 的 分 析 ， 提 出 設(shè)

5、計(jì) 目 標(biāo) ， 它 可 以 是 單 項(xiàng) 設(shè) 計(jì) 指 標(biāo) ， 也 可 以 是 多 項(xiàng) 設(shè) 計(jì) 指 標(biāo) 的組 合 。 從 技 術(shù) 經(jīng) 濟(jì) 的 觀 點(diǎn) 出 發(fā) ， 對 機(jī) 械 設(shè) 計(jì) 而 言 ， 機(jī) 器 的 運(yùn) 動學(xué) 和 動 力 學(xué) 性 能 、 體 積 、 重 量 、 效 率 、 成 本 、 可 靠 性 等 都 可以 作 為 設(shè) 計(jì) 追 求 的 目 標(biāo) 。 然 后 分 析 設(shè) 計(jì) 應(yīng) 滿 足 的 要 求 ， 主 要 的 有 ： 某 些 參 數(shù) 的 取值 范 圍 ； 某 種 設(shè) 計(jì) 性 能 或 指 標(biāo) 按 設(shè) 計(jì) 規(guī) 范 推 導(dǎo) 出 的 技 術(shù) 性 能； 還 有 工 藝 條 件 對 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 的

6、 限 制 等 。 （ ） 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 ： 將 工 程 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問 題 用 數(shù) 學(xué) 方 程式 的 形 式 予 以 全 面 地 、 準(zhǔn) 確 地 描 述 ， 即 建 立 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 。 （ ） 選 擇 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 方 法 ： 根 據(jù) 所 建 立 的 數(shù) 學(xué) 方 程 式的 性 質(zhì) 、 設(shè) 計(jì) 精 度 的 要 求 等 選 用 合 適 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 方 法 ， 并做 出 相 應(yīng) 的 程 序 設(shè) 計(jì) 。 （ ） 上 機(jī) 電 算 求 解 ： 將 所 編 程 序 及 有 關(guān) 數(shù) 據(jù) 上 機(jī) 運(yùn)算 ， 自 動 得 出 最 優(yōu) 值 。 然 后 對 計(jì) 算 結(jié) 果 做 出 分

7、 析 和 判 斷 ，則 得 出 最 優(yōu) 設(shè) 計(jì) 方 案 。 上 述 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 過 程 的 四 步 其 核 心 是 進(jìn) 行 如 下 兩 項(xiàng) 工 作 ： 一 是 分 析 設(shè) 計(jì) 任 務(wù) ， 將 實(shí) 際 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 一 個(gè) 最 優(yōu) 化 問題 ， 即 建 立 優(yōu) 化 問 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 ； 二 是 選 用 適 用 的 優(yōu) 化 方 法 在 計(jì) 算 機(jī) 上 求 解 數(shù) 學(xué) 模 型 ，尋 求 最 優(yōu) 設(shè) 計(jì) 方 案 。 下 面 通 過 三 個(gè) 簡 單 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 實(shí) 例 ， 說 明 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型的 一 般 形 式 及 其 有 關(guān) 概 念 。2.1.2 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì)

8、的 數(shù) 學(xué) 模 型 例 2-1 如 圖 2-1所 示 ， 有 一 圓 形 等 截 面 的 銷 軸 ， 一端 固 定 ， 一 端 作 用 著 集 中 載 荷 F=10000N和 轉(zhuǎn) 矩T=100NM。 由 于 結(jié) 構(gòu) 需 要 ， 軸 的 長 度 l不 得 小 于 8cm， 已 知 銷 軸 材 料 的 許 用 彎 曲 應(yīng) 力 w=120MPa， 許 用扭 轉(zhuǎn) 切 應(yīng) 力 =80MPa ， 允 許 撓 度 f=0.01cm， 密 度=7.8t/m3， 彈 性 模 量 E=2 105MPa。 現(xiàn) 要 求 在 滿 足 使 用 要 求 的 條 件 下 ， 試 設(shè) 計(jì) 一 個(gè) 用料 最 省 （ 銷 軸 質(zhì)

9、量 最 輕 ） 的 方 案 。 圖 2-1 圓 形 等 截 面 的 銷 軸 解 ： 根 據(jù) 上 述 問 題 ， 該 銷 軸 的 力 學(xué) 模 型 是 一 個(gè)懸 臂 梁 。 設(shè) 銷 軸 直 徑 為 d ， 長 度 為 l， 體 積 為 V， 則該 問 題 的 物 理 表 達(dá) 式 如 下 ：可 見 銷 軸 用 料 取 決 于 其 直 徑 d 和 長 度 l。 這 是 一 個(gè) 合 理 選 擇d 和 l而 使 體 積 V 最 小 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問 題 。(2) 滿 足 的 條 件 ： 強(qiáng) 度 條 件 ： wdFl 3max 1.0 32.0 dT fdEFlEJFlf 433 3643 彎 曲 強(qiáng)

10、 度 表 達(dá) 式扭 轉(zhuǎn) 強(qiáng) 度 表 達(dá) 式 剛 度 條 件 ：撓 度 表 達(dá) 式(1) 銷 軸 用 料 最 省 （ 即 體 積 最 小 ） ： min41 2 ldV 結(jié) 構(gòu) 尺 寸 邊 界 條 件 ： min 8 cml l 1 2, x d x l 1 2 T TX d l x x 將 題 意 的 有 關(guān) 已 知 數(shù) 值 代 入 ， 按 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 的 規(guī) 范 形 式 ，可 歸 納 為 如 下 數(shù) 學(xué) 模 型 ：設(shè) ：設(shè) 計(jì) 變 量 ：目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 化 ： 3 31 2 1( ) 8.33 8.33 0 ( )g X l d x x 彎 曲 強(qiáng) 度 條 件3 32

11、 13 4 3 43 2 14 2( ) 6.25 6.25 0 ( )( ) 0.34 0.34 0 ( )( ) 8 8 0 ( )g X d xg X l d x xg X l x 扭 轉(zhuǎn) 強(qiáng) 度 條 件剛 度 條 件長 度 的 邊 界 條 件約 束 條 件 ：綜 上 所 述 ， 這 是 一 個(gè) 具 有 4個(gè) 約 束 條 件 的 二 元 非 線 性 的 約束 優(yōu) 化 問 題 。 2212212 785.04141min xxxxldVXf 例 2-2 現(xiàn) 用 薄 鋼 板 制 造 一 體 積 為 5 ， 長 度 不 小 于 4m的 無 上 蓋 的立 方 體 貨 箱 。 要 求 該 貨 箱

12、的 鋼 板 耗 費(fèi) 量 最 少 ， 試 確 定 貨 箱 的 長 、 寬 和高 的 尺 寸 。 3m 解 ： 分 析 可 知 ， 鋼 板 的 耗 費(fèi) 量 與 貨 箱 的 表 面 積 成 正 比 。 設(shè) 貨 箱 的 長 、 寬 、 高 分 別 為 ， 貨 箱 的 表 面 積 為 S， 則 該問 題 的 物 理 表 達(dá) 式 為 ： 1 2 3, ,x x x 1 2 1 3 2 32( ) minS x x x x x x 2x 3x(1) 貨 箱 的 鋼 板 耗 費(fèi) 量 （ 即 貨 箱 的 表 面 積 用 料 ） 最 少 ：可 見 貨 箱 的 表 面 積 取 決 于 貨 箱 的 長 度 、 寬 度

13、 和 高 度 。1x1 2 34; 0; 0 x x x (2) 滿 足 的 條 件 ：按 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 的 規(guī) 范 形 式 ， 可 歸 納 為 如 下 數(shù) 學(xué) 模 型 ： 1 2 3 TX x x x 1 2 1 3 2 3min ( ) 2( )f X S x x x x x x 1 1( ) 4 0g X x 設(shè) 計(jì) 變 量 ：目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 化 ：約 束 條 件 ： 2 23 31 2 3( ) 0( ) 0( ) 5 0g X xg X xh X x x x 由 等 式 約 束 條 件 可 知 ， 三 個(gè) 設(shè) 計(jì) 變 量 中 只 有 兩 個(gè) 是 獨(dú) 立 變 量

14、， 即 。 所 以 ， 該 問 題 的 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 應(yīng) 寫 為 ： 3 1 25x x x 1 2 TX x x設(shè) 計(jì) 變 量 ： 1 2 1 3 2 3 1 2 2 11 1min ( ) 2( ) 10( )f X x x x x x x x x x x 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 化 ： 1 1( ) 4 0g X x 2 21 2 3( ) 0( ) 5 0g X xh X x x x 約 束 條 件 ：這 樣 ， 使 該 優(yōu) 化 問 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 更 為 準(zhǔn) 確 、 精 煉 。 例 2-3 某 車 間 生 產(chǎn) 甲 、 乙 兩 種 產(chǎn) 品 。 生 產(chǎn) 甲 種 產(chǎn)

15、品 每 件 需 使 用 材料 9kg、 3個(gè) 工 時(shí) 、 4kw電 ， 可 獲 利 潤 60元 。 生 產(chǎn) 乙 種 產(chǎn) 品 每 件 需 用 材料 4kg、 10個(gè) 工 時(shí) 、 5kw電 ， 可 獲 利 120元 。 若 每 天 能 供 應(yīng) 材 料 360kg，有 300個(gè) 工 時(shí) ， 能 供 200kw電 。 試 確 定 兩 種 產(chǎn) 品 每 天 的 產(chǎn) 量 ， 以 使 每 天可 能 獲 得 的 利 潤 最 大 。 1 2,x x 1 2( , )f x x 1 2 1 2( , ) 60 120 maxf x x x x 1 1 2( ) 9 4 360g X x x 2 1 2( ) 3 1

16、0 300g X x x 3 1 2( ) 4 5 200g X x x 每 天 實(shí) 際 消 耗 的 材 料 、 工 時(shí) 和 電 力 可 分 別 用 以 下 約 束 函 數(shù) 表 示 ： 解 ： 這 是 一 個(gè) 生 產(chǎn) 計(jì) 劃 問 題 ， 可 歸 結(jié) 為 既 滿 足 各 項(xiàng) 生 產(chǎn) 條 件 ， 又使 每 天 所 能 獲 得 的 利 潤 達(dá) 到 最 大 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問 題 。 設(shè) 每 天 生 產(chǎn) 的 甲 、 乙 兩 種 產(chǎn) 品 分 別 為 件 ， 每 天 獲 得 的 利 潤 可用 函 數(shù) 表 示 ， 即 1 2 TX x x 1 2 1 2min ( ) ( , ) 60 120f X f

17、 x x x x 于 是 上 述 生 產(chǎn) 計(jì) 劃 問 題 的 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 應(yīng) 寫 為 ：設(shè) 計(jì) 變 量 ：目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 化 ：1 1 2( ) 9 4 360g X x x 2 1 2( ) 3 10 300g X x x 3 1 2( ) 4 5 200g X x x 4 1( ) 0g X x 約 束 條 件 ： （ 工 時(shí) 約 束 ）（ 電 力 約 束 ）（ 材 料 約 束 ） 5 2( ) 0g X x 由 于 目 標(biāo) 函 數(shù) 和 所 有 約 束 函 數(shù) 均 為 設(shè) 計(jì) 變 量 的 線 性 函 數(shù) ， 故 此 優(yōu)化 問 題 屬 線 性 約 束 優(yōu) 化 問 題

18、。 【 例 2-1】 欲 用 薄 鋼 板 制 造 一 體積 為 6m3， 高 度 為 1m，長 度 不 小 于 3m的 無 蓋貨 箱 (如 圖 2-1所 示 )，試 確 定 貨 箱 的 長 x1和寬 x2， 使 耗 費(fèi) 的 鋼 板最 少 。 圖 2-1 貨 箱 【 例 2-2】 試 設(shè) 計(jì) 一 重 量 最 輕 的 空 心 傳 動 軸 。空 心 傳 動 軸 的 軸 橫 截 面 形 狀 如 圖2-2所 示 ， 圖 中 D、 d分 別 為 軸 的外 徑 和 內(nèi) 徑 。 軸 的 長 度 不 得 小 于3m。 軸 的 材 料 為 45鋼 ， 密 度 為7.8 10-6kg/mm3， 彈 性 模 量E=2

19、 105MPa， 許 用 切 應(yīng) 力=60MPa。 軸 所 受 扭 矩 為M=1.5 10 6Nmm。 圖 2-2 空 心 傳 動 軸的 軸 橫 截 面 形 狀 【 例 2-3】 某 廠 因 生 產(chǎn) 需 要 ， 欲 購 進(jìn) 五 種 配 件 ， 其 個(gè) 數(shù) 分 別為 x1、 x2、 x3、 x4、 x5。 每 種 配 件 的 單 價(jià) 分 別 為 60元 、 80元 、 85元 、 100元 、 120元 。 要 求 x1不 少 于20個(gè) ， x3不 少 于 40個(gè) ， 其 余 每 種 配 件 不 少 于 30個(gè) ，x1、 x2之 和 不 少 于 80個(gè) ， x3、 x4之 和 不 少 于 200

20、個(gè) ，x1、 x3、 x4、 x5之 和 不 少 于 400個(gè) 。 問 每 種 配 件 為多 少 個(gè) ， 配 件 總 的 進(jìn) 價(jià) 才 最 低 。 影 響 總 進(jìn) 價(jià) 的 因 素 是 每 種 配 件 的 個(gè) 數(shù) 。 本 例 是 要求 一 組 參 數(shù) x 1、 x2、 x3、 x4、 x5 ， 這 組 參 數(shù) 應(yīng) 在 滿足 一 定 的 條 件 下 ， 使 所 有 配 件 的 總 進(jìn) 價(jià) 最 低 。 【 例 2-4】 制 造 一 批 設(shè) 備 ， 需 用 毛 坯 長 度 分 別 為 2.5m， 1.5m和 1.3m的 同 型 號 槽 鋼 各 120根 、 240根 和 300根 。這 些 不 同 長

21、度 的 槽 鋼 都 將 用 長 度 為 6m的 槽 鋼 截得 。 問 如 何 下 料 用 料 最 省 。 本 例 中 ， 下 料 的 方 案 有 若 干 個(gè) ， 要 求 找 出 其 中 最佳 的 方 案 ， 該 方 案 應(yīng) 在 滿 足 設(shè) 備 所 需 不 同 規(guī) 格 槽鋼 根 數(shù) 的 條 件 下 ， 使 用 料 最 省 。 【 例 2-5】 圖 2-3為 一 圓 彈 簧 絲 的 螺 旋 扭 轉(zhuǎn) 彈 簧 。 已 知 ， 彈 簧 在 垂 直于 其 軸 線 的 平 面 內(nèi) 受 到 一 個(gè) 扭 矩 T作 用 ， 所 產(chǎn) 生 的 變 形 即扭 角 為 ， 彈 簧 的 許 用 彎 曲 應(yīng) 力 為 b， 彈

22、 性 模 量 為 E。 彈簧 的 結(jié) 構(gòu) 尺 寸 要 求 為 ： 鋼 絲 直 徑 dminddmax， 外 徑DminDDmax， 彈 簧 圈 數(shù) nn1， 旋 繞 比 4C8。 試 設(shè) 計(jì) 該彈 簧 ， 要 求 其 重 量 最 輕 。 圖 2-3 螺 旋 扭 轉(zhuǎn) 彈 簧 的 受 力 分 析 【 例 2-6】 試 設(shè) 計(jì) 一 閉 式 直 齒 圓 錐 齒 輪 傳 動 。 已 知 ： 小 錐 齒輪 懸 臂 支 承 ， 大 錐 齒 輪 兩 端 支 承 ， 軸 交 角 =90 ，小 錐 齒 輪 傳 遞 扭 矩 T1=40Nm， 轉(zhuǎn) 速 n1=960r/rnin，齒 數(shù) 比 u=3， 精 度 等 級 為

23、 7級 ， 電 動 機(jī) 驅(qū) 動 ， 工 作機(jī) 載 荷 穩(wěn) 定 ， 兩 班 制 工 作 ， 使 用 期 限 為 8年 。 小 錐齒 輪 選 用 40Cr， 調(diào) 質(zhì) 處 理 ， 硬 度 為 241 286H B，大 錐 齒 輪 選 用 42SiMn， 調(diào) 質(zhì) 處 理 ， 硬 度 為 217255H B。 要 求 所 設(shè) 計(jì) 的 圓 錐 齒 輪 傳 動 體 積 小 。 【 例 2-7】 某 一 帶 式 運(yùn) 輸 機(jī) 中 的 第 一 級 采 用 普 通 V帶 傳 動 。已 知 動 力 機(jī) 為 Y系 列 三 相 異 步 電 動 機(jī) ， 其 額 定 功率 P=7.5kW， 轉(zhuǎn) 速 n1=1440r/min，

24、 從 動 帶 輪 的 轉(zhuǎn)速 n2=630r/min， 允 許 誤 差 為 5%， 兩 班 制 工 作 ，運(yùn) 輸 裝 置 工 作 時(shí) 有 輕 度 沖 擊 。 試 設(shè) 計(jì) 此 帶 傳 動 ，要 求 帶 傳 動 的 輪 廓 尺 寸 最 小 。 【 例 2-7】 (續(xù) ) 帶 傳 動 的 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 主 要 有 帶 的 型 號 、 帶 的 根 數(shù) z、小 帶 輪 直 徑 D1、 大 帶 輪 直 徑 D2、 帶 的 長 度 L、 中心 距 a、 小 帶 輪 包 角 1、 帶 的 張 緊 力 F0以 及 作 用 在軸 上 的 載 荷 FQ。 由 于 參 數(shù) D2、 a、 1、 F0、 FQ可由 參 數(shù)

25、 傳 動 比 i(i=n1/n2= D2/D1)、 D1、 L、 z通 過 有關(guān) 公 式 確 定 ， 所 以 本 例 的 獨(dú) 立 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 只 有 帶 的型 號 、 D1、 L、 z。 本 例 是 要 通 過 優(yōu) 選 帶 的 型 號 、 D1、 L、 z這 組 參 數(shù)得 到 具 有 最 小 輪 廓 且 滿 足 V帶 根 數(shù) 、 小 帶 輪 包 角等 限 制 條 件 的 帶 傳 動 。 【 例 2-8】 右 圖 所 示 的 人 字 架 由 兩 個(gè) 鋼 管 構(gòu)成 ， 其 頂 點(diǎn) 受 外 力 2F=3 105N。人 字 架 的 跨 度 2B=152cm， 鋼 管壁 厚 T=0.25cm， 鋼

26、管 材 料 的 彈 性模 量 E=2.1 105Mpa， 材 料 密 度=7.8 103K g/m3， 許 用 壓 應(yīng) 力 y= 420MPa。 求 在 鋼 管 壓 應(yīng) 力 不 超 過 許 用 壓 應(yīng) 力 y和 失 穩(wěn) 臨 界應(yīng) 力 e的 條 件 下 ， 人 字 架 的 高 h和 鋼 管 平 均 直 徑 D， 使 鋼 管 總 質(zhì)量 m為 最 小 。 圖 2- 人 字 架 的 受 力 人 字 架 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問 題 歸 結(jié) 為 ：Tx DH 使 結(jié) 構(gòu) 質(zhì) 量 minm x 但 應(yīng) 滿 足 強(qiáng) 度 約 束 條 件 yx 穩(wěn) 定 約 束 條 件 ex 鋼 管 所 受 的 壓 力 12 2

27、21 ( )FL F B hF h h 失 穩(wěn) 的 臨 界 力 22e EIF L鋼 管 所 受 的 壓 應(yīng) 力 1 2 2 21 F B hFA TDh 鋼 管 的 臨 界 應(yīng) 力 2 2 22 28ee E T DFA B h 強(qiáng) 度 約 束 條 件 yx 可 以 寫 成 12 2 2 yF B hTDh 穩(wěn) 定 約 束 條 件 ex 可 以 寫 成 12 2 2 2 22 2 28F B h E T DTDh B h 人 字 架 的 總 質(zhì) 量 12 2 2, 2 2m D h AL TD B h 這 個(gè) 優(yōu) 化 問 題 是 以 D和 h為 設(shè) 計(jì) 變 量 的 二維 問 題 ， 且 只

28、有 兩 個(gè) 約 束 條 件 ， 可 以 用解 析 法 求 解 。除 了 解 析 法 外 ， 還 可 以 采 用 作 圖 法 求 解 。 圖 2- 人 字 架 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 圖 解 1 2 , , , TnX x x x 1 2( ) ( , , , )nf X f x x x ( ) 0 ( 1,2, , )ug X u m ( ) 0 ( 1,2, , )vh X v p n ( ) 0ug X ( ) 0vh X 從 以 上 三 個(gè) 實(shí) 例 可 以 看 出 ， 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 需要 用 設(shè) 計(jì) 變 量 、 目 標(biāo) 函 數(shù) 和 約 束 條 件 等 基 本 概 念 才

29、 能 予以 完 整 的 描 述 ， 可 以 寫 成 以 下 統(tǒng) 一 形 式 ：求 設(shè) 計(jì) 變 量 ： (2-1)使 極 小 化 函 數(shù) ： (2-2)滿 足 約 束 條 件 ：其 中 ， 稱 為 不 等 式 約 束 條 件 ， 稱 為 等 式 約 束 條 件 。 若 用 向 量 表 示 設(shè) 計(jì) 變 量 ， 表 示 向 量 X 屬 于 n 維 實(shí) 歐 氏 空 間 ； 用 min、 max 表 示 極 小 化 和 極 大 化 ， s.t.（ subjected to的 英 文 縮 寫 ） 表 示 “ 滿 足 于 ” ， m、 p 分 別 表 示 不 等 式 約 束 和 等 式 約 束 的 個(gè) 數(shù)

30、。 則 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 可 以 寫 成 以 下 向 量 形 式 ： 1 2 , , , TnX x x x nX R min ( ) . ( ) 0 ( 1,2, , ) ( ) 0 ( 1,2, , )nuv f X X Rst g X u mh X v p n (2-3) min ( ) nf XX R上 式 就 是 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 的 一 般 表 達(dá) 式 。 這 一 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 ，稱 為 約 束 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問 題 。 (2-4)這 一 優(yōu) 化 問 題 不 受 任 何 約 束 ， 稱 為 無 約 束 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問 題 。式 （ 2-4） 即 為 無

31、約 束 優(yōu) 化 問 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 表 達(dá) 式 。若 上 式 所 列 數(shù) 學(xué) 模 型 內(nèi) m = p = 0， 則 成 為 當(dāng) 涉 及 問 題 要 求 極 大 化 目 標(biāo) 函 數(shù) 時(shí) ， 只 要 將 式 中 目 標(biāo) 函 數(shù) 改寫 為 即 可 。 因 為 和 具 有 相 同 的 解 。 同 樣 ， 當(dāng) 不 等 式 約 束 為 ： “ ” 時(shí) ， 只 要 將 不 等 式 兩 端 同 乘 以“ 1”， 即 可 得 到 “ ” 的 一 般 形 式 。 一 個(gè) 完 整 的 規(guī) 格 化 的 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 應(yīng) 包 含 有 三 部 分 內(nèi) 容 ： 即 設(shè) 計(jì)變 量 X、 目 標(biāo) 函 數(shù) 、

32、約 束 條 件 和 。 它 們 又 稱為 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 的 三 要 素 。 ( )f X ( )f Xmin ( )f X max ( )f X ( )f X ( ) 0 ug X ( ) 0 vh X * * * *1 2 , , , TnX x x x * ( )f X 建 立 出 的 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 ， 在 計(jì) 算 機(jī) 上 求 得 的 解 稱 為 優(yōu) 化 問 題 的 最優(yōu) 解 ， 它 包 括 ：最 優(yōu) 方 案 ：最 優(yōu) 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 ：即 優(yōu) 化 問 題 的 最 優(yōu) 解 由 最 優(yōu) 設(shè) 計(jì) 方 案 X*（ 或 稱 最 優(yōu) 點(diǎn) ） 和 最 優(yōu) 目 標(biāo) 函數(shù) 值 兩

33、部 分 組 成 。 最 優(yōu) 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 是 最 優(yōu) 點(diǎn) X*帶 入 目 標(biāo)函 數(shù) 所 求 得 的 最 優(yōu) 函 數(shù) 值 ， 它 是 評 價(jià) 設(shè) 計(jì) 方 案 優(yōu) 劣 程 度 的 一 個(gè) 標(biāo)量 值 。 * ( )f X * ( )f X ( )f X 下 面 就 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 三 要 素 的 有 關(guān) 問 題 說 明 如 下 : 在 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 過 程 中 需 要 調(diào) 整 和 優(yōu) 選 的 參 數(shù) ， 稱 為 設(shè) 計(jì) 變 量 。 可 表示 為 ： 1 2 , ., T nnX x x x X R 由 于 實(shí) 際 工 程 設(shè) 計(jì) 對 象 的 不 同 ， 則 選 取 的 設(shè) 計(jì) 變 量

34、 也 就 不 同 。 它 可 以 是 幾 何 參 數(shù) ： 如 零 件 外 形 尺 寸 、 截 面 尺 寸 、 機(jī) 構(gòu) 的 運(yùn) 動 尺寸 等 ； 也 可 以 是 某 些 物 理 量 ： 如 零 部 件 的 重 量 、 體 積 、 力 與 力 矩 、 慣性 矩 等 ； 還 可 以 是 代 表 機(jī) 器 工 作 性 能 的 導(dǎo) 出 量 ： 如 應(yīng) 力 、 變 形 等 。 總 之 ， 設(shè) 計(jì) 變 量 必 須 是 對 該 項(xiàng) 設(shè) 計(jì) 性 能 指 標(biāo) 優(yōu) 劣 有 影 響 的 參 數(shù) 。 設(shè) 計(jì) 變 量 是 一 組 相 互 獨(dú) 立 的 基 本 參 數(shù) 。 一 般 用 向 量 X 來 表 示 。 設(shè) 計(jì) 變 量

35、 的 每 一 個(gè) 分 量 都 是 相 互 獨(dú) 立 的 。 以 n個(gè) 設(shè) 計(jì) 變 量 為 坐 標(biāo) 軸 所 構(gòu) 成 的 實(shí) 數(shù) 空 間 稱 為 設(shè) 計(jì) 空 間 ， 或 稱n維 實(shí) 歐 式 空 間 ， 用 Rn表 示 。1. 設(shè) 計(jì) 變 量 當(dāng) n=2 時(shí) ， X=x1,x2T 是 二 維 設(shè) 計(jì) 向 量 ； 當(dāng) n=3 時(shí) ， X=x1,x2, x3T 為 三 維 設(shè) 計(jì) 向 量 ， 設(shè) 計(jì) 變 量x1,x2, x3組 成 一 個(gè) 三 維 空 間 ； 當(dāng) n3 時(shí) ， 設(shè) 計(jì) 空 間 是 一 個(gè) 想 象 的 超 越 空 間 ， 稱 n維實(shí) 數(shù) 空 間 。 其 中 二 維 和 三 維 設(shè) 計(jì) 空 間

36、 如 圖 2-2所 示 。 圖 2-2 設(shè) 計(jì) 空 間(a) (b) 設(shè) 計(jì) 變 量 可 分 為 連 續(xù) 變 量 和 離 散 變 量 。 在 工 程 設(shè) 計(jì) 中 ， 當(dāng) 有 些 設(shè) 計(jì) 變 量 的 取 值 要 求 是 離 散型 量 ， 則 稱 離 散 設(shè) 計(jì) 變 量 ， 如 齒 輪 的 齒 數(shù) 、 模 數(shù) ， 鋼 管的 直 徑 、 鋼 板 的 厚 度 等 。 對 于 離 散 設(shè) 計(jì) 變 量 ， 在 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 過 程 中 常 是 先 把 它視 為 連 續(xù) 量 ， 在 求 得 連 續(xù) 量 的 優(yōu) 化 結(jié) 果 后 再 進(jìn) 行 圓 整 或標(biāo) 準(zhǔn) 化 ， 以 求 得 一 個(gè) 實(shí) 用 的 最 優(yōu) 設(shè)

37、 計(jì) 方 案 。 設(shè) 計(jì) 變 量 的 個(gè) 數(shù) ， 稱 為 自 由 度 （ 維 數(shù) ） ， 它 決 定 了優(yōu) 化 問 題 的 大 小 范 圍 ， 當(dāng) ： n 2 10 為 小 型 優(yōu) 化 問 題 ； n 10 50 為 中 型 優(yōu) 化 問 題 ； n 50 為 大 型 優(yōu) 化 問 題 2. 目 標(biāo) 函 數(shù) 目 標(biāo) 函 數(shù) 是 用 來 評 價(jià) 設(shè) 計(jì) 方 案 優(yōu) 劣 的 標(biāo) 準(zhǔn) ， 又 稱 評 價(jià)函 數(shù) 。 它 是 設(shè) 計(jì) 變 量 的 函 數(shù) ， 常 記 為 1 2( ) ( , , , )nf x f x x x 確 定 目 標(biāo) 函 數(shù) ， 是 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 中 最 重 要 的 決 策 之 一

38、 。 因?yàn)?這 不 僅 直 接 影 響 優(yōu) 化 方 案 的 質(zhì) 量 ， 而 且 還 影 響 到 優(yōu) 化 過程 。 目 標(biāo) 函 數(shù) 可 以 根 據(jù) 工 程 問 題 的 要 求 從 不 同 角 度 來 建 立 ，例 如 ： 機(jī) 械 零 件 設(shè) 計(jì) 中 的 重 量 、 體 積 、 效 率 、 可 靠 性 、 幾何 尺 寸 、 承 載 能 力 ； 機(jī) 械 設(shè) 計(jì) 中 的 運(yùn) 動 誤 差 、 功 率 、 應(yīng) 力 、動 力 特 性 ； 產(chǎn) 品 設(shè) 計(jì) 中 的 成 本 、 壽 命 等 。 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 就 是 要 尋 求 一 個(gè) 最 優(yōu) 設(shè) 計(jì) 方 案 ， 即 最 優(yōu) 點(diǎn) X*，從 而 使 目 標(biāo) 函 數(shù)

39、 達(dá) 到 最 優(yōu) 值 。 在 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 中 ， 一 般取 最 優(yōu) 值 為 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 最 小 值 。 一 個(gè) 優(yōu) 化 問 題 ， 可 以 用 一 個(gè) 目 標(biāo) 函 數(shù) 來 衡 量 ， 稱 之 為單 目 標(biāo) 優(yōu) 化 問 題 ； 也 可 以 用 多 個(gè) 目 標(biāo) 函 數(shù) 來 衡 量 ， 稱 之 為多 目 標(biāo) 優(yōu) 化 問 題 。 *( )f X 如 圖 2-3所 示 ， 當(dāng) 目 標(biāo) 函 數(shù) f(x)等于 某 一 值 時(shí) ， 就 可 得 到 一 條等 值 線 ， 它 是 在 設(shè) 計(jì) 平 面 上 由 f (x) Ci 的 無 數(shù) 個(gè) 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) X 所 連 成 ， 當(dāng) f(x) 為 不等 的

40、函 數(shù) 值 時(shí) ， 可 以 得 到 一 族等 值 線 。 目 標(biāo) 函 數(shù) 可 以 通 過 等 值 線 （ 面 ） 在 設(shè) 計(jì) 空 間 中 表 現(xiàn) 出 來 。1 2, ,c c 現(xiàn) 以 二 維 優(yōu) 化 問 題 為 例 ， 來 說 明目 標(biāo) 函 數(shù) 的 等 值 線 (面 )的 幾 何 意 義 。 圖 2-3 二 維 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 等 值 線ci(i=1,2,) 由 于 每 一 條 曲 線 上 的 各 點(diǎn) 都 具 有 相等 的 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 ， 所 以 這 些 曲 線 稱 為 目標(biāo) 函 數(shù) 的 等 值 線 。 所 謂 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 等 值 線 （ 面 ） ，就 是 當(dāng) 目 標(biāo) 函

41、數(shù) f(X) 的 值 依 次 等 于 一系 列 常 數(shù) ( i=1, 2, )時(shí) ， 設(shè) 計(jì) 變 量X 取 得 一 系 列 值 的 集 合 。ic 對 于 一 個(gè) 目 標(biāo) 函 數(shù) 來 說 ， 它 可以 有 無 窮 多 條 的 等 值 線 。 可 以 說 等值 線 充 滿 了 設(shè) 計(jì) 空 間 。 由 圖 可 見 ， 等 值 線 族 反 映 了 目標(biāo) 函 數(shù) 值 的 變 化 規(guī) 律 ， 等 值 線 越 向里 面 ， 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 越 小 。 對 于 有 中 心 的 曲 線 族 來 說 ， 等值 線 族 的 共 同 中 心 就 是 目 標(biāo) 函 數(shù) 的無 約 束 極 小 點(diǎn) X*。 故 從 幾

42、何 意 義 上來 說 ， 求 目 標(biāo) 函 數(shù) 無 約 束 極 小 點(diǎn) 也就 是 求 其 等 值 線 族 的 共 同 中 心 。 等 值 線 有 以 下 幾 個(gè) 特 點(diǎn) ： (1)不 同 值 的 等 值 線 不 相 交 ； (2) 除 極 值 點(diǎn) 外 ， 在 設(shè) 計(jì) 空 間 內(nèi) ， 等 值 線 不 會 中 斷 ； (3) 等 值 線 充 滿 整 個(gè) 設(shè) 計(jì) 空 間 ； (4)等 值 線 分 布 的 疏 或 密 ， 反 應(yīng) 出 函 數(shù) 值 變 化 的 慢 或 快 ； (5)一 般 來 說 ， 在 極 值 點(diǎn) 附 近 ， 等 值 線 近 似 是 同 心 橢 圓族 ， 極 值 點(diǎn) 就 是 橢 圓 的

43、中 心 點(diǎn) 。 在 設(shè) 計(jì) 空 間 內(nèi) ， 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 相 等 點(diǎn) 的 連 線 ： 對 于 二 維 優(yōu) 化 問 題 ， 構(gòu) 成 了 等 值 線 ； 對 于 三 維 優(yōu) 化 問 題 ， 構(gòu) 成 了 等 值 面 ； 對 于 四 維 以 上 的 優(yōu) 化 問 題 ， 則 構(gòu) 成 了 等 值 超 曲 面 。 3. 約 束 條 件 約 束 條 件 是 設(shè) 計(jì) 變 量 選 取 的 限 制 條 件 ， 或 稱 設(shè) 計(jì) 約 束 。 按 照 約 束 條 件 的 形 式 不 同 ， 約 束 有 不 等 式 和 等 式 約 束 兩類 ， 一 般 表 達(dá) 式 為 ：不 等 式 約 束等 式 約 束 ( ) 0

44、1,2, ,ug x u m ( ) 0 1,2, ,vh x v p 按 照 設(shè) 計(jì) 約 束 的 性 質(zhì) 不 同 ， 約 束 又 可 分 為 如 下 兩 類 ： （ ） 性 能 約 束 ： 是 根 據(jù) 設(shè) 計(jì) 性 能 或 指 標(biāo) 要 求 而 確 定 的一 種 約 束 條 件 ， 例 如 零 件 的 工 作 應(yīng) 力 、 變 形 的 限 制 條 件 以 及對 運(yùn) 動 學(xué) 參 數(shù) 如 位 移 、 速 度 、 加 速 度 值 的 限 制 條 件 均 屬 性 能約 束 。 （ ） 邊 界 約 束 ： 則 是 對 設(shè) 計(jì) 變 量 取 值 范 圍 的 限 制 ， 例如 對 齒 輪 的 模 數(shù) 、 齒 數(shù)

45、的 上 、 下 限 的 限 制 以 及 對 構(gòu) 件 長 度 尺 寸 的 限 制 都 是 邊 界 約 束 。 任 何 一 個(gè) 不 等 式 約 束 方 程 的 圖 形 將 設(shè) 計(jì) 空 間 劃 分 為 兩部 分 ： 一 部 分 滿 足 約 束 ， 即 gj(X) 0； 另 一 部 分 則 不 滿 足 約 束 ， 即 gj(X) 0。 故 將 該 分 界 線 或 分 界 面 稱 為 約 束 邊 界 （ 或 約 束 面 ） 。 等 式 約 束 本 身 也 是 約 束 邊 界 ， 不 過 此 時(shí) 只 有 約 束 邊 界上 的 點(diǎn) 滿 足 約 束 ， 而 邊 界 兩 邊 的 所 有 部 分 都 不 滿 足

46、約 束 。 以 二 維 問 題 為 例 ， 如 圖 2-4所 示 ， 其 中 陰 影 方 向 部 分 表示 不 滿 足 約 束 的 區(qū) 域 。 圖 2-4 約 束 邊 界 u vD=X| g (X) 0, h (X)=0 (u=1,2, ,m ; v=1,2, ,pn) (2-5)圖 2-5 二 維 問 題 的 可 行 域 不 滿 足 約 束 條 件 的 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) 構(gòu) 成 該 優(yōu) 化 問 題 的 不 可 行 域 。 可 行 域 也 可 看 做 滿 足 所 有 約 束 條 件 的 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) 的 集 合 ， 因 此 ， 可 用集 合 表 示 如 下 ： 約 束 的 幾 何 意 義是 它 將 設(shè)

47、 計(jì) 空 間 一 分為 二 ， 形 成 了 可 行 域和 非 可 行 域 。 每 一 個(gè) 不 等 式 約束 或 等 式 約 束 都 將 設(shè)計(jì) 空 間 分 為 兩 部 分 ，滿 足 所 有 約 束 的 部 分形 成 一 個(gè) 交 集 ， 該 交集 稱 為 此 約 束 問 題 的可 行 域 ， 記 做 D， 見圖 2-5。 綜 上 所 述 ， 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 是 對 實(shí) 際 問 題 的 數(shù) 學(xué) 描 述和 概 括 ， 是 進(jìn) 行 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 基 礎(chǔ) 。 因 此 ， 根 據(jù) 設(shè) 計(jì) 問 題的 具 體 要 求 和 條 件 建 立 完 備 的 數(shù) 學(xué) 模 型 是 關(guān) 系 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì)成 敗

48、 的 關(guān) 鍵 。 這 是 因 為 優(yōu) 化 問 題 的 計(jì) 算 求 解 完 全 是 圍 繞 數(shù) 學(xué) 模 型進(jìn) 行 的 。 也 就 是 說 ， 優(yōu) 化 計(jì) 算 所 得 的 最 優(yōu) 解 實(shí) 際 上 只 是數(shù) 學(xué) 模 型 的 最 優(yōu) 解 。 此 解 是 否 滿 足 實(shí) 際 問 題 的 要 求 ， 是否 就 是 實(shí) 際 問 題 的 最 優(yōu) 解 ， 完 全 取 決 于 數(shù) 學(xué) 模 型 和 實(shí) 際問 題 的 符 合 程 度 。 建 立 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 是 一 項(xiàng) 重 要 而 復(fù) 雜 的 工 作 ： 一 方 面 希 望 建 立 一 個(gè) 盡 可 能 完 善 的 數(shù) 學(xué) 模 型 ， 以求 精 確 地 表

49、達(dá) 實(shí) 際 問 題 ， 得 到 滿 意 的 結(jié) 果 ； 另 一 方 面 又 力 求 使 所 建 立 的 數(shù) 學(xué) 模 型 盡 可 能 簡 單 ， 以 便 于 計(jì) 算 與 求 解 。 前 者 是 指 總 體 布 局 、 結(jié) 構(gòu) 或 系 統(tǒng) 的 類 型 以 及 幾 何 形 式 的 優(yōu) 化 設(shè)計(jì) ； 后 者 是 在 總 體 方 案 選 定 后 ， 對 具 體 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) （ 幾 何 參 數(shù) 、 性 能參 數(shù) 等 ） 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 。 總 體 方 案 設(shè) 計(jì) 是 一 種 創(chuàng) 造 性 活 動 ， 必 須 依 靠 思 考 與 推 理 ， 綜 合運(yùn) 用 多 學(xué) 科 的 專 門 知 識 和 豐 富 的

50、 實(shí) 踐 經(jīng) 驗(yàn) ， 才 能 獲 得 正 確 、 合 理 的設(shè) 計(jì) 。 因 此 ， 總 體 方 案 優(yōu) 化 其 大 量 工 作 是 依 據(jù) 知 識 和 經(jīng) 驗(yàn) 進(jìn) 行 演 繹和 推 理 ， 可 用 人 工 智 能 方 法 （ 特 別 是 專 家 系 統(tǒng) 技 術(shù) ） 適 宜 于 求 解 這類 問 題 。 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 優(yōu) 化 是 擇 優(yōu) 確 定 具 體 的 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) ， 屬 于 數(shù) 值 計(jì) 算 型 工作 ， 比 較 容 易 總 結(jié) 出 可 供 計(jì) 算 分 析 用 的 數(shù) 學(xué) 模 型 ， 因 而 一 般 采 用 數(shù)學(xué) 規(guī) 劃 方 法 來 求 解 。 本 章 主 要 介 紹 設(shè) 計(jì) 參 數(shù)

51、優(yōu) 化 問 題 。 工 程 設(shè) 計(jì) 的 類 型 很 多 ， 總 的 來 說 ， 它 可 以 分 為 兩 個(gè) 層 次 ：2.1.3 優(yōu) 化 問 題 的 分 類 總 體 方 案 優(yōu) 化 ； 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 優(yōu) 化 。這 兩 者 之 間 有 著 密 切 的 聯(lián) 系 ， 但 也 存 在 著 實(shí) 質(zhì) 性 的 區(qū) 別 。 根 據(jù) 優(yōu) 化 問 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 是 否 含 有 設(shè) 計(jì) 約 束 ， 可 將工 程 優(yōu) 化 問 題 分 為 ： 工 程 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問 題 中 的 絕 大 多 數(shù) 問 題 都 是 約 束優(yōu) 化 問 題 。工 程 優(yōu) 化 問 題 約 束 優(yōu) 化 問 題無 約 束 優(yōu) 化 問

52、題 一 維 優(yōu) 化 問 題多 維 無 約 束 優(yōu) 化 問 題非 線 性 規(guī) 劃 問 題線 性 規(guī) 劃 問 題二 次 規(guī) 劃 問 題凸 規(guī) 劃 問 題 對 于 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學(xué) 模 型 的 求 解 ， 目 前 可 采 用 的 求 解 方 法 有 三 種 ： 數(shù) 學(xué) 解 析 法 ： 就 是 把 優(yōu) 化 對 象 用 數(shù) 學(xué) 模 型 描 述 出 來 后 ， 用 數(shù) 學(xué)解 析 法 （ 如 微 分 、 變 分 法 等 ） 來 求 出 最 優(yōu) 解 ， 如 高 等 數(shù) 學(xué) 中 求 函 數(shù) 極值 或 條 件 極 值 的 方 法 。 數(shù) 學(xué) 解 析 法 是 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 理 論 基 礎(chǔ) 。 但 它 僅

53、 限 于 維 數(shù) 較 少 且 易 求導(dǎo) 的 優(yōu) 化 問 題 的 求 解 。 數(shù) 學(xué) 解 析 法 圖 解 法 數(shù) 值 迭 代 法 圖 解 法 ： 就 是 直 接 用 作 圖 的 方 法 來 求 解 優(yōu) 化 問 題 ， 通 過 畫 出 目標(biāo) 函 數(shù) 和 約 束 函 數(shù) 的 圖 形 ， 求 出 最 優(yōu) 解 。 此 法 的 特 點(diǎn) 是 簡 單 直 觀 ， 但 僅 限 于 n 2的 低 維 優(yōu) 化 問 題 的 求 解 。 2.1.4 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 迭 代 算 法 圖 2-6 所 示 為 采 用 圖 解 法 來 求 解 如 下 二 維 優(yōu) 化 問 題 ：min f(X) = x12+x22 4x1+

54、4 s.t. g1(X) = x2 x1 2 0 g2(X) = x12 x2+1 0 g3(X) = x1 0 g4(X) = x2 0 該 問 題 的 目 標(biāo) 函 數(shù) 、 約 束 函 數(shù) 的 立 體 圖 如 圖 2-6(a)所 示 ； 該 問 題 的 設(shè) 計(jì) 空 間 關(guān) 系 圖 如 圖 2-6(b)所 示 ， 陰 影 線 部 分 即 為由 所 有 約 束 邊 界 圍 成 的 可 行 域 。 該 問 題 的 約 束 最 優(yōu) 點(diǎn) 為 圖 中 的 X*點(diǎn) ， 即 X*=x 1*, x2*T =0.58, 1.34 T； 約 束 最 優(yōu) 值 為 ： 的 最 優(yōu) 解 的 結(jié) 果 。f(X*)=0.3

55、8。 (a)問 題 的 立 體 圖 (b)設(shè) 計(jì) 空 間 關(guān) 系 圖 圖 2-6 二 維 優(yōu) 化 問 題 的 幾 何 解 數(shù) 值 迭 代 法 ： 完 全 是 依 賴 于 計(jì) 算 機(jī) 的 數(shù) 值 計(jì) 算 特 點(diǎn) 而 產(chǎn) 生 的 ，它 是 具 有 一 定 邏 輯 結(jié) 構(gòu) 并 按 一 定 格 式 反 復(fù) 迭 代 計(jì) 算 ， 逐 步 逼 近 優(yōu) 化 問題 最 優(yōu) 解 的 一 種 方 法 。 采 用 數(shù) 值 迭 代 法 可 以 求 解 各 種 優(yōu) 化 問 題 。1. 數(shù) 值 迭 代 法 的 迭 代 格 式數(shù) 值 迭 代 法 的 基 本 思 想 是 ： 搜 索 、 迭 代 、 逼 近 。 為 了 求 得

56、目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 點(diǎn) ， 其 迭 代 過 程 如 下 ： 在 設(shè) 計(jì) 空 間 給 出 一 初 始 迭 代 點(diǎn) ； 從 出 發(fā) ， 按 照 確 定 的 搜 索 方 向 和 迭 代 步 長 ， 求得 第 一 個(gè) 改 進(jìn) 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) ， 它 應(yīng) 該 滿 足 ： ； 再 以 為 新 的 初 始 點(diǎn) ， 重 復(fù) 上 述 步 驟 ， 求 得 ， 如此 反 復(fù) 迭 代 ， 從 而 得 到 一 個(gè) 不 斷 改 進(jìn) 的 點(diǎn) 列 及 一 相 應(yīng)的 遞 減 函 數(shù) 值 數(shù) 列 。 (0)X (0)S (0)(1)X (1) (0)( ) ( )f X f X( ) , 0,1,2, kX k ( ) (

57、), 1,2, kf X k ( )f X *X(1)X (2) (3), ,X X 這 一 迭 代 過 程 用 數(shù) 學(xué) 式 子 表 達(dá) ， 得 數(shù) 值 迭 代 法 的 基 本 迭 代 格 式 為 ：(0)X ( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( )( 1) ( 0,1,2, )( ) ( )( ) 0 ( 1,2, , )k k K kk kkuX X S kf X f Xg X u m 式 中 ： X(k)前 一 步 已 取 得 的 設(shè) 計(jì) 方 案 （ 迭 代 點(diǎn) ） ； X(k+1)新 的 改 進(jìn) 設(shè) 計(jì) 方 案 （ 新 的 迭 代 點(diǎn) ） ； S(k)第 k次 迭 代 計(jì) 算

58、的 搜 索 方 向 ； (k) 第 k次 迭 代 計(jì) 算 的 步 長 因 子 。 （ 2-6） 這 樣 一 步 步 地 重 復(fù) 數(shù) 值 計(jì) 算 ， 不 斷 用 改 進(jìn) 的 新 點(diǎn) 迭 代 前 次 設(shè)計(jì) 點(diǎn) ， 逐 步 改 進(jìn) 值 并 使 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) 最 終 逼 近 極 小 點(diǎn) （ 極 值 點(diǎn) ） 。( )f X *X這 一 迭 代 過 程 如 圖 2-7所 示 。 圖 2-7 二 維 優(yōu) 化 問 題 的 迭 代 過 程 在 優(yōu) 化 算 法 中 ， 關(guān) 于 迭 代 方 法 有 多 種 ， 它 們 之 間 的區(qū) 別 就 在 于 確 定 (k) 和 S(k)的 方 式 不 同 。 特 別 是 S(k

59、)的 確 定 ，在 各 種 方 法 中 起 著 關(guān) 鍵 性 的 作 用 。 關(guān) 于 (k) 和 S(k)的 確 定 ，將 在 后 面 各 節(jié) 中 介 紹 。 通 過 以 上 分 析 及 其圖 2-7可 知 ， 要 用 數(shù) 值 迭代 法 尋 找 最 優(yōu) 點(diǎn) X*， 這里 關(guān) 鍵 要 解 決 三 個(gè) 問 題 ： 一 是 如 何 確 定 迭代 步 長 (k)； 二 是 怎 樣 選 定 搜索 方 向 S(k)； 三 是 如 何 判 斷 是否 找 到 了 最 優(yōu) 點(diǎn) X* ， 以終 止 迭 代 。 2.迭 代 計(jì) 算 的 終 止 準(zhǔn) 則 ( 1) ( ) 1k kX X 目 前 ， 通 常 采 用 的

60、迭 代 終 止 準(zhǔn) 則 有 以 下 幾 種 ：（ ） 點(diǎn) 距 足 夠 小 準(zhǔn) 則相 鄰 兩 迭 代 點(diǎn) 之 間 的 距 離 已 達(dá) 到 充 分 小 ， 即 （ 2-7）式 中 ， 給 定 的 計(jì) 算 精 度 ， 一 般 可 取 10-3 10-5。（ ） 函 數(shù) 值 下 降 量 足 夠 小 準(zhǔn) 則 相 鄰 兩 迭 代 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值 下 降 量 已 達(dá) 到 充 分 小 ， 即( 1) ( ) 2( ) ( )k kf X f X （ 2-8） 式 中 ， 給 定 的 計(jì) 算 精 度 ， 一 般 可 取 10-3 10-5 。 目 標(biāo) 函 數(shù) 在 迭 代 點(diǎn) 的 梯 度 已 達(dá) 到 充 分

61、小 ， 即（ ） 函 數(shù) 梯 度 充 分 小 準(zhǔn) 則( 1) 3( )kf X （ 2-9） 1 2 式 中 ， 給 定 的 計(jì) 算 精 度 ， 一 般 可 取 10-3。 這 是 由 于 函 數(shù) 極 值 點(diǎn) 的 必 要 條 件 是 函 數(shù) 在 這 一點(diǎn) 的 梯 度 值 的 模 為 零 。 因 此 當(dāng) 迭 代 點(diǎn) 的 函 數(shù) 梯 度 的模 已 充 分 小 時(shí) ， 則 認(rèn) 為 迭 代 可 以 終 止 。 上 述 三 個(gè) 準(zhǔn) 則 都 可 以 單 獨(dú) 使 用 。 只 要 其 中 一 個(gè)得 到 滿 足 ， 就 可 以 認(rèn) 為 達(dá) 到 了 近 似 最 優(yōu) 解 ， 迭 代 計(jì)算 到 此 結(jié) 束 。 對 于

62、 約 束 優(yōu) 化 問 題 ， 不 同 的 優(yōu) 化 方 法 有 各 自 的終 止 準(zhǔn) 則 ， 在 此 不 再 介 紹 。 3 已 知 一 n元 函 數(shù) ， 則 該 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 的 梯 度可 記 為 ：2.2 優(yōu) 化 方 法 的 數(shù) 學(xué) 基 礎(chǔ) (略 ) )(Xf 在 介 紹 有 關(guān) 優(yōu) 化 算 法 時(shí) ， 常 常 要 用 到 函 數(shù) 的 梯 度 和海 森 (H essian)矩 陣 的 概 念 。 這 里 簡 要 介 紹 之 。1. 多 元 函 數(shù) 的 梯 度( ) ( ) ( )( ) 1 2( ) ( ) ( )( ) , , , Tk k kk nf X f X f Xf X x

63、x x （ 2-19） 函 數(shù) 的 梯 度 在 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 中 有 著 十 分 重 要 的 作 用 。 由 于 梯 度 是 一 個(gè) 向 量 ， 而 梯 度 方 向 是 函 數(shù) 具 有 最 大 變 化率 的 方 向 。 亦 即 梯 度 方 向 是 指 函 數(shù) 的 最 速 上 升 方 向 ， 而 負(fù) 梯度 方 向 則 為 函 數(shù) 的 最 速 下 降 方 向 。 如 圖 2-11所 示 。 ( )kX 圖 2-11 梯 度 方 向 與 等 值 線 的 關(guān) 系 已 知 一 n元 函 數(shù) ， 則 該 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 所 有 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 組 成 的矩 陣 ， 稱 為 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 二

64、 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 矩 陣 或 海 森 (H essian)矩 陣 ，經(jīng) 常 記 作 。 該 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 矩 陣 的 組 成 形 式 如 下 ：2. 多 元 函 數(shù) 的 海 森 矩 陣 )(Xf ( )kX( )( )kH X 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )21 1 2 12 ( ) 2 ( ) 2 ( )( ) 2 ( ) 22 1 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )21 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k knk k kk k nk k kn n nf X f X f Xx x x x xf X f X f XH X

65、 f X x x x x xf X f X f Xx x x x x )(Xf ( )kX (2-21) 由 于 n元 函 數(shù) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 有 n n個(gè) ， 而 且 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 值 與 求 導(dǎo) 次 序 無關(guān) ， 所 以 函 數(shù) 的 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 矩 陣 是 一 個(gè) n n階 的 對 稱 矩 陣 。 海 森 矩 陣 在 判 別 多 元 函 數(shù) 極 值 的 充 分 條 件 以 及 在 牛 頓 法 構(gòu)造 牛 頓 搜 索 方 向 時(shí) 都 有 重 要 用 途 。( )( )kH X 2.3 一 維 優(yōu) 化 方 法 求 解 一 維 目 標(biāo) 函 數(shù) f(x)最 優(yōu) 解 的 過 程 ， 稱 為

66、一 維 優(yōu) 化（ 或 一 維 搜 索 ） ， 所 使 用 的 方 法 稱 為 一 維 優(yōu) 化 方 法 。 一 維 優(yōu) 化 方 法 是 最 簡 單 、 最 基 本 的 方 法 ， 在 數(shù) 值 方 法 迭代 計(jì) 算 過 程 中 都 要 進(jìn) 行 一 維 搜 索 。 可 以 把 多 維 優(yōu) 化 問 題 化 為 一 些 一 維 問 題 來 處 理 。 求 解 優(yōu) 化 問 題 的 迭 代 算 法 的 迭 代 公 式 為 ： (k)值 被 稱 為 一 維 搜 索 的 最 優(yōu) 步 長 。 kkkk SXX 1 kkkkk SXfSXf min 一 維 搜 索 方 法 一 般 分 兩 步 進(jìn) 行 ： 首 先 在 方 向 S(k)上 確 定 一 個(gè) 包 含 函 數(shù) 極 小 點(diǎn) 的 初 始 區(qū)間 ， 即 確 定 函 數(shù) 的 搜 索 區(qū) 間 ， 該 區(qū) 間 必 須 是 單 峰 區(qū)間 ； 然 后 采 用 縮 小 區(qū) 間 或 插 值 逼 近 的 方 法 得 到 最 優(yōu) 步 長 ，即 求 出 該 搜 索 區(qū) 間 內(nèi) 的 最 優(yōu) 步 長 和 一 維 極 小 點(diǎn) 。 一 維 搜 索 方 法 主 要 有 ： 分 數(shù) 法