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幾何非線性影響損傷機(jī)構(gòu)的安定
D. Weichert* and A. Hachemi
研究所獻(xiàn)給匯報(bào)Mechanik，亞琛 - 的亞琛Templergraben64，52056亞琛，德國(guó)
摘要——Melan的安定定理的一個(gè)推廣，提出考慮到幾何效率和塑韌性損傷。數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了該方法。
關(guān)鍵詞：A.塑料崩潰，安定，B.構(gòu)行為，彈性塑料材質(zhì)，有限應(yīng)變。
導(dǎo)言
發(fā)展的長(zhǎng)期行為的評(píng)估數(shù)值方法，變量反復(fù)荷載下的結(jié)構(gòu)的可用性和對(duì)失效的安全性在機(jī)械和土木工程下是很重要的。一種特殊故障是在加載過(guò)程中無(wú)限積累的塑性變形引起的，導(dǎo)致增量倒塌或交替塑性變形。如果相反，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后塑性應(yīng)變停止進(jìn)一步發(fā)展和累積分散在整個(gè)結(jié)構(gòu)范圍內(nèi)的能量，這樣的結(jié)構(gòu)響應(yīng)純粹的彈性變載荷應(yīng)用， 說(shuō)結(jié)構(gòu)``搖搖''。
這些理論的基礎(chǔ)，已獲得Melan（1936年）和Koiter（1960）證明， 他們?yōu)榘捕ê头前捕▽?dǎo)出了足夠的標(biāo)準(zhǔn)，個(gè)別為彈性完全塑性結(jié)構(gòu)。兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，假定存在一個(gè)凸屈服面和有效的符合正常規(guī)則的塑性應(yīng)變性。此外，影響材料硬化，幾何效應(yīng)和物質(zhì)損失的因素都被忽視了。因此，經(jīng)典安定定理的擴(kuò)展最近幾年已吸引人們很大的興趣。在調(diào)查前的評(píng)論就可以發(fā)現(xiàn)Gokhfeld and Cherniavsky (1980), Konig and Maier (1981), Konig (1982, 1987) and Mroz等的例子。
材料硬化已經(jīng)在Melan開(kāi)創(chuàng)性的工作中解決了，材料硬化是在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的框架內(nèi)考慮無(wú)限線性運(yùn)動(dòng)學(xué)硬化。在這一概念的基礎(chǔ)上已由Neal(1950), Ponter (1975) 和Zarka 和 Casier (1981)取得進(jìn)一步的成果。對(duì)于離散結(jié)構(gòu)和分段線性屈服函數(shù)，Maier（1972）研究線性硬化和軟化效應(yīng)和Konig和Siemaszko（1988）考慮在安定過(guò)程中應(yīng)變硬化的影響。通過(guò)Halphen和Nguyen (1975)介紹的廣義標(biāo)準(zhǔn)材料模型的幫助， Mandel (1976)給出了Melan定理中硬化材料的簡(jiǎn)單的和有關(guān)聯(lián)的公式。通過(guò)施加限制在這個(gè)模型的內(nèi)部參數(shù)的演化，Weichert總值Weege（1988）解釋它作為一個(gè)簡(jiǎn)化的兩個(gè)表面的材料，允許有限運(yùn)動(dòng)學(xué)硬化和應(yīng)用數(shù)值。代表硬化材料的行為表示形式的內(nèi)部變量的概念是同樣被Comi 和Corigliano (1991) 和Polizzotto 等采用的成果。更一般的非線性硬化已Maier（1969）在離散系統(tǒng)中展開(kāi)調(diào)查和斯坦因等。 （1993年），用于此目的的所謂“疊加模型”?？梢栽贑origliano (1995) and Pycko and Maier (1995)等人的作品中發(fā)現(xiàn)表示材料性能的變化的內(nèi)部參數(shù)的其他應(yīng)用。
幾何非線性問(wèn)題研究已首先由 Maier做（1973），誰(shuí)介紹了為預(yù)應(yīng)力離散結(jié)構(gòu)的安定問(wèn)題的新類(lèi)，并延長(zhǎng)Melan和Koiter的定理，包括所謂的“二階幾何效應(yīng)采用分段線性屈服條件''。Siemaszko and Konig（1985）顯示幾何效應(yīng)的變形過(guò)程中的某些假設(shè)上的變形模式下的特定結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性的影響。Weichert（1983,1986），研究連續(xù)介質(zhì)力學(xué)框架內(nèi)的幾個(gè)文件中的幾何效應(yīng)的問(wèn)題，并給了有關(guān)預(yù)期的變形模式的信息是可用的情況下，這實(shí)際上是適用于Melan的定理的擴(kuò)展。他承擔(dān)了附加的應(yīng)變分解，并將其應(yīng)用到在小應(yīng)變進(jìn)行適度輪換（Weichert，1989年）的殼狀結(jié)構(gòu)。相同的總應(yīng)變分解已被Gross-Weege (1990)使用。 給出了統(tǒng)一的Melan的結(jié)構(gòu)定理的制定受到恒定負(fù)載，負(fù)責(zé)大位移，小額外的可變負(fù)荷造成少量的額外位移。相同的概念被Pycko和Konig （1991）使用過(guò)了。最近，Polizzotto Borino（1996年），對(duì)Melan和Koiter再大位移的框架內(nèi)的安定定理進(jìn)行了擴(kuò)展。為了展現(xiàn)其中可能存在一個(gè)穩(wěn)定的長(zhǎng)期反應(yīng)的條件他們研究了結(jié)構(gòu)受到周期性變載荷的漸近響應(yīng)。 為了克服總應(yīng)變附加分解的限制，可乘得應(yīng)變分解規(guī)則被Saczuk和Stumpf（1990），Tritsch（1993），Tritsch Weichert（1993）和Stumpf （1993）使用。在Saczuk和Stumpf（1990），Gross-Weege的安定公式（Gross-Weege，1990年）延伸到更一般的非線性問(wèn)題的建議。在Tritsch（1993）和Tritsch和Weichert（1993）一個(gè)足夠Melan-型陳述有關(guān)安定和與以前的工作比較研究已經(jīng)被公布。Stumpf（1993）采用總應(yīng)變的乘法分解，并試圖重新說(shuō)明，安定安定定理的發(fā)生，如果存在一些真正的自我平衡的殘余狀態(tài)，這是依賴(lài)于路徑裝卸。 最近，Saczuk（1997）提出了一個(gè)適應(yīng)的過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)，估算基于Finslerian連續(xù)模型內(nèi)微分不等式理論對(duì)材料屬性的變形路徑的影響。
從理論的角度看熱力學(xué)框架內(nèi)研究物質(zhì)破壞對(duì)制訂的靜態(tài)安定定理的影響，首先由Hachemi 和Weichert (1992)使用由Ju (1989)給出的能源為基礎(chǔ)的各向同性彈塑性損傷的模型進(jìn)行研究。Lemaitre和Chaboche（1985）的有效應(yīng)力的概念由一個(gè)內(nèi)部標(biāo)量值參數(shù)考慮的物質(zhì)損失。Feng和Yu（1995年）通過(guò)了這一概念，并通過(guò)使用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法來(lái)計(jì)算的韌性損傷參數(shù)的上限，它適用于厚壁殼。在一個(gè)類(lèi)似的感覺(jué)，Polizzotto等。（1996）提出Melan的彈塑性損傷或彈性損傷,擁有普遍的自由能源的潛力的材料的安定定理的延伸。此方法已應(yīng)用到固定欄的例子，通過(guò)JU（1989）損傷模型。Siemaszko (1993)提出考慮 非線性幾何效應(yīng)，非線性硬化和韌性損傷通過(guò) Perzyna（1984）的材料軟化功能得到的等因素在內(nèi)的彈塑性離散機(jī)構(gòu)的一步一步的非常規(guī)分析模型。最近，Hachemi 和 Weichert (1997)提出如何處理涉及安定理論的可塑性和物質(zhì)損失之間的實(shí)際和不同，通過(guò)考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)硬化根據(jù)由Halphen和Nguyen (1975)提出的廣義標(biāo)準(zhǔn)的概念材料模型。作者展示了如何控制物質(zhì)損失的程度，實(shí)行本地韌性損傷參數(shù)的演化Lemaitre（1985）所界定的邊界?？梢园l(fā)現(xiàn)在Hachemi和Weichert（1998）的數(shù)值解技術(shù)以及軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的共同作用下的力學(xué)性能和熱變裝了幾個(gè)數(shù)值范例。
在最一般的情況下，韌性材料的降解關(guān)系開(kāi)始萌生，大塑性變形引起的裂紋或微孔洞的增長(zhǎng)和合并。彈塑性材料的各種缺陷被視為損害，可能是預(yù)先存在的或在服務(wù)發(fā)展。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的框架內(nèi)通過(guò)有效應(yīng)力的概念引入材料的彈塑性損傷行為。
本文的主要目的是擴(kuò)展Melan的安定定理受損結(jié)構(gòu)考慮幾何效應(yīng)。這個(gè)展是一個(gè)Hachemi和Weichert（1992）和Tritsch和Weichert（1993）提出的配方組合。只為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們限制我們考慮理想彈塑性材料行為和各向同性損傷。 一個(gè)建立在 Weichert和 Gross-Weege (1988)工作上的關(guān)于材料硬化行為的假定的擴(kuò)展就能立即成為可能。為了對(duì)由于變形的幾何變化的影響進(jìn)行建模，由Lee (1969)提出的總變形梯度乘法分解到彈性和塑料部件，被用于發(fā)展的理論框架 。本文的第二部分是專(zhuān)門(mén)假設(shè)有限變換的本構(gòu)方程和一般假設(shè)。通過(guò)制定基于不可逆過(guò)程熱力學(xué)的概念，它構(gòu)成了必要的基礎(chǔ)，描述由一個(gè)內(nèi)部的標(biāo)量變量的損壞現(xiàn)象。由熱力學(xué)勢(shì)的定義，并從熱力學(xué)第二的原則，我們推斷耗散不等式。用一個(gè)簡(jiǎn)單的三維模型 由Lemaitre（1985）提出的來(lái)建立的塑料韌性損害。這個(gè)模型是等效塑性應(yīng)變和三軸比的二次線性。
在第三節(jié)中，靜態(tài)安定定理的延伸提出，考慮到韌性塑性破壞和幾何非線性的影響。應(yīng)變分解為彈性和塑性部分，而無(wú)需使用任何簡(jiǎn)化的假設(shè)。為此，一個(gè)全局的中間配置被介紹到相應(yīng)的滿(mǎn)足相容性條件的變形狀態(tài)的變形過(guò)程中。此配置包含彈性和塑性殘余變形。這項(xiàng)一般配方，然而，如果額外的假設(shè)上的變形模式引入（Weichert，1986） ，就可以提供建設(shè)性的安定分析方法。在這里，最簡(jiǎn)單的情況進(jìn)行了研究，在考慮機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)受到初始載荷的情況下，引起大位移和初始傷害這樣它是在基準(zhǔn)平衡配置中。機(jī)構(gòu)受到時(shí)間或循環(huán)加載額外的變量，造成額外的小排量，與以往相比，和額外的傷害。在這種情況下，由 Bathe等人 開(kāi)發(fā)的NONSAP有限元程序會(huì)引起基準(zhǔn)配置中響應(yīng)的遞增。對(duì)失效的負(fù)載因子較低的約束，通過(guò)使用由Pierre 和Lowe (1975) 開(kāi)發(fā)的LPNLP算法，對(duì)非安定或不予受理的損害進(jìn)行優(yōu)化程式計(jì)算 。
在第四節(jié)中，軸對(duì)稱(chēng)外殼的效果被提出來(lái)顯示 有限位移和損壞 對(duì)安定行為的影響，對(duì)比于完好的材料和幾何非線性分析的效果。
提出問(wèn)題
我們認(rèn)為，在準(zhǔn)靜態(tài)下一個(gè)立體的理想彈塑性的機(jī)構(gòu)的行為不同于外部機(jī)構(gòu)a*包括表面牽引力p*和表面位移u*作用于上的表面S的不相交的部分和，個(gè)別的，體積力。在初始配置同時(shí)，占有的體積。的運(yùn)動(dòng)有直角坐標(biāo)系給出，在未變形和變形狀態(tài)的點(diǎn)的位置分別有坐標(biāo)和表示。的的實(shí)際組態(tài) ，由位移函數(shù)u 定義：
（1）
根據(jù)這一假設(shè)的邊界值問(wèn)題提到初始未變形配置被定義為：
靜力方程：
（2）
和
T=FS （3）
運(yùn)動(dòng)學(xué)方程
（4）
和
（5）
在這里，T和S分別是非對(duì)稱(chēng)第一類(lèi)Piola-Kirchho應(yīng)力張量和對(duì)稱(chēng)第二類(lèi)Piola-Kirchho應(yīng)力張量，而F和E分別變形梯度和Green-Lagrange應(yīng)變張量，我指的第二級(jí)的測(cè)量的張量和n是從指向S 的外發(fā)現(xiàn)向量。
彈塑性變形通常通過(guò)一個(gè)虛構(gòu)的中間配置來(lái)描述，來(lái)自變形梯度F的乘法分解成 彈性部分和塑性部分。(Lee, 1969)
（6）
其中通過(guò)卸載機(jī)構(gòu)的無(wú)窮小的附近。這種分解提供有限應(yīng)變的彈性，塑性和總變形有效之間的關(guān)系并導(dǎo)致添加一個(gè)Green-Lagrange張量E分量到取決于塑性變形的塑性部分和彈性部分(Green 和 Naghdi, 1965)：
（7）
和
（8）
在這里，內(nèi)部變量的熱力學(xué)理論用于計(jì)算的本構(gòu)關(guān)系。 為此，一個(gè)潛在的熱力學(xué)變量被引進(jìn)到的二次型和的線性中(Chaboche, 1977, 1981; Lemaitre and Chaboche,1985; Simo 和Ju, 1987; Ju, 1989):
（9）
和
(10)
中是完好的材料的能量函數(shù)，L的彈性張量和是初始密度。運(yùn)算符（:)代表雙張量收縮。在Clausius-Duheminequality形式下須要運(yùn)用熱力學(xué)第二原則
（11）
和
（12）
（13）
因此，熱力學(xué)力（Y）的共軛損傷變量D是完美材料（）的能量函數(shù)(Lemaitre 和Chaboche, 1985)。疊加點(diǎn)表示考慮量率。
來(lái)形容塑料材料的損傷行為的一部分，我們假設(shè)存在一個(gè)凸彈性域，由屈服條件定義
（14）
作為第二Piola-Kirchho有效應(yīng)力張量和作為屈服壓力。連續(xù)疊加點(diǎn)顯示的數(shù)量關(guān)系到材料損傷狀態(tài)。
最大的塑料工作不平式可以表達(dá)凸屈服面F和有效性的正常規(guī)則
（15）
是任何“安全”應(yīng)力狀態(tài)由下面定義
（16）
各向同性韌性塑性破壞的一個(gè)簡(jiǎn)單的模型是由Lemaitre給出的（1985年）。 這種模式是與等效塑性應(yīng)變p線性的和取決于三個(gè)材料常數(shù)，（損傷閾應(yīng)變），（斷裂時(shí)的應(yīng)變）和（損傷斷裂參數(shù)的臨界值）損害性質(zhì)和泊松比
（17）
作為三軸比由下式給出
（18）
這里，在T時(shí)，是是馮·米塞斯等效應(yīng)力 ,表示靜液壓壓力 和是Macauley運(yùn)算符號(hào)，。為實(shí)際應(yīng)用 等式（17），考慮材料的三個(gè)系數(shù)，和要從實(shí)驗(yàn)上確定相關(guān)的溫度范圍。
靜態(tài)安定定理
1.一般假設(shè)
在這里，Melan的安定定理的擴(kuò)展組合，被發(fā)現(xiàn)在hachemi和Weichert（1992）和Tritsch和Weichert（1993）給出。為此，中間變量介紹，在變形過(guò)程中相應(yīng)的滿(mǎn)足相容性條件的變形狀態(tài)。這在一般的時(shí)間依賴(lài)性和未知的配置得到從考慮的機(jī)構(gòu)移除外部負(fù)載，我們得到了變形梯度張量的乘法分解（圖1）：
（19）
其中表示自由彈性變形梯度，是在包含塑性和彈性殘余變形的中間配置的變形梯度和是彈性殘余變形梯度（see Tritsch, 1993; Tritsch and Weichert,1993)。在這個(gè)情況下，Green-Lagrange應(yīng)變張量E被表達(dá)為
（20）
幾何非線性和受損結(jié)構(gòu)安定
圖1.彈塑性變形的運(yùn)動(dòng)學(xué)。
2. 定理的陳述
如果存在一個(gè)安全系數(shù) 和一個(gè)有效剩余應(yīng)力的獨(dú)立時(shí)間狀態(tài)，滿(mǎn)足以下關(guān)系：
（21）
然后機(jī)構(gòu)B將動(dòng)搖，對(duì)于給定的負(fù)荷。
3.定理的證明
這個(gè)定理的證明是類(lèi)似的線性理論(cf. Hachemi 和Weichert, 1992)。對(duì)于這一點(diǎn)，有界二次形式引入由下式定義：
（22）
其中和分別為實(shí)際時(shí)間相關(guān)的第二類(lèi)Piola-Kirchho殘余應(yīng)力張量和與時(shí)間無(wú)關(guān)的第二類(lèi)Piola-Kirchho殘余應(yīng)力張量的。
使用下面的定義
（23）
我們得到了方程的時(shí)間導(dǎo)數(shù)（22）
（24）
鑒于不等式（11）和（15）服從，此外，當(dāng)和時(shí)是等于0.SoMelan的說(shuō)法認(rèn)為：W是根據(jù)定義非負(fù)，如果有效應(yīng)力狀態(tài)存在，塑性流動(dòng)和損傷演化超出一定的時(shí)間即時(shí)停止，實(shí)現(xiàn)關(guān)系（21）。我們說(shuō)了動(dòng)搖，在這種情況下.
4.特定情況下允許切實(shí)可行的方法
這是一般的提法不提供安定理論建設(shè)性的方法，由于這一事實(shí)，我們需要知道在全局中間配置中所有描述變形狀態(tài)的數(shù)量。必須引入額外的假設(shè)。在最簡(jiǎn)單的情況下，我們認(rèn)為是一種特殊類(lèi)型的負(fù)載：機(jī)構(gòu)經(jīng)過(guò)有限的時(shí)刻并在時(shí)間t=0時(shí)移動(dòng)位移到初始位置，這樣的一種方式下機(jī)構(gòu)在已知配置內(nèi)保持平衡，在獨(dú)立負(fù)載下。當(dāng) 機(jī)構(gòu)被增加額外的變載荷 ：
（25）
并占據(jù)實(shí)際的變量(see e.g. Weichert, 1986; Gross-Weege, 1990;Saczuk 和Stumpf, 1990; Pycko and Konig, 1991)。由于實(shí)際的配置也應(yīng)該是一個(gè)均衡的配置和下列公式持有：
（i）靜力等式
（26）
和
（27）
（ii）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程
（28）
和
（29）
所有由時(shí)間獨(dú)立負(fù)載造成的所有數(shù)量標(biāo)志（R）標(biāo)記，而隨時(shí)間變化的載荷引起的附加數(shù)量由（r）標(biāo)記。由引起的附加字段數(shù)量必須滿(mǎn)足下列公式：
（i）靜力方程
（30）
和
（31）
（ii）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程
（32）
和
（33）
在連續(xù)中，我們限制我們考慮加載歷史記錄特點(diǎn)通過(guò)一個(gè)虛構(gòu)的比較機(jī)構(gòu)的議案，在時(shí)間 內(nèi)與同規(guī)模的數(shù)量但反映，比較與，對(duì)于額外的時(shí)間相關(guān)的載荷是純粹的彈性，當(dāng)疊加在（圖2）(cf. Weichert, 1986; Gross-Weege, 1990; Saczuk and Stumpf, 1990)。從此，這種比較的問(wèn)題有關(guān)的所有數(shù)量 由上標(biāo)表示。顯然，等式（30）-（33）對(duì)唯一例外的比較問(wèn)題可用，在比較機(jī)構(gòu)中，沒(méi)有額外的塑性變形和損傷會(huì)發(fā)生。然后在和狀態(tài)之間的差異是由不同領(lǐng)域的描述：
（34）
必須履行下列公式：
（35）
圖2.真正機(jī)構(gòu)和比較機(jī)構(gòu)的演變
和
并且
（37）
在以下，我們約束我們的考慮在受到時(shí)間的微小變化下的變形和應(yīng)力狀態(tài)的情況下(Weichert, 1986;Gross-Weege, 1990)。因此，我們忽視規(guī)管等式（34） - （37）的所有條款，這是在非線性時(shí)間依賴(lài)的附加字段的數(shù)量被標(biāo)上上標(biāo)。這還不包括由額外的時(shí)間相關(guān)的載荷引起的屈服的影響。然后 Melan定理以下擴(kuò)展持有：
如果存在時(shí)間無(wú)關(guān)的有效的殘余應(yīng)力則以下的關(guān)系成立：
（38）
(39)
且
（40）
當(dāng)所有時(shí)間，在給定的載荷下原機(jī)構(gòu)將安定。
然而，定義材料損傷不能無(wú)限增長(zhǎng) ，是由材料破碎限制。因此，它是有必要通過(guò)施加由額外變載荷造成的損傷參數(shù)的邊界來(lái)控制材料的損傷度。所考慮的方法（等式（17）），基本上是由塑性變形產(chǎn)生損害，損害的界限，可以在這個(gè)特殊的情況下，由邊界的等效塑性應(yīng)變給出（我們?cè)敿?xì)參考Hachemi, 1994; Hachemi and Weichert,1997 ）：
（41）
然后由于非安定或不予受理的損害對(duì)失敗的安全系數(shù)的定義由下式定義：
（42）
附屬條件
（43）
（44）
（45）
（46）
這是一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題，為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化關(guān)于 和和用不等式（45）和（46）作為非線性約束 。條件（45）確保由于物質(zhì)損傷的故障對(duì)機(jī)構(gòu)的安全，條件（46）確保從未加載外表面的應(yīng)力安全狀態(tài)。
數(shù)值例子
已經(jīng)制定的前面幾節(jié)的連續(xù)介質(zhì)的概念適用于有限位移和溫和的旋轉(zhuǎn)軸稱(chēng)殼。上述方法已實(shí)施最初由Gross-Weege制定的（1988年，1990年），以能源互補(bǔ)的原則為基礎(chǔ)的有限元程序(Morelle和 Nguyen Dang Hung, 1983)。該方案采用具有一個(gè)擴(kuò)展的拉格朗日式子的非線性?xún)?yōu)化算法(Pierre and Lowe, 1975)?？紤]到參考狀態(tài)的影響導(dǎo)出安全系數(shù)的下限(參考如 Gross-Weege, 1988; Tritsch and Weichert, 1995)。要確定應(yīng)力狀態(tài) ，位移，和在時(shí)間無(wú)關(guān)的載荷下在參考配置內(nèi)的損傷參數(shù)，一個(gè)Kreja等(1992, 1993) 的修改后的版本的NONSAP分步有限元程序(Bathe 等, 1974)要考慮到韌性損傷模型已被使用。允許限制計(jì)算一半的殼，外殼和負(fù)載的對(duì)稱(chēng)性假設(shè)。敏感度分析表明，該研究調(diào)查的案件并不需要一個(gè)元素大于10。損傷參數(shù)和屈服準(zhǔn)則檢查每個(gè)元素的三個(gè)點(diǎn)。
1.例1
第一個(gè)調(diào)查的結(jié)構(gòu)是很短的夾緊圓柱殼的研究由Gross-Weege (1988, 1990)用夾心截面，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑R和壁厚h，其中和（圖3）。殼受到內(nèi)部壓力p：
圖3.圓柱殼受到的內(nèi)部壓力
圖4.內(nèi)部壓力下圓柱殼的安定負(fù)載域。
圖5.在內(nèi)部壓力和彎矩下圓柱殼。
其中是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的基準(zhǔn)負(fù)載和是時(shí)間相關(guān)的額負(fù)載，其中是固定邊界和間的變量，所以。這是一個(gè)加工工程中的典型問(wèn)題，在管道及其他壓力容器的標(biāo)稱(chēng)壓力附近會(huì)發(fā)生壓力波動(dòng)。
對(duì)于這個(gè)例子，材料性能采用以下值：楊氏模量，泊松比，損傷特性 ， 和 。 應(yīng)當(dāng)指出，在這里和在以下中，閾值選擇為，雖然某種程度上是人為的，是為了強(qiáng)調(diào)和更好的形象化提出的例子在安定過(guò)程中的材料損傷的影響。如圖4為單軸屈服應(yīng)力的不同值的安定負(fù)載域。為便于比較，完好殼的結(jié)果代表以及幾何線性解決方案使用von Mises夾心屈服條件。
2.例2
圓柱殼上文所述具有以下尺寸和有兩個(gè)獨(dú)立載荷的加載圖如圖5所示，內(nèi)部壓力和彎曲的瞬間。 材料特性的下列值，，，，，和初始負(fù)載及 已經(jīng)通過(guò)了數(shù)值分析。
圖6.內(nèi)部壓力和彎矩下的圓柱殼的安定的負(fù)載域
圖7.內(nèi)部壓力和軸向環(huán)負(fù)載下的圓錐殼
圖8.內(nèi)部壓力和軸向環(huán)負(fù)載下圓錐殼的安定負(fù)載域
對(duì)于這個(gè)例子，使用了Ilyuschin的屈服條件(Ilyuschin, 1956)。獲得安定域如圖6所示，及未損傷行為的結(jié)果也被呈現(xiàn)出來(lái)。曲線（a）及（b）對(duì)應(yīng)的安定極限載荷基于為均勻橫截面的增量收合。我們觀察的重要組成部分，在裝載空間之間的幾何直線，曲線（a），幾何非線性，曲線（b），分析和損壞和完好的行為之間的顯著性差異。
3.例3
一個(gè)簡(jiǎn)單的受支持圓錐殼的內(nèi)半徑為，外半徑為，壁厚為和角度為是被考慮的。 這種機(jī)械結(jié)構(gòu)在閥系統(tǒng)運(yùn)用很多。外殼順從于大半徑的邊緣和內(nèi)部壓力的軸向環(huán)負(fù)荷。內(nèi)部的壓力和軸向環(huán)負(fù)載的范圍和內(nèi)可以獨(dú)立變化。以下幾何尺寸大小，采用數(shù)值分析：，和 與例2相同的機(jī)械性能。考慮下列初始值的負(fù)載：和 。
圖8中可以看出。，安定域不顯著增加基于考慮幾何的影響和損害沒(méi)有很大影響當(dāng)軸向力Q作用在和壓力p同一軸向方向時(shí)。然而，其影響是更重要的，當(dāng)這些負(fù)載在相反的方向作用。
結(jié)論
Melan靜安定定理的幾何非線性和塑韌性損傷及其數(shù)值應(yīng)用計(jì)算的擴(kuò)展旨在促進(jìn)全球超出彈性極限變載荷作用下的結(jié)構(gòu)評(píng)估方法的改進(jìn)。雖然定理的擴(kuò)展方法是相當(dāng)一般，而不是限制在本文所考慮的材料類(lèi)：在特定的各向異性損傷演化和可塑性和損害之間的互動(dòng)更一般的模型，似乎是為進(jìn)一步研究的重要問(wèn)題。
在受到有限位移和適度轉(zhuǎn)動(dòng)的薄壁殼體中的應(yīng)用，類(lèi)似于Weichert (1986) 和Gross-Weege (1990)的只對(duì)受到特殊載荷情況考慮，這種特殊情況就是外部負(fù)載可能會(huì)在給出的規(guī)定的額定載荷附近的范圍內(nèi)隨機(jī)變化。在未來(lái)應(yīng)考慮更一般的負(fù)載。所獲得的結(jié)果表明，相比完好行為的韌性損傷的安定負(fù)載在總體上減少。似乎考慮幾何非線性的，可以有一個(gè)穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的影響。增量分析與安定分析的結(jié)合，似乎是有希望的;所以觀察第一個(gè)提出的在某些負(fù)載的情況下的例子， 變形超過(guò)適度轉(zhuǎn)動(dòng)的限制 ，使得Donnel-Mush-tari-Vlasov的理論有效性成為了疑問(wèn)。
總之，結(jié)果表明，采用該方法能容易確定非安定和不可接受的損害方面的安全系數(shù)的數(shù)值。然而，相當(dāng)數(shù)量的開(kāi)放問(wèn)題有待回答。其中，完善的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法是非常重要的。 不幸的是，作者觀察到了在文獻(xiàn)中適合和可靠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相當(dāng)缺乏。因此，在未來(lái)研究工作，特別應(yīng)把實(shí)驗(yàn)安定分析于理論和數(shù)值模擬結(jié)合。
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