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1、.則 確定，12由方程),(設(shè).1 )0,1( 2 dz eexyzxyxzz z 1時，解得0,1解：當(dāng) zyx dy edxedyyzdxxzdz 22則 )1,0,1()1,0,1()0,1( zzyzzx z exyxzFFyzexy yzxFFxz eexyzxzyxF 2 2,2 22 12),(令 2 復(fù)習(xí)題二 2、交換積分次序 .),(20 4 2 2 xx dyyxfdx yy dxyxfdydxyxfdy 40402002 ),(),(解：原式 O 2 x 4-2y y=4-x2y=x-2 110 33 x y dyxedx、計算二次積分分析：這是先對y后對x的二次積分，但

2、先對y積分是積不出來的。故應(yīng)先交換積分次序，再計算。O 1 xy1 D y=xy=1先交換積分次序: y y dxxedy 010 3原式 10 2 321 dyey y )1(6161 1103 ee y 4、交換積分次序 .),(),( 21 2121 21 yy dxyxfdydxyxfdy xx dyyxfdx 121 ),(解：原式 O 1 2 x 2y21 x=2y=xxy 1 235. 1, ,( 1) ( ) .設(shè)為閉曲線取逆時針方向則yCC x yy x dx e x dy O 1 xy1 C Dy dxdyxdyxedxxy Green )2()()1( : 33 2公式得

3、由4)2(22 2 D dxdy利用對稱性C C dyxyxdxyxy yxC .)4sin()cos23( ,194.6 222的值為則曲線積分為正向閉曲線設(shè)O 2 x C D dxdydyxyxdxyxy Green )4sin()cos23( : 2公式得由6Cy 3 . ,0)2,(),(.7 22 xz yezxyxzz z則具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)其中確定由方程設(shè)函數(shù) 21 12 2 zzx ez xFFxz zzyx z ezFFxF yezxzyxF 2121 22 )2(,2,2 0)2,(),( 則令)(則點,012 處的切平面平行于平面上點4、若曲面8 22的坐標為Pzyx Py

4、xz )831,41,41)()831,41,41)( )831,41,41)()831,41,41)( DC BA 0)(1)(23)(22)( )( ),0(sincos.9 DCBAz Rtaatz tay tax 軸正向夾角的余弦為與向向量上任一點處的切線的方曲線 2212)cos(1,0,0 ,cos,sin 2 aakS kSkSkz atataS 所求夾角余弦為軸正向為而量為曲線上任一點處的切向 A ) (),(,1,0 ,),(),(,),(、設(shè)10 2等于則所圍成的區(qū)域是由其中且連續(xù) DD dxdyyxfxxyy Ddudvvufxyyxfyxf(A) (B) 1 (C) 0

5、 (D) 81 81 Daxyyxfdxdyyxfa D ),(,),(則設(shè)adxaxx 31121)21( 10 25 O 1 xy x=1y=x2 2010 )()( xD dyaxydxdxdyaxya故有81 a )(,0,0,0,: ;0,:.11 22222 22221則有設(shè)空間區(qū)域 zyxRzyx zRzyx(A) (B) (C) (D) 21 4 xdVxdV 21 4 ydVydV 21 4 zdVzdV 21 4 xyzdVxyzdV O yzx O yzx1 2 22)(213)(213)(14)( ).(, )cos()sin(.12 2322 DCBAxoy jyex

6、iyeyxA xx的值為則的梯度場平面內(nèi)為某一數(shù)量函數(shù)在若向量場 QdyPdx dyyexdxyeyxdu xx )cos()sin(: 2322 由題意知xQyP :關(guān)的充要條件定理得根據(jù)曲線積分與路徑無yexyex xx cos23cos 2222 B故選21,3 . ,)2,1,1(ln.13 222處指向下側(cè)的法向量在為曲面其中的方向?qū)?shù)處沿方向在點求數(shù)量場Myxzn nMz yxu 1,2,21,2,2, ),( )2,1,1(22 yxFFFn zyxzyxF Mzyx則令 0,21,0ln,ln2, )2,1,1(222 z yxyzxz yxuuugradu Mu Mzyx處的

7、梯度為在點而數(shù)量場nngradungradunu M 0則所求方向?qū)?shù)為 311,2,20,21,031 A B補充線段BA,設(shè)BA與曲線c共同圍成區(qū)域D52,32 5),(,23),( 222 xyxQxyyP yxyxyxQyxyyxP ).0,1()0,1()0(14 .,)5()23(.14 22 222 BAyyxc dyyxyxdxyxyI c到由點為上半橢圓其中計算曲線積分 O 1 xy D 22 21188 : DBAc dGreen公式得利用 BABAccI,從而 2422 11 dx c .)( .0)0(,),()( ,0)(,.15 )2,1( )0,0( dyxxyd

8、xx dyxxydxC C 計算積分且內(nèi)連續(xù)可微在其中積分若對任意光滑閉曲線O 1 xy (1,2)根據(jù)題意知該曲線積分與路經(jīng)無關(guān),yPxQ 故xx )(即0)0( 又221)( xx 1210 .21.)( 2010 )2,1( )0,0( 2)2,1( )0,0( dydx dyxxydxdyxxydx 從而 .11 ,)2(2.16 22 2上側(cè)為上半球面其中計算曲面積分yxz dydxzzdxydzdzxdyI 1)(1(,1: 221取下側(cè)補充平面 yxz zdv dydxzzdxydzdzxdyGauss4 )2(2 :1 2公式得根據(jù) 31144 21111020 zdzdddz

9、ddz )1:( 221 yxDdxdy xyDxy 而 314)(311 11 I O yzx 21 D yxyxyxDdxdyyx yx 1,1),(,18 2222其中、計算二重積分 O 1 xy利用極坐標計算 DDD dddddxdyyx yx )sin(cossincos 222 x+y=1 122 yx 1 sincos 120 )sin(cos dd 22)1sin(cos20 d .41,2),(,)(.19 2222 zzyxzyxdxdydzyxzI其中計算 O yzx41(用柱坐標) 10,2),( 221 zzyxzyx令 11I則 11 222 )( dzddzdxd

10、ydzyxz 其中 12842220 320 2 zdzdd 1 )( 22 dxdydzyxz而 21220 320 2 zdzdd 22552112811 I (用切片法) O yzx41 41,2),()( 22 zzyxyxzD切片z D(Z) )( 224122 )()( zD dxdyyxzdzdxdydzyxz )( 241 zD ddzdz 22552 41 3 20 32041 dzz ddzdz z .,)(.20 222 yxRzdSzy 為下半球面其中計算曲面積分 O R yzx zdSdSzy )(:利用對稱性得 22222 2222221 , yxR Rzz yxR

11、 yzyxR xz yx yx 則 xyD dxdyyxR RyxRzdS 222222 )(原式32 RRRdxdyR xyD Dxy A B補充線段BA,設(shè)BA與曲線c共同圍成區(qū)域Dyy yy exQxeyP yxeyxQxyeyxP ,12 cos),(,12),( .)1,1()1,1( ,)cos()12(.21 2的一段到上從點為曲線其中計算曲線積分BAxyc dyyxedxxyeI c yy O 1 xy D012 :對稱性公式得利用 DBAc xdGreen BABAccI,從而edxxe 2)12(0 1 1 c .01 ,.22 22 333部分取上側(cè)在是錐面其中求 zyx

12、z dydxzdxdzydzdyxI 1)(1(,1: 221取下側(cè)補充平面 yxz dvzyx dydxzdxdzydzdyxGauss )(3 : 222 3331公式得根據(jù) O yzx 109)(3)(3 231102022 dzzdddzddz )1:()1( 2231 yxDdxdy xyDxy 而 101109 11 I .01,)(.23 2222圍成與由曲面其中求 zyxzdVzyx dVzyxdVxyzyxdVzyx )()2()( 22222222對稱性 52sin 10 42020 drrdd O 1 yzx drddrr sin22球坐標 :)2,1,1(72 222處

13、的切平面方程在點先求曲面 zyx 2,1,222,2,4 )2,1,1( zyxn法向量為.)2,1,1(4 72.24 222處的切線方程在點求曲線 zyx zyx 722 0)2(2)1()1(2: zyx zyx即該切平面方程為 4722: zyx zyx則所求切線方程為 2,1,222,2,4 )2,1,1(1 zyxn法向量 1,0,11,1,12,1,221 nna 則切向量為120111: zyx則所求切線方程為 .22.25 22之間的最短距離與平面求曲面 zyxyxz O yzx 6 2222),(: 22 zyxdzyxzyxPyxz的距離到平面上點曲面)()22(61),

14、( 222 zyxzyxzyxF 令.06 )22( 2222下的條件極值在條件下面只要求 zyxzyxd 0 0)22(32 02)22(31 02)22(31 22 zyxF zyxF yzyxF xzyxFzyx 則由81,41 zyx解得唯一可能極值點為P6476 22: ,)81,41,41(, )81,41,41(min zyxd P且最短距離為就是最小值點所以點離肯定存在因由實際問題知最短距 在曲線C內(nèi)作一個足夠小的橢圓C1 :4(x-1)2+y2=r2(逆時針方向) )0,1(),(,)1(4 )1(4 )1(4 )1(),(,)1(4),( 222 22 2222 yxxQy

15、x yxyP yx xyxQyx yyxP . ,8,)1(4 )1(.26 2222沿逆時針方向為圓周其中計算曲線積分xyxCyx dyxydxI C O 1 4 xy D00: 1 DCC dGreen 公式得利用 11, cCCCI從而 rrrdrr dyxydx DC 22)2(1)1(0 222 11 222)1(4 ryx C1 )0,0(),(,)4( 4 4),(,4),( 222 22 2222 yxxQyx yxyP yx xyxQyx yyxP .)2,1(1),0,1(1 )0,1(,4.27 2 22的路徑到再沿直線到點經(jīng)上半圓是由點其中計算曲線積分 DyxBxy A

16、cyx xdyydxI c O 1 xy D00: 1 DcDAc dGreen 公式得利用 11, cDAcDAccI從而 8781212arctan21140 11 202202 2 Dc dryxdyydxrydy AB cc1 2224 ryx .),(28 2 yxz，fyxxfz、 求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)其中設(shè)yffxz 121 )(1)1()( )1( 22222212 212 yxfyfyyxf fyfyyxz 22322122 1 fyxfyfyx .,),2(29 2 yxzxz，fyeyxfz、 x 求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)其中設(shè)xyeffxz 212 )1()1(2 )2( 222121211 212 xxxxx effyefeeff fyefyyx z 22221211 )2(2 fyefefyef xxx